Topologie des evn : normes, suites, ouverts et fermés

Vue d'ensemble

La topologie des espaces vectoriels normés généralise à TOUS les espaces (suites, fonctions, matrices) le vocabulaire des limites construit en sup sur $R$ : une norme mesure les tailles, des boules définissent la proximité, les ouverts et fermés décrivent la forme des ensembles. C'est le chapitre le plus « nouveau langage » de l'année — et l'investissement le plus rentable, car toute l'analyse de spé (suites de fonctions, séries, calcul différentiel) parlera cette langue. Ce premier volet couvre normes, suites, ouverts, fermés et adhérence. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Topologie des espaces vectoriels normés, premier volet : normes et distances associées, boules, parties bornées, normes usuelles sur

K^{n}

et sur les espaces de fonctions ; suites convergentes, équivalence des normes (définition, cas de la dimension finie admis à ce stade) ; ouverts, fermés, intérieur, adhérence, caractérisation séquentielle des fermés et des points adhérents.

Prérequis

Suites numériques de sup : convergence, unicité de la limite, opérations
Espaces préhilbertiens : norme euclidienne, Cauchy-Schwarz
Bornes supérieures dans ℝ (pour la norme infinie)

🎯 Accompagnement Majorant

Ouvert, fermé, adhérence : tu récites sans visualiser ? La topologie se comprend avec des dessins et trois exemples bien choisis par notion. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines t'installent les images mentales — puis les réflexes de rédaction séquentielle qui font les points aux écrits.

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1. Normes, boules, parties bornées

Définition 1.1 — Norme

Une norme sur un $K$ -espace vectoriel $E$ ( $K = R$ ou $C$ ) est une application $N : E \to R_{+}$ vérifiant :

séparation : $N (x) = 0 ⟺ x = 0$ ;
homogénéité : $N (λ x) = ∣ λ ∣ N (x)$ ;
inégalité triangulaire : $N (x + y) \leq N (x) + N (y)$ .

On en déduit l'inégalité triangulaire inverse : $∣ N (x) - N (y) ∣ \leq N (x - y)$ . La distance associée est $d (x, y) = N (x - y)$ .

Définition 1.2 — Les trois normes usuelles

Sur $K^{n}$ , pour $x = (x_{1}, \dots, x_{n})$ :

∥ x ∥_{1} = i = 1 \sum n ∣ x_{i} ∣, ∥ x ∥_{2} = i = 1 \sum n ∣ x_{i} ∣^{2}, ∥ x ∥_{\infty} = 1 \leq i \leq n max ∣ x_{i} ∣.

Sur $C ([a, b], K)$ , leurs analogues : $∥ f ∥_{1} = \int_{a}^{b} ∣ f ∣$ , $∥ f ∥_{2} = \int_{a}^{b} ∣ f ∣^{2}$ , et la norme de la convergence uniforme $∥ f ∥_{\infty} = sup_{[a, b]} ∣ f ∣$ .

Définition 1.3 — Boules et parties bornées

Boule ouverte : $B (a, r) = {x, N (x - a) < r}$ ; boule fermée : $\overset{ˉ}{B} (a, r) = {x, N (x - a) \leq r}$ . Une partie $A$ est bornée si elle est incluse dans une boule : $\exists M, \forall x \in A, N (x) \leq M$ . La forme des boules dépend de la norme : carré pour $∥ \cdot ∥_{\infty}$ , losange pour $∥ \cdot ∥_{1}$ , disque pour $∥ \cdot ∥_{2}$ (dessins à savoir refaire dans le plan).

💡 Vérifier qu'une application est une norme : le point dur. Pour

∥ f ∥_{1} = \int_{0}^{1} ∣ f ∣

sur

C ([0, 1])

, la séparation exige : si

\int_{0}^{1} ∣ f ∣ = 0

avec

f

CONTINUE, alors

f = 0

— argument : si

f (x_{0}) \neq = 0

, par continuité

∣ f ∣ \geq \frac{∣ f ( x _{0} ) ∣}{2} > 0

sur un segment autour de

x_{0}

, d'où une intégrale strictement positive. Sans la continuité, la séparation tombe : c'est LE point que testent les énoncés.

2. Suites convergentes et équivalence des normes

Définition 2.1 — Convergence dans un evn

La suite $(u_{n})$ de $E$ converge vers $ℓ \in E$ (pour la norme $N$ ) si $N (u_{n} - ℓ) \to 0$ dans $R$ :

\forall ε > 0, \exists n_{0}, \forall n \geq n_{0}, N (u_{n} - ℓ) \leq ε .

