Comparaisons locales

Vue d'ensemble

Les comparaisons locales — domination (grand O), négligeabilité (petit o) et équivalence (~) — sont le langage qui permet en MPSI de remplacer une expression compliquée par une expression simple quand on est proche d'un point (typiquement $0$ , $+ \infty$ ou un $a \in R$ ). C'est l'outil n°1 pour lever une forme indéterminée, étudier une limite ou comparer la croissance de deux fonctions. Cette fiche regroupe les 8 équivalents usuels à connaître par cœur, les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre presque systématiquement 2 à 3 points en DS si on les ignore.

Au programme MPSI (officiel) — Relations de comparaison au voisinage d'un point pour les fonctions et les suites : domination

f = O (g)

, négligeabilité

f = o (g)

, équivalence

f \sim g

. Opérations algébriques sur ces relations (somme, produit, quotient, composition à droite). Équivalents usuels des fonctions

sin, cos, tan, exp, ln, sh, ch, (1 + x)^{α}

. Théorème des croissances comparées entre puissances, exponentielles, logarithmes et factorielles. Utilisation des équivalents pour le calcul de limites.

Prérequis

Notion de limite d'une fonction en un point $a \in R \cup {\pm \infty}$ et opérations algébriques sur les limites
Manipulation des inégalités, valeur absolue, fonctions usuelles ( $exp, ln, sin, cos, tan, sh, ch$ )
Dérivation : nombre dérivé comme limite du taux d'accroissement $\frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$

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1. Définitions essentielles

Dans toute la fiche, $a \in R \cup {- \infty, + \infty}$ est un point fixé, et $f, g$ sont deux fonctions définies sur un voisinage épointé de $a$ (c.-à-d. partout sauf éventuellement en $a$ ). On suppose, sauf mention contraire, que $g$ ne s'annule pas sur un voisinage épointé de $a$ — c'est l'hypothèse standard.

Définition 1.1 — Domination : f = O(g) au voisinage de a

On dit que $f$ est dominée par $g$ au voisinage de $a$ , et on note $f (x) = O (g (x))$ ou $f a = O (g)$ , s'il existe une constante $M \geq 0$ et un voisinage $V$ de $a$ tels que :

\forall x \in V ∖ {a}, ∣ f (x) ∣ \leq M \cdot ∣ g (x) ∣.

De manière équivalente (si $g$ ne s'annule pas près de $a$ ) : la fonction $f / g$ est bornée au voisinage de $a$ .

Définition 1.2 — Négligeabilité : f = o(g) au voisinage de a

On dit que $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $a$ , et on note $f (x) = o (g (x))$ ou $f a = o (g)$ , si pour tout $ε > 0$ , il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que :

\forall x \in V ∖ {a}, ∣ f (x) ∣ \leq ε \cdot ∣ g (x) ∣.

De manière équivalente (si $g$ ne s'annule pas près de $a$ ) : $x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = 0$ .

Définition 1.3 — Équivalence : f ~ g au voisinage de a

On dit que $f$ est équivalente à $g$ au voisinage de $a$ , et on note $f (x) a \sim g (x)$ , si $f - g = o (g)$ au voisinage de $a$ . De manière équivalente (si $g$ ne s'annule pas près de $a$ ) :

x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = 1.

📝 Lecture intuitive.

$f = O (g)$ : « $f$ ne croît pas plus vite que $g$ » (à un facteur constant près).
$f = o (g)$ : « $f$ est strictement plus petit que $g$ près de $a$ » — $g$ écrase $f$ .
$f \sim g$ : « $f$ et $g$ coïncident à l'ordre principal près de $a$ ».

Ces relations dépendent du point $a$ :

x^{2} = o (x)

0

mais

x^{2} \neq = o (x)

+ \infty

(c'est l'inverse !). Toujours préciser le voisinage.

Définition 1.4 — Transposition aux suites

Pour deux suites $(u_{n})$ , $(v_{n})$ avec $v_{n} \neq = 0$ à partir d'un certain rang, les définitions s'écrivent à l'infini (c.-à-d. pour $n \to + \infty$ ) :

$u_{n} = O (v_{n})$ si $(u_{n} / v_{n})$ est bornée à partir d'un certain rang.
$u_{n} = o (v_{n})$ si $u_{n} / v_{n} \to 0$ .
$u_{n} \sim v_{n}$ si $u_{n} / v_{n} \to 1$ .

