Calcul différentiel

Vue d'ensemble

Comment dériver une fonction de PLUSIEURS variables, $f (x, y)$ ou $f (x_{1}, \dots, x_{n})$ ? On introduit les dérivées partielles (dériver selon une variable, les autres gelées), rassemblées dans le gradient $\nabla f$ . L'objet central est la différentielle, qui donne le développement limité à l'ordre 1 : $f (a + h) \approx f (a) + \nabla f (a) \cdot h$ — l'approximation affine locale, cœur de tout le calcul différentiel. Deux résultats gouvernent la pratique : la règle de la chaîne (dériver une composée, omniprésente en physique) et la condition nécessaire d'extremum (en un extremum intérieur, le gradient s'annule). Ce chapitre prolonge la dérivation de sup au cadre multivarié et outille l'optimisation, la thermodynamique et la géométrie. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Calcul différentiel : fonctions de plusieurs variables, dérivées partielles, gradient ; fonctions de classe

C^{1}

, différentielle et développement limité à l'ordre 1 ; règle de la chaîne (composition, dérivée le long d'un arc) ; dérivées partielles d'ordre 2, théorème de Schwarz ; recherche d'extrema, point critique, condition nécessaire du premier ordre.

Prérequis

Dérivation des fonctions d'une variable, développements limités
Fonctions vectorielles, produit scalaire, norme dans ℝⁿ
Extrema d'une fonction d'une variable (théorème de Fermat)

🎯 Accompagnement Majorant

Le gradient et la règle de la chaîne sont partout — maths, physique, SI. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font maîtriser dérivées partielles, différentielle et recherche d'extrema jusqu'à l'automatisme — les réflexes qui font gagner du temps sur tout problème multivarié.

Trouver un mentor MP →

1. Dérivées partielles, gradient et différentielle

Définition 1.1 — Dérivée partielle

Soit $f : U \to R$ définie sur un ouvert $U \subset R^{n}$ . La dérivée partielle de $f$ par rapport à $x_{i}$ en $a$ est la dérivée de la fonction d'UNE variable obtenue en gelant les autres :

\frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h e _{i} ) - f ( a )}{h},

où $e_{i}$ est le $i$ -ème vecteur de base. En pratique : on dérive « comme d'habitude » en traitant les autres variables comme des constantes.

Définition 1.2 — Gradient et différentielle

Le gradient de $f$ en $a$ rassemble les dérivées partielles : $\nabla f (a) = (\frac{\partial f}{\partial x _{1}} (a), \dots, \frac{\partial f}{\partial x _{n}} (a))$ . La différentielle est la forme linéaire

d f_{a} (h) = \nabla f (a) \cdot h = i = 1 \sum n \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a) h_{i},

qui approche la variation de $f$ : $df = \sum_{i} \frac{\partial f}{\partial x _{i}} d x_{i}$ . Le gradient pointe dans la direction de plus forte croissance de $f$ .

Définition 1.3 — Fonction de classe C¹

$f$ est de classe $C^{1}$ sur $U$ si toutes ses dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x _{i}}$ existent et sont continues sur $U$ . C'est l'hypothèse de régularité de référence : une fonction $C^{1}$ est différentiable et admet un développement limité à l'ordre 1 (théorème 1.1).

Théorème 1.1 — Développement limité à l'ordre 1

Si $f$ est de classe $C^{1}$ sur $U$ , alors pour tout $a \in U$ :

f (a + h) = f (a) + \nabla f (a) \cdot h + o (∥ h ∥) = f (a) + i = 1 \sum n \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a) h_{i} + o (∥ h ∥) .

C'est l'approximation affine locale : au premier ordre, $f$ se comporte comme sa tangente. Toute la puissance du calcul différentiel découle de ce DL — il justifie la règle de la chaîne et la condition d'extremum.

⚠ Piège — Dérivées partielles ≠ différentiabilité. L'existence des dérivées partielles ne suffit PAS à garantir la différentiabilité (ni même la continuité) : il existe des fonctions dont les deux dérivées partielles existent en

(0, 0)

mais qui n'y sont pas continues. C'est la CONTINUITÉ des dérivées partielles (classe

C^{1}

) qui assure la différentiabilité. Toujours vérifier

C^{1}

2. Règle de la chaîne (composition)

Théorème 2.1 — Dérivée le long d'un arc (règle de la chaîne) ★ À savoir démontrer

Soit $f : U \to R$ de classe $C^{1}$ et $γ : t \mapsto (x_{1} (t), \dots, x_{n} (t))$ un arc dérivable à valeurs dans $U$ . Alors $g = f \circ γ$ est dérivable et :

g^{'} (t) = i = 1 \sum n \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (γ (t)) x_{i}^{'} (t) = \nabla f (γ (t)) \cdot γ^{'} (t) .