Les théorèmes de sup se transportent : unicité de la limite, toute suite convergente est bornée, combinaisons linéaires de suites convergentes. En revanche, PAS de théorèmes d'ordre (gendarmes, monotonie) : un evn n'est pas ordonné.

Définition 2.2 — Normes équivalentes

Deux normes $N$ et $N^{'}$ sur $E$ sont équivalentes s'il existe $α, β > 0$ tels que :

\forall x \in E, α N (x) \leq N^{'} (x) \leq β N (x) .

Des normes équivalentes définissent les mêmes suites convergentes, les mêmes ouverts, les mêmes bornés — la même topologie.

Théorème 2.3 — Comparaison des trois normes usuelles ★ À savoir démontrer

Sur $K^{n}$ :

∥ x ∥_{\infty} \leq ∥ x ∥_{2} \leq ∥ x ∥_{1} \leq n ∥ x ∥_{\infty}, ∥ x ∥_{2} \leq n ∥ x ∥_{\infty}, ∥ x ∥_{1} \leq n ∥ x ∥_{2} :

les trois normes usuelles de $K^{n}$ sont équivalentes. (En dimension finie, TOUTES les normes sont équivalentes — théorème admis à ce stade, démontré avec la compacité au volet 3.)

Démonstration (chaîne d'inégalités + Cauchy-Schwarz)

$∥ x ∥_{\infty} \leq ∥ x ∥_{2}$ : pour l'indice $i_{0}$ réalisant le max, $∣ x_{i_{0}} ∣^{2} \leq \sum_{i} ∣ x_{i} ∣^{2}$ , puis racine carrée.

$∥ x ∥_{2} \leq ∥ x ∥_{1}$ : en développant, $(\sum ∣ x_{i} ∣)^{2} = \sum_{i} ∣ x_{i} ∣^{2} + \sum_{i \neq = j} ∣ x_{i} ∣∣ x_{j} ∣ \geq \sum_{i} ∣ x_{i} ∣^{2}$ , puis racine carrée.

$∥ x ∥_{1} \leq n ∥ x ∥_{\infty}$ : chaque $∣ x_{i} ∣ \leq ∥ x ∥_{\infty}$ , et on somme les $n$ termes.

Les raffinements en $n$ : par Cauchy-Schwarz appliqué à $(∣ x_{1} ∣, \dots, ∣ x_{n} ∣)$ et $(1, \dots, 1)$ : $∥ x ∥_{1} = \sum ∣ x_{i} ∣ \cdot 1 \leq ∥ x ∥_{2} \cdot n$ ; et $∥ x ∥_{2}^{2} = \sum ∣ x_{i} ∣^{2} \leq n ∥ x ∥_{\infty}^{2}$ . Toutes les constantes sont optimales (atteintes pour $x = (1, \dots, 1)$ ou $x = e_{1}$ ) — les énoncés demandent souvent de le vérifier.

⚠ Piège — En dimension infinie, les normes ne sont PAS équivalentes. Sur

C ([0, 1])

, la suite

f_{n} (x) = x^{n}

vérifie

∥ f_{n} ∥_{1} = \frac{1}{n + 1} \to 0

mais

∥ f_{n} ∥_{\infty} = 1

: convergence vers 0 en norme 1, pas en norme infinie. Aucune constante

β

ne peut donner

∥ f ∥_{\infty} \leq β ∥ f ∥_{1}

. TOUJOURS préciser la norme utilisée en dimension infinie — l'omettre est un non-sens relevé dans tous les rapports.

📝 Convergence coordonnée par coordonnée. En dimension finie (normes équivalentes), une suite de vecteurs converge si et seulement si chacune de ses coordonnées converge (prendre

∥ \cdot ∥_{\infty}

). C'est ce qui permet de traiter les suites de matrices ou de polynômes composante par composante — réflexe quotidien de la spé.

3. Ouverts, fermés, intérieur, adhérence

Définition 3.1 — Ouvert, fermé

$U \subset E$ est ouvert si chacun de ses points est le centre d'une boule ouverte incluse dans $U$ : $\forall a \in U, \exists r > 0, B (a, r) \subset U$ . $F \subset E$ est fermé si son complémentaire est ouvert. $\emptyset$ et $E$ sont à la fois ouverts et fermés ; une boule ouverte est ouverte, une boule fermée est fermée (exercices canoniques via l'inégalité triangulaire).

