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PSI × Mathématiques

Annales de Mathématiques en PSI

47 sujets de Mathématiques pour la filière Physique-Sciences de l'Ingénieur. Tous concours confondus (X-ENS, Mines-Ponts, Centrale, CCINP), 7 années couvertes.

47sujets
5concours
7années
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Mathématiques en filière PSI

Les mathématiques sont la matière reine des Classes Préparatoires aux Grandes Écoles scientifiques. Aux concours X-ENS, Mines-Ponts, Centrale-Supélec et CCINP, les épreuves de mathématiques pèsent en moyenne 30 à 40 % de la note finale. Les sujets couvrent l'analyse (intégration, suites et séries), l'algèbre linéaire (réduction, espaces euclidiens), les probabilités, la topologie et la géométrie. Les tuteurs Majorant issus de Polytechnique et CentraleSupélec t'accompagnent sur tout le programme.

47 annales Mathématiques en PSI

Tous les sujets — toutes années, tous concours

Année
Matière
47 sujets

Centrale-Supélec

2026PSICentrale-Supélec

Mathématiques 1 — PSI · 2026

Sujet en quatre parties centré sur la probabilité d'obtenir nn côtés pile successifs lors de lancers d'une pièce. Parties A et B : étude des cas n=1n=1, n=2n=2 (loi géométrique, trinôme X2−qX−pqX^2-qX-pq) et n=3n=3 (matrice de transition M∈M3(R)M\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}), diagonalisation dans C\mathbb{C}, équivalent P(X3=k)∼mλ1kP(X_3=k)\sim m\lambda_1^k). Partie C : cas général via la fonction génératrice GXnG_{X_n} et décomposition en éléments simples. Partie D : probabilité d'au moins nn piles consécutives en kk lancers, suite (uk)(u_k) décroissante bornée, presque-sûreté de l'événement par un argument de comparaison géométrique.

Loi géométrique — variable de premier succèsFonction génératrice d'une variable aléatoireSérie entière — rayon de convergence+8
4 parties · 45 questions4 heures
2025PSICentrale-Supélec

Mathématiques 1 — PSI · 2025

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2025PSICentrale-Supélec

Mathématiques 2 — PSI · 2025

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2024PSICentrale-Supélec

Mathématiques 1 — PSI · 2024

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2024PSICentrale-Supélec

Mathématiques 2 — PSI · 2024

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2023PSICentrale-Supélec

Mathématiques 1 — PSI · 2023

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2023PSICentrale-Supélec

Mathématiques 2 — PSI · 2023

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2022PSICentrale-Supélec

Mathématiques 1 — PSI · 2022

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2022PSICentrale-Supélec

Mathématiques 2 — PSI · 2022

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2021PSICentrale-Supélec

Mathématiques 1 — PSI · 2021

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2021PSICentrale-Supélec

Mathématiques 2 — PSI · 2021

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2020PSICentrale-Supélec

Mathématiques 1 — PSI · 2020

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2020PSICentrale-Supélec

Mathématiques 2 — PSI · 2020

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X / ENS / ESPCI

2026PSIX / ENS / ESPCI

Mathématiques 1 — PSI · 2026

Sujet autour du théorème de Boulmezaoud-Cieutat-Daniilidis : deux fonctions convexes, minorées, de classe C2C^2 vérifiant ∥∇f∥=∥∇g∥\|\nabla f\| = \|\nabla g\| partout diffèrent d'une constante. Partie I : propriétés des fonctions convexes (inégalité de convexité, monotonie du gradient, structure de S(f)S(f)). Partie II : démonstration dans le cas n=1n=1 via f′2−g′2=cf'^2 - g'^2 = c constant (Q3) et convexité de x↦g′2x \mapsto g'^2 (Q4–5). Partie III : cas des fonctions quadratiques, surjectivité/injectivité de l'opérateur T:f↦12∥∇f∥2T : f \mapsto \frac{1}{2}\|\nabla f\|^2. Partie IV : cas général via un flot de gradient y′=−∇h(y)y' = -\nabla h(y) convergent exponentiellement vers S(h)S(h), inégalité de Hardy–Littlewood (Q14), et argument de transport le long du flot (Q16–17).

