Applications

Vue d'ensemble

Le chapitre Applications est l'un des chapitres techniques les plus importants de l'année de MPSI : il fixe le vocabulaire (départ, arrivée, image, antécédent), introduit la composition et surtout les trois notions qui structurent tout le reste du programme — injection, surjection, bijection. Cette fiche regroupe les 9 théorèmes incontournables, les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre des points en khôlle comme en concours.

Au programme MPSI (officiel) — Application f : E → F, ensembles de départ et d'arrivée, image directe f(A), image réciproque f⁻¹(B), restriction et prolongement, application identité Id_E, composition g∘f (associativité, non-commutativité), injection, surjection, bijection, application réciproque f⁻¹, composition de bijections, théorème de la bijection sur ℝ (admis, conséquence du théorème des valeurs intermédiaires).

Prérequis

Quantificateurs $\forall, \exists$ et négation logique (contraposée)
Notions de partie d'un ensemble, de produit cartésien $E \times F$
Manipulation des inclusions $\subset$ , réunions $\cup$ , intersections $\cap$

🎯 Accompagnement Majorant

Tu confonds injection et surjection ? Tu n'oses pas attaquer les démos par contraposée ? C'est le chapitre qui sépare ceux qui suivront en algèbre linéaire et ceux qui décrocheront. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te remettent les définitions et les techniques de démonstration en place, sur tes propres DS.

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1. Généralités sur les applications

Définition 1.1 — Application

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Une application $f$ de $E$ dans $F$ est la donnée, pour chaque élément $x \in E$ , d'un unique élément de $F$ , noté $f (x)$ et appelé image de $x$ par $f$ . On note :

f : E ⟶ F, x ⟼ f (x) .

$E$ est l'ensemble de départ, $F$ l'ensemble d'arrivée. L'ensemble des applications de $E$ dans $F$ se note $F (E, F)$ ou $F^{E}$ .

⚠ Vocabulaire à fixer dès maintenant. Une fonction n'est pas définie partout sur son ensemble de départ (ex. :

x \mapsto 1/ x

sur

R

), une application, si. En MPSI, on parle d'application dès que l'ensemble de définition coïncide avec l'ensemble de départ. C'est l'image

f (x)

qui est unique pour chaque

x

, pas l'antécédent.

Définition 1.2 — Application identité

L'application identité de $E$ , notée $Id_{E}$ , est l'application de $E$ dans $E$ définie par $Id_{E} (x) = x$ pour tout $x \in E$ .

Définition 1.3 — Restriction, prolongement

Soient $A \subset B$ , $f : A \to F$ et $g : B \to F$ . Si $f (x) = g (x)$ pour tout $x \in A$ , on dit que :

$f$ est la restriction de $g$ à $A$ , notée $f = g_{∣ A}$ ,
$g$ est un prolongement de $f$ à $B$ .

Attention : il n'y a pas unicité du prolongement en général ; on parle de prolongement par continuité, par périodicité, etc. pour le préciser.

Définition 1.4 — Composition

Soient $E, F, G$ trois ensembles, $f : E \to F$ et $g : F \to G$ . La composée de $g$ et $f$ , notée $g \circ f$ , est l'application de $E$ dans $G$ définie par :

(g \circ f) (x) = g (f (x)) pour tout x \in E .

Proposition 1.5 — Propriétés de la composition

Associativité : si $f : E \to F$ , $g : F \to G$ , $h : G \to H$ , alors $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ . On note simplement $h \circ g \circ f$ .
Neutralité de l'identité : $f \circ Id_{E} = f$ et $Id_{F} \circ f = f$ pour toute $f : E \to F$ .
Non-commutativité : en général, $g \circ f \neq = f \circ g$ , même quand les deux composées ont un sens.

💡 Exemple — Non-commutativité. Prenons

f, g : R \to R

avec

f (x) = x + 1

g (x) = x^{2}

. Alors :

(g \circ f) (x) = (x + 1)^{2} = x^{2} + 2 x + 1, (f \circ g) (x) = x^{2} + 1.

