Espérance et variance

Vue d'ensemble

L'espérance et la variance sont les deux indicateurs synthétiques d'une variable aléatoire discrète finie : l'espérance $E (X)$ en mesure la valeur moyenne (le « centre de gravité » de la loi), la variance $V (X)$ la dispersion autour de cette moyenne. C'est le dernier chapitre de l'année MPSI et le pont direct vers les probabilités de spé : couples, indépendance, lois usuelles. Cette fiche couvre les 9 propriétés incontournables, les 4 démonstrations à savoir refaire et les inégalités de concentration (Markov, Bienaymé-Tchebychev) qui reviennent en concours.

Au programme MPSI (officiel) — Variables aléatoires discrètes finies : espérance, formule de transfert, linéarité, positivité, monotonie ; variance, écart-type, formule de Köenig-Huygens, propriétés de

V (a X + b)

; lois usuelles (Bernoulli, binomiale, uniforme discrète) et leurs espérances/variances ; inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev ; covariance, variance d'une somme, conséquence pour les variables indépendantes.

Prérequis

Variables aléatoires discrètes finies : univers $Ω$ fini, $X (Ω)$ , loi de $X$ (les $P (X = x_{k})$ )
Sommes finies $\sum_{k = 1}^{n}$ et manipulation des indices (changement d'indice, factorisation)
Indépendance d'événements et de variables aléatoires ( $P (X = x, Y = y) = P (X = x) P (Y = y)$ )
Lois usuelles : Bernoulli $B (p)$ , binomiale $B (n, p)$ , uniforme sur ${1, \dots, n}$

🎯 Accompagnement Majorant

Le dernier chapitre du programme — celui qu'on bâcle juste avant les concours. C'est pourtant LE chapitre qui rapporte le plus en oral (questions de cours flash sur Markov, Tchebychev, variance d'une somme). Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te verrouillent les 4 démos à savoir et les pièges de calcul en cours particuliers, sur tes propres DS.

Trouver un mentor MPSI →

1. Définitions essentielles

On se place dans tout ce chapitre sur un espace probabilisé fini $(Ω, P)$ et on considère des variables aléatoires $X : Ω \to R$ à valeurs dans un ensemble fini $X (Ω) = {x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}$ .

Définition 1.1 — Espérance d'une variable aléatoire discrète finie

L'espérance de $X$ est le réel :

E (X) = k = 1 \sum n x_{k} \cdot P (X = x_{k}) = x \in X (Ω) \sum x \cdot P (X = x) .

C'est la moyenne pondérée des valeurs prises par $X$ , pondérées par leurs probabilités d'apparition. On dit que $X$ est centrée si $E (X) = 0$ .

📝 Interprétation fréquentiste. Si tu répètes l'expérience

N

fois indépendamment et notes

\overset{ˉ}{X}_{N}

la moyenne empirique, alors

\overset{ˉ}{X}_{N} \to E (X)

quand

N \to + \infty

(loi des grands nombres, vue en spé). L'espérance est la valeur vers laquelle converge la moyenne expérimentale.

Définition 1.2 — Variance et écart-type

La variance de $X$ est :

V (X) = E ((X - E (X))^{2}) = k = 1 \sum n (x_{k} - E (X))^{2} \cdot P (X = x_{k}) .

C'est l'espérance du carré de l'écart à la moyenne — un réel toujours positif. L'écart-type de $X$ est $σ (X) = V (X)$ , homogène à $X$ (même unité), contrairement à la variance qui est en unité au carré.

Définition 1.3 — Moment d'ordre r

Le moment d'ordre $r$ de $X$ (pour $r \in N^{*}$ ) est $m_{r} (X) = E (X^{r}) = \sum_{k} x_{k}^{r} \cdot P (X = x_{k})$ . En particulier $m_{1} (X) = E (X)$ , $m_{2} (X) = E (X^{2})$ et $V (X) = m_{2} (X) - m_{1} (X)^{2}$ (Köenig).

Définition 1.4 — Covariance de deux variables

Pour deux variables $X, Y$ sur le même espace probabilisé fini, la covariance est :

Cov (X, Y) = E ((X - E (X)) (Y - E (Y))) .

