Familles sommables

Vue d'ensemble

Les séries additionnent des termes DANS L'ORDRE. Mais que faire d'une somme indexée par $Z$ , par $N^{2}$ , ou par un ensemble sans ordre naturel ? La notion de famille sommable répond : une somme « sans ordre », qui généralise l'absolue convergence et rend légitimes les manipulations qu'on faisait « à la main » — regrouper les termes, intervertir deux sommations (théorème de Fubini discret), réindexer librement. C'est l'outil rigoureux derrière les produits de séries, les sommes doubles et les calculs de probabilités discrètes. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Familles sommables de réels ou de complexes : familles sommables de réels positifs (somme comme borne supérieure des sommes finies), familles sommables quelconques (sommabilité = sommabilité des modules) ; propriétés (linéarité, sous-familles) ; théorème de sommation par paquets (associativité), théorème de Fubini pour les familles sommables (interversion des sommations doubles) ; lien avec les séries (une famille indexée par ℕ est sommable ssi la série converge absolument).

Prérequis

Séries numériques : convergence absolue, séries à termes positifs
Borne supérieure dans ℝ (axiome de la borne sup)
Manipulation des ensembles finis et dénombrables

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1. Familles de réels positifs

Définition 1.1 — Famille indexée, ensemble dénombrable

Une famille $(u_{i})_{i \in I}$ est une application $i \mapsto u_{i}$ définie sur un ensemble d'indices $I$ . Un ensemble est dénombrable s'il est en bijection avec $N$ (ou fini) : c'est le cadre des familles sommables ( $I$ fini ou dénombrable, comme $Z$ , $N^{2}$ , $Q$ …). L'intérêt : sommer sans imposer d'ORDRE sur $I$ .

Définition 1.2 — Famille sommable de réels positifs

Soit $(u_{i})_{i \in I}$ une famille de réels positifs indexée par un ensemble $I$ quelconque (au plus dénombrable). Elle est sommable si l'ensemble des sommes finies est majoré, et sa somme est alors la borne supérieure :

i \in I \sum u_{i} = J \subset I, J fini sup i \in J \sum u_{i} .

Si cet ensemble n'est pas majoré, on pose $\sum_{i \in I} u_{i} = + \infty$ (famille non sommable). Aucun ordre n'intervient : la somme ne dépend que de l'ensemble des valeurs.

⚠ Piège — La borne sup porte sur les parties FINIES.

\sum_{i \in I} u_{i} = sup_{J} \sum_{i \in J} u_{i}

où

J

décrit les parties finies de

I

— pas les parties quelconques. C'est ce qui rend la définition utilisable sans ordre : on n'additionne jamais qu'un nombre fini de termes à la fois, puis on passe au sup. Oublier « fini » vide la définition de son sens.

Théorème 1.3 — Lien avec les séries positives

Pour une famille positive indexée par $N$ , la sommabilité équivaut à la convergence de la série $\sum u_{n}$ , et les deux sommes coïncident (les termes étant positifs, l'ordre est indifférent). Plus généralement, une famille positive est sommable si et seulement si, pour UNE énumération $I = {i_{0}, i_{1}, \dots}$ , la série $\sum_{k} u_{i_{k}}$ converge — et alors pour TOUTE énumération.

Théorème 1.4 — Sommation par paquets (cas positif) ★ À savoir démontrer

Soit $(u_{i})_{i \in I}$ positive et $I = ⨆_{n} I_{n}$ une partition de $I$ (paquets disjoints). Alors :

i \in I \sum u_{i} = n \sum (i \in I_{n} \sum u_{i}) (dans [0, + \infty]).

Démonstration (double inégalité sur les sommes finies)

Inégalité $\leq$ . Soit $J \subset I$ fini. Chaque $i \in J$ appartient à un unique paquet $I_{n}$ ; en regroupant, $\sum_{i \in J} u_{i} = \sum_{n} \sum_{i \in J \cap I_{n}} u_{i} \leq \sum_{n} (\sum_{i \in I_{n}} u_{i})$ (chaque somme partielle par paquet est majorée par la somme sur le paquet entier). En passant au sup sur $J$ : $\sum_{I} u_{i} \leq \sum_{n} \sum_{I_{n}} u_{i}$ .