Définition 1.5 — Notation o(1) et O(1)

Cas particuliers très utilisés :

$f a = o (1)$ signifie $f (x) \to 0$ quand $x \to a$ ( $f$ est négligeable devant la fonction constante $1$ ).
$f a = O (1)$ signifie $f$ est bornée au voisinage de $a$ .

Ces deux notations permettent d'écrire compactement des restes : par exemple, « $f (x) = ℓ + o (1)$ en $a$ » est exactement la même chose que « $f (x) \to ℓ$ en $a$ ».

⚠ Piège #1 du chapitre — la notation « = » dans $f = O (g)$ n'est PAS une égalité. On écrit

f = O (g)

par tradition, mais ce signe est unidirectionnel :

f = O (g)

ne signifie pas «

O (g) = f

». Concrètement,

O (g)

désigne n'importe quelle fonction dominée par $g$ — pas une fonction unique. Donc :

$sin x = O (x)$ en $0$ est vrai.
Mais on ne peut PAS soustraire de part et d'autre comme avec une vraie égalité.
De même $o (x) + o (x) = o (x)$ est correct (l'ensemble est absorbant), mais ne signifie pas $2 \cdot o (x) = o (x)$ « par division par 2 ».

Lis toujours

=

comme « est » : «

f

est un

O (g)

».

Proposition 1.5 — Hiérarchie entre les trois relations

Pour $f, g$ au voisinage de $a$ (avec $g$ non nulle), on a la chaîne d'implications :

f a \sim g ⟹ f - g a = o (g) ⟹ f a = O (g) .

Et : $f a = o (g) ⟹ f a = O (g)$ . Les réciproques sont fausses (cf. pièges section 5).

2. Propriétés algébriques des comparaisons

2.1 — L'équivalence est une relation d'équivalence

Théorème 2.1 — Propriétés fondamentales de ~ ★ À savoir démontrer

La relation $\sim$ au voisinage de $a$ est :

Réflexive : $f \sim f$ .
Symétrique : si $f \sim g$ , alors $g \sim f$ .
Transitive : si $f \sim g$ et $g \sim h$ , alors $f \sim h$ .
Compatible avec le produit : si $f_{1} \sim g_{1}$ et $f_{2} \sim g_{2}$ , alors $f_{1} f_{2} \sim g_{1} g_{2}$ .
Compatible avec le quotient : si $f_{1} \sim g_{1}$ et $f_{2} \sim g_{2}$ (avec $g_{2} \neq = 0$ près de $a$ ), alors $f_{1} / f_{2} \sim g_{1} / g_{2}$ .

Démonstration (transitivité + compatibilité produit)

Transitivité. Supposons $f \sim g$ et $g \sim h$ . Par définition, $f / g \to 1$ et $g / h \to 1$ en $a$ . Or :

\frac{f}{h} = \frac{f}{g} \cdot \frac{g}{h} x \to a 1 \cdot 1 = 1,

par produit de limites finies. Donc $f \sim h$ .

Compatibilité produit. Si $f_{1} / g_{1} \to 1$ et $f_{2} / g_{2} \to 1$ , alors :

\frac{f _{1} f _{2}}{g _{1} g _{2}} = \frac{f _{1}}{g _{1}} \cdot \frac{f _{2}}{g _{2}} x \to a 1.

Donc $f_{1} f_{2} \sim g_{1} g_{2}$ . La compatibilité avec le quotient se démontre identiquement avec le rapport $(f_{1} / f_{2}) / (g_{1} / g_{2}) = (f_{1} / g_{1}) \cdot (g_{2} / f_{2})$ (en utilisant que $g_{2} \sim f_{2}$ implique $g_{2} / f_{2} \to 1$ ).

