Topologie des evn : compacité, connexité, dimension finie

Vue d'ensemble

Dernier volet de topologie, et le plus puissant. La compacité généralise « fermé borné » de $R$ à tous les espaces via Bolzano-Weierstrass, et donne LE théorème d'existence de l'analyse : une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes. La connexité par arcs formalise « en un seul morceau ». Et le théorème de la dimension finie couronne le tout : en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, les compacts sont exactement les fermés bornés, et tout se passe « comme dans $R^{n}$ ». Ce volet règle les questions d'existence des extrema, de densité, de continuité — un vivier de sujets X-ENS. Cette fiche regroupe les théorèmes incontournables (compacité, bornes atteintes, connexité, dimension finie), les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Topologie des evn, troisième volet : parties compactes (définition séquentielle de Bolzano-Weierstrass), compacité et fermé borné, image continue d'un compact, théorème des bornes atteintes ; connexité par arcs, image continue d'un connexe par arcs, cas des parties de

R

(intervalles) ; espaces de dimension finie : équivalence des normes, compacité des fermés bornés, continuité des applications linéaires, complétude (admise).

Prérequis

Topologie 1 et 2 : normes, ouverts/fermés, suites, continuité, image réciproque
Suites numériques : Bolzano-Weierstrass dans ℝ, suites extraites
Théorème des bornes de sup (fonction continue sur un segment)

🎯 Accompagnement Majorant

« La borne inférieure est-elle atteinte ? » — la question qui piège. La compacité y répond en une ligne, à condition de savoir la mobiliser. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font pratiquer le réflexe « compact ⟹ bornes atteintes » sur les sujets d'optimisation et de densité des concours.

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1. Parties compactes

Définition 1.1 — Partie compacte (Bolzano-Weierstrass)

Une partie $K$ d'un evn $E$ est compacte si de toute suite d'éléments de $K$ on peut extraire une sous-suite qui converge vers un élément de $K$ :

\forall (x_{n}) \in K^{N}, \exists φ extractrice, \exists ℓ \in K, x_{φ (n)} \to ℓ .

La convergence ET l'appartenance de la limite à $K$ sont toutes deux exigées.

Définition 1.2 — Valeur d'adhérence

Une valeur d'adhérence d'une suite $(x_{n})$ est la limite d'une de ses suites extraites ( $x_{φ (n)}$ , avec $φ$ strictement croissante). Reformulation de la compacité : $K$ est compact si et seulement si toute suite de $K$ admet au moins une valeur d'adhérence appartenant à $K$ . Une suite convergente a une unique valeur d'adhérence (sa limite) ; une suite bornée de $R$ en a toujours au moins une (Bolzano-Weierstrass).

Théorème 1.3 — Compact ⟹ fermé borné ★ À savoir démontrer

Toute partie compacte de $E$ est fermée et bornée. (La réciproque est vraie en dimension finie — théorème 4.3 — mais FAUSSE en dimension infinie.)

Démonstration (fermé par les suites, borné par l'absurde)

Fermé. Soit $(x_{n})$ une suite de $K$ convergeant vers $x \in E$ . Par compacité, une sous-suite $(x_{φ (n)})$ converge vers un $ℓ \in K$ . Mais $(x_{φ (n)})$ est extraite d'une suite convergente vers $x$ , donc converge aussi vers $x$ : par unicité, $x = ℓ \in K$ . Donc $K$ capture les limites : $K$ est fermé (caractérisation séquentielle).

Borné. Par l'absurde, si $K$ n'était pas borné, on construirait $(x_{n})$ dans $K$ avec $N (x_{n}) \geq n$ . Aucune sous-suite ne peut converger (une suite convergente est bornée), ce qui contredit la compacité. Donc $K$ est borné.

⚠ Piège — En dimension infinie, fermé borné ≠ compact. La boule unité fermée de

(C ([0, 1]), ∥ \cdot ∥_{\infty})

est fermée et bornée mais PAS compacte : la suite

f_{n} (x) = x^{n}

y vit, sans aucune sous-suite convergeant uniformément (sa limite simple est discontinue). « Fermé borné ⟹ compact » est un théorème de dimension FINIE, à ne jamais invoquer sans cette hypothèse.

