Arithmétique dans 𝕂[X]

Vue d'ensemble

Le chapitre arithmétique dans 𝕂[X] (où 𝕂 désigne ℝ ou ℂ) est l'un des plus élégants de la première année : il transpose terme à terme l'arithmétique de ℤ aux polynômes. Divisibilité, division euclidienne, PGCD, algorithme d'Euclide, théorème de Bachet-Bézout, théorème de Gauss, polynômes irréductibles, décomposition unique en produit d'irréductibles — chaque objet de ℤ trouve son jumeau dans 𝕂[X]. Cette fiche regroupe les 9 théorèmes incontournables, les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui distinguent une copie de niveau Mines-Ponts d'une copie moyenne.

Au programme MPSI (officiel) — Divisibilité dans 𝕂[X], division euclidienne, PGCD et algorithme d'Euclide, théorème de Bachet-Bézout, polynômes premiers entre eux, théorème de Gauss, PPCM, polynômes irréductibles, décomposition en produit de facteurs irréductibles dans ℂ[X] et ℝ[X], relations entre coefficients et racines pour un polynôme scindé (fonctions symétriques élémentaires).

Prérequis

Structure de l'anneau $K [X]$ : addition, multiplication, intégrité
Degré d'un polynôme : $de g (A B) = de g A + de g B$ et $de g (A + B) \leq max (de g A, de g B)$
Notion de racine, ordre de multiplicité, factorisation $A = (X - α) Q + A (α)$
Arithmétique de $Z$ (divisibilité, PGCD, Bézout, Gauss, nombres premiers) — c'est le modèle

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1. Divisibilité et division euclidienne dans 𝕂[X]

Définition 1.1 — Divisibilité

Soient $A, B \in K [X]$ . On dit que $A$ divise $B$ , noté $A ∣ B$ , s'il existe $C \in K [X]$ tel que $B = A C$ . On dit alors que $A$ est un diviseur de $B$ , ou que $B$ est un multiple de $A$ .

Conséquence immédiate : si $A ∣ B$ et $B \neq = 0$ , alors $de g A \leq de g B$ . Le polynôme $0$ est multiple de tout polynôme ; tout polynôme non nul divise $0$ .

Proposition 1.2 — Propriétés élémentaires de la divisibilité

Réflexivité : $A ∣ A$ .
Transitivité : si $A ∣ B$ et $B ∣ C$ , alors $A ∣ C$ .
Compatibilité linéaire : si $A ∣ B$ et $A ∣ C$ , alors $A ∣ (U B + V C)$ pour tout $U, V \in K [X]$ .
Anti-symétrie modulo scalaire : si $A ∣ B$ et $B ∣ A$ , alors il existe $λ \in K^{*}$ tel que $B = λ A$ . On dit que $A$ et $B$ sont associés.

📝 Choix canonique : polynôme unitaire. Dans 𝕂[X], la divisibilité ne distingue pas

A

λ A

(

λ \in K^{*}

). Pour fixer un représentant unique dans chaque classe d'associés, on choisit le polynôme unitaire (coefficient dominant = 1). C'est la convention utilisée pour le PGCD et le PPCM.

Théorème 1.3 — Division euclidienne dans 𝕂[X] ★ À savoir démontrer

Soient $A \in K [X]$ et $B \in K [X] ∖ {0}$ . Il existe un unique couple $(Q, R) \in K [X]^{2}$ tel que :

A = B Q + R et de g R < de g B .

$Q$ est le quotient, $R$ le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$ . En particulier, $B ∣ A$ si et seulement si $R = 0$ .

Démonstration (existence par récurrence sur

de g A

, unicité par différence)

Existence — par récurrence forte sur $n = de g A$ (avec $de g 0 = - \infty$ ).

Initialisation. Si $de g A < de g B$ , on pose $Q = 0, R = A$ ; alors $A = B \cdot 0 + A$ avec $de g R < de g B$ (cas particulier : $A = 0$ ).