Elle mesure la tendance de $X$ et $Y$ à varier dans le même sens (covariance positive) ou dans des sens opposés (covariance négative). Cas particulier : $Cov (X, X) = V (X)$ .

Définition 1.5 — Coefficient de corrélation

Si $V (X) > 0$ et $V (Y) > 0$ , le coefficient de corrélation linéaire est $ρ (X, Y) = \frac{Cov ( X , Y )}{σ ( X ) σ ( Y )} \in [- 1, 1]$ . C'est une covariance normalisée sans unité ; $ρ = \pm 1$ ssi $Y$ est une fonction affine de $X$ presque sûrement.

⚠ Piège #1 du chapitre — confondre variance et écart-type.

V (X)

est en unité au carré (si

X

est en mètres,

V (X)

est en m²) ;

σ (X)

est en unité simple. Quand on écrit «

X

est concentrée à

σ

près autour de sa moyenne », c'est l'écart-type qu'on utilise — pas la variance. C'est aussi pour ça que Bienaymé-Tchebychev est souvent écrit avec

ε = k σ (X)

P (∣ X - E (X) ∣ \geq k σ (X)) \leq 1/ k^{2}

2. Propriétés de l'espérance et de la variance

2.1 — Propriétés de l'espérance

Proposition 2.1 — Espérance d'une constante

Pour tout réel $c \in R$ et la variable aléatoire constante $X = c$ (i.e. $P (X = c) = 1$ ), on a $E (c) = c$ .

Théorème 2.2 — Linéarité de l'espérance ★ À savoir démontrer

Pour toutes variables aléatoires $X, Y$ sur le même espace probabilisé fini et tous réels $a, b \in R$ :

E (a X + bY) = a E (X) + b E (Y) .

Remarque cruciale : cette égalité est valable sans aucune hypothèse d'indépendance sur $X$ et $Y$ . C'est ce qui rend la linéarité de l'espérance si puissante en combinatoire probabiliste.

Démonstration (à partir de la définition + transfert)

On utilise la formule de transfert appliquée au couple $(X, Y)$ sur l'univers $Ω$ (qui est fini). On revient à la définition de l'espérance par sommation sur $Ω$ :

E (a X + bY) = ω \in Ω \sum (a X (ω) + bY (ω)) P ({ω}) .

On distribue la somme et on factorise $a$ et $b$ , ce qui donne :

E (a X + bY) = a ω \in Ω \sum X (ω) P ({ω}) + b ω \in Ω \sum Y (ω) P ({ω}) .

Or par définition (et formule de transfert avec $f = id$ ) : $\sum_{ω} X (ω) P ({ω}) = E (X)$ et idem pour $Y$ . D'où $E (a X + bY) = a E (X) + b E (Y)$ .

Cas particuliers utiles : $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ , $E (λ X) = λ E (X)$ , $E (X + c) = E (X) + c$ pour $c \in R$ .

Proposition 2.3 — Positivité et monotonie

Positivité : si $X \geq 0$ (presque sûrement, i.e. $P (X \geq 0) = 1$ ), alors $E (X) \geq 0$ .
Monotonie : si $X \leq Y$ (presque sûrement), alors $E (X) \leq E (Y)$ .

Démonstration immédiate : la positivité découle de $E (X) = \sum x_{k} \cdot P (X = x_{k})$ où chaque $x_{k} \geq 0$ et chaque $P (X = x_{k}) \geq 0$ . La monotonie en découle en appliquant la positivité à $Y - X \geq 0$ puis la linéarité.

Théorème 2.4 — Formule de transfert

Pour toute fonction $f : X (Ω) \to R$ , la variable $f (X)$ a pour espérance :

E (f (X)) = k = 1 \sum n f (x_{k}) \cdot P (X = x_{k}) .

Ce résultat est fondamental : il permet de calculer $E (f (X))$ sans avoir à déterminer la loi de $f (X)$ . En particulier $E (X^{2}) = \sum_{k} x_{k}^{2} \cdot P (X = x_{k})$ .

2.2 — Propriétés de la variance

Théorème 2.5 — Formule de Köenig-Huygens ★ À savoir démontrer

Pour toute variable aléatoire $X$ discrète finie :

V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} .

