Suites de fonctions

Vue d'ensemble

Une suite de fonctions $(f_{n})$ peut converger de deux façons radicalement différentes. La convergence simple (en chaque point) est faible : la limite peut perdre la continuité, l'intégrabilité, la dérivabilité de ses termes. La convergence uniforme (contrôle GLOBAL de l'écart $∥ f_{n} - f ∥_{\infty}$ ) est forte : elle TRANSMET la continuité, autorise l'interversion limite-intégrale, et conserve presque tout. Ce chapitre est la charnière de l'analyse de spé : il donne les théorèmes qui permettront, pour les séries de fonctions et les séries entières, d'écrire $lim \int = \int lim$ sans trembler. Cette fiche regroupe les théorèmes incontournables (continuité, double limite, interversion, convergence dominée, dérivation), les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Suites de fonctions : convergence simple, convergence uniforme (norme de la convergence uniforme), lien entre les deux ; théorème de continuité de la limite uniforme, théorème de la double limite ; interversion limite-intégrale sur un segment (convergence uniforme), théorème de convergence dominée (admis) ; dérivation d'une limite de suite de fonctions (convergence uniforme de la suite des dérivées) ; approximation uniforme (théorèmes de Weierstrass, admis).

Prérequis

Topologie : norme de la convergence uniforme $∥ \cdot ∥_{\infty}$ , suites, continuité
Continuité, intégration et dérivation des fonctions d'une variable (sup)
Séries numériques : convergence, restes

🎯 Accompagnement Majorant

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1. Convergence simple, convergence uniforme

Définition 1.1 — Convergence simple

$(f_{n})$ converge simplement vers $f$ sur $A$ si, pour CHAQUE $x \in A$ , la suite numérique $(f_{n} (x))$ converge vers $f (x)$ :

\forall x \in A, \forall ε > 0, \exists N (x, ε), \forall n \geq N, ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ \leq ε .

Le rang $N$ dépend du point $x$ : la convergence peut être « plus lente » en certains points.

Définition 1.2 — Convergence uniforme

$(f_{n})$ converge uniformément vers $f$ sur $A$ si l'écart maximal tend vers 0 :

∥ f_{n} - f ∥_{\infty, A} = x \in A sup ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ n \to \infty 0.

Ici, un SEUL rang $N (ε)$ marche pour TOUS les points à la fois : la convergence est « uniforme » sur $A$ .

Définition 1.3 — Norme de la convergence uniforme

Sur l'espace des fonctions bornées de $A$ dans $R$ (ou $C$ ), la norme de la convergence uniforme est $∥ f ∥_{\infty} = sup_{x \in A} ∣ f (x) ∣$ . La convergence uniforme de $(f_{n})$ vers $f$ est EXACTEMENT la convergence de $(f_{n})$ vers $f$ pour cette norme : $∥ f_{n} - f ∥_{\infty} \to 0$ . C'est pourquoi les théorèmes de topologie (unicité de la limite, etc.) s'y appliquent.

Définition 1.4 — Convergence uniforme sur tout segment

$(f_{n})$ converge uniformément sur tout segment (convergence localement uniforme) de $A$ si, pour tout segment $[a, b] \subset A$ , la restriction converge uniformément. C'est une hypothèse plus FAIBLE que la convergence uniforme globale, mais suffisante pour transmettre la continuité (propriété locale) — utile quand la convergence uniforme échoue « aux bords » de l'intervalle.

Théorème 1.5 — Uniforme ⟹ simple, et la limite est la même ★ À savoir démontrer

La convergence uniforme entraîne la convergence simple (vers la même limite $f$ ). La réciproque est FAUSSE.

Démonstration + le contre-exemple xⁿ

Uniforme ⟹ simple. Pour tout $x \in A$ , $∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ \leq ∥ f_{n} - f ∥_{\infty} \to 0$ , donc $f_{n} (x) \to f (x)$ : la convergence simple, avec la même limite.