2.2 — Algèbre du petit o

Proposition 2.2 — Règles de calcul sur o(...) ★ À savoir démontrer

Au voisinage de $a$ :

Somme absorbante : $o (g) + o (g) = o (g)$ .
Multiplication par scalaire : $λ \cdot o (g) = o (g)$ pour $λ \in R^{*}$ .
Produit : $o (g) \cdot O (h) = o (g h)$ et $o (g) \cdot o (h) = o (g h)$ .
Transitivité : si $f = o (g)$ et $g = o (h)$ , alors $f = o (h)$ .

Démonstration (somme absorbante o(g) + o(g) = o(g))

Soient $f_{1}, f_{2}$ telles que $f_{1} = o (g)$ et $f_{2} = o (g)$ . Montrons que $f_{1} + f_{2} = o (g)$ . Fixons $ε > 0$ . Par définition de $f_{1} = o (g)$ , il existe un voisinage $V_{1}$ de $a$ tel que :

\forall x \in V_{1} ∖ {a}, ∣ f_{1} (x) ∣ \leq \frac{ε}{2} \cdot ∣ g (x) ∣.

De même il existe $V_{2}$ tel que $\forall x \in V_{2} ∖ {a}, ∣ f_{2} (x) ∣ \leq \frac{ε}{2} ∣ g (x) ∣$ . Posons $V = V_{1} \cap V_{2}$ (encore un voisinage de $a$ ). Par inégalité triangulaire, pour $x \in V ∖ {a}$ :

∣ f_{1} (x) + f_{2} (x) ∣ \leq ∣ f_{1} (x) ∣ + ∣ f_{2} (x) ∣ \leq \frac{ε}{2} ∣ g (x) ∣ + \frac{ε}{2} ∣ g (x) ∣ = ε ∣ g (x) ∣.

Ceci étant vrai pour tout $ε > 0$ , on a bien $f_{1} + f_{2} = o (g)$ . Note pédagogique : c'est la « tirelire $ε /2$ » du chapitre Suites, version comparaisons locales — exactement le même schéma de démonstration.

2.3 — Liens entre ~ et o

Proposition 2.3 — Reformulation de l'équivalence

Les énoncés suivants sont équivalents :

$f a \sim g$
$f = g + o (g)$ au voisinage de $a$
Il existe une fonction $ε$ avec $ε (x) \to 0$ en $a$ telle que $f (x) = g (x) (1 + ε (x))$ .

📝 Vocabulaire — partie principale. Quand on écrit

f (x) \sim c \cdot x^{k}

0

(ou en

+ \infty

), on dit que

c \cdot x^{k}

est la partie principale de

f

. C'est l'ordre dominant : tout le reste est négligeable devant elle. Cette idée est l'embryon des développements limités (chapitre suivant).

2.4 — Composition à droite

Proposition 2.4 — Composition à droite par un changement de variable

Soit $φ : I \to J$ avec $φ (t) \to a$ quand $t \to b$ (et $φ (t) \neq = a$ au voisinage de $b$ ). Si $f a \sim g$ , alors :

f \circ φ b \sim g \circ φ .

Idem pour $O$ et $o$ . Cette règle justifie tous les changements de variable sur les équivalents (poser $u = 1/ x$ , $u = x - a$ , etc.).

⚠ Piège #2 — composition à GAUCHE interdite en général. Si

f \sim g

, on n'a pas en général

h \circ f \sim h \circ g

. Contre-exemple classique : en

+ \infty

x + 1 \sim x

(vrai car

(x + 1) / x \to 1

), mais

e^{x + 1} = e \cdot e^{x}

e^{x + 1} / e^{x} = e \neq = 1

, donc

e^{x + 1} \neq \sim e^{x}

+ \infty

. Règle : la composition à gauche n'est licite QUE par des fonctions « régulières » autour de la limite (puissances, racines), pas par exp ni log appliqués à des limites infinies. Pour composer à gauche par exp, il faut passer par la différence :

f - g \to 0

implique

e^{f} \sim e^{g}

— pas

f \sim g

3. Équivalents usuels en 0 (à connaître par cœur)

Tous les équivalents ci-dessous sont au voisinage de $0$ (sauf mention contraire). Ils découlent de la dérivabilité des fonctions usuelles en $0$ — chacun se redémontre en quelques lignes à partir du nombre dérivé.

