Rudiments de logique

Vue d'ensemble

La logique est la grammaire silencieuse de toutes les mathématiques de MPSI : sans elle, tu ne peux ni écrire la définition d'une limite, ni nier une hypothèse, ni démontrer correctement un théorème. Ce chapitre fixe les connecteurs (¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔), les quantificateurs (∀, ∃) et les six types de raisonnement que tu retrouveras dans 100 % de tes DS — déduction, contraposée, absurde, analyse-synthèse, disjonction des cas, récurrence (simple, double, forte). On y retrouve les équivalences fondamentales, les 6 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui coûtent des points dès septembre.

Au programme MPSI (officiel) — Propositions, connecteurs (¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔), tables de vérité, équivalences fondamentales (De Morgan, contraposée, négation d'une implication), quantificateurs ∀ et ∃, négation et ordre des quantificateurs, méthodes de démonstration (déduction, contraposée, absurde, analyse-synthèse, disjonction des cas, récurrence simple/double/forte).

Prérequis

Notion intuitive d'ensemble (ℕ, ℤ, ℝ) et d'appartenance $x \in E$
Manipulation algébrique élémentaire (égalités, inégalités)
Vocabulaire « si…alors », « il existe », « pour tout » du lycée

🎯 Accompagnement Majorant

Tu te sens perdu(e) dès qu'il faut nier une phrase quantifiée ? C'est le blocage n°1 de septembre en MPSI — il revient ensuite sur chaque définition d'analyse (limite, continuité, dérivabilité). Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font passer en 2 séances du « je récite » au « je manipule », sur tes propres DS et khôlles.

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1. Propositions et valeurs de vérité

Définition 1.1 — Proposition logique

Une proposition est un assemblage de signes qui (i) a une syntaxe correcte, (ii) a une sémantique correcte et (iii) admet une seule valeur de vérité : vrai (V, $1$ ) ou faux (F, $0$ ).

💡 Exemples et contre-exemples. «

2 + 2 = 4

» est une proposition (vraie) ; «

2 \in Q

» est une proposition (fausse) ; «

x^{2} \geq 0

» n'est pas une proposition tant que

x

n'est pas quantifié — c'est un prédicat (variable libre). En revanche, «

\forall x \in R, x^{2} \geq 0

» est une proposition (vraie). « Cette phrase est fausse » n'est pas une proposition (paradoxe du menteur).

Définition 1.2 — Égalité logique

Deux propositions $P, Q$ sont logiquement équivalentes (noté $P \Leftrightarrow Q$ ) si elles ont toujours la même valeur de vérité.

📝 Vocabulaire. Une proposition toujours vraie est une tautologie (ex.

P \lor \neg P

, tiers exclu) ; toujours fausse : contradiction (ex.

P \land \neg P

2. Connecteurs logiques et tables de vérité

À partir de propositions $P, Q, \dots$ on forme de nouvelles propositions via des connecteurs, entièrement définis par leur table de vérité.

Définition 2.1 — Négation ¬P

$\neg P$ est vraie ssi $P$ est fausse.

Définition 2.2 — Conjonction P ∧ Q (« P et Q »)

$P \land Q$ est vraie ssi $P$ et $Q$ sont toutes les deux vraies.

Définition 2.3 — Disjonction P ∨ Q (« P ou Q »)

$P \lor Q$ est vraie ssi au moins l'une des deux propositions est vraie — c'est le « ou » inclusif des mathématiques.

⚠ Piège fondamental — le « ou » mathématique est inclusif. « Fromage ou dessert » est exclusif ; en maths,

P \lor Q

est vraie même quand les deux le sont. Le « ou exclusif »

\oplus

existe mais ne correspond jamais au « ou » d'un énoncé mathématique standard.

Définition 2.4 — Implication P ⇒ Q

$P \Rightarrow Q$ est fausse uniquement quand $P$ est vraie et $Q$ fausse — vraie dans tous les autres cas, y compris quand $P$ est fausse (« du faux on déduit n'importe quoi »).

Définition 2.5 — Équivalence P ⇔ Q

$P \Leftrightarrow Q$ est vraie ssi $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité.

2.1 — Table de vérité maîtresse

💡 Table à connaître par cœur.

P V V F F Q V F V F \neg P F F V V P \land Q V F F F P \lor Q V V V F P \Rightarrow Q V F V V P \Leftrightarrow Q V F F V

Lecture mnémotechnique :

P \Rightarrow Q

n'est fausse que sur la 2ᵉ ligne (V→F) ; l'équivalence est vraie quand

P

Q

coïncident.

⚠ Piège — « du faux on déduit n'importe quoi ». Si

P

est fausse,

P \Rightarrow Q

est vraie, peu importe

Q

. Conséquence : pour réfuter une implication, il faut exhiber un cas où $P$ est vraie et $Q$ fausse, jamais autre chose.

3. Équivalences logiques fondamentales

Toutes ces équivalences se démontrent par table de vérité : on dresse la table des deux membres et on vérifie qu'elles coïncident.