Les deux composées sont parfaitement définies, mais elles ne coïncident pas — c'est même visible à l'œil nu sur le terme en

x

. La composition n'est jamais commutative par défaut : il faut vérifier au cas par cas.

2. Images directe et réciproque

Définition 2.1 — Image directe d'une partie

Soient $f : E \to F$ et $A \subset E$ . L'image directe de $A$ par $f$ est la partie de $F$ constituée des images des éléments de $A$ :

f (A) = {f (x) ∣ x \in A} \subset F .

Définition 2.2 — Image réciproque d'une partie

Soient $f : E \to F$ et $B \subset F$ . L'image réciproque de $B$ par $f$ est la partie de $E$ constituée des éléments dont l'image est dans $B$ :

f^{- 1} (B) = {x \in E ∣ f (x) \in B} \subset E .

⚠ Piège majeur — la notation f⁻¹(B). La notation

f^{- 1} (B)

ne suppose RIEN sur f : pas besoin que

f

soit bijective. C'est juste « l'ensemble des antécédents des éléments de

B

». Quand

f

est bijective,

f^{- 1}

désigne aussi l'application réciproque (cf. section 4), mais ce sont deux choses différentes : l'une est un ensemble, l'autre une application. Ne pas mélanger.

Théorème 2.3 — Propriétés des images directe et réciproque

Soit $f : E \to F$ . Pour toutes parties $A_{1}, A_{2} \subset E$ et $B_{1}, B_{2} \subset F$ :

Monotonie : $A_{1} \subset A_{2} \Rightarrow f (A_{1}) \subset f (A_{2})$ et $B_{1} \subset B_{2} \Rightarrow f^{- 1} (B_{1}) \subset f^{- 1} (B_{2})$ .
Image directe et réunion / intersection : $f (A_{1} \cup A_{2}) = f (A_{1}) \cup f (A_{2}), f (A_{1} \cap A_{2}) \subset f (A_{1}) \cap f (A_{2}) .$
Image réciproque et réunion / intersection (commute avec les deux) : $f^{- 1} (B_{1} \cup B_{2}) = f^{- 1} (B_{1}) \cup f^{- 1} (B_{2}), f^{- 1} (B_{1} \cap B_{2}) = f^{- 1} (B_{1}) \cap f^{- 1} (B_{2}) .$

⚠ Asymétrie à retenir absolument. L'image directe d'une intersection n'est en général qu'incluse dans l'intersection des images :

f (A_{1} \cap A_{2}) \subset f (A_{1}) \cap f (A_{2})

. Contre-exemple :

f : R \to R, x \mapsto x^{2}

A_{1} = {- 1}

A_{2} = {1}

. Alors

A_{1} \cap A_{2} = \emptyset

donc

f (A_{1} \cap A_{2}) = \emptyset

, mais

f (A_{1}) \cap f (A_{2}) = {1} \cap {1} = {1}

. L'égalité a lieu si

f

est injective (cf. section 3).

💡 Exemple — sin sur ℝ. Pour

f : R \to R

x \mapsto sin x

, on a

f ({0}) = {sin 0} = {0}

et :

f^{- 1} ({0}) = {x \in R ∣ sin x = 0} = π Z = {k π, k \in Z} .

On voit ici que l'image réciproque peut être beaucoup plus grosse qu'un singleton — c'est exactement ce qui empêche

sin

d'être injective sur

R

3. Injections, surjections, bijections

3.1 — Injection

Définition 3.1 — Application injective

Soit $f : E \to F$ . $f$ est dite injective (ou est une injection) si elle vérifie l'une des deux propriétés équivalentes :

\forall x, x^{'} \in E, x \neq = x^{'} ⟹ f (x) \neq = f (x^{'}),

\forall x, x^{'} \in E, f (x) = f (x^{'}) ⟹ x = x^{'} .

