Déterminants

Vue d'ensemble

Le déterminant est le scalaire qui résume une matrice carrée : en une seule valeur, il dit si la matrice est inversible, multiplie les volumes par une certaine quantité, et permet de calculer l'inverse via la comatrice. C'est l'outil-pivot entre l'algèbre linéaire « calculatoire » (résolution de systèmes, inversion) et l'algèbre linéaire « conceptuelle » (rang, valeurs propres en seconde année). Cette fiche regroupe les 9 propriétés fondamentales, les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre 2 à 3 points par DS sur ce chapitre.

Au programme MPSI (officiel) — Déterminant d'une matrice carrée : développement de Laplace par une ligne ou une colonne, multilinéarité alternée par rapport aux colonnes (et donc aux lignes),

det (λ A) = λ^{n} det (A)

det (A^{⊤}) = det (A)

det (A B) = det (A) det (B)

, caractérisation de l'inversibilité par

det (A) \neq = 0

, opérations élémentaires sur lignes et colonnes, déterminant d'une matrice triangulaire, cofacteurs, comatrice et formule

A \cdot^{t} com (A) = det (A) I_{n}

Prérequis

Calcul matriciel dans $M_{n} (K)$ : produit, transposée, inverse
Notion de matrice inversible et caractérisation par le rang
Sommes indexées et récurrence sur l'entier $n$
Applications multilinéaires (intuition niveau bilinéaire suffit)

🎯 Accompagnement Majorant

Tu confonds encore cofacteur, mineur et comatrice ? C'est le blocage n°1 en MPSI sur ce chapitre — et il se paye cher en DS. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te débloquent le vocabulaire en une séance, avec exos sur-mesure tirés de tes propres DS et khôlles.

Trouver un mentor MPSI →

1. Définitions essentielles

Dans toute cette fiche, $K$ désigne $R$ ou $C$ , et $M_{n} (K)$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients dans $K$ .

Définition 1.1 — Mineur d'ordre n−1

Soit $A = (a_{i, j}) \in M_{n} (K)$ . Pour $(i, j) \in {1, \dots, n}^{2}$ , on appelle mineur de $A$ en position $(i, j)$ et on note $M_{i, j} (A)$ le déterminant de la matrice de $M_{n - 1} (K)$ obtenue en supprimant la $i$ -ème ligne et la $j$ -ème colonne de $A$ .

Définition 1.2 — Déterminant (par récurrence, formule de Laplace)

On définit le déterminant $det : M_{n} (K) \to K$ par récurrence sur $n$ :

Pour $n = 1$ : si $A = (a)$ , alors $det (A) = a$ .
Pour $n \geq 2$ , on développe par rapport à la première ligne : $det (A) = j = 1 \sum n (- 1)^{1 + j} a_{1, j} M_{1, j} (A) .$

On note indifféremment $det (A)$ ou $∣ A ∣$ . On démontre a posteriori que ce développement par la première ligne donne le même résultat que le développement par n'importe quelle ligne ou colonne (cf. §2.1).

Définition 1.3 — Cofacteur

Avec les mêmes notations, le cofacteur de $A$ en position $(i, j)$ est :

cof_{i, j} (A) = (- 1)^{i + j} M_{i, j} (A) .

La formule de Laplace se relit alors : $det (A) = \sum_{j = 1}^{n} a_{1, j} cof_{1, j} (A)$ .

Définition 1.4 — Comatrice

La comatrice de $A$ , notée $com (A)$ , est la matrice des cofacteurs :

com (A) = (cof_{i, j} (A))_{1 \leq i, j \leq n} = ((- 1)^{i + j} M_{i, j} (A))_{i, j} .

Sa transposée $^{t} com (A)$ — appelée parfois matrice adjointe classique — est l'outil qui permet d'écrire l'inverse de $A$ (cf. §3.4).

⚠ Piège #1 du chapitre — mineur ≠ cofacteur. Le mineur

M_{i, j}

est positif par construction (c'est un déterminant). Le cofacteur ajoute le signe

(- 1)^{i + j}

— c'est lui qui apparaît dans la formule de Laplace, pas le mineur seul. Et la comatrice est la matrice des cofacteurs, qu'il faut ensuite transposer pour obtenir la formule de l'inverse. Trois objets, trois noms, trois rôles : confondre coûte systématiquement 1 à 2 points.