Contre-exemple à la réciproque. Sur $[0, 1]$ , $f_{n} (x) = x^{n}$ converge SIMPLEMENT vers $f (x) = 0$ si $x < 1$ , $f (1) = 1$ — limite DISCONTINUE. Or $∥ f_{n} - f ∥_{\infty} = sup_{[0, 1]} ∣ x^{n} - f (x) ∣ = 1$ (le sup est atteint près de 1, où $x^{n}$ reste proche de 1 alors que $f = 0$ ) : PAS de convergence uniforme. C'est LE contre-exemple à mémoriser — la limite simple peut être discontinue, la convergence uniforme l'interdit (théorème 2.1).

📐 Méthode-type — Étudier la convergence d'une suite de fonctions.

Convergence simple d'abord : fixer $x$ , calculer $lim_{n} f_{n} (x)$ — cela donne la fonction limite candidate $f$ .
Convergence uniforme ensuite : étudier $∥ f_{n} - f ∥_{\infty} = sup_{x} ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣$ . Souvent par une étude de fonction (dériver $g_{n} = f_{n} - f$ , trouver son max).
Si le sup ne tend pas vers 0 : pas de convergence uniforme sur tout $A$ — chercher une convergence uniforme sur des sous-intervalles (segments, parties compactes) où elle a lieu.
Astuce du contre-exemple : si la limite simple est discontinue mais les $f_{n}$ continues, la convergence NE PEUT PAS être uniforme (contraposée du théorème 2.1) — conclusion immédiate.

2. Continuité de la limite et double limite

Théorème 2.1 — Continuité de la limite uniforme ★ À savoir démontrer

Si $(f_{n})$ converge uniformément vers $f$ sur $A$ et si chaque $f_{n}$ est continue, alors $f$ est continue sur $A$ .

Démonstration (le « trois ε » — 3ε argument)

Soit $a \in A$ et $ε > 0$ . Découpons :

∣ f (x) - f (a) ∣ \leq (1) ∣ f (x) - f_{n} (x) ∣ + (2) ∣ f_{n} (x) - f_{n} (a) ∣ + (3) ∣ f_{n} (a) - f (a) ∣ .

(1) et (3) : par convergence UNIFORME, il existe $n$ tel que $∥ f_{n} - f ∥_{\infty} \leq ε /3$ , donc (1) et (3) sont $\leq ε /3$ , et ce POUR TOUT $x$ (c'est là que l'uniformité est cruciale).

(2) : ce $n$ étant fixé, $f_{n}$ est continue en $a$ , donc il existe $η > 0$ tel que $∣ x - a ∣ \leq η \Rightarrow ∣ f_{n} (x) - f_{n} (a) ∣ \leq ε /3$ .

Au total, pour $∣ x - a ∣ \leq η$ : $∣ f (x) - f (a) ∣ \leq ε$ . Donc $f$ est continue en $a$ . L'uniformité est INDISPENSABLE : c'est elle qui rend (1) et (3) petits en tout point simultanément — sans elle ( $x^{n}$ ), la limite peut être discontinue.

Théorème 2.2 — Théorème de la double limite

Si $(f_{n})$ converge uniformément vers $f$ sur $A$ , et si chaque $f_{n}$ admet une limite $ℓ_{n}$ en un point $a$ (adhérent à $A$ , éventuellement $\pm \infty$ ), alors $(ℓ_{n})$ converge, $f$ admet une limite en $a$ , et les deux limites s'échangent :

x \to a lim (n \to \infty lim f_{n} (x)) = n \to \infty lim (x \to a lim f_{n} (x)) .

⚠ Piège — Sans uniformité, on ne peut PAS échanger les limites. Intervertir

lim_{n}

lim_{x \to a}

, ou

lim_{n}

\int

, n'est légitime que sous convergence uniforme (ou domination). Le faire « à la main » sans justification est l'erreur structurante de tout le chapitre — et les correcteurs le sanctionnent d'office. TOUJOURS énoncer le théorème invoqué et vérifier son hypothèse.