Théorème 3.1 — Équivalent de sin x en 0 ★ À savoir démontrer

$sin x 0 \sim x$ .

Démonstration (par le nombre dérivé)

La fonction $sin$ est dérivable en $0$ , de dérivée $sin^{'} (0) = cos (0) = 1$ . Par définition du nombre dérivé :

x \to 0 lim \frac{sin x - sin 0}{x - 0} = sin^{'} (0) = 1,

c'est-à-dire $x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$ , ce qui est exactement la définition de $sin x \sim x$ en $0$ .

Le même schéma marche pour toute fonction $f$ dérivable en $0$ avec $f (0) = 0$ et $f^{'} (0) \neq = 0$ : alors $f (x) \sim f^{'} (0) \cdot x$ en $0$ . Tous les équivalents usuels en $0$ qui suivent reposent sur cette idée.

Proposition 3.2 — Le catalogue des 8 équivalents usuels en 0

À mémoriser parfaitement :

sin x 0 \sim x tan x 0 \sim x sh x 0 \sim x

ln (1 + x) 0 \sim x e^{x} - 1 0 \sim x (1 + x)^{α} - 1 0 \sim α x (α \in R^{*})

1 - cos x 0 \sim \frac{x ^{2}}{2} ch x - 1 0 \sim \frac{x ^{2}}{2}

Chacun se démontre par le nombre dérivé (ou pour les deux derniers, par $1 - cos x = 2 sin^{2} (x /2)$ puis $sin (x /2) \sim x /2$ ).

💡 Exemple — Reconstruction rapide. Pour retrouver

(1 + x)^{α} - 1 \sim α x

0

, on écrit

(1 + x)^{α} = e^{α l n (1 + x)}

. Comme

α ln (1 + x) \to 0

, on applique

e^{u} - 1 \sim u

0

, donc

(1 + x)^{α} - 1 \sim α ln (1 + x) \sim α x

. Trois équivalents enchaînés, une démo de 2 lignes.

📝 Cas particulier $α = 1/2$ et $α = - 1$ . On en déduit :

1 + x - 1 0 \sim \frac{x}{2}, \frac{1}{1 + x} - 1 = - \frac{x}{1 + x} 0 \sim - x .

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4. Croissances comparées (en +∞ et en 0)

Quand plusieurs fonctions classiques apparaissent dans une même expression ( $ln, x^{α}, e^{x}, n!$ ), il faut savoir laquelle écrase laquelle à l'infini. C'est l'outil principal pour lever les indéterminations $\infty - \infty$ et $\infty/\infty$ .

Théorème 4.1 — Croissances comparées en +∞ ★ À savoir démontrer

Pour tous réels $α > 0$ et $β > 0$ :

(ln x)^{β} + \infty = o (x^{α}) x^{α} + \infty = o (e^{x}) .

Autrement dit : « l'exponentielle bat toute puissance, qui bat tout logarithme. » Version suites correspondante (pour $α > 0$ , $a > 1$ ) :

n^{α} = o (a^{n}), a^{n} = o (n!), n! = o (n^{n}) .

D'où la hiérarchie complète en $+ \infty$ :

ln n ≪ n^{α} ≪ a^{n} ≪ n! ≪ n^{n} .

Démonstration (e^x écrase toute puissance)

Montrons $x^{α} = o (e^{x})$ en $+ \infty$ , c.-à-d. $\frac{x ^{α}}{e ^{x}} \to 0$ . On commence par le cas $α = 1$ (le cas général en découle par changement de variable).

Étape 1 — Une inégalité élémentaire. Pour $x \geq 0$ , on a $e^{x} \geq 1 + x + \frac{x ^{2}}{2}$ (par dérivation itérée : la fonction $g (x) = e^{x} - 1 - x - x^{2} /2$ vérifie $g (0) = 0$ , $g^{'} (0) = 0$ , $g^{''} (x) = e^{x} - 1 \geq 0$ pour $x \geq 0$ , donc $g^{'}$ est croissante sur $[0, + \infty [$ avec $g^{'} (0) = 0$ , donc $g^{'} \geq 0$ , donc $g$ est croissante avec $g (0) = 0$ , donc $g \geq 0$ ).