Autrement dit : deux éléments distincts ont des images distinctes, ou de façon équivalente, tout élément de $F$ a au plus un antécédent par $f$ : $\forall y \in F, f^{- 1} ({y}) \leq 1$ .

⚠ Confusion classique — ne pas écrire la définition d'une application. «

\forall x, x^{'}, x = x^{'} \Rightarrow f (x) = f (x^{'})

» est toujours vraie pour n'importe quelle application : c'est juste le fait que

f

est bien définie. La bonne forme pour l'injectivité est la contraposée :

f (x) = f (x^{'}) \Rightarrow x = x^{'}

. C'est la confusion n°1 dans les copies de début d'année.

📐 Méthode-type — Démontrer qu'une application est injective. Trois techniques au choix selon la nature de

f

Par contraposée (la plus utilisée) : on suppose $f (x) = f (x^{'})$ et on en déduit $x = x^{'}$ par calcul direct. C'est la méthode universelle.
Par monotonie stricte : si $E \subset R$ et $f$ est strictement monotone, alors $f$ est injective (cas particulier de la Prop 3.7).
Par l'antécédent unique : montrer que pour tout $y \in F$ , l'équation $f (x) = y$ admet au plus une solution.

3.2 — Surjection

Définition 3.2 — Application surjective

$f : E \to F$ est dite surjective (ou est une surjection) si tout élément de $F$ est l'image d'au moins un élément de $E$ :

\forall y \in F, \exists x \in E, f (x) = y .

De façon équivalente : $f (E) = F$ , ou encore $\forall y \in F, f^{- 1} ({y}) \neq = \emptyset$ .

⚠ Piège — l'ensemble d'arrivée compte. La surjectivité dépend de

F

x \mapsto x^{2}

R

dans

R

n'est pas surjective (les réels négatifs ne sont pas atteints), mais

x \mapsto x^{2}

R

dans

R_{+}

l'est. Toujours préciser l'ensemble d'arrivée quand on parle de surjectivité.

3.3 — Bijection

Définition 3.3 — Application bijective

$f : E \to F$ est dite bijective (ou est une bijection) si elle est à la fois injective et surjective. De façon équivalente :

\forall y \in F, \exists! x \in E, f (x) = y,

c'est-à-dire que tout élément de $F$ admet exactement un antécédent par $f$ .

📝 Lecture intuitive. Injection = on ne perd pas d'information (chaque image identifie son antécédent). Surjection = on couvre tout l'arrivée. Bijection = correspondance parfaite entre

E

F

, élément par élément. C'est ce qui permet de définir l'application réciproque

f^{- 1}

(section 4).

3.4 — Exemples canoniques

💡 Exemples classiques.

$x \mapsto x^{2}$ de $R$ dans $R$ : ni injective ( $f (- 1) = f (1) = 1$ ) ni surjective ( $- 1$ n'a pas d'antécédent).
$x \mapsto x^{2}$ de $R_{+}$ dans $R_{+}$ : bijective, de réciproque $y \mapsto y$ .
$x \mapsto e^{x}$ de $R$ dans $R$ : injective mais pas surjective (image = $R_{+}^{*}$ ).
$x \mapsto e^{x}$ de $R$ dans $R_{+}^{*}$ : bijective, de réciproque $ln$ .
$x \mapsto sin x$ de $R$ dans $[- 1, 1]$ : surjective mais pas injective ; restreinte à $[- π /2, π /2]$ , elle devient bijective (de réciproque $arcsin$ ).

3.5 — Composition et injection / surjection

Théorème 3.4 — Composition d'injections et de surjections ★ À savoir démontrer

Soient $f : E \to F$ et $g : F \to G$ . Alors :

Si $f$ et $g$ sont injectives, alors $g \circ f$ est injective.
Si $f$ et $g$ sont surjectives, alors $g \circ f$ est surjective.
Si $f$ et $g$ sont bijectives, alors $g \circ f$ est bijective.