Hérédité. Soit $A$ de degré $n \geq de g B$ , de coefficient dominant $a_{n}$ ; notons $b_{p}$ celui de $B$ avec $p = de g B$ , et posons $A_{1} = A - \frac{a _{n}}{b _{p}} X^{n - p} B$ . Par construction le terme de degré $n$ s'élimine, donc $de g A_{1} < n$ . Par hypothèse de récurrence, il existe $(Q_{1}, R_{1})$ avec $A_{1} = B Q_{1} + R_{1}$ , $de g R_{1} < de g B$ . Alors :

A = B (\frac{a _{n}}{b _{p}} X^{n - p} + Q_{1}) + R_{1},

ce qui fournit le couple cherché. C'est exactement l'algorithme posé en colonne.

Unicité. Si $A = B Q + R = B Q^{'} + R^{'}$ avec $de g R, de g R^{'} < de g B$ , alors $B (Q - Q^{'}) = R^{'} - R$ . Si $Q \neq = Q^{'}$ , le membre de gauche est de degré $\geq de g B$ (intégrité de 𝕂[X]), tandis que celui de droite vérifie $de g (R^{'} - R) < de g B$ — contradiction. Donc $Q = Q^{'}$ , puis $R = R^{'}$ . □

⚠ Piège #1 — La division euclidienne dépend du corps. Tant qu'on travaille dans

K [X]

(𝕂 corps), tout va bien. Dans

Z [X]

, elle n'existe plus par un polynôme non unitaire : on ne peut pas diviser

X

par

2 X + 1

en restant à coefficients entiers. En MPSI on travaille donc toujours dans

R [X]

C [X]

pour ce chapitre.

2. PGCD, algorithme d'Euclide, Bachet-Bézout et Gauss

2.1 — PGCD : définition et algorithme d'Euclide

Définition 2.1 — PGCD de deux polynômes

Soient $A, B \in K [X]$ non tous deux nuls. Le PGCD de $A$ et $B$ , noté $A \land B$ , est l'unique polynôme unitaire $D$ tel que :

$D ∣ A$ et $D ∣ B$ (c'est un diviseur commun),
tout diviseur commun de $A$ et $B$ divise $D$ (caractérisation universelle).

De façon équivalente, $A \land B$ est le diviseur commun de $A$ et $B$ de plus grand degré, unitarisé. Convention : $0 \land 0$ n'est pas défini.

Lemme 2.2 — Lemme fondamental d'Euclide pour 𝕂[X]

Si $A = B Q + R$ (par exemple via division euclidienne), alors :

A \land B = B \land R .

Autrement dit, le PGCD est invariant par remplacement de $A$ par son reste modulo $B$ . C'est ce lemme qui rend l'algorithme d'Euclide correct.

📐 Méthode-type — Algorithme d'Euclide dans 𝕂[X]. Pour calculer

A \land B

(

B \neq = 0

) :

Effectuer la division euclidienne : $A = B Q_{1} + R_{1}$ avec $de g R_{1} < de g B$ .
Si $R_{1} = 0$ : $A \land B$ = unitarisé de $B$ (= $B$ divisé par son coefficient dominant).
Sinon : $B = R_{1} Q_{2} + R_{2}$ avec $de g R_{2} < de g R_{1}$ . Continuer.
L'algorithme termine en un nombre fini d'étapes (les degrés des restes décroissent strictement).
Le dernier reste non nul, unitarisé, est $A \land B$ .

Terminaison garantie : la suite des degrés des restes est une suite strictement décroissante d'entiers positifs, donc finie.

💡 Exemple — Calcul de $pgcd (X^{3} - 1, X^{2} - 1)$ dans $R [X]$ . Division :

X^{3} - 1 = (X^{2} - 1) (X) + (X - 1)

. Puis

X^{2} - 1 = (X - 1) (X + 1) + 0

. Le dernier reste non nul est

X - 1

, déjà unitaire. Donc

(X^{3} - 1) \land (X^{2} - 1) = X - 1

. Géométriquement : la seule racine commune aux deux polynômes est

1

, ce qui colle.

