Intégrales à paramètre

Vue d'ensemble

De nombreuses fonctions importantes ne se définissent PAS par une formule close, mais par une intégrale : $f (x) = \int_{I} g (x, t) d t$ . C'est le cas de la fonction Gamma d'Euler, des transformées de Laplace et de Fourier, de multiples fonctions spéciales. La question centrale : quelles propriétés de $f$ hérite-t-on de celles de $g$ ? Ce chapitre répond par deux théorèmes majeurs — continuité et dérivation sous le signe intégrale (formule de Leibniz) — dont l'hypothèse clé est, comme pour le TCD, une domination par une fonction intégrable indépendante du paramètre. La dérivation sous $\int$ est un OUTIL DE CALCUL redoutable : elle transforme le calcul d'une intégrale coriace en la résolution d'une équation différentielle. Ces théorèmes sont admis, mais leurs applications (et la fonction Gamma) sont parfaitement exigibles. Cette fiche regroupe les 4 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Intégrales dépendant d'un paramètre : continuité d'une fonction définie par une intégrale (théorème de continuité, hypothèse de domination, admis) ; dérivation sous le signe intégrale (formule de Leibniz, domination de

\partial_{x} g

, admis) ; classe

C^{k}

; application à la fonction Gamma d'Euler et au calcul d'intégrales. Domination locale (sur tout segment) suffisante.

Prérequis

Intégrales généralisées et convergence dominée
Dérivation, équations différentielles linéaires du premier ordre
Continuité et dérivabilité des fonctions d'une variable réelle

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1. Continuité sous le signe intégrale

Définition 1.1 — Intégrale à paramètre

Soit $g : A \times I \to R$ , où $A$ est un intervalle de paramètres et $I$ un intervalle d'intégration. La fonction définie par une intégrale à paramètre est :

f (x) = \int_{I} g (x, t) d t, x \in A,

pourvu que, pour chaque $x$ , $t \mapsto g (x, t)$ soit continue par morceaux et intégrable sur $I$ . Le paramètre $x$ est « gelé » pendant l'intégration en $t$ .

Définition 1.2 — Hypothèse de domination

La fonction $g$ est dominée sur $A$ s'il existe $φ : I \to R_{+}$ , continue par morceaux, intégrable et indépendante de $x$ , telle que :

\forall x \in A, \forall t \in I, ∣ g (x, t) ∣ \leq φ (t) .

En pratique, il suffit souvent d'une domination locale : sur tout segment $[a, b] \subset A$ (le $φ$ peut dépendre du segment). C'est la version la plus utile, car la domination globale échoue fréquemment.

Définition 1.3 — Continuité par rapport au paramètre

On dit que $g$ est continue par rapport à $x$ si, pour chaque $t$ fixé, l'application $x \mapsto g (x, t)$ est continue sur $A$ . C'est l'hypothèse de régularité « par tranches » : la continuité en $x$ à $t$ fixé, qui, combinée à la domination, se transmet à $f$ .

Théorème 1.1 — Continuité sous le signe intégrale (admis)

Soit $g : A \times I \to R$ telle que :

pour chaque $x$ , $t \mapsto g (x, t)$ est continue par morceaux sur $I$ ;
pour chaque $t$ , $x \mapsto g (x, t)$ est continue sur $A$ ;
(domination) $∣ g (x, t) ∣ \leq φ (t)$ avec $φ$ intégrable (sur tout segment de $A$ ).

Alors $f (x) = \int_{I} g (x, t) d t$ est définie et continue sur $A$ . Théorème admis ; son application (vérification des hypothèses) est exigible.

⚠ Piège — La domination doit être uniforme en x. Le

φ

qui majore

∣ g (x, t) ∣

ne doit PAS dépendre de

x

(sur le segment considéré). C'est la difficulté centrale : trouver un « chapeau » intégrable valable pour tous les

x

à la fois. Une majoration

∣ g (x, t) ∣ \leq φ_{x} (t)

variant avec

x

ne prouve rien.

2. Dérivation sous le signe intégrale (Leibniz)

Définition 2.1 — Hypothèse de domination de la dérivée

Pour dériver $f$ , on suppose que $g$ admet une dérivée partielle $\frac{\partial g}{\partial x} (x, t)$ , continue en $x$ et continue par morceaux en $t$ , et dominée : il existe $ψ : I \to R_{+}$ intégrable, indépendante de $x$ (sur tout segment), telle que :

\frac{\partial g}{\partial x} (x, t) \leq ψ (t) .

C'est la MÊME logique de domination, appliquée à la dérivée partielle. Elle contrôle la « vitesse de variation » de l'intégrande.