C'est la formule de calcul de la variance en pratique : on calcule $E (X)$ et $E (X^{2})$ séparément (par transfert), puis on soustrait.

Démonstration (par développement + linéarité)

On part de la définition $V (X) = E ((X - E (X))^{2})$ . Notons $μ = E (X)$ (réel fixé). On développe le carré :

(X - μ)^{2} = X^{2} - 2 μ X + μ^{2} .

En appliquant la linéarité de l'espérance (Théorème 2.2) et le fait que $E (μ^{2}) = μ^{2}$ (espérance d'une constante, Prop 2.1) :

V (X) = E (X^{2}) - 2 μ \cdot E (X) + μ^{2} = E (X^{2}) - 2 μ^{2} + μ^{2} = E (X^{2}) - μ^{2} .

Soit $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ . En particulier, comme $V (X) \geq 0$ (somme de carrés pondérée par des probabilités), on obtient au passage l'inégalité de Cauchy-Schwarz scalaire : $E (X)^{2} \leq E (X^{2})$ .

Proposition 2.6 — Variance d'une transformation affine

Pour tous $a, b \in R$ :

V (a X + b) = a^{2} \cdot V (X), σ (a X + b) = ∣ a ∣ \cdot σ (X) .

Interprétation : ajouter une constante $b$ ne change pas la dispersion (translation du nuage de points) ; multiplier par $a$ dilate l'écart-type d'un facteur $∣ a ∣$ , donc la variance d'un facteur $a^{2}$ .

⚠ Piège classique — la variance n'est PAS linéaire.

V (a X + b) = a^{2} V (X)

, pas

aV (X) + b

. Et surtout, en général

V (X + Y) \neq = V (X) + V (Y)

: il y a un terme de covariance ! (voir Théorème 3.6.) Cette erreur est sanctionnée à chaque DS quand on calcule la variance d'une somme sans vérifier l'indépendance.

Proposition 2.7 — Caractérisation des variables presque sûrement constantes

$V (X) = 0$ si et seulement si $X$ est presque sûrement constante, c'est-à-dire qu'il existe $c \in R$ tel que $P (X = c) = 1$ (et alors $c = E (X)$ ).

Démonstration : $V (X) = \sum_{k} (x_{k} - E (X))^{2} \cdot P (X = x_{k}) = 0$ est une somme de termes positifs nulle, donc chaque terme est nul. Pour chaque $k$ , soit $P (X = x_{k}) = 0$ , soit $x_{k} = E (X)$ — il n'y a donc qu'une valeur $x_{k}$ avec probabilité non nulle, et elle vaut $E (X)$ .

📐 Méthode-type — Calculer V(X) en pratique.

Identifier la loi de $X$ (tableau des $x_{k}$ et $P (X = x_{k})$ ).
Calculer $E (X)$ par la définition : $\sum_{k} x_{k} \cdot P (X = x_{k})$ .
Calculer $E (X^{2})$ par transfert : $\sum_{k} x_{k}^{2} \cdot P (X = x_{k})$ .
Appliquer Köenig : $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ .
Écart-type : $σ (X) = V (X)$ , à donner si demandé.

Ne calcule jamais $V (X)$ par la définition directe $\sum_{k} (x_{k} - E (X))^{2} P (X = x_{k})$ sauf si

E (X)

est un entier simple : c'est plus long, plus piégeux, et fait apparaître des termes croisés qui produisent des erreurs.

3. Covariance et variance d'une somme

Proposition 3.1 — Formule de Köenig pour la covariance

Pour toutes variables $X, Y$ sur le même espace probabilisé fini : $Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$ . Démonstration : en développant $(X - E (X)) (Y - E (Y)) = X Y - E (X) Y - X E (Y) + E (X) E (Y)$ puis en appliquant la linéarité de l'espérance, on obtient le résultat (calcul calqué sur la démo de Köenig pour la variance).

Proposition 3.2 — Propriétés de la covariance

Symétrie : $Cov (X, Y) = Cov (Y, X)$ .
Bilinéarité : $Cov (a X + b X^{'}, Y) = a Cov (X, Y) + b Cov (X^{'}, Y)$ et idem à droite.
Lien variance : $Cov (X, X) = V (X)$ .
Covariance avec une constante : $Cov (X, c) = 0$ pour tout $c \in R$ .

