Espérance et variance

Vue d'ensemble

Une loi de probabilité, c'est beaucoup d'information — souvent trop. On la résume par quelques nombres CLÉS : l'espérance $E (X)$ , la valeur moyenne autour de laquelle la variable fluctue, et la variance $V (X)$ , qui mesure la DISPERSION. Deux outils rendent leur calcul redoutable : la linéarité de l'espérance (vraie même sans indépendance !) et la formule de König-Huygens $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ . Ces moments permettent de CONTRÔLER les fluctuations via les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, socle de la loi des grands nombres. Enfin, la fonction génératrice $G_{X} (t) = E (t^{X})$ encode toute la loi dans une série entière et transforme les sommes de variables indépendantes en produits. Ce chapitre couronne les probabilités de MP. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Espérance d'une variable aléatoire discrète (sous réserve d'existence), théorème de transfert, linéarité ; variance, écart-type, formule de König-Huygens ; covariance, variance d'une somme ; inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, loi faible des grands nombres ; fonction génératrice d'une variable à valeurs dans ℕ, lien avec l'espérance et les sommes de variables indépendantes. Espérances et variances des lois usuelles.

Prérequis

Variables aléatoires discrètes, lois usuelles, indépendance
Séries numériques (absolue convergence), séries entières
Espaces probabilisés, système complet d'événements

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1. Espérance et variance

Définition 1.1 — Espérance

L'espérance d'une variable aléatoire discrète $X$ à valeurs dans $X (Ω) \subset R$ est, SOUS RÉSERVE D'EXISTENCE (convergence absolue) :

E (X) = x \in X (Ω) \sum x P (X = x),

pourvu que $\sum_{x} ∣ x ∣ P (X = x) < + \infty$ . C'est la valeur moyenne de $X$ , le « centre de gravité » de la loi. Une variable est dite centrée si $E (X) = 0$ .

Définition 1.2 — Théorème de transfert et moments

Pour une fonction $g$ , l'espérance de $g (X)$ se calcule SANS déterminer la loi de $g (X)$ , par le théorème de transfert :

E (g (X)) = x \in X (Ω) \sum g (x) P (X = x) .

Le moment d'ordre $r$ est $E (X^{r})$ (cas $g (x) = x^{r}$ ). Le moment d'ordre $2$ , $E (X^{2})$ , sert à calculer la variance.

Définition 1.3 — Variance et écart-type

La variance mesure la dispersion autour de la moyenne :

V (X) = E ((X - E (X))^{2}) \geq 0, σ (X) = V (X) .

$σ (X)$ , l'écart-type, a la même dimension que $X$ . Une variance nulle signifie que $X$ est presque sûrement constante. Une variable est réduite si $σ (X) = 1$ .

Théorème 1.1 — Linéarité de l'espérance ★ À savoir démontrer

Pour toutes variables $X, Y$ admettant une espérance et tous réels $a, b$ :

E (a X + bY) = a E (X) + b E (Y) .

Propriété FONDAMENTALE : elle ne requiert PAS l'indépendance de $X$ et $Y$ . C'est ce qui rend l'espérance si maniable (décomposer une variable compliquée en somme de variables simples).

Démonstration (théorème de transfert sur le couple)

Appliquons le théorème de transfert à la fonction $g (x, y) = a x + b y$ du couple $(X, Y)$ , de loi conjointe $P (X = x, Y = y)$ : $E (a X + bY) = x, y \sum (a x + b y) P (X = x, Y = y) .$

Séparons la somme et factorisons : $= a x \sum x = P (X = x) y \sum P (X = x, Y = y) + b y \sum y = P (Y = y) x \sum P (X = x, Y = y) = a E (X) + b E (Y),$ où l'on a utilisé les lois MARGINALES $\sum_{y} P (X = x, Y = y) = P (X = x)$ (et de même pour $Y$ ). Aucune hypothèse d'indépendance n'a été nécessaire. CQFD.

Théorème 1.2 — Formule de König-Huygens ★ À savoir démontrer

La variance se calcule (presque toujours) via :

V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} .

