Fonctions convexes

Vue d'ensemble

Une fonction est convexe quand sa courbe est « tournée vers le haut » : la corde est au-dessus de l'arc, les tangentes en dessous. Derrière cette image simple se cache l'un des outils les plus efficaces de l'analyse : la convexité fabrique des inégalités (inégalité des pentes, inégalité de Jensen) qui règlent en deux lignes des problèmes autrement pénibles — moyennes, comparaisons, optimisation. C'est un chapitre court, très « boîte à outils », qui alimente les sujets de tous les concours et se réinvestit en probabilités (Jensen) et en optimisation. Cette fiche regroupe les 4 théorèmes incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Fonctions convexes d'une variable réelle : définition par les barycentres (corde au-dessus de l'arc), inégalité de convexité, inégalité des pentes (croissance des taux d'accroissement) ; caractérisations pour les fonctions dérivables (croissance de

f^{'}

) et deux fois dérivables (

f^{''} \geq 0

) ; position de la courbe par rapport aux tangentes ; inégalité de Jensen ; fonctions concaves (par symétrie).

Prérequis

Dérivation et étude de fonctions (sup) : monotonie, tangentes, théorème des accroissements finis
Barycentres et combinaisons convexes
Manipulation des inégalités

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1. Définition et inégalité des pentes

Définition 1.1 — Fonction convexe

$f : I \to R$ ( $I$ intervalle) est convexe si, pour tous $x, y \in I$ et tout $t \in [0, 1]$ :

f ((1 - t) x + t y) \leq (1 - t) f (x) + t f (y) .

Géométriquement : la corde reliant $(x, f (x))$ à $(y, f (y))$ est au-dessus de l'arc de courbe.

Définition 1.2 — Combinaison convexe, barycentre

Une combinaison convexe des points $x_{1}, \dots, x_{n}$ est un barycentre à poids positifs de somme 1 : $\sum_{i} λ_{i} x_{i}$ avec $λ_{i} \geq 0$ et $\sum_{i} λ_{i} = 1$ . Le point $(1 - t) x + t y$ ( $t \in [0, 1]$ ) parcourt le segment $[x, y]$ : la convexité dit que l'image d'un barycentre est majorée par le barycentre des images.

Définition 1.3 — Fonction concave, stricte convexité

$f$ est concave si $- f$ est convexe (corde EN DESSOUS de l'arc, inégalité inversée). $f$ est strictement convexe si l'inégalité de convexité est stricte pour $x \neq = y$ et $t \in] 0, 1 [$ — c'est cette stricte convexité qui gouverne les cas d'égalité (tous les points doivent coïncider).

Théorème 1.4 — Inégalité des pentes (des trois cordes) ★ À savoir démontrer

$f$ est convexe si et seulement si, pour tous $a < c < b$ de $I$ , les pentes des cordes sont croissantes :

\frac{f ( c ) - f ( a )}{c - a} \leq \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} \leq \frac{f ( b ) - f ( c )}{b - c} .

Démonstration (écrire c comme barycentre de a et b)

Soit $a < c < b$ . Écrivons $c$ comme barycentre : $c = (1 - t) a + t b$ avec $t = \frac{c - a}{b - a} \in] 0, 1 [$ , d'où aussi $1 - t = \frac{b - c}{b - a}$ . La convexité donne :

f (c) \leq (1 - t) f (a) + t f (b) = \frac{b - c}{b - a} f (a) + \frac{c - a}{b - a} f (b) .

Retranchons $f (a)$ puis divisons par $c - a > 0$ : après regroupement, on obtient $\frac{f ( c ) - f ( a )}{c - a} \leq \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ (première inégalité). De même, en retranchant de $f (b)$ et en divisant par $b - c > 0$ , on obtient la seconde. La réciproque s'obtient en remontant les équivalences. Retenir l'image : la pente d'une corde ne fait que croître quand on la fait glisser vers la droite — c'est LA propriété qui donnera la croissance de $f^{'}$ .

Proposition 1.5 — Inégalité de convexité générale (Jensen discret)

Si $f$ est convexe, alors pour tous points $x_{1}, \dots, x_{n} \in I$ et tous poids $λ_{i} \geq 0$ de somme 1 :

f (i = 1 \sum n λ_{i} x_{i}) \leq i = 1 \sum n λ_{i} f (x_{i}) .

(Récurrence sur $n$ à partir de la définition.) L'image d'un barycentre est majorée par le barycentre des images.