Théorème 3.3 — Indépendance entraîne covariance nulle

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors :

E (X Y) = E (X) E (Y), donc Cov (X, Y) = 0.

⚠ Piège majeur — la réciproque est FAUSSE.

Cov (X, Y) = 0

n'entraîne pas que

X

Y

sont indépendantes. Contre-exemple culte : soit

X

uniforme sur

{- 1, 0, 1}

Y = X^{2}

. Alors

E (X) = 0

, donc

E (X Y) = E (X^{3}) = 0 = E (X) E (Y)

, soit

Cov (X, Y) = 0

. Pourtant

Y

est une fonction déterministe de

X

, donc clairement pas indépendante :

P (Y = 1 ∣ X = 1) = 1 \neq = P (Y = 1) = 2/3

. La covariance ne capte que la dépendance linéaire.

Théorème 3.4 — Variance d'une somme

Pour deux variables $X, Y$ sur le même espace probabilisé fini :

V (X + Y) = V (X) + 2 Cov (X, Y) + V (Y) .

Plus généralement, pour $n$ variables $X_{1}, \dots, X_{n}$ :

V (i = 1 \sum n X_{i}) = i = 1 \sum n V (X_{i}) + 2 1 \leq i < j \leq n \sum Cov (X_{i}, X_{j}) .

Corollaire 3.5 — Variance d'une somme de variables indépendantes

Si $X_{1}, \dots, X_{n}$ sont deux à deux indépendantes (pas besoin de l'indépendance mutuelle ici, juste 2 à 2), alors toutes les covariances croisées sont nulles et :

V (i = 1 \sum n X_{i}) = i = 1 \sum n V (X_{i}) .

C'est ce résultat qui permet, par exemple, de calculer la variance d'une binomiale en la décomposant en somme de Bernoulli indépendantes (voir Théorème 4.4).

🧑‍🏫 Décortique la covariance avec un mentor

« Si Cov(X,Y) = 0 alors X et Y sont indépendantes » — l'erreur n°1 du chapitre. Cette réciproque fausse coûte des points en DS chaque année. En 1 séance ciblée, un mentor Majorant alumni X · Centrale · Mines te fait construire toi-même 3 contre-exemples et verrouille définitivement la distinction.

Réserver une séance ciblée →

4. Lois usuelles — espérances et variances

Théorème 4.1 — Loi de Bernoulli

Si $X \sim B (p)$ , c'est-à-dire $P (X = 1) = p$ et $P (X = 0) = 1 - p$ , alors :

E (X) = p, V (X) = p (1 - p) .

Démonstration : $E (X) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) = p$ . Et $X^{2} = X$ (car $X$ prend les valeurs $0$ ou $1$ ), donc $E (X^{2}) = E (X) = p$ , d'où par Köenig $V (X) = p - p^{2} = p (1 - p)$ .

💡 Exemple — Maximum de la variance de Bernoulli. La fonction

p \mapsto p (1 - p)

est maximale en

p = 1/2

, où elle vaut

1/4

. La variance d'une Bernoulli est donc maximale quand la pièce est équilibrée (

p = 1/2

) et minimale (nulle) quand

p = 0

p = 1

(issue déterministe). C'est cohérent : une pièce truquée à

p = 0, 99

est presque déterministe, donc peu dispersée.

Théorème 4.2 — Loi binomiale ★ À savoir démontrer

Si $X \sim B (n, p)$ , c'est-à-dire $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ pour $0 \leq k \leq n$ , alors :

E (X) = n p, V (X) = n p (1 - p) .

Démonstration (par décomposition en somme de Bernoulli)

Idée fondamentale : une variable binomiale $B (n, p)$ compte le nombre de succès dans $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$ . On peut donc écrire :

X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n},

où $X_{1}, \dots, X_{n}$ sont $n$ variables $B (p)$ indépendantes ( $X_{i} = 1$ si la $i$ -ème épreuve est un succès, $0$ sinon).

Calcul de l'espérance — Par linéarité (Théorème 2.2), sans hypothèse :

E (X) = i = 1 \sum n E (X_{i}) = i = 1 \sum n p = n p .