Théorème 2.1 — Formule de Leibniz (dérivation sous ∫, admis)

Sous les hypothèses de continuité (Thm 1.1) et de domination de $\partial_{x} g$ (Déf 2.1), la fonction $f$ est de classe $C^{1}$ sur $A$ et :

f^{'} (x) = \frac{d}{d x} \int_{I} g (x, t) d t = \int_{I} \frac{\partial g}{\partial x} (x, t) d t .

On dérive sous l'intégrale. En itérant (domination de chaque dérivée successive), on obtient la classe $C^{k}$ . Théorème admis.

Théorème 2.2 — Application : calcul d'une intégrale par dérivation ★ À savoir démontrer

Un calcul emblématique où dériver sous $\int$ débloque tout :

F (x) = \int_{0}^{1} \frac{t ^{x} - 1}{ln t} d t = ln (x + 1), x \geq 0.

Démonstration (dérivation sous le signe intégrale)

Posons $g (x, t) = \frac{t ^{x} - 1}{ln t}$ sur $A \times I = [0, + \infty [\times] 0, 1 [$ . On calcule la dérivée partielle : comme $\frac{\partial}{\partial x} (t^{x}) = t^{x} ln t$ , $\frac{\partial g}{\partial x} (x, t) = \frac{t ^{x} ln t}{ln t} = t^{x} .$

Domination : sur un segment $x \in [0, X]$ et $t \in] 0, 1 [$ , on a $t^{x} \leq 1$ (car $t \leq 1$ et $x \geq 0$ ), donc $∣ \partial_{x} g ∣ \leq 1 = ψ (t)$ , intégrable sur $] 0, 1 [$ . Le théorème de Leibniz s'applique : $F^{'} (x) = \int_{0}^{1} t^{x} d t = [\frac{t ^{x + 1}}{x + 1}]_{0}^{1} = \frac{1}{x + 1} .$

Intégration : $F (0) = \int_{0}^{1} \frac{t ^{0} - 1}{ln t} d t = \int_{0}^{1} 0 d t = 0$ . Donc $F (x) = \int_{0}^{x} \frac{d u}{u + 1} = ln (x + 1)$ . CQFD. Une intégrale sans primitive élémentaire, calculée sans jamais primitiver l'intégrande !

📐 Méthode-type — Calculer une intégrale en dérivant sous le signe.

Introduire un paramètre $x$ : écrire l'intégrale cible comme $F (x) = \int_{I} g (x, t) d t$ , avec une valeur connue en un point (souvent $F (0)$ ou $F (+ \infty)$ ).
Vérifier les hypothèses : continuité, existence de $\partial_{x} g$ , et surtout DOMINATION de $\partial_{x} g$ par une fonction intégrable indépendante de $x$ .
Dériver : $F^{'} (x) = \int_{I} \partial_{x} g d t$ , souvent bien plus simple à calculer que $F$ elle-même.
Résoudre l'équation (ou intégrer $F^{'}$ ) et utiliser la valeur connue comme condition initiale pour lever la constante.

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3. La fonction Gamma d'Euler

Définition 2.2 — Fonction Gamma

La fonction Gamma d'Euler est définie, pour $x > 0$ , par l'intégrale à paramètre :

Γ (x) = \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t .

Elle prolonge la factorielle aux réels. Les théorèmes de continuité et de dérivation sous $\int$ (avec domination locale) montrent qu'elle est de classe $C^{\infty}$ sur $] 0, + \infty [$ .

Théorème 3.1 — Équation fonctionnelle de Gamma ★ À savoir démontrer

La fonction Gamma vérifie la relation fondamentale et prolonge la factorielle :

Γ (x + 1) = x Γ (x), Γ (n + 1) = n! (n \in N) .

Démonstration (convergence + intégration par parties)

Convergence : pour $x > 0$ , en $t \to 0^{+}$ , $t^{x - 1} e^{- t} \sim t^{x - 1}$ , intégrable ssi $x - 1 > - 1$ , i.e. $x > 0$ ; en $t \to + \infty$ , $t^{x - 1} e^{- t} = o (1/ t^{2})$ (croissances comparées), intégrable. Donc $Γ (x)$ est bien définie pour $x > 0$ .

Équation fonctionnelle : par intégration par parties sur $Γ (x + 1) = \int_{0}^{+ \infty} t^{x} e^{- t} d t$ , avec $u = t^{x}$ et $d v = e^{- t} d t$ ( $d u = x t^{x - 1} d t$ , $v = - e^{- t}$ ) : $Γ (x + 1) = = 0 [- t^{x} e^{- t}]_{0}^{+ \infty} + x \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t = x Γ (x),$ le crochet étant nul ( $t^{x} e^{- t} \to 0$ en $+ \infty$ et en $0^{+}$ pour $x > 0$ ).