3. Interversion limite-intégrale et dérivation

Définition 3.1 — Hypothèse de domination

Une suite $(f_{n})$ est dominée sur $I$ s'il existe une fonction $φ : I \to R_{+}$ , indépendante de $n$ et intégrable sur $I$ , telle que $∣ f_{n} (x) ∣ \leq φ (x)$ pour tout $n$ et tout $x \in I$ . Cette « fonction dominante » borne uniformément toute la suite : c'est l'hypothèse clé du théorème de convergence dominée, qui remplace l'uniformité par un contrôle intégrable.

Théorème 3.2 — Interversion limite-intégrale sur un segment ★ À savoir démontrer

Si $(f_{n})$ converge uniformément vers $f$ sur un segment $[a, b]$ et si les $f_{n}$ sont continues, alors :

\int_{a}^{b} f_{n} (t) d t n \to \infty \int_{a}^{b} f (t) d t, soit n lim \int_{a}^{b} f_{n} = \int_{a}^{b} n lim f_{n} .

Démonstration (majoration par la norme uniforme)

La limite $f$ est continue (théorème 2.1), donc intégrable. Majorons la différence :

\int_{a}^{b} f_{n} - \int_{a}^{b} f = \int_{a}^{b} (f_{n} - f) \leq \int_{a}^{b} ∣ f_{n} - f ∣ \leq (b - a) ∥ f_{n} - f ∥_{\infty} .

Comme $∥ f_{n} - f ∥_{\infty} \to 0$ (convergence uniforme), le majorant tend vers 0 : les intégrales convergent. L'HYPOTHÈSE « segment » (longueur $b - a$ FINIE) est essentielle — sur un intervalle non borné, la convergence uniforme ne suffit plus, il faut le théorème de convergence dominée.

Théorème 3.3 — Théorème de convergence dominée (admis)

Si $(f_{n})$ converge SIMPLEMENT vers $f$ sur un intervalle $I$ , avec les $f_{n}$ continues par morceaux, et s'il existe une fonction $φ$ INTÉGRABLE (domination) telle que $∣ f_{n} ∣ \leq φ$ pour tout $n$ , alors $f$ est intégrable et $\int_{I} f_{n} \to \int_{I} f$ .

C'est l'outil PUISSANT du programme : il ne demande que la convergence SIMPLE plus une domination, et fonctionne sur un intervalle QUELCONQUE (pas seulement un segment).

Théorème 3.4 — Dérivation d'une limite de fonctions

Si $(f_{n})$ converge simplement vers $f$ , si les $f_{n}$ sont de classe $C^{1}$ , et si la suite des DÉRIVÉES $(f_{n}^{'})$ converge uniformément vers une fonction $g$ , alors $f$ est $C^{1}$ et $f^{'} = g$ : on peut DÉRIVER sous la limite, $(lim_{n} f_{n})^{'} = lim_{n} f_{n}^{'}$ .

Attention : c'est la convergence uniforme de $(f_{n}^{'})$ qui compte, pas celle de $(f_{n})$ — la dérivation « demande » l'uniformité au niveau des dérivées.

⚠ Piège — La convergence dominée ne demande QUE la convergence simple. Contrairement à l'interversion sur un segment, le théorème de convergence dominée ne réclame PAS l'uniformité : convergence SIMPLE + domination

∣ f_{n} ∣ \leq φ

intégrable suffisent, et sur un intervalle QUELCONQUE. C'est souvent la voie la plus rapide — inutile de peiner à établir l'uniformité si une domination saute aux yeux. L'effort porte alors sur la construction de

φ

💡 Exemple — Convergence dominée en action. Calculer

lim_{n} \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- n t}}{1 + t ^{2}} d t

. Pour chaque

t > 0

\frac{e ^{- n t}}{1 + t ^{2}} \to 0

(convergence simple vers 0). Domination :

\frac{e ^{- n t}}{1 + t ^{2}} \leq \frac{1}{1 + t ^{2}} = φ (t)

, intégrable sur

[0, + \infty [

(

\int_{0}^{\infty} \frac{d t}{1 + t ^{2}} = \frac{π}{2}

). Par convergence dominée, la limite est

\int_{0}^{\infty} 0 d t = 0

. Schéma type des sujets d'analyse.