Calcul de la variance — Comme les $X_{i}$ sont indépendantes (et a fortiori deux à deux indépendantes), le Corollaire 3.5 donne :

V (X) = i = 1 \sum n V (X_{i}) = i = 1 \sum n p (1 - p) = n p (1 - p) .

Remarque — On pourrait aussi calculer $E (X)$ et $E (X^{2})$ directement par sommation avec les coefficients binomiaux et la formule du binôme dérivée, mais cette méthode est beaucoup plus longue. La décomposition en somme de Bernoulli est l'argument à connaître : il généralise à toutes les lois « comptage » (hypergéométrique en spé, etc.).

Proposition 4.3 — Loi uniforme discrète sur {1, …, n}

Si $X$ suit la loi uniforme sur ${1, 2, \dots, n}$ (c'est-à-dire $P (X = k) = 1/ n$ pour tout $k \in {1, \dots, n}$ ), alors :

E (X) = \frac{n + 1}{2}, V (X) = \frac{n ^{2} - 1}{12} .

Démonstration — Pour l'espérance : $E (X) = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} k = \frac{1}{n} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{n + 1}{2}$ . Pour la variance, on utilise Köenig : $E (X^{2}) = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{1}{n} \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} = \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$ , puis :

V (X) = \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} - \frac{( n + 1 ) ^{2}}{4} = \frac{( n + 1 ) ( 2 ( 2 n + 1 ) - 3 ( n + 1 ) )}{12} = \frac{( n + 1 ) ( n - 1 )}{12} = \frac{n ^{2} - 1}{12} .

📝 Mnémo des lois usuelles. À mémoriser comme un tableau de multiplication :

Bernoulli $B (p)$ : $E = p$ , $V = p (1 - p)$
Binomiale $B (n, p)$ : $E = n p$ , $V = n p (1 - p)$ — « $n$ fois Bernoulli »
Uniforme sur ${1, \dots, n}$ : $E = (n + 1) /2$ , $V = (n^{2} - 1) /12$ — penser au dé à $n$ faces

Test rapide pour le dé à 6 faces :

E = 3, 5

V = 35/12 \approx 2, 92

σ \approx 1, 71

5. Inégalités de concentration — Markov et Bienaymé-Tchebychev

Les inégalités de concentration majorent la probabilité que $X$ s'écarte « beaucoup » de sa moyenne, en fonction de $E (X)$ ou $V (X)$ . Elles sont le pont vers la loi des grands nombres et reviennent chaque année en oral de concours.

Théorème 5.1 — Inégalité de Markov

Soit $X$ une variable aléatoire discrète finie à valeurs positives ( $X \geq 0$ ). Pour tout $a > 0$ :

P (X \geq a) \leq \frac{E ( X )}{a} .

Démonstration (par décomposition de l'espérance)

On part de la définition de l'espérance, en séparant les termes selon que $x_{k} \geq a$ ou $x_{k} < a$ :

E (X) = x_{k} \geq a \sum x_{k} P (X = x_{k}) + x_{k} < a \sum x_{k} P (X = x_{k}) .

La seconde somme est positive ou nulle (car $X \geq 0$ ), donc :

E (X) \geq x_{k} \geq a \sum x_{k} P (X = x_{k}) \geq x_{k} \geq a \sum a P (X = x_{k}) = a P (X \geq a) .

En divisant par $a > 0$ , on obtient $P (X \geq a) \leq E (X) / a$ .

Théorème 5.2 — Inégalité de Bienaymé-Tchebychev ★ À savoir démontrer

Pour toute variable aléatoire discrète finie $X$ et tout $ε > 0$ :

P (∣ X - E (X) ∣ \geq ε) \leq \frac{V ( X )}{ε ^{2}} .

Démonstration (Markov appliqué à (X-E(X))²)

Posons $Y = (X - E (X))^{2}$ . Alors $Y \geq 0$ , donc on peut appliquer l'inégalité de Markov (Théorème 5.1) à $Y$ avec $a = ε^{2} > 0$ :

P (Y \geq ε^{2}) \leq \frac{E ( Y )}{ε ^{2}} .