2.2 — Théorème de Bachet-Bézout polynomial

Théorème 2.3 — Bachet-Bézout pour 𝕂[X] ★ À savoir démontrer

Soient $A, B \in K [X]$ non tous deux nuls. Il existe $U, V \in K [X]$ tels que :

A U + B V = A \land B .

Le couple $(U, V)$ n'est pas unique, mais on peut toujours en exhiber un explicitement par l'algorithme d'Euclide étendu.

Démonstration (Euclide étendu — algorithme constructif)

On exprime chaque reste de l'algorithme d'Euclide comme combinaison $U_{k} A + V_{k} B$ . Posons $R_{- 1} = A$ , $R_{0} = B$ , $(U_{- 1}, V_{- 1}) = (1, 0)$ , $(U_{0}, V_{0}) = (0, 1)$ . À l'étape $k + 1$ , la division euclidienne donne $R_{k - 1} = R_{k} Q_{k + 1} + R_{k + 1}$ ; on pose :

U_{k + 1} = U_{k - 1} - Q_{k + 1} U_{k}, V_{k + 1} = V_{k - 1} - Q_{k + 1} V_{k} .

Une récurrence immédiate (initialisation OK, et hérédité : $R_{k + 1} = R_{k - 1} - Q_{k + 1} R_{k} = (U_{k - 1} - Q_{k + 1} U_{k}) A + (V_{k - 1} - Q_{k + 1} V_{k}) B$ ) donne $R_{k} = U_{k} A + V_{k} B$ à chaque étape. L'algorithme d'Euclide termine en $N$ étapes sur un dernier reste non nul $R_{N}$ associé à $A \land B$ ; on a alors $R_{N} = U_{N} A + V_{N} B$ . En unitarisant $R_{N}$ (division par son coefficient dominant), on obtient $U, V$ tels que $A U + B V = A \land B$ . □

Définition 2.4 — Polynômes premiers entre eux

Deux polynômes $A, B \in K [X]$ (non tous deux nuls) sont premiers entre eux si $A \land B = 1$ . On note parfois $A ⊥ B$ .

Corollaire 2.5 — Caractérisation de Bézout des polynômes premiers entre eux

$A \land B = 1$ si et seulement s'il existe $U, V \in K [X]$ tels que $A U + B V = 1$ .

Sens direct : c'est Bézout pour $A \land B = 1$ . Sens réciproque : si $A U + B V = 1$ et si $D$ divise $A$ et $B$ , alors $D ∣ 1$ , donc $de g D = 0$ , donc $D$ est constant — l'unique diviseur commun unitaire est $1$ .

2.3 — Théorème de Gauss polynomial

Théorème 2.6 — Théorème de Gauss

Soient $A, B, C \in K [X]$ . Si $A ∣ B C$ et $A \land B = 1$ , alors $A ∣ C$ .

Démonstration (Bézout + manipulation simple)

Comme $A \land B = 1$ , il existe par Bézout $U, V \in K [X]$ tels que $A U + B V = 1$ . Multiplions par $C$ :

A U C + B V C = C .

Le premier terme $A U C$ est multiple de $A$ . Le second $B V C = V \cdot (B C)$ est aussi multiple de $A$ car $A ∣ B C$ par hypothèse. Donc leur somme $C$ est multiple de $A$ . □

Corollaire 2.7 — Conséquences usuelles de Gauss

Si $A ∣ C$ , $B ∣ C$ et $A \land B = 1$ , alors $A B ∣ C$ .
Si $A \land B = 1$ et $A \land C = 1$ , alors $A \land (B C) = 1$ (premier-avec-le-produit).