⚠ Piège — Convexe ≠ croissante. La convexité concerne la COURBURE, pas le sens de variation :

x \mapsto x^{2}

est convexe et pourtant décroissante puis croissante.

x \mapsto e^{- x}

est convexe et strictement décroissante. Ne jamais confondre «

f^{''} \geq 0

» (convexe) et «

f^{'} \geq 0

» (croissante) — deux propriétés indépendantes.

2. Caractérisations pour les fonctions dérivables

Théorème 2.1 — Convexité et dérivée ★ À savoir démontrer

Soit $f$ dérivable sur $I$ . Alors :

$f$ est convexe $⟺$ $f^{'}$ est croissante ;
si $f$ est deux fois dérivable : $f$ convexe $⟺ f^{''} \geq 0$ sur $I$ .

Démonstration (convexe ⟹ f' croissante, via l'inégalité des pentes)

Convexe ⟹ $f^{'}$ croissante. Soient $a < b$ . Pour $a < c < b$ , l'inégalité des pentes donne :

\frac{f ( c ) - f ( a )}{c - a} \leq \frac{f ( b ) - f ( c )}{b - c} .

En faisant $c \to a^{+}$ dans le membre de gauche, on obtient $f^{'} (a)$ ; en faisant $c \to b^{-}$ dans le membre de droite, on obtient $f^{'} (b)$ . Par passage à la limite dans l'inégalité (large) : $f^{'} (a) \leq f^{'} (b)$ . Donc $f^{'}$ est croissante.

Réciproque. Si $f^{'}$ est croissante, pour $a < c < b$ , le théorème des accroissements finis donne des points $α \in] a, c [$ , $β \in] c, b [$ avec $\frac{f ( c ) - f ( a )}{c - a} = f^{'} (α)$ et $\frac{f ( b ) - f ( c )}{b - c} = f^{'} (β)$ ; comme $α < β$ et $f^{'}$ croissante, $f^{'} (α) \leq f^{'} (β)$ : l'inégalité des pentes est vérifiée, donc $f$ est convexe.

Cas $C^{2}$ : $f^{'}$ croissante $⟺ (f^{'})^{'} = f^{''} \geq 0$ (critère de monotonie). D'où le critère le plus utilisé en pratique.

Théorème 2.2 — La courbe est au-dessus de ses tangentes ★ À savoir démontrer

Si $f$ est convexe et dérivable, sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes : pour tous $x, a \in I$ ,

f (x) \geq f (a) + f^{'} (a) (x - a) .

Démonstration (signe de la différence, via f' croissante)

Posons $g (x) = f (x) - [f (a) + f^{'} (a) (x - a)]$ (écart à la tangente en $a$ ). Alors $g (a) = 0$ et $g^{'} (x) = f^{'} (x) - f^{'} (a)$ . Comme $f^{'}$ est croissante (convexité) : $g^{'} (x) \geq 0$ pour $x \geq a$ et $g^{'} (x) \leq 0$ pour $x \leq a$ . Donc $g$ décroît jusqu'en $a$ puis croît : $g$ admet un minimum en $a$ , valant $g (a) = 0$ . D'où $g (x) \geq 0$ , soit $f (x) \geq f (a) + f^{'} (a) (x - a)$ .

Application immédiate — l'inégalité de la tangente : en $a = 0$ , $e^{x} \geq 1 + x$ (car $exp$ est convexe, tangente en $a = 0$ ) ; et la tangente de $ln$ (concave) en $a = 1$ donne $ln x \leq x - 1$ . Deux inégalités universelles, à savoir redémontrer par la convexité/concavité en une ligne.

📐 Méthode-type — Démontrer une inégalité par convexité.

Repérer la fonction convexe (ou concave) sous-jacente : souvent $exp$ , $ln$ (concave), $x^{p}$ , ou une fonction à étudier par $f^{''}$ .
Choisir l'outil : inégalité de la tangente (comparer à une droite), inégalité des cordes, ou Jensen (comparer $f$ d'une moyenne à la moyenne des $f$ ).
Écrire l'inégalité de convexité avec les bons points/poids, et simplifier.
Cas d'égalité : pour une fonction STRICTEMENT convexe, l'égalité n'a lieu que si tous les points coïncident — souvent la question bonus.