Inégalité $\geq$ . Fixons $N$ et, pour chaque $n \leq N$ , une partie finie $J_{n} \subset I_{n}$ . La réunion $J = ⋃_{n \leq N} J_{n}$ est finie, incluse dans $I$ , donc $\sum_{n \leq N} \sum_{J_{n}} u_{i} = \sum_{J} u_{i} \leq \sum_{I} u_{i}$ . En prenant le sup sur les $J_{n}$ (chaque paquet), puis sur $N$ : $\sum_{n} \sum_{I_{n}} u_{i} \leq \sum_{I} u_{i}$ .

Les deux inégalités donnent l'égalité. C'est l'ASSOCIATIVITÉ des sommes positives — toujours vraie (même si tout vaut $+ \infty$ ), et la base de tout le chapitre.

2. Familles quelconques : sommabilité = sommabilité des modules

Définition 2.1 — Famille sommable (réelle ou complexe)

Une famille $(u_{i})_{i \in I}$ de réels ou de complexes est sommable si la famille des modules $(∣ u_{i} ∣)_{i \in I}$ est sommable (au sens positif) :

i \in I \sum ∣ u_{i} ∣ < + \infty.

On définit alors sa somme $\sum_{i \in I} u_{i}$ (par $u_{i}^{+} - u_{i}^{-}$ dans le cas réel, ou parties réelle/imaginaire dans le cas complexe). C'est l'analogue EXACT de l'absolue convergence : « sommable » = « absolument sommable ».

Définition 2.2 — Support d'une famille

Le support d'une famille $(u_{i})_{i \in I}$ est l'ensemble des indices où elle est non nulle : $Supp = {i \in I, u_{i} \neq = 0}$ . Une famille sommable a un support au plus dénombrable (même si $I$ ne l'est pas) : seuls dénombrablement de termes peuvent être non nuls, car pour tout $ε > 0$ , l'ensemble ${i, ∣ u_{i} ∣ \geq ε}$ est FINI (sinon la somme des modules divergerait). On se ramène ainsi toujours à un ensemble d'indices dénombrable.

Proposition 2.3 — Propriétés

Linéarité : si $(u_{i})$ et $(v_{i})$ sont sommables, $(λ u_{i} + μ v_{i})$ l'est, et $\sum (λ u_{i} + μ v_{i}) = λ \sum u_{i} + μ \sum v_{i}$ .
Majoration : $∣ \sum_{i} u_{i} ∣ \leq \sum_{i} ∣ u_{i} ∣$ .
Sous-famille : toute sous-famille d'une famille sommable est sommable.
Indépendance de l'ordre : la somme ne dépend PAS d'une énumération (contrairement à une série semi-convergente). Réordonner librement est légitime.

⚠ Piège — « Sommable » exige les MODULES, toujours. Une famille indexée par

N

est sommable si et seulement si la série est ABSOLUMENT convergente. La série harmonique alternée

\sum (- 1)^{n} / n

converge, mais la famille

((- 1)^{n} / n)_{n}

n'est PAS sommable (

\sum 1/ n = + \infty

). Une famille sommable se manipule sans souci ; une série semi-convergente, non. Ne jamais dire « sommable » pour « convergente ».

3. Le théorème de Fubini pour les familles sommables

Définition 3.1 — Partition et sommation par paquets

Une partition de $I$ en paquets est une écriture $I = ⨆_{n} I_{n}$ où les $I_{n}$ sont deux à deux disjoints et de réunion $I$ . Sommer par paquets, c'est calculer $\sum_{I} u_{i}$ en additionnant d'abord dans chaque paquet, puis les totaux : $\sum_{n} (\sum_{I_{n}} u_{i})$ . Le cas des sommes doubles (partitions de $N^{2}$ par lignes ou colonnes) donne le théorème de Fubini.