Définition 3.2 — Intérieur, adhérence, frontière

Le point $a$ est intérieur à $A$ si une boule $B (a, r)$ est incluse dans $A$ ; l'intérieur $\overset{˚}{A}$ est le plus grand ouvert inclus dans $A$ . Le point $a$ est adhérent à $A$ si toute boule $B (a, r)$ rencontre $A$ ; l'adhérence $\overset{ˉ}{A}$ est le plus petit fermé contenant $A$ . La frontière est $\partial A = \overset{ˉ}{A} ∖ \overset{˚}{A}$ . $A$ est dense dans $E$ si $\overset{ˉ}{A} = E$ .

Théorème 3.3 — Caractérisations séquentielles ★ À savoir démontrer

$a \in \overset{ˉ}{A}$ si et seulement s'il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $a$ .
$F$ est fermé si et seulement si toute suite d'éléments de $F$ qui converge dans $E$ a sa limite dans $F$ .

Démonstration (construire la suite avec les boules de rayon 1/n)

Adhérence, sens direct. Si $a \in \overset{ˉ}{A}$ , pour chaque $n$ la boule $B (a, \frac{1}{n + 1})$ rencontre $A$ : on y choisit $x_{n} \in A$ . Alors $N (x_{n} - a) < \frac{1}{n + 1} \to 0$ : la suite $(x_{n})$ de $A$ converge vers $a$ .

Sens réciproque. Si $x_{n} \in A$ et $x_{n} \to a$ , toute boule $B (a, r)$ contient les $x_{n}$ à partir d'un rang (définition de la convergence) : elle rencontre $A$ . Donc $a \in \overset{ˉ}{A}$ .

Fermés. $F$ fermé $⟺ \overset{ˉ}{F} = F$ . Si $F$ est fermé et $x_{n} \in F \to a$ , alors $a \in \overset{ˉ}{F} = F$ . Réciproquement, si $F$ « capture les limites », alors tout $a \in \overset{ˉ}{F}$ est limite d'une suite de $F$ (point précédent), donc $a \in F$ : $\overset{ˉ}{F} \subset F$ , c'est-à-dire $F$ fermé.

Pourquoi c'est LE théorème du chapitre : il transforme toute question topologique en calcul de limites — la seule chose qu'on sait vraiment faire. « Montrer que $F$ est fermé » = « prendre une suite convergente de $F$ et passer à la limite dans les contraintes ».

Théorème 3.4 — Opérations sur ouverts et fermés

Une réunion quelconque d'ouverts est ouverte ; une intersection finie d'ouverts est ouverte. Par passage au complémentaire : une intersection quelconque de fermés est fermée, une réunion finie de fermés est fermée.

⚠ Piège — « Finie » n'est pas décoratif.

⋂_{n \geq 1}] - \frac{1}{n}, \frac{1}{n} [= {0}

: une intersection INFINIE d'ouverts peut être fermée (et non ouverte). De même

⋃_{n} [\frac{1}{n}, 1] =] 0, 1]

: réunion infinie de fermés ni ouverte ni fermée. Ces deux contre-exemples sont à produire à la demande.

📐 Méthode-type — Montrer qu'une partie est fermée (ou pas).

Fermé, voie royale (séquentielle) : prendre une suite $(x_{n})$ de $F$ convergeant vers $x \in E$ , passer à la limite dans les conditions définissant $F$ (égalités, inégalités LARGES, continuité), conclure $x \in F$ .
Fermé, voie image réciproque (dès le volet continuité) : $F = f^{- 1} ({c})$ ou $f^{- 1} ([a, b])$ avec $f$ continue.
Ouvert : montrer que le complémentaire est fermé, ou exhiber la boule autour de chaque point (inégalités STRICTES).
Ni l'un ni l'autre : exhiber une suite de $A$ convergeant hors de $A$ (pas fermé) ET un point de $A$ dont aucune boule ne reste dans $A$ (pas ouvert). Exemple type : $] 0, 1]$ dans $R$ .

💡 Exemple matriciel — GLₙ(ℝ) est un ouvert dense. Pas fermé :

A_{n} = \frac{1}{n} I_{n} \in G L_{n}

converge vers

0 \in / G L_{n}

. Dense : pour toute matrice

M

M - \frac{1}{k} I_{n}

est inversible dès que

\frac{1}{k}

évite les (au plus

n

) valeurs propres de

M

— une suite d'inversibles qui converge vers

M

. (Ouvert : image réciproque de

R^{*}

par

det

, continue — dès le volet suivant.) Ce triptyque ouvre un sujet X-ENS sur deux.

🧑‍🏫 La rédaction séquentielle au point

« Soit (xₙ) une suite de F convergeant vers x… » : ce début de phrase vaut des points. Un mentor Majorant te fait rédiger une dizaine de preuves séquentielles types (fermés de matrices, ensembles définis par inégalités) jusqu'à ce que la structure soit automatique.