Démonstration (deux contraposées + une chasse à l'antécédent)

Injectivité. Supposons $f$ et $g$ injectives. Soient $x, x^{'} \in E$ tels que $(g \circ f) (x) = (g \circ f) (x^{'})$ , c'est-à-dire $g (f (x)) = g (f (x^{'}))$ . Par injectivité de $g$ , $f (x) = f (x^{'})$ . Par injectivité de $f$ , $x = x^{'}$ . Donc $g \circ f$ est injective.

Surjectivité. Supposons $f$ et $g$ surjectives. Soit $z \in G$ . Par surjectivité de $g$ , il existe $y \in F$ tel que $g (y) = z$ . Par surjectivité de $f$ , il existe $x \in E$ tel que $f (x) = y$ . Alors $(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (y) = z$ . Donc $g \circ f$ est surjective.

Bijectivité. Conséquence immédiate : si $f$ et $g$ sont bijectives, elles sont en particulier injectives et surjectives, donc $g \circ f$ l'est aussi.

Proposition 3.5 — Réciproques partielles (très demandées en khôlle) ★ À savoir démontrer

Soient $f : E \to F$ et $g : F \to G$ .

Si $g \circ f$ est injective, alors $f$ est injective (mais pas forcément $g$ ).
Si $g \circ f$ est surjective, alors $g$ est surjective (mais pas forcément $f$ ).

Démonstration

Injectivité de f. Soient $x, x^{'} \in E$ tels que $f (x) = f (x^{'})$ . Alors $g (f (x)) = g (f (x^{'}))$ , soit $(g \circ f) (x) = (g \circ f) (x^{'})$ . Par injectivité de $g \circ f$ , $x = x^{'}$ . Donc $f$ est injective.

Surjectivité de g. Soit $z \in G$ . Par surjectivité de $g \circ f$ , il existe $x \in E$ tel que $(g \circ f) (x) = z$ , soit $g (f (x)) = z$ . Posant $y = f (x) \in F$ , on a bien $g (y) = z$ . Donc $g$ est surjective.

⚠ Subtilité fréquente en concours. Si

g \circ f

est injective, on ne peut pas en déduire que

g

est injective. Contre-exemple :

E = {0}

F = {0, 1}

G = {0}

f (0) = 0

g (0) = g (1) = 0

. Alors

g \circ f = Id_{E}

est injective, mais

g

ne l'est pas. Idem pour la surjectivité :

g \circ f

surjective n'implique pas

f

surjective.

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Le théorème 3.4 et ses réciproques partielles sont LE piège récurrent en khôlle MPSI. Connaître l'énoncé ne suffit pas : il faut savoir produire les contre-exemples au tableau, en moins d'une minute. En 1 séance avec un mentor Majorant alumni de l'X, tu maîtrises les 4 implications et les 2 contre-exemples pour de bon.

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4. Application réciproque d'une bijection

Théorème 4.1 — Existence et unicité de la réciproque ★ À savoir démontrer

Soit $f : E \to F$ une bijection. Alors il existe une unique application $g : F \to E$ , appelée application réciproque de $f$ et notée $f^{- 1}$ , telle que :

f \circ f^{- 1} = Id_{F} et f^{- 1} \circ f = Id_{E} .

Explicitement : pour tout $y \in F$ , $f^{- 1} (y)$ est l'unique antécédent de $y$ par $f$ , c'est-à-dire l'unique $x \in E$ tel que $f (x) = y$ .

Démonstration (existence par antécédent unique, unicité par calcul)

Existence. Soit $y \in F$ . Comme $f$ est surjective, il existe $x \in E$ tel que $f (x) = y$ ; comme $f$ est injective, ce $x$ est unique. Posons $g (y) = x$ : ceci définit une application $g : F \to E$ . Par construction, $f (g (y)) = f (x) = y$ pour tout $y \in F$ , soit $f \circ g = Id_{F}$ . Réciproquement, pour $x \in E$ , en posant $y = f (x)$ , on a $g (y) = x$ par unicité de l'antécédent, donc $g (f (x)) = x$ , soit $g \circ f = Id_{E}$ .