Théorème 3.2 — Sommation par paquets (cas général) et Fubini ★ À savoir démontrer

Soit $(u_{i})_{i \in I}$ SOMMABLE et $I = ⨆_{n} I_{n}$ une partition. Alors chaque sous-famille $(u_{i})_{i \in I_{n}}$ est sommable, la série $\sum_{n} (\sum_{I_{n}} u_{i})$ converge, et :

i \in I \sum u_{i} = n \sum (i \in I_{n} \sum u_{i}) .

Cas des sommes doubles (Fubini) : si $(u_{p, q})_{(p, q) \in N^{2}}$ est sommable, alors on peut sommer « ligne par ligne » ou « colonne par colonne », avec le même résultat :

(p, q) \sum u_{p, q} = p \sum (q \sum u_{p, q}) = q \sum (p \sum u_{p, q}) .

Démonstration (se ramener au cas positif par les modules)

Étape 1 — sommabilité contrôlée par les modules. Par hypothèse $\sum_{I} ∣ u_{i} ∣ < + \infty$ . Le théorème de sommation par paquets POSITIF (théorème 1.4) appliqué à $(∣ u_{i} ∣)$ donne $\sum_{n} \sum_{I_{n}} ∣ u_{i} ∣ = \sum_{I} ∣ u_{i} ∣ < + \infty$ . En particulier chaque $\sum_{I_{n}} ∣ u_{i} ∣$ est fini (sous-famille sommable), et la série $\sum_{n} \sum_{I_{n}} ∣ u_{i} ∣$ converge.

Étape 2 — passage aux familles signées. On applique le résultat aux parties positive et négative $u_{i}^{\pm}$ (ou réelle/imaginaire), qui sont positives et sommables ( $u_{i}^{\pm} \leq ∣ u_{i} ∣$ ). Par le cas positif, $\sum_{I} u_{i}^{\pm} = \sum_{n} \sum_{I_{n}} u_{i}^{\pm}$ . Par linéarité $u_{i} = u_{i}^{+} - u_{i}^{-}$ , on recolle : $\sum_{I} u_{i} = \sum_{n} \sum_{I_{n}} u_{i}$ .

Étape 3 — Fubini. Fubini est le cas particulier de deux partitions de $N^{2}$ : par lignes ( $I_{p} = {p} \times N$ ) et par colonnes ( $I_{q} = N \times {q}$ ). L'HYPOTHÈSE DE SOMMABILITÉ (une seule des deux sommes des modules finie suffit à la vérifier) est ce qui autorise l'interversion.

📐 Méthode-type — Intervertir deux sommations (Fubini discret).

Vérifier la sommabilité : calculer (ou majorer) $\sum_{p} \sum_{q} ∣ u_{p, q} ∣$ . Si c'est FINI, la famille est sommable — c'est le seul prérequis, à ne jamais sauter.
Intervertir librement : une fois la sommabilité acquise, choisir l'ordre de sommation le plus commode (par lignes, par colonnes, par diagonales…).
Sommation par paquets : pour une somme sur $N^{2}$ , on peut aussi regrouper par « diagonales » $p + q = n$ — c'est ce qui donne le produit de Cauchy.
Conclure et contrôler : le résultat ne dépend pas de l'ordre choisi (c'est tout l'intérêt) ; vérifier sur un cas simple si possible.

💡 Exemple — Une somme double par Fubini. Calculer

S = \sum_{p \geq 1} \sum_{q \geq 1} \frac{1}{p ^{2} q ^{2}}

. La famille est positive, donc l'interversion est toujours licite (cas positif) :

S = (\sum_{p} \frac{1}{p ^{2}}) (\sum_{q} \frac{1}{q ^{2}}) = (\frac{π ^{2}}{6})^{2} = \frac{π ^{4}}{36}

. Pour une famille de SIGNE VARIABLE, il aurait fallu D'ABORD vérifier

\sum_{p, q} ∣ u_{p, q} ∣ < \infty

. Schéma type des sommes doubles de concours.