Démonstration (via le DL à l'ordre 1)

Traitons le cas $n = 2$ (le cas général est identique). Posons $g (t) = f (x (t), y (t))$ et notons $Δ x = x (t + h) - x (t)$ , $Δ y = y (t + h) - y (t)$ . Le DL à l'ordre 1 de $f$ au point $(x (t), y (t))$ donne : $g (t + h) - g (t) = \frac{\partial f}{\partial x} Δ x + \frac{\partial f}{\partial y} Δ y + o (∥ (Δ x, Δ y) ∥) .$

Divisons par $h$ : $\frac{g ( t + h ) - g ( t )}{h} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{Δ x}{h} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{Δ y}{h} + \frac{o ( ∥ ( Δ x , Δ y ) ∥ )}{h}$ . Quand $h \to 0$ : $Δ x / h \to x^{'} (t)$ , $Δ y / h \to y^{'} (t)$ , et $∥ (Δ x, Δ y) ∥/∣ h ∣ \to ∥ (x^{'} (t), y^{'} (t)) ∥$ (borné), donc le terme en $o$ tend vers $0$ . D'où $g^{'} (t) = \partial_{x} f x^{'} (t) + \partial_{y} f y^{'} (t)$ . CQFD.

📐 Méthode-type — Dériver une composée de plusieurs variables.

Identifier les variables intermédiaires et leurs dépendances (arbre de composition) : qui dépend de quoi ?
Appliquer la règle de la chaîne : sommer sur toutes les variables intermédiaires $\frac{\partial f}{\partial x _{i}} \times \frac{d x _{i}}{d t}$ (ou $\frac{\partial x _{i}}{\partial u}$ pour un changement de variables).
Cas des changements de variables (polaires, etc.) : exprimer chaque dérivée partielle dans les nouvelles variables via la chaîne.
Vérifier l'homogénéité des termes et ne pas oublier de variable intermédiaire (source d'erreur n°1).

💡 Exemple — Dérivée en coordonnées polaires. Soit

f (x, y)

de classe

C^{1}

et le changement

x = r cos θ

y = r sin θ

. La règle de la chaîne donne

\frac{\partial f}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x} cos θ + \frac{\partial f}{\partial y} sin θ

(car

\partial x / \partial r = cos θ

\partial y / \partial r = sin θ

). De même

\frac{\partial f}{\partial θ} = - \frac{\partial f}{\partial x} r sin θ + \frac{\partial f}{\partial y} r cos θ

. C'est le calcul de base pour passer le laplacien en polaires.

🧑‍🏫 La règle de la chaîne au point

Changements de variables, laplacien en polaires, dérivées composées : la chaîne partout. Un mentor Majorant te fait dérouler les arbres de composition sans jamais oublier un terme — l'automatisme qui débloque les sujets de physique et de maths multivariés.

Réserver une séance ciblée →

3. Recherche d'extrema

Définition 2.1 — Point critique

Un point $a \in U$ est un point critique de $f$ (de classe $C^{1}$ ) si son gradient s'y annule :

\nabla f (a) = 0 ⟺ \forall i, \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a) = 0.

Les points critiques sont les CANDIDATS aux extrema : c'est là qu'il faut chercher.

Définition 2.2 — Extremum local

$f$ admet un maximum local (resp. minimum local) en $a$ s'il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que $f (x) \leq f (a)$ (resp. $\geq$ ) pour tout $x \in V$ . Un extremum est un maximum ou un minimum. « Local » : la comparaison ne vaut qu'au voisinage de $a$ , pas globalement.

Théorème 3.1 — Condition nécessaire du premier ordre ★ À savoir démontrer

Si $f$ de classe $C^{1}$ admet un extremum local en un point $a$ intérieur à $U$ , alors $a$ est un point critique :

\nabla f (a) = 0.

C'est la généralisation du théorème de Fermat. Attention : la réciproque est FAUSSE (un point critique peut être un « col »/point-selle, ni max ni min).

Démonstration (retour aux fonctions d'une variable)

Supposons que $f$ admette un maximum local en $a$ intérieur (le cas minimum est analogue). Fixons un indice $i$ et considérons la fonction partielle d'UNE variable $φ_{i} (t) = f (a + t e_{i})$ , définie pour $t$ proche de $0$ (car $a$ est intérieur).

$φ_{i}$ admet un maximum local en $t = 0$ , et elle est dérivable avec $φ_{i}^{'} (0) = \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a)$ . Par le théorème de Fermat (une variable), la dérivée s'annule à un extremum intérieur : $φ_{i}^{'} (0) = 0$ , c'est-à-dire $\frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a) = 0$ . Ceci valant pour tout $i$ , on a $\nabla f (a) = 0$ . CQFD.