Définition 1.5 — Application multilinéaire alternée

Une application $f : M_{n} (K) \to K$ , vue comme fonction des $n$ colonnes $C_{1}, \dots, C_{n}$ de la matrice, est dite :

multilinéaire si elle est linéaire par rapport à chaque colonne (les $n - 1$ autres étant fixées) ;
alternée si $f (C_{1}, \dots, C_{n}) = 0$ dès que deux colonnes sont égales.

Le déterminant est l'unique application multilinéaire alternée des colonnes qui vaut $1$ sur la matrice identité $I_{n}$ .

2. Propriétés fondamentales

2.1 — Développement de Laplace par n'importe quelle ligne ou colonne

Théorème 2.1 — Développement de Laplace généralisé ★ À savoir démontrer

Pour tout $A \in M_{n} (K)$ et pour tout indice $i_{0} \in {1, \dots, n}$ (resp. $j_{0}$ ), on a :

det (A) = j = 1 \sum n (- 1)^{i_{0} + j} a_{i_{0}, j} M_{i_{0}, j} (A) (d \overset{e}{ˊ} veloppement par la ligne i_{0})

det (A) = i = 1 \sum n (- 1)^{i + j_{0}} a_{i, j_{0}} M_{i, j_{0}} (A) (d \overset{e}{ˊ} veloppement par la colonne j_{0})

Démonstration (schéma — existence et unicité du déterminant)

On admet l'existence et l'unicité de l'application multilinéaire alternée des colonnes qui vaut $1$ sur $I_{n}$ (résultat structurant énoncé en Définition 1.5). Notons $D$ cette application unique.

Étape 1. On vérifie que la formule de la Définition 1.2 (développement par la 1^re ligne) définit bien une application multilinéaire alternée des colonnes qui vaut $1$ sur $I_{n}$ — preuve par récurrence sur $n$ , en utilisant que pour $n - 1$ la propriété est vraie. Donc cette formule coïncide avec $D$ .

Étape 2. Pour le développement par une ligne quelconque $i_{0}$ , on permute la ligne $i_{0}$ avec la ligne $1$ : cela change le signe du déterminant (multilinéarité alternée), et il y a exactement $i_{0} - 1$ transpositions élémentaires pour ramener la ligne $i_{0}$ en position 1, ce qui donne le facteur $(- 1)^{i_{0} - 1}$ . En appliquant le développement par la 1^re ligne sur la matrice permutée, on récupère le facteur $(- 1)^{1 + j}$ , et le produit $(- 1)^{i_{0} - 1} (- 1)^{1 + j} = (- 1)^{i_{0} + j}$ donne la formule annoncée.

Étape 3. Pour le développement par une colonne, on utilise $det (A^{⊤}) = det (A)$ (cf. Proposition 2.3) et on développe par la ligne correspondante de $A^{⊤}$ .

💡 Exemple — Déterminant 3×3 par développement. Soit

A = 1 - 1 0 231042

. On développe par la 1^re colonne (deux

0

à venir, c'est l'astuce) :

det (A) = 1 \cdot 3142 - (- 1) \cdot 2102 + 0 = 1 \cdot (6 - 4) + 1 \cdot (4 - 0) = 2 + 4 = 6.

Choisir la ligne ou la colonne contenant le plus de zéros divise par 2 à 3 le temps de calcul — réflexe à acquérir.

2.2 — Multilinéarité, alternance, det(λA)

Proposition 2.2 — Propriétés immédiates

$det (I_{n}) = 1$ .
Multilinéarité par rapport aux colonnes (et, par 2.3, aux lignes) : si $C_{k} = λ C_{k}^{'} + μ C_{k}^{''}$ , alors $det (\dots, C_{k}, \dots) = λ det (\dots, C_{k}^{'}, \dots) + μ det (\dots, C_{k}^{''}, \dots)$ .
Alternance : si deux colonnes (ou deux lignes) sont égales, $det (A) = 0$ .
Effet d'un scalaire global : pour tout $λ \in K$ , $det (λ A) = λ^{n} det (A) .$ (Chacune des $n$ colonnes est multipliée par $λ$ — on sort $λ$ une fois par colonne, soit $n$ fois.)