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2.4 — PPCM

Définition 2.8 — PPCM de deux polynômes

Soient $A, B \in K [X]$ non nuls. Le PPCM de $A$ et $B$ , noté $A \lor B$ , est l'unique polynôme unitaire $M$ tel que :

$A ∣ M$ et $B ∣ M$ (c'est un multiple commun),
tout multiple commun de $A$ et $B$ est multiple de $M$ (universalité).

Proposition 2.9 — Relation PGCD-PPCM

Pour $A, B \in K [X]$ non nuls :

(A \land B) \cdot (A \lor B) = unitaris \overset{e}{ˊ} (A B) .

Autrement dit, le produit du PGCD et du PPCM est égal au produit $A B$ divisé par son coefficient dominant. En particulier, si $A$ et $B$ sont unitaires, alors $(A \land B) (A \lor B) = A B$ .

3. Polynômes irréductibles et décomposition en facteurs irréductibles

Définition 3.1 — Polynôme irréductible

Un polynôme $P \in K [X]$ est dit irréductible sur 𝕂 si :

$de g P \geq 1$ ,
les seuls diviseurs de $P$ dans $K [X]$ sont les constantes non nulles et les associés de $P$ ( $λ P$ avec $λ \in K^{*}$ ).

De façon équivalente : $P$ est irréductible si $P = A B$ (avec $A, B \in K [X]$ ) implique que l'un des deux facteurs est constant. C'est l'analogue exact d'un nombre premier dans $Z$ .

⚠ Piège #2 — L'irréductibilité dépend du corps de base. Le polynôme

X^{2} + 1

est irréductible sur $R$ (pas de racine réelle, donc pas de facteur de degré 1) mais réductible sur $C$ :

X^{2} + 1 = (X - i) (X + i)

. Quand tu dis «

P

est irréductible », précise toujours sur quel corps :

R

C

Théorème 3.2 — Irréductibles dans ℂ[X] (alembert-Gauss)

Les polynômes irréductibles de $C [X]$ sont exactement les polynômes de degré 1.

Ceci est une conséquence directe du théorème fondamental de l'algèbre : tout polynôme de $C [X]$ de degré $\geq 1$ admet au moins une racine complexe $α$ , donc se factorise par $(X - α)$ .

Théorème 3.3 — Irréductibles dans ℝ[X]

Les polynômes irréductibles de $R [X]$ sont :

les polynômes de degré 1 : $X - a$ , $a \in R$ ;
les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif : $a X^{2} + b X + c$ avec $b^{2} - 4 a c < 0$ .

Démonstration en bref : un polynôme réel de degré $\geq 3$ se factorise dans $C [X]$ et, comme ses racines complexes non réelles vont par paires conjuguées, on regroupe $(X - z) (X - \overset{z}{ˉ}) = X^{2} - 2ℜ (z) X + ∣ z ∣^{2} \in R [X]$ . On obtient donc des facteurs de degré 1 ou 2 — il ne peut pas être irréductible.

Théorème 3.4 — Décomposition en facteurs irréductibles (unique)

Tout polynôme non nul $A \in K [X]$ s'écrit de manière unique (à l'ordre des facteurs près) sous la forme :

A = λ k = 1 \prod r P_{k}^{m_{k}},

où $λ \in K^{*}$ est le coefficient dominant de $A$ , les $P_{k}$ sont des polynômes irréductibles unitaires deux à deux distincts et les $m_{k} \geq 1$ sont des entiers (multiplicités).

💡 Exemple — Décomposition de $X^{4} - 1$ . Dans

C [X]

X^{4} - 1 = (X - 1) (X + 1) (X - i) (X + i)

(4 facteurs de degré 1). Dans

R [X]

X^{4} - 1 = (X - 1) (X + 1) (X^{2} + 1)

(2 facteurs de degré 1 + 1 facteur de degré 2 à discriminant

- 4 < 0

). Tous les facteurs sont unitaires : la décomposition est canonique.