💡 Exemple — Un point critique qui n'est pas un extremum. Soit

f (x, y) = x^{2} - y^{2}

. Le gradient

\nabla f = (2 x, - 2 y)

s'annule en

(0, 0)

: c'est un point critique. Pourtant ce n'est NI un max NI un min : le long de l'axe

x

(

f = x^{2} \geq 0

) c'est un minimum, mais le long de l'axe

y

(

f = - y^{2} \leq 0

) c'est un maximum. C'est un point-selle (ou col), en forme de selle de cheval — la réciproque du théorème 3.1 est bien fausse.

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Le calcul différentiel multivarié punit les automatismes du cas d'une variable mal transposés. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Croire qu'un point critique est forcément un extremum.

\nabla f (a) = 0

est NÉCESSAIRE mais PAS SUFFISANT : le point peut être un col (point-selle). La condition du premier ordre ne fait que sélectionner les CANDIDATS ; il faut ensuite étudier la nature (signe de

f - f (a)

, ordre 2) pour conclure.

⚠ Erreur 2 — Oublier l'hypothèse « point intérieur ». Le théorème

\nabla f (a) = 0

suppose

a

INTÉRIEUR au domaine. Sur le BORD, un extremum peut exister avec un gradient non nul. Pour optimiser sur un domaine fermé borné, traiter séparément l'intérieur (points critiques) ET le bord (paramétrage, multiplicateurs).

⚠ Erreur 3 — Oublier un terme dans la règle de la chaîne. Dériver

f (x (t), y (t))

donne DEUX termes :

\partial_{x} f x^{'} + \partial_{y} f y^{'}

. Oublier une variable intermédiaire (ne garder qu'un terme) est l'erreur la plus fréquente. Faire l'arbre de dépendances et sommer sur TOUTES les branches.

⚠ Erreur 4 — Confondre existence des dérivées partielles et différentiabilité. Les dérivées partielles peuvent exister sans que

f

soit différentiable (ni même continue). C'est la classe

C^{1}

(dérivées partielles CONTINUES) qui garantit la différentiabilité et le DL à l'ordre 1. Ne pas invoquer le DL sans avoir vérifié

C^{1}

⚠ Erreur 5 — Mal appliquer le théorème de Schwarz. Pour

f

de classe

C^{2}

, les dérivées croisées commutent :

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}

. Cette égalité exige la classe

C^{2}

— l'invoquer sans cette régularité (ou pour permuter n'importe quoi) est une faute. Vérifier l'hypothèse.

5. Pour aller plus loin

Le calcul différentiel irrigue les sciences physiques et l'optimisation :

Analyse vectorielle — gradient, divergence, rotationnel, laplacien : le langage de l'électromagnétisme et de la mécanique des fluides.
Thermodynamique — différentielles de fonctions d'état, relations de Maxwell : du calcul différentiel appliqué.
Optimisation sous contrainte — multiplicateurs de Lagrange (post-bac), extension de la condition du premier ordre.
Équations aux dérivées partielles — équation de la chaleur, des ondes, de Schrödinger : toutes formulées avec des dérivées partielles.

🚀 Stage intensif Majorant

Le calcul différentiel multivarié est transversal — un investissement rentable partout. Nos stages intensifs vacances (1 semaine, 25h) consolident gradient, règle de la chaîne et extrema avec exos type concours — encadrés par des alumni X-ENS, Centrale et Mines.

Voir les stages MP →

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir une dérivée partielle (les autres variables gelées) ?
Sais-tu écrire le gradient ∇f et la différentielle df = Σ ∂ᵢf dxᵢ ?
Sais-tu ce que signifie « f de classe C¹ » (dérivées partielles continues) ?
Sais-tu écrire le DL à l'ordre 1 : f(a+h) = f(a) + ∇f(a)·h + o(||h||) ?
Sais-tu que dérivées partielles existantes ⇏ différentiabilité ?
Sais-tu énoncer et démontrer la règle de la chaîne g'(t) = ∇f·γ'(t) ?
Sais-tu dériver une composée en polaires (∂f/∂r, ∂f/∂θ) ?
Sais-tu ce qu'est un point critique (∇f = 0) ?
Sais-tu la condition nécessaire d'extremum et la démontrer (via Fermat) ?
Sais-tu que la réciproque est fausse (point-selle x²−y²) ?
Sais-tu que le théorème s'applique aux points INTÉRIEURS seulement ?
Connais-tu le théorème de Schwarz (dérivées croisées, classe C²) ?

Démonstrations à savoir refaire

Règle de la chaîne — DL à l'ordre 1, dérivée le long d'un arc
Condition nécessaire d'extremum — fonctions partielles, théorème de Fermat

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Dérivées partielles, gradient et différentielle

2. Règle de la chaîne (composition)

3. Recherche d'extrema

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

Fiches associées

Groupes

Anneaux, corps et arithmétique

Compléments d'algèbre linéaire

Éléments propres et polynôme caractéristique

Diagonalisation et trigonalisation

Polynômes annulateurs et Cayley-Hamilton

Tu veux aller plus loin sur ce chapitre ?