Proposition 1.4 — Opérations sur les compacts

Une partie fermée d'un compact est compacte ; un produit fini de compacts est compact ; l'intersection d'une famille de compacts est compacte ; l'union FINIE de compacts est compacte. Toute suite d'un compact admet au moins une valeur d'adhérence (dans le compact).

2. Continuité et compacité : le théorème des bornes

Théorème 2.1 — Image continue d'un compact ★ À savoir démontrer

Si $f : K \to F$ est continue et $K$ est compact, alors $f (K)$ est compact.

Démonstration (extraction + caractérisation séquentielle de la continuité)

Soit $(y_{n})$ une suite de $f (K)$ : chaque $y_{n} = f (x_{n})$ avec $x_{n} \in K$ . Par compacité de $K$ , il existe une sous-suite $(x_{φ (n)})$ convergeant vers $ℓ \in K$ . Par continuité de $f$ (caractérisation séquentielle) :

y_{φ (n)} = f (x_{φ (n)}) ⟶ f (ℓ) \in f (K) .

On a extrait de $(y_{n})$ une sous-suite convergeant vers un élément de $f (K)$ : $f (K)$ est compact. Deux ingrédients seulement — extraction dans le compact de départ, continuité séquentielle — et c'est le patron de toutes les démonstrations de compacité.

Théorème 2.2 — Théorème des bornes atteintes

Une fonction continue $f : K \to R$ sur un compact non vide $K$ est bornée et atteint ses bornes : il existe $a, b \in K$ tels que $f (a) = min_{K} f$ et $f (b) = max_{K} f$ .

Preuve express : $f (K)$ est compact (théorème 2.1), donc fermé borné de $R$ ; borné, il admet $sup$ et $in f$ finis ; fermé, il les contient (ce sont des points adhérents). Ces valeurs sont donc atteintes.

📐 Méthode-type — Montrer qu'un extremum est atteint.

Identifier la fonction continue $f$ et le domaine $K$ .
Vérifier la compacité de $K$ : en dimension finie, montrer FERMÉ (image réciproque, inégalités larges) ET BORNÉ.
Si le domaine naturel n'est pas borné : le restreindre à un compact où le min est certainement, en montrant que $f$ « explose » ou dépasse une valeur témoin hors d'une boule (coercivité : $f (x) \to + \infty$ quand $N (x) \to \infty$ ).
Conclure par le théorème des bornes : le min/max est atteint. (C'est ainsi qu'on prouve l'existence d'un vecteur réalisant une distance, d'un polynôme de meilleure approximation, etc.)

💡 Exemple — L'équivalence des normes (le résultat promis). Pour montrer que deux normes

N, N^{'}

sur un espace de dimension finie sont équivalentes, on considère

N / N^{'}

sur la sphère unité

S = {x, N^{'} (x) = 1}

. Cette sphère est fermée bornée, donc COMPACTE (en dimension finie), et

x \mapsto N (x)

y est continue (car

N

est continue pour

N^{'}

) et strictement positive. Par le théorème des bornes, elle y atteint un min

α > 0

et un max

β

: d'où

α N^{'} (x) \leq N (x) \leq β N^{'} (x)

par homogénéité. La compacité fait tout le travail.

3. Connexité par arcs

Définition 3.1 — Connexe par arcs

Une partie $A$ de $E$ est connexe par arcs si deux points quelconques de $A$ peuvent être reliés par un chemin continu tracé dans $A$ : pour tous $x, y \in A$ , il existe $γ : [0, 1] \to A$ continue avec $γ (0) = x$ , $γ (1) = y$ . Intuitivement : $A$ est « en un seul morceau ».

Définition 3.2 — Partie convexe, partie étoilée

$A$ est convexe si pour tous $x, y \in A$ , le segment $[x, y] = {(1 - t) x + t y, t \in [0, 1]}$ est inclus dans $A$ . $A$ est étoilée par rapport à un point $c \in A$ si tout segment $[c, x]$ ( $x \in A$ ) est inclus dans $A$ . Ces deux notions fournissent des chemins explicites (segments) et donc la connexité par arcs.

Proposition 3.3 — Exemples et outils

Tout convexe est connexe par arcs (le segment $[x, y]$ convient) ; plus généralement toute partie étoilée l'est.
Les connexes par arcs de $R$ sont exactement les intervalles.
Si $A$ et $B$ sont connexes par arcs et $A \cap B \neq = \emptyset$ , alors $A \cup B$ est connexe par arcs.