Démonstration (développement + linéarité)

Partons de la définition et développons le carré, en notant $μ = E (X)$ (une CONSTANTE) : $V (X) = E ((X - μ)^{2}) = E (X^{2} - 2 μ X + μ^{2}) .$

Par linéarité de l'espérance (et $E (constante) = constante$ ) : $V (X) = E (X^{2}) - 2 μ E (X) + μ^{2} = E (X^{2}) - 2 μ^{2} + μ^{2} = E (X^{2}) - μ^{2} = E (X^{2}) - E (X)^{2} .$ CQFD. C'est la formule à utiliser en pratique : calculer $E (X)$ et $E (X^{2})$ , puis soustraire. (On en déduit aussi $E (X^{2}) \geq E (X)^{2}$ , puisque $V (X) \geq 0$ .)

⚠ Piège — La variance n'est PAS linéaire.

V (a X + b) = a^{2} V (X)

(le

b

disparaît, le

a

est au CARRÉ), et

V (X + Y) = V (X) + V (Y)

SEULEMENT si

X, Y

sont indépendantes (ou décorrélées). En général

V (X + Y) = V (X) + V (Y) + 2 Cov (X, Y)

. Ne jamais « distribuer » la variance comme l'espérance.

2. Inégalités et fonctions génératrices

Théorème 2.1 — Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev

Deux inégalités de concentration majeures :

Markov : si $X \geq 0$ admet une espérance, pour tout $a > 0$ , $P (X \geq a) \leq \frac{E ( X )}{a}$ .
Bienaymé-Tchebychev : si $X$ admet une variance, pour tout $a > 0$ , $P (∣ X - E (X) ∣ \geq a) \leq \frac{V ( X )}{a ^{2}} .$

Bienaymé-Tchebychev borne la probabilité de « s'écarter beaucoup de la moyenne » par la variance : peu de dispersion ⟹ forte concentration. C'est la clé de la loi faible des grands nombres (la moyenne empirique converge en probabilité vers l'espérance).

Définition 2.1 — Covariance

La covariance de deux variables mesure leur liaison :

Cov (X, Y) = E ((X - E (X)) (Y - E (Y))) = E (X Y) - E (X) E (Y) .

Si $X, Y$ sont indépendantes, alors $E (X Y) = E (X) E (Y)$ , donc $Cov (X, Y) = 0$ (la réciproque est FAUSSE). D'où $V (X + Y) = V (X) + V (Y)$ pour des variables indépendantes.

Définition 2.2 — Fonction génératrice

Pour $X$ à valeurs dans $N$ , la fonction génératrice est la série entière :

G_{X} (t) = E (t^{X}) = k = 0 \sum + \infty P (X = k) t^{k}, ∣ t ∣ \leq 1.

Elle caractérise la loi (les $P (X = k)$ sont les coefficients). Propriétés clés : $G_{X} (1) = 1$ , $E (X) = G_{X}^{'} (1)$ , et pour $X, Y$ indépendantes, $G_{X + Y} = G_{X} \cdot G_{Y}$ (les sommes deviennent des PRODUITS — l'outil pour identifier la loi d'une somme).

📐 Méthode-type — Calculer espérance et variance.

Décomposer si possible : écrire $X$ comme somme ( $X = \sum X_{i}$ ) et utiliser la LINÉARITÉ de l'espérance (sans se soucier de l'indépendance).
Espérance : $E (X) = \sum_{x} x P (X = x)$ ou via la décomposition.
Variance : calculer $E (X^{2})$ (transfert), puis König-Huygens $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ . Pour une somme INDÉPENDANTE, $V = \sum V (X_{i})$ .
Fonction génératrice : pour une somme de variables indépendantes, multiplier les $G_{X_{i}}$ et identifier la loi obtenue.

💡 Exemple — Espérances et variances des lois usuelles. À connaître par cœur (démontrables via ces outils) :
— Bernoulli

B (p)

E = p

V = p (1 - p)

.
— Binomiale

B (n, p)

E = n p

V = n p (1 - p)

(somme de

n

Bernoulli indépendantes → espérances et variances s'ajoutent).
— Géométrique

G (p)

E = \frac{1}{p}

V = \frac{1 - p}{p ^{2}}

.
— Poisson

P (λ)

E = λ

V = λ

(espérance ET variance égales — signature de Poisson).