Unicité. Supposons que deux applications $g_{1}, g_{2} : F \to E$ vérifient toutes deux $f \circ g_{i} = Id_{F}$ et $g_{i} \circ f = Id_{E}$ . Alors :

g_{1} = g_{1} \circ Id_{F} = g_{1} \circ (f \circ g_{2}) = (g_{1} \circ f) \circ g_{2} = Id_{E} \circ g_{2} = g_{2},

en utilisant successivement la neutralité de l'identité, l'hypothèse sur $g_{2}$ , l'associativité, l'hypothèse sur $g_{1}$ et à nouveau la neutralité. Donc $g_{1} = g_{2}$ .

Théorème 4.2 — Caractérisation d'une bijection ★ À savoir démontrer

Soit $f : E \to F$ . $f$ est bijective si et seulement si il existe une application $g : F \to E$ telle que :

f \circ g = Id_{F} et g \circ f = Id_{E} .

Lorsque c'est le cas, $g$ est nécessairement la réciproque $f^{- 1}$ .

Démonstration (deux implications)

(⇒) Si $f$ est bijective, le théorème 4.1 fournit la réciproque $f^{- 1}$ comme $g$ cherchée.

(⇐) Supposons qu'il existe $g : F \to E$ avec $f \circ g = Id_{F}$ et $g \circ f = Id_{E}$ . Montrons que $f$ est bijective.

Injectivité : soient $x, x^{'} \in E$ tels que $f (x) = f (x^{'})$ . En appliquant $g$ : $g (f (x)) = g (f (x^{'}))$ , soit $(g \circ f) (x) = (g \circ f) (x^{'})$ , donc $Id_{E} (x) = Id_{E} (x^{'})$ , soit $x = x^{'}$ .

Surjectivité : soit $y \in F$ . Posons $x = g (y) \in E$ . Alors $f (x) = f (g (y)) = (f \circ g) (y) = Id_{F} (y) = y$ . Donc $y$ admet bien un antécédent par $f$ .

$f$ est ainsi injective et surjective, donc bijective. L'unicité de $g$ (théorème 4.1) force $g = f^{- 1}$ .

📐 Méthode-type — Démontrer qu'une application est bijective et calculer sa réciproque. Deux approches :

Approche directe : montrer séparément l'injectivité (contraposée) et la surjectivité (résoudre $f (x) = y$ pour tout $y$ ). La résolution te fournit gratuitement la formule de $f^{- 1}$ .
Approche par exhibition d'une réciproque (théorème 4.2) : deviner $g$ candidate, vérifier $f \circ g = Id_{F}$ et $g \circ f = Id_{E}$ . C'est souvent plus rapide quand $g$ est « visible » (logarithme face à l'exponentielle, racine face au carré sur $R_{+}$ , etc.).

En khôlle, l'approche 1 est attendue par défaut ; l'approche 2 est réservée aux cas où la réciproque est connue.

Proposition 4.3 — Propriétés de la réciproque

Si $f : E \to F$ est bijective, alors $f^{- 1} : F \to E$ est bijective, et $(f^{- 1})^{- 1} = f$ .
Si $f : E \to F$ et $g : F \to G$ sont bijectives, alors $g \circ f$ est bijective et : $(g \circ f)^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1} .$ Attention à l'ordre : la réciproque de la composée renverse l'ordre des facteurs.

⚠ Piège — ordre dans (g ∘ f)⁻¹. Beaucoup d'élèves écrivent

(g \circ f)^{- 1} = g^{- 1} \circ f^{- 1}

. FAUX. La bonne formule est

f^{- 1} \circ g^{- 1}

(les chaussettes avant les chaussures : pour défaire, on inverse l'ordre). Le calcul de vérification :

(g \circ f) \circ (f^{- 1} \circ g^{- 1}) = g \circ (f \circ f^{- 1}) \circ g^{- 1} = g \circ Id_{F} \circ g^{- 1} = g \circ g^{- 1} = Id_{G} .