3. L'inégalité de Jensen et ses applications

Définition 3.1 — Moyennes d'une famille de réels positifs

Pour $x_{1}, \dots, x_{n} > 0$ , on définit la moyenne arithmétique $A = \frac{1}{n} \sum x_{i}$ , la moyenne géométrique $G = (\prod x_{i})^{1/ n}$ , la moyenne harmonique $H = n / \sum \frac{1}{x _{i}}$ et la moyenne quadratique $Q = \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2}$ . Leur comparaison $H \leq G \leq A \leq Q$ se démontre uniformément par convexité — c'est l'application-reine de Jensen.

Théorème 3.2 — Inégalité de Jensen

Pour $f$ convexe, des points $x_{i} \in I$ et des poids $λ_{i} \geq 0$ de somme 1 :

f (i \sum λ_{i} x_{i}) \leq i \sum λ_{i} f (x_{i}) (in \overset{e}{ˊ} galit \overset{e}{ˊ} invers \overset{e}{ˊ} e si f concave).

C'est la proposition 1.5, érigée en outil : « $f$ de la moyenne $\leq$ moyenne des $f$ » pour $f$ convexe. En probabilités (à venir) : $f (E [X]) \leq E [f (X)]$ .

💡 Exemple 1 — Inégalité arithmético-géométrique.

ln

est concave. Pour

x_{1}, \dots, x_{n} > 0

et poids

1/ n

, Jensen (concave) donne

ln (\frac{1}{n} \sum x_{i}) \geq \frac{1}{n} \sum ln x_{i} = ln (\prod x_{i})^{1/ n}

. En composant par

exp

(croissante) :

\frac{x _{1} + \dots + x _{n}}{n} \geq n x_{1} \dots x_{n},

l'inégalité entre moyenne arithmétique et moyenne géométrique, avec égalité ssi tous les

x_{i}

sont égaux (concavité stricte de

ln

). Deux lignes là où une preuve directe est laborieuse.

💡 Exemple 2 — Inégalité de Cauchy-Schwarz revisitée, et les moyennes. La convexité de

x \mapsto x^{2}

(Jensen) donne

(\frac{1}{n} \sum x_{i})^{2} \leq \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2}

, soit

(\sum x_{i})^{2} \leq n \sum x_{i}^{2}

. Plus généralement, la comparaison des moyennes (harmonique

\leq

géométrique

\leq

arithmétique

\leq

quadratique) se démontre uniformément par convexité/concavité des bonnes fonctions puissance — arsenal type des sujets d'inégalités.

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4. Propriétés analytiques des fonctions convexes

Définition 4.1 — Dérivées à gauche et à droite, point anguleux

En un point $a$ intérieur à $I$ , une fonction convexe admet toujours une dérivée à gauche $f_{g}^{'} (a)$ et une dérivée à droite $f_{d}^{'} (a)$ , avec $f_{g}^{'} (a) \leq f_{d}^{'} (a)$ . Le point est anguleux si $f_{g}^{'} (a) < f_{d}^{'} (a)$ (la courbe a un « coin », comme $∣ x ∣$ en 0). La fonction est dérivable en $a$ si et seulement si les deux dérivées coïncident.

Proposition 4.2 — Régularité et continuité

Une fonction convexe sur un intervalle OUVERT est automatiquement continue, et admet en tout point une dérivée à gauche et à droite (avec $f_{g}^{'} \leq f_{d}^{'}$ ). Elle est dérivable sauf en un ensemble au plus dénombrable de points (points anguleux). Aux bords fermés, elle peut être discontinue (par saut vers le haut).

Proposition 4.3 — Opérations préservant la convexité

Une combinaison linéaire à coefficients positifs de fonctions convexes est convexe ; un sup (même infini) de fonctions convexes est convexe.
La composée $g \circ f$ est convexe si $f$ est convexe et $g$ convexe croissante (attention aux hypothèses !).
Une fonction convexe sur $R$ qui est majorée est constante ; une fonction convexe non affine « part vers $+ \infty$ » à au moins une extrémité.

⚠ Piège — La composée demande g CROISSANTE.

g \circ f

convexe exige

f

convexe ET

g

convexe croissante. Sans la croissance de

g

, c'est faux :

f (x) = x^{2}

convexe,

g (x) = - x

convexe (affine) mais décroissante, et

g \circ f = - x^{2}

est CONCAVE. Vérifier la monotonie de la fonction externe avant de conclure.

💡 Exemple — Un minimum local est global. Pour une fonction convexe, tout minimum local est un minimum GLOBAL, et l'ensemble des points de minimum est un intervalle (convexe). C'est LA raison pour laquelle l'optimisation convexe est « facile » : pas de minimum local parasite. En un point

a

intérieur,

a

est minimum global si et seulement si

0 \in [f_{g}^{'} (a), f_{d}^{'} (a)]

(soit

f^{'} (a) = 0

f

est dérivable) — condition suffisante ET nécessaire, contrairement au cas général.