Corollaire 3.5 — PGCD et PPCM par factorisation

Si $A = λ \prod P_{k}^{m_{k}}$ et $B = μ \prod P_{k}^{n_{k}}$ (avec les mêmes irréductibles, certains exposants éventuellement nuls), alors :

A \land B = \prod P_{k}^{m i n (m_{k}, n_{k})}, A \lor B = \prod P_{k}^{m a x (m_{k}, n_{k})} .

C'est l'analogue exact du calcul du PGCD/PPCM d'entiers par leurs décompositions en produit de nombres premiers.

4. Relations coefficients-racines (fonctions symétriques élémentaires)

On considère ici un polynôme scindé dans 𝕂[X], c'est-à-dire écrit comme produit de facteurs de degré 1 (tous ses facteurs irréductibles sont de degré 1). Tout polynôme de $C [X]$ est scindé ; un polynôme de $R [X]$ est scindé sur $R$ ssi toutes ses racines sont réelles.

Définition 4.1 — Fonctions symétriques élémentaires

Soient $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} \in K$ (les racines d'un polynôme, éventuellement avec répétitions). Pour $k \in {1, \dots, n}$ , on définit la $k$ -ième fonction symétrique élémentaire :

σ_{k} = 1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} \leq n \sum α_{i_{1}} α_{i_{2}} \dots α_{i_{k}} .

Cas particuliers :

$σ_{1} = α_{1} + α_{2} + \dots + α_{n}$ (somme des racines),
$σ_{2} = \sum_{i < j} α_{i} α_{j}$ (somme des produits 2 à 2),
$σ_{n} = α_{1} α_{2} \dots α_{n}$ (produit de toutes les racines).

Théorème 4.2 — Relations coefficients-racines (Viète) ★ À savoir démontrer

Soit $A = a_{n} X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0} \in K [X]$ un polynôme de degré $n$ , scindé, de racines $α_{1}, \dots, α_{n}$ (comptées avec multiplicités). Alors pour tout $k \in {1, \dots, n}$ :

σ_{k} = (- 1)^{k} \frac{a _{n - k}}{a _{n}} .

En particulier :

σ_{1} = α_{1} + \dots + α_{n} = - \frac{a _{n - 1}}{a _{n}}, σ_{n} = α_{1} \dots α_{n} = (- 1)^{n} \frac{a _{0}}{a _{n}} .

Démonstration (par développement de la forme factorisée)

$A$ étant scindé de racines $α_{1}, \dots, α_{n}$ et de coefficient dominant $a_{n}$ , $A (X) = a_{n} \prod_{i = 1}^{n} (X - α_{i})$ . On développe le produit en choisissant dans chaque facteur $(X - α_{i})$ soit $X$ , soit $- α_{i}$ : chaque terme correspond donc à un sous-ensemble $I \subset {1, \dots, n}$ (on prend $- α_{i}$ pour $i \in I$ , $X$ sinon). Sa contribution est $(- 1)^{∣ I ∣} (\prod_{i \in I} α_{i}) X^{n - ∣ I ∣}$ .

En regroupant par $k = ∣ I ∣$ , le coefficient de $X^{n - k}$ vaut $(- 1)^{k} \sum_{∣ I ∣ = k} \prod_{i \in I} α_{i} = (- 1)^{k} σ_{k}$ . Ainsi :

A (X) = a_{n} k = 0 \sum n (- 1)^{k} σ_{k} X^{n - k} .

Par identification avec $A (X) = \sum_{k = 0}^{n} a_{n - k} X^{n - k}$ on obtient $a_{n - k} = (- 1)^{k} a_{n} σ_{k}$ , soit $σ_{k} = (- 1)^{k} a_{n - k} / a_{n}$ . □

💡 Exemple — Application aux racines d'un polynôme de degré 3. Soit

P (X) = X^{3} - 6 X^{2} + 11 X - 6

, de racines

α, β, γ

. Sans calculer les racines, on lit directement :

α + β + γ = 6, α β + α γ + β γ = 11, α β γ = 6.