5. Applications de ℝ dans ℝ — théorème de la bijection

Proposition 5.1 — Monotonie stricte et injectivité

Soit $I$ un intervalle de $R$ et $f : I \to R$ . Si $f$ est strictement monotone sur $I$ (strictement croissante OU strictement décroissante), alors $f$ est injective.

Démonstration (cas strictement croissante)

Supposons $f$ strictement croissante. Soient $x, x^{'} \in I$ avec $x \neq = x^{'}$ . Quitte à échanger les rôles, on peut supposer $x < x^{'}$ . La stricte croissance donne alors $f (x) < f (x^{'})$ , donc en particulier $f (x) \neq = f (x^{'})$ . Par contraposée, $f$ est injective.

📝 Réciproque sur un intervalle. Pour une application continue sur un intervalle, on a la réciproque : injective équivaut à strictement monotone. C'est une conséquence du théorème des valeurs intermédiaires (TVI). Cette équivalence est extrêmement utilisée en analyse — mais elle nécessite la continuité et l'intervalle ; sur

R ∖ {0}

x \mapsto 1/ x

est injective sans être monotone sur tout son ensemble de définition.

Théorème 5.2 — Théorème de la bijection

Soient $I$ un intervalle de $R$ et $f : I \to R$ une application continue et strictement monotone sur $I$ . Alors :

$J = f (I)$ est un intervalle de $R$ (image continue d'un intervalle, TVI).
$f$ réalise une bijection de $I$ sur $J$ .
L'application réciproque $f^{- 1} : J \to I$ est continue sur $J$ et a même sens de variation que $f$ .

📝 Comment on trouve J = f(I). Si

I = [a, b]

f

est continue strictement croissante, alors

J = [f (a), f (b)]

. Si

I =] a, b [

avec

a, b

éventuellement

\pm \infty

, on calcule les limites

ℓ_{a} = lim_{x \to a^{+}} f

ℓ_{b} = lim_{x \to b^{-}} f

, et

J =] ℓ_{a}, ℓ_{b} [

(cas strictement croissante). On adapte symétriquement pour le cas décroissant.

💡 Exemple — Bijection canonique d'arctan.

f : x \mapsto tan x

est continue et strictement croissante sur

] - π /2, π /2 [

, de limites

- \infty

+ \infty

aux bornes. Par le théorème de la bijection,

f

réalise une bijection de

] - π /2, π /2 [

sur

R

, de réciproque

arctan : R \to] - π /2, π /2 [

, elle aussi continue et strictement croissante. C'est la matrice de toutes les fonctions réciproques usuelles :

ln / exp

\cdot / x^{2}

sur

R_{+}

arcsin / sin

sur

[- π /2, π /2]

arccos / cos

sur

[0, π]

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves comportant des injections / surjections / bijections. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Définition de l'injectivité écrite à l'envers. Écrire «

\forall x, x^{'}, x = x^{'} \Rightarrow f (x) = f (x^{'})

» prouve juste que

f

est bien définie : c'est vrai pour n'importe quelle application. La bonne définition est la contraposée

f (x) = f (x^{'}) \Rightarrow x = x^{'}

. Les correcteurs sanctionnent automatiquement la mauvaise formule.

⚠ Erreur 2 — Oublier de préciser l'ensemble d'arrivée. «

f : x \mapsto x^{2}

est surjective » n'a aucun sens sans dire de

R

dans quoi. C'est faux si l'arrivée est

R

, vrai si c'est

R_{+}

. Toujours écrire

f : E \to F

en entier dans la première occurrence d'une application.

⚠ Erreur 3 — Confondre f⁻¹(B) (ensemble) et f⁻¹ (application).

f^{- 1} (B)

existe pour toute application

f

: c'est juste l'ensemble des antécédents. L'application

f^{- 1}

n'existe que si

f

est bijective. Si tu utilises

f^{- 1}

sans avoir prouvé la bijectivité, le correcteur barre.