Fonctions convexes — inégalité du premier ordreOptimisation convexe — conditions nécessairesNorme du gradient — infimum+7
4 parties · 17 questions4 heures
2025PSIX / ENS / ESPCI

Mathématiques 1 — PSI · 2025

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2024PSIX / ENS / ESPCI

Mathématiques 1 — PSI · 2024

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2023PSIX / ENS / ESPCI

Mathématiques 1 — PSI · 2023

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2022PSIX / ENS / ESPCI

Mathématiques 1 — PSI · 2022

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2021PSIX / ENS / ESPCI

Mathématiques 1 — PSI · 2021

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2020PSIX / ENS / ESPCI

Mathématiques 1 — PSI · 2020

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CCINP

2026PSICCINP

Mathématiques 1 — PSI · 2026

Trois parties indépendantes. Exercice 1 : jeu de Pile ou Face — loi géométrique de X, loi binomiale conditionnelle de Y|X=n, calcul de P(Y=k) par la formule de la dérivée k-ième de 1/(1-x). Exercice 2 : théorème de Bohr-Mollerup — existence (Γ bien définie, C², log-convexe par Cauchy-Schwarz) et unicité (formule de Gauss via convexité et Lemme 1). Problème : classe D des endomorphismes à blocs 1×1 ou 2×2 — deux exemples (u diagonalisable par blocs, v ∉ D), caractérisation des nilpotents N₂=D∩N, critère d'appartenance à D via polynôme annulateur scindé à racines simples ou doubles.

Loi géométrique et loi binomialeSéries entières — dérivation terme à termeConvergence dominée — dérivation sous signe intégral+4
3 parties · 43 questions3 heures
2025PSICCINP

Mathématiques 1 — PSI · 2025

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2024PSICCINP

Mathématiques 1 — PSI · 2024

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2023PSICCINP

Mathématiques 1 — PSI · 2023

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2022PSICCINP

Mathématiques 1 — PSI · 2022

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2021PSICCINP

Mathématiques 1 — PSI · 2021

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2020PSICCINP

Mathématiques 1 — PSI · 2020

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E3A

2026PSIE3A

Mathématiques 1 — PSI · 2026

Quatre exercices indépendants. Exercice 1 : optimisation en dimension n — spectre de J (rang 1) et I_n+J (définie positive), gradient et hessienne d'une fonction quadratique, minimum global via Sherman-Morrison. Exercice 2 : suite contractante par f(x)=ln(1−x/2) et série de fonctions normalement convergente par domination géométrique. Exercice 3 : endomorphisme Φ(P)=(X²−1)P''+4XP'+2P de ℝ_n[X], valeurs propres (k+1)(k+2), diagonalisation, orthogonalité des polynômes propres par rapport au produit scalaire à poids (1−t²). Exercice 4 : impossibilité de simuler une loi uniforme sur [[2,22]] par la somme de deux dés truqués — argument des racines 11e de l'unité et du théorème de la valeur intermédiaire.

Optimisation quadratique — hessienne et spectreFormule de Sherman-MorrisonSuites contractantes et convergence uniforme+4
4 parties · 40 questions3 heures
2025PSIE3A

Mathématiques 1 — PSI · 2025

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2024PSIE3A

Mathématiques 1 — PSI · 2024

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2023PSIE3A

Mathématiques 1 — PSI · 2023

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2022PSIE3A

Mathématiques 1 — PSI · 2022

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2021PSIE3A

Mathématiques 1 — PSI · 2021

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2020PSIE3A

Mathématiques 1 — PSI · 2020

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Mines-Ponts

2026PSIMines-Ponts

Mathématiques 1 — PSI · 2026

Tout endomorphisme de trace nulle d'un espace vectoriel de dimension finie sur ℂ est somme de quatre endomorphismes de carré nul. Le sujet construit progressivement le résultat Σ∞C(E) = H(E) en étudiant la structure des endomorphismes nilpotents d'ordre 2, les matrices par blocs associées, et la décomposition en sous-espaces stables pour les endomorphismes généraux.