On reconnaît les valeurs symétriques de

{1, 2, 3}

— donc

P = (X - 1) (X - 2) (X - 3)

. Astuce d'oral : exprimer une fonction symétrique de

α, β, γ

en n'utilisant que

σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}

, sans résoudre l'équation.

Définition 4.3 — Sommes de Newton

Pour $p \in N$ , on définit la $p$ -ième somme de Newton des racines d'un polynôme scindé :

N_{p} = i = 1 \sum n α_{i}^{p} .

Ainsi $N_{0} = n$ , $N_{1} = σ_{1}$ , $N_{2} = \sum α_{i}^{2}$ , etc. Les $N_{p}$ sont des polynômes en $σ_{1}, \dots, σ_{n}$ (théorème fondamental des fonctions symétriques).

Proposition 4.4 — Identité de Newton (cas

N_{2}

)

On a la relation, valide pour $n \geq 2$ :

N_{2} = σ_{1}^{2} - 2 σ_{2} .

Démonstration éclair : $(α_{1} + \dots + α_{n})^{2} = \sum α_{i}^{2} + 2 \sum_{i < j} α_{i} α_{j}$ , donc $σ_{1}^{2} = N_{2} + 2 σ_{2}$ . C'est l'identité que tu utilises sans la nommer depuis le lycée pour calculer la somme des carrés des racines d'un trinôme.

📐 Méthode-type — Calculer une fonction symétrique des racines sans résoudre.

Identifier $σ_{1}, \dots, σ_{n}$ directement depuis les coefficients via Viète.
Exprimer la fonction symétrique cible (somme des carrés, somme des inverses, somme des cubes…) en fonction de $σ_{1}, \dots, σ_{n}$ .
Cas usuels à connaître par cœur :
- $\sum α_{i}^{2} = σ_{1}^{2} - 2 σ_{2}$
- $\sum \frac{1}{α _{i}} = \frac{σ _{n - 1}}{σ _{n}}$ (si toutes les racines sont non nulles)
- $\sum_{i < j} (α_{i} - α_{j})^{2} = n σ_{1}^{2} - 2 (n + 1) σ_{2}$ (formule classique en oral X-ENS)
Substituer numériquement.

Réflexe d'oral : si on te demande la somme des carrés / cubes / inverses des racines, NE résous PAS l'équation — utilise Viète.

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont signalées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves d'algèbre. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence — donc beaucoup, à l'échelle d'un exercice.

⚠ Erreur 1 — Oublier d'unitariser le PGCD. Le PGCD est défini comme l'unique polynôme unitaire à divisibilité maximale. À la fin de l'algorithme d'Euclide, le dernier reste non nul n'est en général PAS unitaire — il faut le diviser par son coefficient dominant. Beaucoup d'élèves rendent un PGCD à coefficient dominant

\neq = 1

, ce qui leur coûte la définition.

⚠ Erreur 2 — Appliquer Viète à un polynôme non scindé. Les relations

σ_{k} = (- 1)^{k} a_{n - k} / a_{n}

supposent que le polynôme est scindé dans le corps considéré. Pour

X^{2} + 1 \in R [X]

, il n'y a pas de racines réelles : Viète ne s'applique pas dans

R

. Il s'applique dans

C

avec les racines

\pm i

σ_{1} = i + (- i) = 0

σ_{2} = i \cdot (- i) = 1

— cohérent.

⚠ Erreur 3 — Confondre « irréductible sur ℝ » et « irréductible sur ℂ ».

X^{2} + 1

X^{2} + X + 1

X^{4} + 1

sont irréductibles sur

R

(ou contiennent un facteur degré 2 sans racine réelle) mais se factorisent en degrés 1 sur

C

. En concours, on lit toujours « décomposer dans

R [X]

» ou « dans

C [X]

» — c'est très différent.