⚠ Piège classique — det(λA) = λⁿ det(A), pas λ det(A). L'oubli du

n

en exposant est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Garde en tête : le déterminant n'est pas linéaire en

A

, seulement multilinéaire par rapport à chaque colonne. La nuance vaut typiquement 1 point sec en concours.

2.3 — Invariance par transposition

Proposition 2.3 — det(Aᵀ) = det(A)

Pour tout $A \in M_{n} (K)$ :

det (A^{⊤}) = det (A) .

Conséquence majeure : toutes les propriétés énoncées sur les colonnes valent à l'identique sur les lignes (multilinéarité, alternance, opérations élémentaires).

2.4 — Déterminant d'un produit

Théorème 2.4 — det(AB) = det(A)·det(B) ★ À savoir démontrer

Pour tous $A, B \in M_{n} (K)$ :

det (A B) = det (A) \cdot det (B) .

Démonstration (via l'unicité du déterminant)

Cas 1 : $A$ inversible. Fixons $A$ et considérons l'application $φ : M_{n} (K) \to K, B ⟼ det (A B) .$ Vue comme fonction des colonnes de $B$ , $φ$ est multilinéaire alternée : si $B = (C_{1}, \dots, C_{n})$ , alors $A B = (A C_{1}, \dots, A C_{n})$ — multiplier à gauche par $A$ commute avec les combinaisons linéaires de colonnes, et conserve l'égalité de deux colonnes (donc l'alternance). De plus, $φ (I_{n}) = det (A)$ . Par unicité de l'application multilinéaire alternée des colonnes, à un facteur près : $φ (B) = φ (I_{n}) \cdot det (B) = det (A) \cdot det (B) .$

Cas 2 : $A$ non inversible. Alors $det (A) = 0$ (cf. Théorème 3.1 ci-dessous). Comme $A$ n'est pas inversible, ses colonnes sont liées, donc celles de $A B$ aussi (l'image $A B (e_{j}) = A \cdot B e_{j}$ reste dans l'image de $A$ , qui est de dimension $< n$ ). Donc $det (A B) = 0 = det (A) det (B)$ . La formule reste valable.

Corollaire 2.5 — Déterminant de l'inverse

Si $A \in M_{n} (K)$ est inversible, alors :

det (A^{- 1}) = \frac{1}{det ( A )} .

En effet, $A \cdot A^{- 1} = I_{n}$ donne $det (A) \cdot det (A^{- 1}) = det (I_{n}) = 1$ .

🧑‍🏫 Verrouille la démo det(AB)

La démo de $det (A B) = det (A) det (B)$ est la plus tombée en khôlle MPSI. Sa subtilité — passer par l'unicité de l'application multilinéaire alternée — désarçonne 1 élève sur 2. En 1h avec un mentor Majorant alumni de l'X, tu la maîtrises pour de bon : énoncé, structure cas / cas, variantes posées à l'oral.

Réserver une séance ciblée →

3. Inversibilité, opérations élémentaires et inverse par comatrice

3.1 — Critère d'inversibilité par le déterminant

Théorème 3.1 — A inversible ⇔ det(A) ≠ 0 ★ À savoir démontrer

Soit $A \in M_{n} (K)$ . On a l'équivalence :

A est inversible ⟺ det (A) \neq = 0.

Démonstration (deux sens via produit et comatrice)

Sens $\Rightarrow$ . Si $A$ est inversible, il existe $B$ telle que $A B = I_{n}$ . En prenant le déterminant : $det (A) det (B) = det (I_{n}) = 1$ , donc $det (A) \neq = 0$ (et au passage $det (B) = 1/ det (A)$ , ce qui re-démontre le Corollaire 2.5).

Sens $\Leftarrow$ . Supposons $det (A) \neq = 0$ . On va construire explicitement un inverse via la comatrice. La formule clé (cf. Théorème 3.5 ci-dessous) : $A \cdot^{t} com (A) = det (A) I_{n},$ nous donne, en divisant par $det (A) \neq = 0$ : $A \cdot (\frac{1}{det ( A )}^{t} com (A)) = I_{n} .$ Donc $A$ est inversible, d'inverse $\frac{1}{det ( A )} \cdot^{t} com (A)$ .

📝 Pourquoi c'est le théorème central du chapitre. Toute la puissance du déterminant tient dans cet énoncé : en une seule valeur scalaire, on lit si la matrice est inversible. C'est ce qui rend les déterminants indispensables pour étudier les systèmes linéaires (Cramer), les valeurs propres (

det (A - λ I) = 0

en spé), et les changements de base.