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4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Les familles sommables sont un outil de rigueur — les erreurs sont surtout des sauts d'hypothèses. Relevé des rapports (X-ENS, Mines-Ponts, Centrale, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Intervertir deux sommes sans vérifier la sommabilité. Fubini discret exige

\sum ∣ u_{p, q} ∣ < \infty

. Sans cette vérification, l'interversion est INJUSTIFIÉE (et peut être fausse : il existe des sommes doubles où les deux ordres donnent des résultats différents). Toujours écrire « la famille est sommable car… » avant d'intervertir.

⚠ Erreur 2 — Confondre « sommable » et « convergente ». Sommable = absolument sommable (modules). Une série semi-convergente n'est PAS une famille sommable. Le vocabulaire est strict : « la famille est sommable » signifie que

\sum ∣ u_{i} ∣ < \infty

, rien de moins.

⚠ Erreur 3 — Croire que le cas positif exige une hypothèse de sommabilité. Pour des termes POSITIFS, la sommation par paquets et Fubini sont TOUJOURS valables (dans

[0, + \infty]

), même si la somme vaut

+ \infty

. L'hypothèse de sommabilité n'est requise que pour les familles de signe variable. Se souvenir : positif = tout est permis.

⚠ Erreur 4 — Oublier que la somme est indépendante de l'ordre. C'est l'intérêt même des familles sommables : contrairement aux séries, on réordonne et on regroupe librement. Ne pas s'inquiéter de « dans quel ordre sommer » une fois la sommabilité acquise — c'est justement ce qu'elle garantit.

⚠ Erreur 5 — Majorer une somme double par une seule des deux sommations. Pour prouver la sommabilité, il suffit que

\sum_{p} (\sum_{q} ∣ u_{p, q} ∣) < \infty

\sum_{q} (\sum_{p} ∣ u_{p, q} ∣) < \infty

: le théorème positif garantit que si l'une est finie, l'autre l'est aussi et vaut pareil. Choisir l'ordre le plus FACILE à majorer pour établir la sommabilité — astuce de rédaction efficace.

5. Pour aller plus loin

Les familles sommables sont le socle rigoureux de plusieurs chapitres :

Séries entières et produit de Cauchy — le produit de deux séries absolument convergentes se justifie par Fubini discret sur $N^{2}$ (sommation par diagonales).
Probabilités discrètes — l'espérance d'une somme, la loi d'un couple, les fonctions génératrices : tout repose sur des interversions de sommes justifiées par la sommabilité.
Séries de fonctions — l'intégration terme à terme et la double sommation $\sum_{n} \int f_{n} = \int \sum_{n} f_{n}$ sont les analogues continus / mixtes.
Analyse (culture) — la théorie de l'intégration de Lebesgue généralise ces idées ; les familles sommables en sont le cas discret.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir une famille positive sommable par la borne sup des sommes finies ?
Sais-tu que pour les positifs, sommabilité = convergence de la série (ordre indifférent) ?
Sais-tu démontrer la sommation par paquets dans le cas positif (double inégalité) ?
Sais-tu définir « famille sommable » par la sommabilité des MODULES ?
Connais-tu les propriétés (linéarité, majoration par les modules, sous-famille, ordre indifférent) ?
Sais-tu pourquoi une série semi-convergente ne donne PAS une famille sommable ?
Sais-tu énoncer le théorème de sommation par paquets général et Fubini discret ?
Sais-tu démontrer Fubini en se ramenant au cas positif par les modules ?
Sais-tu dérouler la méthode « vérifier la sommabilité, puis intervertir » ?
Sais-tu que le cas positif ne demande AUCUNE hypothèse de sommabilité ?
Sais-tu calculer une somme double positive (ex. π⁴/36) et quand vérifier les modules ?
Sais-tu qu'on peut prouver la sommabilité en majorant l'ordre le plus facile ?

Démonstrations à savoir refaire

Sommation par paquets (positif) — double inégalité sur les sommes finies
Fubini pour familles sommables — contrôle par les modules puis parties positive/négative

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Familles de réels positifs

2. Familles quelconques : sommabilité = sommabilité des modules

3. Le théorème de Fubini pour les familles sommables

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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