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

La convexité est simple mais ses hypothèses sont piégeuses. Relevé des rapports (X-ENS, Mines-Ponts, Centrale, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Confondre convexe et croissante. Convexe =

f^{''} \geq 0

(courbure vers le haut) ; croissante =

f^{'} \geq 0

. Aucune implication entre les deux.

x \mapsto e^{- x}

est convexe décroissante,

x \mapsto x

est croissante concave. Toujours distinguer les deux critères.

⚠ Erreur 2 — Appliquer Jensen dans le mauvais sens (concavité). Convexe :

f (moyenne) \leq moyenne (f)

. CONCAVE (comme

ln

) : sens INVERSE. Confondre inverse toutes les inégalités du problème. Réflexe : identifier d'abord le signe de

f^{''}

, puis orienter Jensen.

⚠ Erreur 3 — Oublier la croissance de g dans g∘f. La composée

g \circ f

n'est convexe que si

g

est convexe ET croissante (avec

f

convexe). C'est l'hypothèse la plus oubliée — et le contre-exemple

- x^{2}

le rappelle.

⚠ Erreur 4 — Croire que convexe ⟹ dérivable partout. Une fonction convexe (comme

x \mapsto ∣ x ∣

) peut avoir des points anguleux. Elle est continue (sur un ouvert) et admet des dérivées à gauche/droite, mais pas forcément dérivable. Ne pas invoquer

f^{'}

sans avoir la dérivabilité — ou raisonner avec

f_{g}^{'}, f_{d}^{'}

⚠ Erreur 5 — Cas d'égalité bâclé. L'égalité dans Jensen (ou l'inégalité de convexité) n'a lieu, pour une fonction STRICTEMENT convexe, que si tous les points coïncident. Conclure « égalité ssi

x_{i}

égaux » exige la convexité STRICTE — pour une convexité large (fonction affine), l'égalité est toujours réalisée. Préciser la stricte convexité quand la question porte sur l'égalité.

6. Pour aller plus loin

La convexité est un couteau suisse — elle resurgit dans plusieurs chapitres :

Probabilités — l'inégalité de Jensen probabiliste $f (E [X]) \leq E [f (X)]$ fonde les inégalités de concentration et la comparaison de moments (variance $\geq 0$ en est un cas).
Calcul différentiel et optimisation — la convexité garantit que tout minimum local est global ; c'est le cadre où l'optimisation « marche » (extrema, multiplicateurs de Lagrange).
Intégration — inégalité de Jensen intégrale $f (\int f g) \leq \int f \circ g$ (culture), inégalités de Hölder et Minkowski.
Séries et analyse asymptotique — les comparaisons de moyennes et les inégalités convexes accélèrent bien des majorations de sujets X-ENS.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir la convexité (corde au-dessus de l'arc, inégalité des barycentres) ?
Sais-tu démontrer l'inégalité des pentes en écrivant c comme barycentre de a et b ?
Sais-tu énoncer l'inégalité de convexité générale (Jensen discret) ?
Sais-tu que convexe et croissante sont indépendantes (contre-exemples) ?
Sais-tu démontrer convexe ⟺ f' croissante ⟺ f'' ≥ 0 ?
Sais-tu démontrer que la courbe est au-dessus de ses tangentes, et en tirer eˣ ≥ 1 + x ?
Sais-tu dérouler la méthode « inégalité par convexité » (fonction, outil, écriture, égalité) ?
Sais-tu énoncer Jensen et l'orienter selon convexe/concave ?
Sais-tu démontrer l'inégalité arithmético-géométrique par concavité de ln ?
Connais-tu les opérations préservant la convexité (somme +, sup, composée avec g croissante) ?
Sais-tu qu'une convexe sur un ouvert est continue mais pas forcément dérivable ?
Sais-tu que pour une convexe, minimum local = minimum global ?

Démonstrations à savoir refaire

Inégalité des pentes — écrire c comme barycentre, convexité, division par les longueurs
Convexe ⟺ f' croissante — inégalité des pentes + passage à la limite, réciproque par les accroissements finis
Courbe au-dessus des tangentes — étude du signe de l'écart g via f' croissante

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Définition et inégalité des pentes

2. Caractérisations pour les fonctions dérivables

3. L'inégalité de Jensen et ses applications

4. Propriétés analytiques des fonctions convexes

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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