Endomorphismes nilpotentsTrace et déterminantRéduction des endomorphismes+4
5 parties · 25 questions3 heures
2026PSIMines-Ponts

Mathématiques 2 — PSI · 2026

Probabilité qu'un entier choisi uniformément dans [[1;n]] soit sans facteur à la puissance k. Le sujet articule analyse (séries de fonctions, série entière de x ↦ x/(eˣ−1), valeurs de ζ(2) et ζ(4)) et probabilités (formule du crible, fonction de Möbius, convergence dominée). La quatrième partie établit l'identité ∑ μ(i)/iˢ = 1/ζ(s).

Séries de fonctionsSéries entièresConvergence dominée+3
4 parties · 25 questions3 heures
2025PSIMines-Ponts

Mathématiques 1 — PSI · 2025

Caractérisation des matrices semblables à leur inverse via les polynômes réciproques, la forme de Jordan et les produits de matrices de symétries.

Polynômes réciproquesForme de JordanMatrices de symétries
5 parties · 21 questions3 heures
2025PSIMines-Ponts

Mathématiques 2 — PSI · 2025

Modèle SIR de propagation d'épidémie et séries de Dirichlet. Étude d'une EDO non linéaire par linéarisation, analyse des séries de Dirichlet (convergence uniforme, régularité, injectivité), relations de récurrence sur les coefficients, approximation par troncature (matrice de Vandermonde), lien avec le système SIR continu, et modèle SIR probabiliste discret (loi binomiale, espérance conditionnelle).

Équations différentielles non linéairesSéries de DirichletConvergence uniforme+5
6 parties · 26 questions3 heures
2024PSIMines-Ponts

Mathématiques 1 — PSI · 2024

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2024PSIMines-Ponts

Mathématiques 2 — PSI · 2024

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2023PSIMines-Ponts

Mathématiques 2 — PSI · 2023

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2022PSIMines-Ponts

Mathématiques 1 — PSI · 2022

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2022PSIMines-Ponts

Mathématiques 2 — PSI · 2022

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2021PSIMines-Ponts

Mathématiques 1 — PSI · 2021

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2021PSIMines-Ponts

Mathématiques 2 — PSI · 2021

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2020PSIMines-Ponts

Mathématiques 1 — PSI · 2020

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2020PSIMines-Ponts

Mathématiques 2 — PSI · 2020

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Questions fréquentes — Mathématiques en PSI

Comment travailler les annales de maths CPGE efficacement ?

La méthode Majorant : (1) traiter le sujet en conditions réelles avec chrono, (2) confronter sa copie au corrigé en annotant les écarts, (3) refaire les questions ratées 48h plus tard, (4) fiches de méthode sur les techniques récurrentes. Faire 1 sujet par semaine est plus efficace que 5 sujets bâclés.

Quels sont les chapitres de maths les plus représentés aux concours CPGE ?

L'algèbre linéaire (réduction, espaces euclidiens) tombe presque systématiquement, suivie par les séries (numériques, de fonctions), l'intégration et les probabilités (notamment en MP). En MPI, l'algèbre des polynômes et la combinatoire prennent une place importante.

Quelle est la différence entre une épreuve Maths 1 et Maths 2 ?

Aux concours comme X-ENS, Centrale ou Mines-Ponts, deux épreuves de maths sont posées : Maths 1 (4h, plutôt analyse) et Maths 2 (4h, plutôt algèbre). Les sujets sont volontairement complémentaires pour tester l'ensemble du programme. Le coefficient est généralement identique.

Y a-t-il des annales de maths CPGE corrigées sur Majorant ?

Oui, plus de 200 annales de mathématiques (MP, PC, PSI, MPI) sont disponibles gratuitement sur https://www.majorant.net/ressources-concours, avec énoncés officiels et corrigés rédigés par des anciens de Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

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