⚠ Erreur 4 — Inverser l'ordre dans (g ∘ f)⁻¹. La formule juste est

(g \circ f)^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}

(et non

g^{- 1} \circ f^{- 1}

). Mnémonique : pour défaire deux opérations enchaînées, on les défait dans l'ordre inverse — comme on enlève chaussettes et chaussures.

⚠ Erreur 5 — Croire que g ∘ f injective implique g injective. Non : seule

f

hérite de l'injectivité (Prop 3.5). Symétriquement,

g \circ f

surjective n'implique que la surjectivité de

g

, pas celle de

f

. Les deux contre-exemples sont à connaître par cœur (cf. piège dédié en section 3.5).

7. Pour aller plus loin

Les notions d'injection / surjection / bijection sont l'infrastructure de presque toute l'algèbre et l'analyse MPSI. Les chapitres qui les réinvestissent directement :

Applications linéaires — une application linéaire $u : E \to F$ entre espaces vectoriels est injective ssi $ker u = {0}$ , surjective ssi $Im u = F$ . Toute la théorie de la dimension repose là-dessus (théorème du rang).
Fonctions usuelles (logarithme, arcsin, arccos, arctan) — chacune est construite comme réciproque d'une bijection établie par le théorème 5.2.
Dénombrement et cardinaux — deux ensembles ont même cardinal ssi il existe une bijection entre eux. C'est la base du calcul des permutations, arrangements, combinaisons.
Groupes et morphismes — un morphisme de groupes est un isomorphisme ssi il est bijectif. Les théorèmes d'isomorphisme reposent sur l'analyse fine des fibres $f^{- 1} ({y})$ .

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu écrire la définition d'une application $f : E \to F$ (ensembles de départ, d'arrivée, unicité de l'image) ?
Connais-tu la définition de l'image directe $f (A)$ et de l'image réciproque $f^{- 1} (B)$ — sans confondre avec la réciproque d'une bijection ?
Sais-tu pourquoi l'image directe d'une intersection n'est qu'incluse dans l'intersection des images, et donner le contre-exemple ?
Sais-tu écrire les deux formes équivalentes de l'injectivité (et NE PAS écrire l'identité $x = x^{'} \Rightarrow f (x) = f (x^{'})$ ) ?
Sais-tu démontrer par contraposée qu'une application donnée est injective ?
Sais-tu démontrer que la composée de deux injections est une injection, et idem pour les surjections ?
Connais-tu les réciproques partielles ( $g \circ f$ injective ⇒ $f$ injective, $g \circ f$ surjective ⇒ $g$ surjective) et leurs contre-exemples ?
Sais-tu démontrer l'unicité de la réciproque d'une bijection, en utilisant associativité + neutralité de Id ?
Sais-tu démontrer l'équivalence : $f$ bijective ⇔ il existe $g$ telle que $f \circ g = Id_{F}$ et $g \circ f = Id_{E}$ ?
Connais-tu la formule $(g \circ f)^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}$ (et la mnémonique de l'ordre inversé) ?
Sais-tu énoncer le théorème de la bijection sur ℝ et l'appliquer pour construire $arctan, arcsin, ln$ ?

Démonstrations à savoir refaire

Composition de deux injections / surjections — chaînage de contraposées + chasse à l'antécédent
Réciproques partielles de la composition — $g \circ f$ injective ⇒ $f$ injective, et la symétrique surjective
Existence et unicité de la réciproque d'une bijection — antécédent unique + calcul $g_{1} = g_{1} \circ Id = \dots = g_{2}$
Caractérisation d'une bijection par une réciproque à gauche et à droite — deux implications via injectivité / surjectivité

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Généralités sur les applications

2. Images directe et réciproque

3. Injections, surjections, bijections

3.1 — Injection

3.2 — Surjection

3.3 — Bijection

3.4 — Exemples canoniques

3.5 — Composition et injection / surjection

4. Application réciproque d'une bijection

5. Applications de ℝ dans ℝ — théorème de la bijection

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

7. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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Tu veux aller plus loin sur ce chapitre ?