🧑‍🏫 Les moments au point

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3. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

L'espérance et la variance récompensent la rigueur sur la linéarité et l'indépendance. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Croire que la variance est linéaire.

V (a X + b) = a^{2} V (X)

(pas

aV (X) + b

) : le

b

disparaît, le

a

est AU CARRÉ. Et

V (X + Y) \neq = V (X) + V (Y)

en général (sauf indépendance). La linéarité est une propriété de l'ESPÉRANCE, pas de la variance.

⚠ Erreur 2 — Exiger l'indépendance pour la linéarité de l'espérance. À l'inverse,

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

est TOUJOURS vrai, indépendance ou non. C'est le grand atout de l'espérance. En revanche,

E (X Y) = E (X) E (Y)

exige, lui, l'indépendance. Ne pas confondre les deux.

⚠ Erreur 3 — Oublier de vérifier l'existence de l'espérance.

E (X)

n'existe que si

\sum_{x} ∣ x ∣ P (X = x)

CONVERGE (absolue convergence). Pour une variable à support infini, cette vérification est indispensable — certaines variables n'ont pas d'espérance. Ne pas manipuler

E (X)

sans avoir justifié son existence.

⚠ Erreur 4 — Déduire l'indépendance d'une covariance nulle.

X, Y

indépendantes

\Rightarrow Cov (X, Y) = 0

, mais la RÉCIPROQUE est FAUSSE : des variables décorrélées (

Cov = 0

) peuvent être dépendantes. Ne jamais conclure « covariance nulle donc indépendantes ».

⚠ Erreur 5 — Mal dériver la fonction génératrice pour E(X).

E (X) = G_{X}^{'} (1)

(dérivée en

1

), pas

G_{X} (1)

(qui vaut toujours

1

). Et pour la variance, on utilise

G_{X}^{''} (1) = E (X (X - 1)) = E (X^{2}) - E (X)

. Bien distinguer les dérivées successives évaluées en

1

4. Pour aller plus loin

Espérance, variance et fonctions génératrices couronnent les probabilités de MP et ouvrent sur la suite :

Loi des grands nombres — la moyenne empirique converge vers l'espérance (Bienaymé-Tchebychev en donne une preuve).
Théorème central limite — les fluctuations normalisées tendent vers une loi normale (post-bac, mais culture essentielle).
Variables à densité — l'espérance devient une intégrale ; mêmes concepts, cadre continu.
Statistiques et estimation — moyenne, variance empiriques, intervalles de confiance : la statistique inférentielle repose sur ces moments.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir l'espérance E(X) = Σ x P(X=x) et sa condition d'existence ?
Connais-tu le théorème de transfert E(g(X)) = Σ g(x) P(X=x) ?
Sais-tu définir la variance V(X) = E((X−E(X))²) et l'écart-type ?
Sais-tu démontrer la linéarité E(aX+bY) = aE(X)+bE(Y) (sans indépendance) ?
Sais-tu démontrer König-Huygens V(X) = E(X²) − E(X)² ?
Sais-tu que V(aX+b) = a²V(X) (variance non linéaire) ?
Connais-tu les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev ?
Sais-tu que Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y), nulle si indépendantes ?
Sais-tu que covariance nulle n'implique PAS l'indépendance ?
Sais-tu définir la fonction génératrice G_X(t) = E(t^X) et que E(X) = G'(1) ?
Sais-tu que G_{X+Y} = G_X·G_Y pour X, Y indépendantes ?
Connais-tu E et V des lois usuelles (Poisson : E = V = λ) ?

Démonstrations à savoir refaire

Linéarité de l'espérance — transfert sur le couple, lois marginales
Formule de König-Huygens — développement de (X−E(X))², linéarité

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Espérance et variance

2. Inégalités et fonctions génératrices

3. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

4. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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