Or par définition $E (Y) = E ((X - E (X))^{2}) = V (X)$ . De plus, $Y \geq ε^{2}$ si et seulement si $(X - E (X))^{2} \geq ε^{2}$ , c'est-à-dire $∣ X - E (X) ∣ \geq ε$ (en prenant la racine carrée, valide car $ε > 0$ ). Donc :

P (∣ X - E (X) ∣ \geq ε) = P (Y \geq ε^{2}) \leq \frac{V ( X )}{ε ^{2}} .

💡 Exemple — Application en k écarts-types. En posant

ε = k σ (X)

(avec

k > 0

), Bienaymé-Tchebychev donne :

P (∣ X - E (X) ∣ \geq k σ (X)) \leq \frac{1}{k ^{2}} .

Donc moins de

25%

des réalisations s'écartent de plus de

2 σ

de la moyenne, moins de

11%

de plus de

3 σ

. C'est une majoration universelle (valable pour toute loi), mais souvent grossière (pour une loi normale,

P (∣ X - μ ∣ \geq 2 σ) \approx 5%

, pas 25%).

📐 Méthode-type — Appliquer Markov ou Tchebychev.

Identifier la quantité à majorer : si c'est $P (X \geq a)$ avec $X \geq 0$ , Markov. Si c'est $P (∣ X - E (X) ∣ \geq ε)$ , Bienaymé-Tchebychev.
Vérifier les hypothèses : Markov exige $X \geq 0$ et $a > 0$ ; Tchebychev exige juste $ε > 0$ (mais nécessite que $V (X)$ existe).
Calculer $E (X)$ (Markov) ou $V (X)$ (Tchebychev) via les méthodes du §2.
Appliquer la formule et conclure.

Astuce concours : si l'énoncé demande de majorer une probabilité de la forme

P (∣ S_{n} / n - μ ∣ \geq ε)

où

S_{n}

est une somme de variables indépendantes, c'est toujours Bienaymé-Tchebychev — c'est la première brique de la loi des grands nombres.

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves d'algèbre/probabilités. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Appliquer V(X+Y) = V(X) + V(Y) sans vérifier l'indépendance. En toute généralité,

V (X + Y) = V (X) + 2 Cov (X, Y) + V (Y)

. L'égalité

V (X + Y) = V (X) + V (Y)

n'est valable que si

Cov (X, Y) = 0

, donc en particulier si

X

Y

sont indépendantes (mais pas seulement — cf. réciproque fausse). Le correcteur cherche systématiquement la justification.

⚠ Erreur 2 — Confondre l'indépendance et la covariance nulle.

Cov (X, Y) = 0

n'implique pas que

X

Y

sont indépendantes. La réciproque est fausse (contre-exemple :

X

uniforme sur

{- 1, 0, 1}

Y = X^{2}

). En revanche,

X ⊥ ⊥ Y \Rightarrow Cov (X, Y) = 0

est vrai. Cette confusion sens direct/sens réciproque coûte cher en oral.

⚠ Erreur 3 — Appliquer Markov à une variable de signe quelconque. Markov exige

X \geq 0

presque sûrement. Sur une variable centrée

X - E (X)

(qui prend des valeurs négatives), Markov ne s'applique pas directement — il faut soit l'appliquer à

∣ X - E (X) ∣

, soit (mieux) à

(X - E (X))^{2}

(ce qui donne Tchebychev). Beaucoup d'élèves « oublient » l'hypothèse de positivité.

⚠ Erreur 4 — Calculer V(X) par la définition directe. Écrire

V (X) = \sum_{k} (x_{k} - E (X))^{2} \cdot P (X = x_{k})

avec

E (X)

non entier ou fractionnaire donne des calculs énormes et des erreurs d'arithmétique. Toujours passer par Köenig : calculer

E (X)

, puis

E (X^{2})

(par transfert avec

f = x \mapsto x^{2}

), puis

V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}

. Une seule soustraction à la fin, zéro développement.

⚠ Erreur 5 — Oublier le carré dans V(aX+b).