3.2 — Opérations élémentaires sur lignes et colonnes

Proposition 3.2 — Effet des opérations élémentaires

Soient $L_{1}, \dots, L_{n}$ (resp. $C_{1}, \dots, C_{n}$ ) les lignes (resp. colonnes) de $A$ .

Transposition $L_{i} \leftrightarrow L_{j}$ ( $i \neq = j$ ) : change $det (A)$ en $- det (A)$ (alternance).
Dilatation $L_{i} \leftarrow λ L_{i}$ avec $λ \neq = 0$ : multiplie $det (A)$ par $λ$ (multilinéarité).
Transvection $L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{j}$ avec $i \neq = j$ : NE CHANGE PAS $det (A)$ . C'est l'opération de pivot par excellence — celle qui permet de calculer un déterminant en triangularisant.

Mêmes énoncés sur les colonnes (par invariance $det (A^{⊤}) = det (A)$ ).

📐 Méthode-type — Calculer un déterminant par pivot de Gauss.

Repérer un coefficient non nul dans la 1^re colonne (idéalement $a_{1, 1} \neq = 0$ ; sinon permuter avec une ligne où ce coefficient est non nul — noter le changement de signe).
Annuler la colonne sous le pivot via des transvections $L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{1}$ : ces opérations ne changent pas le déterminant.
Recommencer sur la sous-matrice obtenue en supprimant la première ligne et la première colonne.
Au final, la matrice est triangulaire : le déterminant est le produit des éléments diagonaux (cf. Proposition 3.3), à multiplier par $(- 1)^{p}$ où $p$ est le nombre de permutations effectuées.

Complexité :

O (n^{3})

, à comparer aux

O (n!)

du développement de Laplace naïf. Sur un

5 \times 5

, c'est déjà l'écart entre « 30 secondes » et « 20 minutes ».

3.3 — Déterminant d'une matrice triangulaire

Proposition 3.3 — Déterminant d'une matrice triangulaire

Si $T \in M_{n} (K)$ est triangulaire (supérieure OU inférieure), alors :

det (T) = i = 1 \prod n t_{i, i} .

Cas particulier — matrice diagonale : $det (diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})) = λ_{1} \dots λ_{n}$ .

Cas particulier — matrice triangulaire avec un zéro sur la diagonale : $det (T) = 0$ , donc $T$ n'est pas inversible. Réciproquement, une matrice triangulaire est inversible ssi tous ses coefficients diagonaux sont non nuls.

3.4 — Comatrice et formule de l'inverse

Théorème 3.5 — Formule de l'inverse par comatrice ★ À savoir démontrer

Pour tout $A \in M_{n} (K)$ , on a la formule clé :

A \cdot^{t} com (A) =^{t} com (A) \cdot A = det (A) I_{n} .

Si $det (A) \neq = 0$ , on en déduit :

A^{- 1} = \frac{1}{det ( A )}^{t} com (A) .

Démonstration (calcul du coefficient (i, k) du produit)

Notons $B = A \cdot^{t} com (A)$ . Le coefficient $(i, k)$ de $B$ est : $b_{i, k} = j = 1 \sum n a_{i, j} \cdot (^{t} com (A))_{j, k} = j = 1 \sum n a_{i, j} \cdot cof_{k, j} (A) = j = 1 \sum n (- 1)^{k + j} a_{i, j} M_{k, j} (A) .$

Cas $i = k$ : on reconnaît exactement le développement de Laplace par la ligne $i$ de $A$ , donc $b_{i, i} = det (A)$ .

Cas $i \neq = k$ : la somme $\sum_{j} (- 1)^{k + j} a_{i, j} M_{k, j} (A)$ est égale au développement par la ligne $k$ du déterminant de la matrice $A^{'}$ obtenue à partir de $A$ en remplaçant la ligne $k$ par la ligne $i$ . Mais $A^{'}$ a alors deux lignes égales (la ligne $i$ figure en position $i$ ET en position $k$ ), donc $det (A^{'}) = 0$ par alternance.

Conclusion : $b_{i, k} = det (A) δ_{i, k}$ , soit $B = det (A) I_{n}$ . Le calcul de $^{t} com (A) \cdot A$ se fait symétriquement (développement par colonne).