Étape 2 — Encadrement. Pour $x > 0$ , on a donc $e^{x} \geq x^{2} /2$ , soit :

0 \leq \frac{x}{e ^{x}} \leq \frac{x}{x ^{2} /2} = \frac{2}{x} .

Par le théorème des gendarmes, $\frac{x}{e ^{x}} \to 0$ en $+ \infty$ , donc $x = o (e^{x})$ .

Étape 3 — Généralisation à $α > 0$ . Posons $t = x / α$ . Quand $x \to + \infty$ , $t \to + \infty$ aussi. On a :

\frac{x ^{α}}{e ^{x}} = \frac{( α t ) ^{α}}{e ^{α t}} = α^{α} \cdot (\frac{t}{e ^{t}})^{α} t \to + \infty α^{α} \cdot 0 = 0,

en utilisant que $t / e^{t} \to 0$ (Étape 2) et la continuité de $u \mapsto u^{α}$ en $0$ . Donc $x^{α} = o (e^{x})$ en $+ \infty$ .

Pour $(ln x)^{β} = o (x^{α})$ en $+ \infty$ : poser $x = e^{t}$ , donc $t \to + \infty$ , et le rapport devient $t^{β} / e^{α t}$ , qui tend vers $0$ d'après ce qu'on vient de démontrer (en remplaçant $α$ par $α$ et $x$ par $t^{1/ β} \cdot β$ avec un changement de variable analogue). Schéma à connaître.

Proposition 4.2 — Variante en 0 : x ln x → 0

Pour tout $α > 0$ :

x^{α} ln x x \to 0^{+} 0, soit ln x 0^{+} = o (1/ x^{α}) .

Se déduit du théorème 4.1 par le changement de variable $u = 1/ x$ : $x \to 0^{+} \Leftrightarrow u \to + \infty$ , et $x^{α} ln x = - ln (u) / u^{α} \to 0$ .

💡 Exemple canonique — Limite indéterminée. Étudions

x \to + \infty lim \frac{x ^{3} + ln x \cdot e ^{x}}{e ^{x} + x ^{5}}

. À l'infini,

e^{x}

écrase tout : on factorise par le dominant au numérateur (

ln x \cdot e^{x}

) et au dénominateur (

e^{x}

) :

\frac{x ^{3} + ln x \cdot e ^{x}}{e ^{x} + x ^{5}} = \frac{ln x \cdot e ^{x} \cdot ( 1 + x ^{3} / ( ln x \cdot e ^{x} ))}{e ^{x} \cdot ( 1 + x ^{5} / e ^{x} )} = ln x \cdot \frac{1 + o ( 1 )}{1 + o ( 1 )} \sim ln x \to + \infty.

Les croissances comparées font tout le travail.

5. Manipulation des équivalents — règles d'or et pièges

📐 Méthode-type — Calculer une limite avec des équivalents.

Identifier le voisinage : $x \to 0$ , $x \to + \infty$ , $x \to a \neq = 0$ ? On adapte le catalogue (en $a \neq = 0$ , on pose $x = a + h$ avec $h \to 0$ ).
Repérer la forme indéterminée : $0/0$ , $\infty/\infty$ , $0 \cdot \infty$ , $1^{\infty}$ , $\infty - \infty$ .
Substituer chaque morceau par son équivalent usuel, jamais dans une somme — uniquement dans des produits et quotients.
Simplifier algébriquement jusqu'à obtenir une expression sans indétermination.
Conclure avec la limite finale.

Astuce : pour

1^{\infty}

, passer en

exp (ln)

— c.-à-d. écrire

u^{v} = e^{v l n u}

— puis appliquer

ln (1 + h) \sim h

💡 Exemple guidé — Limite $x \to 0 lim \frac{sin ( 3 x ) \cdot ln ( 1 + 2 x )}{x \cdot ( e ^{x} - 1 )}$ . Forme

0/0

. On utilise :

sin (3 x) \sim 3 x

ln (1 + 2 x) \sim 2 x

e^{x} - 1 \sim x

. Par compatibilité produit/quotient :

\frac{sin ( 3 x ) \cdot ln ( 1 + 2 x )}{x \cdot ( e ^{x} - 1 )} 0 \sim \frac{( 3 x ) ( 2 x )}{x \cdot x} = \frac{6 x ^{2}}{x ^{2}} = 6.