Théorème 3.4 — Image continue d'un connexe par arcs ★ À savoir démontrer

L'image d'un connexe par arcs par une application continue est connexe par arcs. Conséquence (théorème des valeurs intermédiaires généralisé) : une fonction continue $f : A \to R$ sur un connexe par arcs prend toute valeur intermédiaire entre deux de ses valeurs.

Démonstration (composer les chemins) + le TVI généralisé

Soient $y_{1} = f (x_{1})$ et $y_{2} = f (x_{2})$ dans $f (A)$ . Comme $A$ est connexe par arcs, il existe $γ : [0, 1] \to A$ continu reliant $x_{1}$ à $x_{2}$ . Alors $f \circ γ : [0, 1] \to F$ est continue (composée) et relie $y_{1}$ à $y_{2}$ dans $f (A)$ : $f (A)$ est connexe par arcs.

TVI généralisé. Si $f : A \to R$ est continue sur un connexe par arcs $A$ , alors $f (A)$ est connexe par arcs dans $R$ , donc c'est un INTERVALLE : $f$ prend toute valeur comprise entre deux de ses valeurs. C'est exactement le TVI de sup, désormais valable sur n'importe quel domaine « d'un seul tenant ».

💡 Exemple — GLₙ(ℂ) est connexe par arcs, GLₙ(ℝ) ne l'est pas. Sur

C

, on peut toujours relier deux matrices inversibles sans passer par une matrice singulière. Sur

R

, le déterminant (continu) prend des valeurs de signes opposés sur

G L_{n}^{+}

G L_{n}^{-}

: un chemin continu de l'un à l'autre forcerait

det

à s'annuler (TVI), donc à quitter

G L_{n} (R)

G L_{n} (R)

a ainsi deux « composantes ». Argument de connexité type, à savoir manier.

🧑‍🏫 Compacité et connexité, les bons réflexes

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4. Le théorème de la dimension finie

Définition 4.1 — Suite de Cauchy, espace complet

$(x_{n})$ est une suite de Cauchy si $\forall ε > 0, \exists N, \forall p, q \geq N, N (x_{p} - x_{q}) \leq ε$ : les termes se rapprochent les uns des autres. Toute suite convergente est de Cauchy ; un evn est complet si la réciproque vaut (toute suite de Cauchy converge). Les espaces de dimension finie sont complets (admis) — d'où la fermeture de tout sous-espace de dimension finie.

Théorème 4.2 — Équivalence des normes en dimension finie

Sur un espace vectoriel de dimension finie, TOUTES les normes sont équivalentes. Conséquence : les notions topologiques (suites convergentes, ouverts, fermés, compacts, continuité) ne dépendent PAS de la norme choisie — on parle « du » espace, sans préciser la norme.

Idée de preuve (cf. exemple section 2) : comparer une norme quelconque à $∥ \cdot ∥_{\infty}$ sur la sphère unité, compacte car fermée bornée en dimension finie ; le théorème des bornes fournit les constantes.

Théorème 4.3 — Compacts, fermés bornés, continuité en dimension finie

Sur un espace de dimension finie :

les parties compactes sont EXACTEMENT les fermés bornés (Bolzano-Weierstrass généralisé) ;
toute application linéaire (et plus généralement $p$ -linéaire) est continue ;
l'espace est complet (toute suite de Cauchy converge — admis) : un sous-espace de dimension finie d'un evn est toujours fermé.

⚠ Piège — TOUT dépend de « dimension finie ». Équivalence des normes, fermé borné ⟹ compact, linéaire ⟹ continue, sous-espace fermé : ces quatre résultats sont FAUX en dimension infinie (contre-exemples : normes 1/∞ non équivalentes, boule unité de

C^{0}

non compacte, dérivation discontinue,

R [X]

non fermé dans

C^{0}

). Écrire « dimension finie » avant de les invoquer n'est pas une formalité — c'est LE point que les jurys vérifient.

💡 Exemple — Un sous-espace de dimension finie est fermé. Application quotidienne : dans

(C ([0, 1]), ∥ \cdot ∥_{\infty})

, le sous-espace

R_{n} [X]

des polynômes de degré

\leq n

est de dimension finie

n + 1

, donc FERMÉ — ce qui garantit l'existence du polynôme de meilleure approximation d'une fonction continue (projection sur un fermé de dimension finie, via la compacité). Sans la dimension finie, ce résultat d'existence tomberait.