💡 Exemple — Inverse d'une matrice 2×2 par comatrice. Soit

A = (a c b d)

. On a

det (A) = a d - b c

. Les cofacteurs sont

cof_{1, 1} = d, cof_{1, 2} = - c, cof_{2, 1} = - b, cof_{2, 2} = a

. Donc

com (A) = (d - b - c a)

^{t} com (A) = (d - c - b a)

. Si

a d - b c \neq = 0

A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a) .

C'est la formule à connaître par cœur — elle se dérive en 10 secondes via la comatrice, là où la méthode du pivot prend 2 minutes.

⚠ Piège — n'oublie pas la transposée. L'inverse fait intervenir

^{t} com (A)

, pas

com (A)

seule. Beaucoup d'élèves écrivent «

A^{- 1} = \frac{1}{d e t ( A )} com (A)

» et obtiennent un résultat faux. Astuce mnémo : c'est la matrice transposée des cofacteurs qui « inverse les rôles » ligne-colonne, ce qui est précisément ce que fait l'inversion.

4. Applications et calculs récurrents

4.1 — Déterminant de Vandermonde (classique de concours)

Proposition 4.1 — Déterminant de Vandermonde

Pour $x_{1}, \dots, x_{n} \in K$ , le déterminant

V (x_{1}, \dots, x_{n}) = 11 ⋮ 1 x_{1} x_{2} ⋮ x_{n} x_{1}^{2} x_{2}^{2} ⋮ x_{n}^{2} \dots \dots \dots x_{1}^{n - 1} x_{2}^{n - 1} ⋮ x_{n}^{n - 1} = 1 \leq i < j \leq n \prod (x_{j} - x_{i}) .

Conséquence : $V \neq = 0$ ssi tous les $x_{i}$ sont distincts — résultat-pivot pour les interpolations polynomiales.

4.2 — Déterminant par blocs triangulaires

Proposition 4.2 — Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs

Si $M = (A 0 B D)$ où $A \in M_{p} (K)$ , $D \in M_{q} (K)$ et $B \in M_{p, q} (K)$ , alors :

det (M) = det (A) \cdot det (D) .

Attention : pour une matrice par blocs quelconque, $det (A C B D) \neq = det (A) det (D) - det (B) det (C)$ en général. La formule $A D - B C$ n'est valable qu'en dimension $2 \times 2$ à coefficients scalaires.

4.3 — Formules de Cramer (pour un système n×n)

Théorème 4.3 — Formules de Cramer

Soit $A X = b$ un système linéaire avec $A \in M_{n} (K)$ inversible. Alors l'unique solution $X = (x_{1}, \dots, x_{n})^{⊤}$ est donnée par :

x_{k} = \frac{det ( A _{k} )}{det ( A )},

où $A_{k}$ est la matrice obtenue en remplaçant la $k$ -ème colonne de $A$ par le second membre $b$ .

📝 Cramer : utile en théorie, peu en pratique. Les formules de Cramer sont magnifiques pour démontrer qu'une solution existe et est unique — ou pour calculer une coordonnée précise sans résoudre tout le système. En revanche, leur complexité

O (n \cdot n!)

les rend inopérantes pour

n \geq 4

: on préfère le pivot de Gauss.

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont signalées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves d'algèbre linéaire mobilisant les déterminants. Elles coûtent entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Oublier le $n$ en exposant dans $det (λ A)$ . Écrire

det (λ A) = λ det (A)

au lieu de

λ^{n} det (A)

est l'erreur n°1 sanctionnée. Réflexe : le déterminant est multilinéaire par colonne —

λ

sort une fois par colonne, soit

n

fois.

⚠ Erreur 2 — Confondre cofacteur et mineur. Le cofacteur

cof_{i, j} = (- 1)^{i + j} M_{i, j}

inclut le signe alterné. Beaucoup d'élèves oublient ce signe en développant Laplace ou en construisant la comatrice — d'où un résultat faux. Astuce mnémo : le « damier de signes »

+ - + - + - + - +

suffit à placer les signes sur un

3 \times 3

⚠ Erreur 3 — Oublier la transposée dans la formule de l'inverse. Écrire «

A^{- 1} = \frac{1}{d e t ( A )} com (A)

» au lieu de «

A^{- 1} = \frac{1}{d e t ( A )}^{t} com (A)

» donne une matrice qui n'est pas l'inverse de

A

(sauf cas dégénérés où

A

est symétrique avec comatrice symétrique). C'est l'erreur la plus chère, parce qu'elle propage des résultats faux dans tout l'exercice.