⚠ Erreur 4 — Utiliser Gauss sans vérifier $A \land B = 1$ . Le théorème de Gauss s'applique seulement sous l'hypothèse de primalité. Sans elle, le résultat est faux :

6 ∣ 4 \cdot 9

(car

36 = 6 \cdot 6

) mais

6 ∤ 4

6 ∤ 9

. Idem dans

K [X]

: si tu n'as pas justifié

A \land B = 1

avant, tu n'as pas le droit d'écrire « par Gauss,

A ∣ C

».

⚠ Erreur 5 — Croire que les coefficients de Bézout sont uniques. Si

A U + B V = A \land B

, alors

(U + k B, V - k A)

avec

k \in K [X]

marche aussi (et donne l'ensemble de toutes les solutions). Tu n'as pas le droit d'écrire « les

(U, V)

de Bézout » comme s'il y en avait un seul — précise « un couple » ou « le couple fourni par Euclide étendu ».

6. Pour aller plus loin

L'arithmétique de $K [X]$ est l'infrastructure de tout l'algèbre de deuxième année. Voici où tu la retrouves :

Fractions rationnelles et décomposition en éléments simples — la DES repose entièrement sur la décomposition d'un polynôme en facteurs irréductibles dans $R [X]$ ou $C [X]$ .
Réduction des endomorphismes (spé) — le polynôme caractéristique et le polynôme minimal sont des polynômes ; leur PGCD, leur factorisation, leurs irréductibles sont au cœur du théorème de Cayley-Hamilton et de la décomposition de Dunford.
Anneaux principaux et factoriels (spé) — $Z$ et $K [X]$ sont les deux modèles canoniques d'anneau principal. Tout ce que tu fais ici se généralise.
Corps finis et codes correcteurs (option info) — $F_{p} [X]$ est le terrain de jeu des codes BCH, Reed-Solomon, et de toute la cryptographie post-quantique.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu énoncer la division euclidienne dans $K [X]$ avec les conditions d'existence et la majoration sur $de g R$ ?
Sais-tu démontrer l'existence ET l'unicité de la division euclidienne ?
Sais-tu définir $A \land B$ (PGCD) et expliquer pourquoi on le choisit unitaire ?
Sais-tu énoncer le lemme $A \land B = B \land R$ qui fonde l'algorithme d'Euclide ?
Sais-tu dérouler l'algorithme d'Euclide sur deux polynômes concrets de degré ≤ 4 ?
Sais-tu énoncer Bachet-Bézout polynomial et exhiber $(U, V)$ par Euclide étendu ?
Sais-tu énoncer et démontrer le théorème de Gauss polynomial ?
Connais-tu la liste exacte des irréductibles de $R [X]$ et de $C [X]$ ?
Sais-tu décomposer $X^{4} - 1$ , $X^{n} - 1$ , $X^{4} + 1$ dans $R [X]$ ET dans $C [X]$ ?
Sais-tu écrire $A \land B$ et $A \lor B$ à partir des décompositions en irréductibles ?
Sais-tu énoncer Viète : $σ_{k} = (- 1)^{k} a_{n - k} / a_{n}$ et le démontrer par développement ?
Sais-tu calculer $\sum α_{i}^{2}$ , $\sum 1/ α_{i}$ sans résoudre l'équation ?

Démonstrations à savoir refaire

Division euclidienne dans 𝕂[X] — existence par récurrence sur le degré + unicité par différence et intégrité
Théorème de Bachet-Bézout polynomial — algorithme d'Euclide étendu (suite $(U_{k}, V_{k})$ construite par récurrence)
Relations coefficients-racines (Viète) — développement de $\prod (X - α_{i})$ et identification du coefficient de $X^{n - k}$

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Divisibilité et division euclidienne dans 𝕂[X]

2. PGCD, algorithme d'Euclide, Bachet-Bézout et Gauss

2.1 — PGCD : définition et algorithme d'Euclide

2.2 — Théorème de Bachet-Bézout polynomial

2.3 — Théorème de Gauss polynomial

2.4 — PPCM

3. Polynômes irréductibles et décomposition en facteurs irréductibles

4. Relations coefficients-racines (fonctions symétriques élémentaires)

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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