🧑‍🏫 Interversions maîtrisées

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4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Les suites de fonctions sont un chapitre d'hypothèses — les erreurs viennent de leur oubli. Relevé des rapports (X-ENS, Mines-Ponts, Centrale, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Intervertir limite et intégrale sans justification.

lim \int = \int lim

exige la convergence UNIFORME (sur un segment) ou la DOMINATION. L'écrire sans énoncer le théorème et vérifier l'hypothèse est la faute n°1 — signalée dans tous les rapports.

⚠ Erreur 2 — Confondre convergence simple et uniforme. Simple = en chaque point (rang N dépend de x) ; uniforme = contrôle global

∥ f_{n} - f ∥_{\infty} \to 0

. Seule l'uniforme transmet la continuité et l'intégrale. Le contre-exemple

x^{n}

sur

[0, 1]

doit servir de garde-fou permanent.

⚠ Erreur 3 — Croire que la convergence uniforme de (f_n) donne celle de (f_n'). La dérivation exige la convergence uniforme des DÉRIVÉES

(f_{n}^{'})

, pas des

f_{n}

. Une suite peut converger uniformément sans que ses dérivées convergent (oscillations de plus en plus rapides). Vérifier l'uniformité au bon niveau.

⚠ Erreur 4 — Utiliser l'interversion sur un segment pour un intervalle non borné. Le théorème « uniforme sur un segment » suppose

[a, b]

BORNÉ (la longueur

b - a

intervient). Sur

[0, + \infty [

, même une convergence uniforme ne suffit pas — passer à la convergence dominée. Vérifier la nature de l'intervalle.

⚠ Erreur 5 — Oublier de chercher la domination sur TOUT l'intervalle. La fonction dominante

φ

doit majorer TOUS les

∣ f_{n} ∣

simultanément et être INTÉGRABLE. Une domination valable seulement pour les grands

n

, ou par une fonction non intégrable, ne permet pas d'appliquer le théorème. Construire et justifier

φ

fait partie de la réponse.

5. Pour aller plus loin

Les suites de fonctions sont la charnière de toute l'analyse de spé :

Séries de fonctions — une série de fonctions $\sum f_{n}$ est une suite de sommes partielles ; la convergence NORMALE (uniforme des restes) transmet continuité et interversions.
Séries entières — convergence uniforme sur tout compact du disque de convergence : dérivation et intégration terme à terme y sont automatiques.
Intégrales à paramètre — continuité et dérivation sous le signe intégral s'appuient sur les mêmes théorèmes (domination, uniformité locale).
Approximation — les théorèmes de Weierstrass (approximation uniforme par des polynômes, par des polynômes trigonométriques) donnent la densité de familles simples dans les espaces de fonctions continues.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir la convergence simple (rang N dépend de x) ?
Sais-tu définir la convergence uniforme par ‖f_n − f‖∞ → 0 ?
Sais-tu démontrer que l'uniforme entraîne la simple, avec le contre-exemple xⁿ ?
Sais-tu dérouler la méthode (simple d'abord, puis sup de |f_n − f|) ?
Sais-tu démontrer la continuité de la limite uniforme par le « trois ε » ?
Sais-tu énoncer le théorème de la double limite (échange des limites) ?
Sais-tu pourquoi l'uniformité est indispensable pour intervertir les limites ?
Sais-tu démontrer l'interversion limite-intégrale sur un segment (majoration (b−a)‖·‖∞) ?
Sais-tu énoncer le théorème de convergence dominée (simple + domination intégrable) ?
Sais-tu que la dérivation exige la convergence uniforme des DÉRIVÉES ?
Sais-tu appliquer la convergence dominée sur un intervalle non borné ?
Sais-tu construire et justifier une fonction dominante φ intégrable ?

Démonstrations à savoir refaire

Uniforme ⟹ simple — majoration ponctuelle par la norme, contre-exemple xⁿ
Continuité de la limite uniforme — le « trois ε » avec l'uniformité pour (1) et (3)
Interversion limite-intégrale — majoration par (b−a)·‖f_n − f‖∞ sur un segment

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Convergence simple, convergence uniforme

2. Continuité de la limite et double limite

3. Interversion limite-intégrale et dérivation

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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