Limite

= 6

. Trois substitutions, zéro calcul.

⚠ Piège #3 — NE JAMAIS ADDITIONNER NAÏVEMENT DEUX ÉQUIVALENTS. Si

f_{1} \sim g_{1}

f_{2} \sim g_{2}

, on n'a PAS

f_{1} + f_{2} \sim g_{1} + g_{2}

en général. Contre-exemple culte : en

0

x + x^{2} \sim x

- x \sim - x

, mais

(x + x^{2}) + (- x) = x^{2} \neq \sim x + (- x) = 0

. La somme

g_{1} + g_{2}

peut être nulle sans que

f_{1} + f_{2}

le soit. Règle de survie : pour additionner, repasser par les définitions (

f = g (1 + ε (x))

) ou utiliser un développement limité.

⚠ Piège #4 — NE JAMAIS COMPOSER À GAUCHE PAR EXP/LOG.

f \sim g

n'implique pas

e^{f} \sim e^{g}

ln f \sim ln g

(cf. piège #2 section 2). Contre-exemple :

x + 1 \sim x

+ \infty

, mais

e^{x + 1} = e \cdot e^{x}

, donc

e^{x + 1} / e^{x} \to e \neq = 1

. Critère utile : on peut composer à gauche par

ln

f, g \to ℓ \neq = 1

(ou

ℓ = + \infty

avec une condition supplémentaire de domination). On peut composer par exp si

f - g \to 0

(et non juste

f \sim g

⚠ Piège #5 — Équivalent qui tend vers 0 ou ∞ : OK ; équivalent qui tend vers une limite finie non nulle : danger. Si

f \sim g

g \to ℓ \in R^{*}

, alors

f \to ℓ

(très utile). Mais : si

f \to 0

g \to 0

f \sim g

est une information plus forte que

f \to 0

— c'est tout l'intérêt. Et si

f \to ℓ \neq = 0

, écrire

f \sim ℓ

est vrai mais souvent inutile : on perd l'ordre des termes correctifs.

📝 La règle d'or à retenir. Les équivalents sont multiplicatifs : on peut les enchaîner sur des produits et quotients sans danger. Ils sont fragiles en somme et traîtres en composition à gauche. Quand le doute s'installe, passe à

f = g + o (g)

(forme additive) ou à un développement limité (forme polynomiale exacte avec reste).

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves d'analyse comportant des calculs de limites ou d'équivalents. Elles coûtent typiquement entre 1 et 3 points par occurrence, voire plus si elles invalident toute la suite du raisonnement.

⚠ Erreur 1 — Additionner deux équivalents. Écrire «

sin x + (- x) \sim x + (- x) = 0

0

» est faux : on a

sin x + (- x) = sin x - x

, qui est en réalité équivalent à

- x^{3} /6

(développement limité), pas à

0

. Rappel : équivalents = produits/quotients uniquement.

⚠ Erreur 2 — « Simplifier » $x = O (x)$ en $x = x$ . Le

O

absorbe la constante :

2 x = O (x)

x = O (x)

, mais ces deux assertions sont la même information (et n'égalent pas

2 x = x

). Un

O (g)

n'est pas un nombre concret, c'est une classe de fonctions. On manipule

O

o

comme des « bornes molles », pas comme des valeurs.

⚠ Erreur 3 — Oublier le voisinage. Écrire

sin x \sim x

sans préciser « en

0

» est ambigu : en

+ \infty

sin x

est bornée donc

sin x \neq = O (x)

au sens fort, et certainement pas

\sim x

. Réflexe : toujours noter

a \sim

a = o (\cdot)

ou écrire « en

a

» à côté.