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4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Premier chapitre d'un nouveau langage : les fautes sont surtout des fautes de vocabulaire et de logique. Relevé des rapports (X-ENS, Mines-Ponts, Centrale, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — « Pas ouvert donc fermé ». Ouvert et fermé ne sont PAS contraires :

] 0, 1]

n'est ni l'un ni l'autre,

R

\emptyset

sont les deux. La négation de « ouvert » est « non ouvert », point. Cette faute de logique est la plus signalée du chapitre.

⚠ Erreur 2 — Passer à la limite dans des inégalités strictes.

x_{n} > 0

x_{n} \to x

ne donnent que

x \geq 0

. Conséquence : les ensembles définis par inégalités STRICTES sont des candidats ouverts, ceux définis par inégalités LARGES (ou égalités) des candidats fermés — et la preuve séquentielle ne fonctionne qu'avec du large.

⚠ Erreur 3 — Oublier de préciser la norme (dimension infinie). «

f_{n} \to 0

» ne veut rien dire sur

C ([0, 1])

sans préciser POUR QUELLE NORME (cf.

x^{n}

: oui en norme 1, non en norme infinie). En dimension finie seulement, l'équivalence des normes dispense de préciser.

⚠ Erreur 4 — Confondre adhérence et « bord ».

\overset{ˉ}{A}

contient

A

tout entier (tout point de

A

est adhérent à

A

) — pas seulement les points du bord. Le « bord » est la frontière

\partial A = \overset{ˉ}{A} ∖ \overset{˚}{A}

. Écrire « l'adhérence de

[0, 1]

est

{0, 1}

» est un contresens de définition.

⚠ Erreur 5 — Généraliser les opérations au-delà du fini. Intersection d'ouverts : FINIE. Réunion de fermés : FINIE. Les contre-exemples

⋂] - \frac{1}{n}, \frac{1}{n} [= {0}

⋃ [\frac{1}{n}, 1] =] 0, 1]

doivent être connus par cœur — ils sont demandés tels quels aux oraux.

5. Pour aller plus loin

Ce volet installe le décor ; les deux suivants y font jouer les acteurs :

Topologie 2 : limites et continuité — applications continues, caractérisation séquentielle, continuité des applications linéaires : les images réciproques d'ouverts/fermés démultiplieront la méthode-type de cette fiche.
Topologie 3 : compacité et dimension finie — Bolzano-Weierstrass généralisé, équivalence de TOUTES les normes en dimension finie (la démonstration promise), fermés bornés compacts.
Suites et séries de fonctions — la norme infinie devient « la » norme de la convergence uniforme : tout le chapitre est une étude de $∥ f_{n} - f ∥_{\infty}$ .
Oraux — densité de $G L_{n}$ , de l'ensemble des matrices diagonalisables (sur ℂ), fermeture de $O (n)$ : la topologie matricielle est un vivier inépuisable de questions.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu réciter les trois axiomes d'une norme et l'inégalité triangulaire inverse ?
Sais-tu vérifier la séparation de ‖f‖₁ sur les fonctions continues (l'argument du segment) ?
Connais-tu les trois normes usuelles sur 𝕂ⁿ et sur C([a,b]), et la forme de leurs boules ?
Sais-tu définir la convergence dans un evn et ce qui survit (ou pas) des théorèmes de sup ?
Sais-tu démontrer la chaîne ‖·‖∞ ≤ ‖·‖₂ ≤ ‖·‖₁ ≤ n‖·‖∞ et les raffinements en √n ?
Connais-tu le contre-exemple xⁿ (normes 1 et ∞ non équivalentes sur C([0,1])) ?
Sais-tu définir ouvert, fermé, intérieur, adhérence, frontière, densité ?
Sais-tu démontrer les caractérisations séquentielles (boules de rayon 1/n) ?
Sais-tu rédiger la preuve séquentielle type « F est fermé » ?
Connais-tu les règles d'opérations (réunion quelconque d'ouverts, intersection FINIE) et les deux contre-exemples ?
Sais-tu traiter GLₙ(ℝ) : pas fermé, dense (perturbation par I/k) ?
Sais-tu pourquoi inégalités strictes ↔ candidats ouverts, larges ↔ candidats fermés ?

Démonstrations à savoir refaire

Comparaison des trois normes usuelles — chaîne d'inégalités, Cauchy-Schwarz pour les √n
Caractérisations séquentielles — boules de rayon 1/(n+1), adhérence puis fermés

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Normes, boules, parties bornées

2. Suites convergentes et équivalence des normes

3. Ouverts, fermés, intérieur, adhérence

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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