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

La compacité est puissante mais fragile aux oublis d'hypothèses. Relevé des rapports (X-ENS, Mines-Ponts, Centrale, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Invoquer « fermé borné ⟹ compact » sans la dimension finie. C'est LA faute-signature du chapitre. En dimension infinie, c'est faux (boule unité de

C^{0}

). Toute utilisation de ce sens de l'équivalence exige d'écrire « en dimension finie ».

⚠ Erreur 2 — Conclure qu'un extremum est atteint sans compacité. Une borne inférieure sur un domaine NON compact peut n'être pas atteinte :

x \mapsto e^{- x}

sur

[0, + \infty [

a pour inf 0, jamais atteint. Il faut un compact (ou un argument de coercivité qui ramène à un compact) — l'affirmer sans le justifier est un raccourci sanctionné.

⚠ Erreur 3 — Oublier l'appartenance de la limite à K. Compact = de toute suite on extrait une sous-suite convergente DANS

K

. Une extraction convergente vers une limite hors de

K

ne prouve rien (c'est même ce qui empêche

] 0, 1]

d'être compact :

1/ n \to 0 \in /] 0, 1]

). L'appartenance de la limite est aussi importante que la convergence.

⚠ Erreur 4 — Utiliser la « connexité » au lieu de « connexité par arcs ». Au programme MP, c'est la connexité PAR ARCS (via des chemins continus) — la connexité topologique générale n'est pas exigible. Formuler et prouver avec des chemins

γ : [0, 1] \to A

, pas avec des ouverts.

⚠ Erreur 5 — Croire que l'image d'un fermé (ou d'un borné) par une continue est fermée (ou bornée). Seule l'image d'un COMPACT est compacte. L'image d'un fermé peut ne pas être fermée (

x \mapsto e^{x}

envoie

R

fermé sur

] 0, + \infty [

non fermé) ; celle d'un borné peut ne pas être bornée si le domaine n'est pas fermé. Compact = fermé ET borné : les deux comptent.

6. Pour aller plus loin

La topologie achevée, elle irrigue toute l'analyse et l'algèbre de spé :

Suites et séries de fonctions — la convergence uniforme sur un compact (théorème de Heine, interversions) : la compacité y garantit les bons comportements.
Calcul différentiel et optimisation — existence d'extrema sur un compact, théorèmes des extrema liés : la compacité est le socle des preuves d'existence.
Réduction et euclidien — $O (n)$ est compact (fermé borné), les valeurs propres extrêmes d'une symétrique s'obtiennent par le théorème des bornes sur la sphère (quotient de Rayleigh).
Oraux — connexité de $G L_{n} (C)$ , compacité de $O (n)$ , densité de $G L_{n}$ : la topologie matricielle est un incontournable d'X-ENS et de l'ENS.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir un compact par Bolzano-Weierstrass (sous-suite convergente DANS K) ?
Sais-tu démontrer que compact ⟹ fermé borné (suites + absurde) ?
Connais-tu le contre-exemple fermé borné non compact en dimension infinie (boule de C⁰) ?
Sais-tu démontrer que l'image continue d'un compact est compacte ?
Sais-tu en déduire le théorème des bornes atteintes, et l'utiliser pour l'existence d'extrema ?
Sais-tu prouver l'équivalence des normes en dimension finie via la sphère unité compacte ?
Sais-tu définir connexe par arcs et citer convexe/étoilé/intervalles de ℝ ?
Sais-tu démontrer que l'image continue d'un connexe par arcs l'est (composition de chemins) ?
Sais-tu en déduire le TVI généralisé ?
Sais-tu que GLₙ(ℂ) est connexe par arcs mais pas GLₙ(ℝ) (argument du déterminant) ?
Connais-tu les quatre résultats de dimension finie (normes, fermé borné = compact, linéaire continue, complet) ?
Sais-tu qu'un sous-espace de dimension finie est fermé, et pourquoi tout dépend de « dimension finie » ?

Démonstrations à savoir refaire

Compact ⟹ fermé borné — fermé par les suites, borné par l'absurde
Image continue d'un compact — extraction + continuité séquentielle
Image continue d'un connexe par arcs — composer les chemins, TVI généralisé

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Parties compactes

2. Continuité et compacité : le théorème des bornes

3. Connexité par arcs

4. Le théorème de la dimension finie

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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