Calcul matriciel

Soient $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et 𝕂 un corps (𝕂 = ℝ ou ℂ en MPSI). Une matrice de taille $m\times n$ à coefficients dans 𝕂 est une famille $A=(a_{i,j}{)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}$ où $a_{i,j}\in \mathbb{K}$ est le coefficient situé à la $i$-ième ligne et la $j$-ième colonne. On note ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{K})$ l'ensemble de ces matrices. Si $m=n$, on parle de matrice carrée d'ordre $n$, et on note ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$.

Pour $A=(a_{i,j})$, $B=(b_{i,j})$ dans ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{K})$ et $\lambda \in \mathbb{K}$ : $A+B=(a_{i,j}+b_{i,j})$ (addition coefficient par coefficient) et $\lambda A=(\lambda \cdot a_{i,j})$. Ces opérations exigent même taille pour $A$ et $B$.

Pour $A=(a_{i,j})\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{K})$ et $B=(b_{j,k})\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$, le produit $AB$ est la matrice de ${\mathcal{M}}_{m,p}(\mathbb{K})$ définie par :

Compatibilité : $AB$ n'est défini que si nombre de colonnes de $A$ = nombre de lignes de $B$. Mnémotechnique : $(m\times n)\cdot (n\times p)=(m\times p)$.

$I_n=({\delta }_{i,j}{)}_{1\le i,j\le n}$ où ${\delta }_{i,j}=1$ si $i=j$ et $0$ sinon. $I_n$ est l'élément neutre du produit : $A\cdot I_n=A$ et $I_m\cdot A=A$ pour tout $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{K})$.

Pour $A=(a_{i,j})\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{K})$, la transposée $A^T\in {\mathcal{M}}_{n,m}(\mathbb{K})$ est définie par $(A^T{)}_{i,j}=a_{j,i}$ — on échange lignes et colonnes.

Une matrice carrée $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est symétrique si $A^T=A$ ($a_{i,j}=a_{j,i}$), antisymétrique si $A^T=-A$ ($a_{i,j}=-a_{j,i}$, donc $a_{i,i}=0$). On note ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{K})$ et ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{K})$ ces sous-espaces ; on a la somme directe ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})={\mathcal{S}}_n(\mathbb{K})\oplus {\mathcal{A}}_n(\mathbb{K})$ via $A=\frac{1}{2}(A+A^T)+\frac{1}{2}(A-A^T)$.

Pour $A=(a_{i,j})\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, la trace est la somme des coefficients diagonaux : $\mathrm{tr}(A)={\sum }_{i=1}^n{a}_{i,i}$.

$A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est diagonale si $a_{i,j}=0$ pour $i\ne j$ — on note $A=\mathrm{diag}(d_1,\dots ,d_n)$. Elle est scalaire si $A=\lambda I_n$ (diagonale avec tous les coefficients diagonaux égaux).

$A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est triangulaire supérieure si $a_{i,j}=0$ pour $i>j$, triangulaire inférieure si $a_{i,j}=0$ pour $i<j$. Triangulaire sup et inf simultanément $\iff$ diagonale.

$A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est inversible s'il existe $B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ telle que $AB=BA=I_n$. Si elle existe, $B$ est unique ; on l'appelle l'inverse de $A$ et on la note $A^{-1}$.

L'ensemble $G{L}_n(\mathbb{K})$ des matrices inversibles d'ordre $n$ est un groupe pour le produit matriciel : produit associatif (Théorème 2.1), neutre $I_n$, tout élément admet un inverse. Ce groupe est non commutatif dès $n\ge 2$.

Sur une matrice $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{K})$, on dispose de trois opérations élémentaires sur les lignes :

• (T) Transvection : $L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j$ ($i\ne j$, $\lambda \in \mathbb{K}$) ;
• (D) Dilatation : $L_i\leftarrow \lambda L_i$ ($\lambda \in {\mathbb{K}}^{\ast }$) ;
• (P) Permutation : $L_i\leftrightarrow L_j$.

Les opérations sur les colonnes sont définies analoguement ($C_i\leftarrow C_i+\lambda C_j$, etc.).

Une matrice est échelonnée si les lignes nulles sont en bas et si, dans chaque ligne non nulle, le premier coefficient non nul (pivot) est strictement plus à droite que celui de la ligne précédente. Elle est échelonnée réduite si en plus chaque pivot vaut $1$ et que les colonnes des pivots ne contiennent que des zéros au-dessus.