Factorielle : $Γ (1) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} d t = 1$ , puis par récurrence $Γ (n + 1) = n Γ (n) = n (n - 1) \dots 1 \cdot Γ (1) = n!$ . CQFD.

💡 Exemple — La valeur Γ(1/2) = √π. En posant

t = u^{2}

dans

Γ (1/2) = \int_{0}^{+ \infty} t^{- 1/2} e^{- t} d t

, on obtient

Γ (1/2) = 2 \int_{0}^{+ \infty} e^{- u^{2}} d u = π

(intégrale de Gauss). L'équation fonctionnelle donne alors

Γ (3/2) = \frac{1}{2} Γ (1/2) = \frac{π}{2}

, etc. — la fonction Gamma « interpole » les factorielles aux demi-entiers.

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

La dérivation sous $\int$ est puissante mais exige une justification irréprochable. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Dériver sous ∫ sans vérifier la domination de ∂ₓg. La formule

f^{'} = \int \partial_{x} g

n'est valable QUE si

\partial_{x} g

est dominée par une fonction intégrable indépendante de

x

. Écrire directement le résultat « parce que ça marche » est la faute n°1 : les correcteurs exigent l'exhibition explicite de

ψ

⚠ Erreur 2 — Utiliser une domination globale quand seule la locale existe. Pour Gamma, il n'existe PAS de dominante globale sur

] 0, + \infty [

tout entier : il faut travailler sur un segment

[a, b] \subset] 0, + \infty [

et dominer là. Oublier de se placer sur un segment mène à une impasse (aucun

φ

intégrable global).

⚠ Erreur 3 — Oublier de justifier la convergence de l'intégrale de départ. Avant d'étudier

f (x) = \int_{I} g (x, t) d t

, il faut que l'intégrale CONVERGE pour chaque

x

considéré (ex. Gamma n'existe que pour

x > 0

). Étudier la continuité d'une fonction mal définie n'a pas de sens.

⚠ Erreur 4 — Confondre le paramètre et la variable d'intégration. Dans

\int_{I} g (x, t) d t

, on intègre en

t

(

x

est fixé) ; on dérive en

x

(

t

est fixé). Mélanger les rôles — par exemple « sortir » un

t

de l'intégrale comme s'il était constant — est une confusion classique. Bien séparer les deux variables.

⚠ Erreur 5 — Oublier la constante d'intégration (condition initiale). Après avoir calculé

F^{'} (x)

et intégré, il reste une constante à déterminer par une VALEUR connue

F (x_{0})

. L'oublier donne un résultat défini à une constante près — faux. Toujours exhiber un point où

F

se calcule directement (souvent

F (0)

ou une limite).

5. Pour aller plus loin

Les intégrales à paramètre irriguent l'analyse et ses applications :

Transformées de Laplace et Fourier — $\hat{f} (x) = \int f (t) e^{- i x t} d t$ : régularité et calcul reposent sur ces théorèmes.
Fonctions spéciales — Gamma, Bêta, Bessel : toutes définies par des intégrales à paramètre.
Probabilités — fonctions caractéristiques, transformées de moments : des intégrales à paramètre déguisées.
Physique — de nombreuses fonctions de réponse (thermodynamique statistique, optique) sont des intégrales à paramètre.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir une fonction par une intégrale à paramètre f(x) = ∫ g(x,t) dt ?
Sais-tu énoncer le théorème de continuité sous le signe intégrale ?
Sais-tu que la dominante φ doit être intégrable ET indépendante de x ?
Sais-tu que la domination locale (sur tout segment) suffit ?
Sais-tu énoncer la formule de Leibniz f'(x) = ∫ ∂ₓg(x,t) dt ?
Sais-tu qu'il faut dominer ∂ₓg (pas seulement g) pour dériver ?
Sais-tu calculer ∫₀¹ (tˣ−1)/ln t dt = ln(x+1) par dérivation sous ∫ ?
Sais-tu introduire un paramètre et utiliser une condition initiale ?
Sais-tu définir la fonction Gamma Γ(x) = ∫₀^∞ t^(x−1) e^(−t) dt (x > 0) ?
Sais-tu démontrer Γ(x+1) = x Γ(x) par intégration par parties ?
Sais-tu que Γ(n+1) = n! et Γ(1/2) = √π ?
Sais-tu pourquoi il faut une domination locale (pas globale) pour Gamma ?

Démonstrations à savoir refaire

Calcul par dérivation sous ∫ — F(x) = ∫₀¹ (tˣ−1)/ln t dt = ln(x+1)
Équation fonctionnelle de Gamma — convergence, IPP, Γ(n+1) = n!

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Continuité sous le signe intégrale

2. Dérivation sous le signe intégrale (Leibniz)

3. La fonction Gamma d'Euler

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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