V (a X + b) = a^{2} V (X)

, pas

aV (X)

∣ a ∣ V (X)

. Et

b

disparaît (translation ne change pas la dispersion). Erreur tellement classique qu'elle apparaît dans 1 rapport de jury sur 2 — fais-en un réflexe : «variance = quadratique en a, indépendante de b ».

7. Pour aller plus loin

L'espérance et la variance des variables discrètes finies sont la première marche de la théorie des probabilités. Les chapitres qui les réinvestissent directement, dès la spé :

Variables aléatoires discrètes infinies (PSI/PC/MP, 2e année) — Lois géométrique, de Poisson : $E$ et $V$ calculées par sommation de séries ( $\sum k q^{k}$ , $\sum k^{2} e^{- λ} λ^{k} / k!$ ).
Variables à densité (2e année) — Espérance par intégrale $E (X) = \int_{R} x f (x) d x$ , variance idem ; lois uniforme, exponentielle, normale.
Couples et indépendance (2e année) — Loi jointe, lois marginales, covariance et matrice de covariance, généralisation de $V (\sum X_{i})$ .
Loi des grands nombres (faible) — Application directe de Bienaymé-Tchebychev : si $X_{1}, \dots, X_{n}$ iid d'espérance $μ$ et variance $σ^{2}$ , alors $P (∣ \overset{ˉ}{X}_{n} - μ ∣ \geq ε) \leq σ^{2} / (n ε^{2}) \to 0$ . C'est le fondement de toute la statistique.
Théorème central limite (vu hors-programme MPSI, central en stat) — Précise Bienaymé-Tchebychev : la loi de $n (\overset{ˉ}{X}_{n} - μ) / σ$ converge vers une loi normale standard.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Dernier chapitre du programme MPSI — celui qui tombe en oral surprise et en question de cours. Parcours cette checklist la veille de ta khôlle ou de ton DS : chaque réponse doit être un « oui, sans hésiter ».

Sais-tu écrire la définition de $E (X)$ comme somme pondérée sur $X (Ω)$ ?
Sais-tu démontrer la linéarité de l'espérance (sans hypothèse d'indépendance) ?
Connais-tu la formule de transfert $E (f (X)) = \sum_{k} f (x_{k}) P (X = x_{k})$ et sais-tu l'utiliser pour calculer $E (X^{2})$ ?
Sais-tu démontrer la formule de Köenig-Huygens $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ ?
Connais-tu $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ — et l'erreur classique « j'oublie le carré » ?
Sais-tu démontrer $E (X) = n p$ et $V (X) = n p (1 - p)$ pour une binomiale par décomposition en somme de Bernoulli indépendantes ?
Connais-tu par cœur $E$ et $V$ pour Bernoulli, binomiale, uniforme sur ${1, \dots, n}$ ?
Sais-tu énoncer Markov (hypothèse $X \geq 0$ !) et l'utiliser ?
Sais-tu démontrer Bienaymé-Tchebychev à partir de Markov appliqué à $(X - E (X))^{2}$ ?
Connais-tu $V (X + Y) = V (X) + 2 Cov (X, Y) + V (Y)$ — et le contre-exemple à la réciproque $Cov = 0 \neq \Rightarrow$ indépendance ?
Sais-tu redire que $V (X) = 0 \Leftrightarrow X$ est presque sûrement constante ?

Démonstrations à savoir refaire

Linéarité de l'espérance — sommation sur $Ω$ + factorisation par linéarité de la somme finie
Formule de Köenig-Huygens — développer $(X - μ)^{2}$ puis linéarité de l'espérance
Espérance et variance de la binomiale — décomposition $X = \sum X_{i}$ en Bernoulli indépendantes
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev — appliquer Markov à $(X - E (X))^{2}$ avec seuil $ε^{2}$

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Définitions essentielles

2. Propriétés de l'espérance et de la variance

2.1 — Propriétés de l'espérance

2.2 — Propriétés de la variance

3. Covariance et variance d'une somme

4. Lois usuelles — espérances et variances

5. Inégalités de concentration — Markov et Bienaymé-Tchebychev

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

7. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

Fiches associées

Nombres réels

Suites numériques

Généralités sur les fonctions

Limites et continuité

Fonctions dérivables

Logarithmes, exponentielles et puissances

Tu veux aller plus loin sur ce chapitre ?