⚠ Erreur 4 — Ajouter $λ L_{j}$ avec $j = i$ . L'opération

L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{j}

ne conserve le déterminant que si $i \neq = j$ . Si

j = i

, on fait en réalité

L_{i} \leftarrow (1 + λ) L_{i}

, qui multiplie le déterminant par

1 + λ

. C'est piégeux car la notation est très proche, et l'erreur passe inaperçue dans une copie pressée.

⚠ Erreur 5 — Conclure « $A$ inversible » sans avoir vérifié que $det (A) \neq = 0$ . Le théorème 3.1 fonctionne dans les deux sens, mais la démarche logique en copie doit être explicite : « je calcule

det (A) = \dots \neq = 0

, donc par le théorème,

A

est inversible ». Sauter le calcul du déterminant et invoquer le théorème sans valeur explicite est sanctionné comme un raisonnement incomplet.

6. Pour aller plus loin

Le déterminant est un outil-pivot du programme MPSI et il se réinvestit massivement en seconde année. Les chapitres directement nourris par cette fiche :

Réduction des endomorphismes (MP/PC/PSI) — Le polynôme caractéristique $χ_{A} (λ) = det (A - λ I_{n})$ calcule les valeurs propres.
Systèmes différentiels linéaires — Le wronskien (déterminant des solutions) caractérise l'indépendance des solutions d'une EDL.
Géométrie euclidienne — Le déterminant calcule aires et volumes orientés, et oriente l'espace (déterminants positifs = bases directes).

🚀 Stage intensif Majorant

Tu veux verrouiller tout le bloc algèbre linéaire avant le DS ? Nos stages intensifs vacances (1 semaine, 25h) reprennent matrices, déterminants, systèmes linéaires et espaces vectoriels avec exos type concours, khôlles blanches et plan de révision personnalisé. Encadrés par des alumni X-ENS, Centrale et Mines.

Voir les stages MPSI →

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS portant sur les déterminants, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu énoncer la formule de Laplace de développement par une ligne et par une colonne ?
Sais-tu distinguer mineur, cofacteur et comatrice (et placer correctement les signes $(- 1)^{i + j}$ ) ?
Sais-tu calculer un déterminant $3 \times 3$ en moins d'une minute en choisissant la bonne ligne (ou colonne) de développement ?
Sais-tu énoncer les 4 propriétés fondamentales : $det (I_{n}) = 1$ , multilinéarité, alternance, $det (λ A) = λ^{n} det (A)$ ?
Sais-tu démontrer $det (A B) = det (A) \cdot det (B)$ par unicité de l'application multilinéaire alternée ?
Sais-tu énoncer et démontrer le théorème $A$ inversible $\Leftrightarrow det (A) \neq = 0$ ?
Sais-tu calculer un déterminant par opérations élémentaires (pivot de Gauss) en notant les changements de signe ?
Sais-tu énoncer la formule $A \cdot^{t} com (A) = det (A) I_{n}$ et la démontrer en calculant le coefficient $(i, k)$ ?
Sais-tu retrouver la formule de l'inverse d'une matrice $2 \times 2$ par comatrice, sans hésiter sur les signes ?
Connais-tu le déterminant de Vandermonde et son rôle pour les interpolations polynomiales ?
Sais-tu énoncer les formules de Cramer et expliquer pourquoi on les utilise peu en pratique ?

Démonstrations à savoir refaire

Développement de Laplace par n'importe quelle ligne — unicité du déterminant + permutation ligne 1 ↔ ligne $i_{0}$
$det (A B) = det (A) \cdot det (B)$ — fixer $A$ , regarder $B \mapsto det (A B)$ comme application multilinéaire alternée des colonnes
$A$ inversible $\Leftrightarrow det (A) \neq = 0$ — sens direct par produit, sens réciproque par construction via comatrice
Formule $A \cdot^{t} com (A) = det (A) I_{n}$ — calculer le coefficient $(i, k)$ , reconnaître Laplace si $i = k$ , invoquer l'alternance sinon