⚠ Erreur 4 — Conclure une limite à partir d'un équivalent dans une somme. «

f \sim x

0

, donc

f - x \to 0

» : c'est vrai (par définition,

f - x = o (x)

donc

f - x \to 0

). Mais beaucoup d'élèves enchaînent : « donc

f - x \sim 0

» — ce qui n'a aucun sens (l'équivalence avec la fonction nulle n'est pas définie). Écris

f - x = o (x)

, pas

f - x \sim 0

⚠ Erreur 5 — Substituer un équivalent dans $ln$ . Écrire «

ln (1 + x^{2} + x^{3}) \sim ln (x^{2})

0

car

1 + x^{2} + x^{3} \sim 1

» est faux : ça donnerait

ln (1) = 0

, or

ln (1 + x^{2} + x^{3}) \sim x^{2} + x^{3} \sim x^{2}

. Pour

ln

0

, il faut repasser par

ln (1 + u) \sim u

avec

u \to 0

. Ne jamais composer un équivalent par

ln

sans précaution.

7. Pour aller plus loin

Les comparaisons locales sont la brique de base de l'analyse fine en MPSI puis en spé. Les chapitres qui les réinvestissent directement :

Développements limités — un DL d'ordre $n$ est exactement la décomposition $f (x) = P (x) + o (x^{n})$ où $P$ est un polynôme. C'est la version polynomiale exacte des équivalents.
Séries numériques — la convergence absolue d'une série $\sum u_{n}$ se décide à partir d'un équivalent simple de $u_{n}$ (règle de Riemann : $u_{n} \sim c / n^{α}$ ).
Intégrales impropres — la convergence en $+ \infty$ ou en un point singulier se ramène à comparer la fonction à $1/ x^{α}$ (critère de Riemann intégral).
Étude de fonctions et tracés de courbes — branches infinies, asymptotes obliques, comportements à l'origine : tout passe par des équivalents et des DL.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu énoncer les définitions de $f = O (g)$ , $f = o (g)$ et $f \sim g$ avec les bons quantificateurs (sans regarder) ?
Sais-tu pourquoi le signe « $=$ » dans $f = O (g)$ n'est pas une vraie égalité et ce que ça interdit ?
Connais-tu par cœur les 8 équivalents usuels en $0$ ( $sin, tan, sh, ln (1 + x), e^{x} - 1, (1 + x)^{α} - 1, 1 - cos x, ch x - 1$ ) ?
Sais-tu démontrer $sin x \sim x$ en $0$ à partir du nombre dérivé ?
Sais-tu démontrer la transitivité et la compatibilité produit de $\sim$ ?
Sais-tu démontrer la règle « $o (g) + o (g) = o (g)$ » via la tirelire $ε /2$ ?
Sais-tu énoncer et démontrer le théorème des croissances comparées (puissance vs exponentielle) ?
Connais-tu la hiérarchie $ln n ≪ n^{α} ≪ a^{n} ≪ n! ≪ n^{n}$ en $+ \infty$ ?
Sais-tu pourquoi on ne peut PAS additionner des équivalents — et le contre-exemple culte $(x + x^{2}) + (- x)$ ?
Sais-tu pourquoi on ne peut PAS composer à gauche par $exp$ ou $ln$ en général — et le contre-exemple $e^{x + 1} \neq \sim e^{x}$ ?
Sais-tu réciter la méthode-type pour calculer une limite avec des équivalents (5 étapes) ?
Sais-tu reconnaître quand passer en $exp (ln)$ (formes $1^{\infty}$ ) et appliquer $ln (1 + h) \sim h$ ?

Démonstrations à savoir refaire

Transitivité et compatibilité produit de l'équivalence — produit de deux limites égales à 1
o(g) + o(g) = o(g) — tirelire $ε /2$ + inégalité triangulaire
$sin x \sim x$ en 0 — par le nombre dérivé $sin^{'} (0) = 1$
Croissances comparées $x^{α} = o (e^{x})$ en $+ \infty$ — $e^{x} \geq x^{2} /2$ par dérivation itérée + gendarmes

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Définitions essentielles

2. Propriétés algébriques des comparaisons

2.1 — L'équivalence est une relation d'équivalence

2.2 — Algèbre du petit o

2.3 — Liens entre ~ et o

2.4 — Composition à droite

3. Équivalents usuels en 0 (à connaître par cœur)

4. Croissances comparées (en +∞ et en 0)

5. Manipulation des équivalents — règles d'or et pièges

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

7. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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