3.1 — Double négation et lois de De Morgan

Proposition 3.1 — Double négation

\neg (\neg P) \Leftrightarrow P .

Théorème 3.2 — Lois de De Morgan ★ À savoir démontrer

\neg (P \land Q) \Leftrightarrow (\neg P) \lor (\neg Q), \neg (P \lor Q) \Leftrightarrow (\neg P) \land (\neg Q) .

Démonstration (par table de vérité)

Table de vérité des deux membres de la première équivalence :

P V V F F Q V F V F P \land Q V F F F \neg (P \land Q) F V V V \neg P F F V V \neg Q F V F V (\neg P) \lor (\neg Q) F V V V

Les colonnes $\neg (P \land Q)$ et $(\neg P) \lor (\neg Q)$ coïncident : tautologie. La seconde loi s'obtient en appliquant la première à $\neg P, \neg Q$ puis la double négation.

3.2 — Implication, contraposée, négation

Théorème 3.3 — Réécriture de l'implication ★ À savoir démontrer

(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg P) \lor Q .

Démonstration (par table de vérité)

P V V F F Q V F V F P \Rightarrow Q V F V V \neg P F F V V (\neg P) \lor Q V F V V

Les colonnes coïncident : tautologie. Corollaire : $\neg (P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow P \land (\neg Q)$ (De Morgan) — la négation d'une implication n'est pas une implication.

Théorème 3.4 — Contraposée ★ À savoir démontrer

(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg Q \Rightarrow \neg P) .

La proposition $\neg Q \Rightarrow \neg P$ est la contraposée de $P \Rightarrow Q$ . Attention : ce n'est pas la réciproque ! La réciproque est $Q \Rightarrow P$ , qui n'est en général pas équivalente.

Démonstration (par table de vérité)

P V V F F Q V F V F P \Rightarrow Q V F V V \neg P F F V V \neg Q F V F V \neg Q \Rightarrow \neg P V F V V

Colonnes 3 et 6 identiques : tautologie. Preuve algébrique sans table : $(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg P) \lor Q$ et $(\neg Q \Rightarrow \neg P) \Leftrightarrow Q \lor (\neg P)$ — identiques par commutativité.

⚠ Piège classique — contraposée ≠ réciproque. Pour « si

4 ∣ n

, alors

n

est pair » : contraposée (vraie) = « si

n

impair, alors

4 ∤ n

» ; réciproque (ici fausse) = « si

n

pair, alors

4 ∣ n

» (contre-ex.

n = 2

). Confondre les deux est l'erreur n°1 sur les rapports de jury MPSI/MP en première année.

3.3 — Commutativité, associativité, distributivité

Proposition 3.5 — Lois algébriques des connecteurs

Commutativité : $P \land Q \Leftrightarrow Q \land P$ ; $P \lor Q \Leftrightarrow Q \lor P$ .
Associativité : $(P \land Q) \land R \Leftrightarrow P \land (Q \land R)$ ; idem pour $\lor$ .
Distributivité : $P \land (Q \lor R) \Leftrightarrow (P \land Q) \lor (P \land R)$ et symétriquement $\lor$ sur $\land$ .
Idempotence : $P \land P \Leftrightarrow P$ ; $P \lor P \Leftrightarrow P$ .

Lien ensembliste :

\land \to \cap

\lor \to \cup

\neg \to ∁

; De Morgan devient

∁ (A \cap B) = ∁ A \cup ∁ B

4. Quantificateurs ∀ et ∃

Les quantificateurs indiquent combien d'éléments d'un ensemble vérifient une propriété — ils transforment un prédicat (variable libre) en proposition fermée.

Définition 4.1 — Quantificateur universel ∀

$\forall x \in E, P (x)$ se lit « pour tout $x$ dans $E$ , $P (x)$ » ; vraie ssi $P (x)$ est vraie pour chaque élément de $E$ .

Définition 4.2 — Quantificateur existentiel ∃

$\exists x \in E, P (x)$ se lit « il existe au moins un $x$ dans $E$ tel que $P (x)$ » ; vraie ssi au moins un élément de $E$ vérifie $P$ . On note $\exists! x$ pour l'existence et unicité.

4.1 — Ordre des quantificateurs

Proposition 4.3 — Permuter deux quantificateurs identiques

Deux quantificateurs de même nature peuvent toujours être permutés : $(\forall x \in E, \forall y \in F, P (x, y)) \Leftrightarrow (\forall y \in F, \forall x \in E, P (x, y))$ , et de même pour deux $\exists$ successifs.

⚠ Piège central — ∀∃ ≠ ∃∀. Deux quantificateurs de natures différentes ne se permutent jamais :

\forall x, \exists y, P (x, y)

n'est pas

\exists y, \forall x, P (x, y)

. Dans la 1ʳᵉ,

y

dépend de

x

(choisi après) ; dans la 2ᵈᵉ, un même

y

doit convenir pour tous les

x

— beaucoup plus fort. Test : «

\forall x \in R, \exists y, y > x

» est vrai (

y = x + 1

) ; «

\exists y, \forall x, y > x

» est faux. C'est exactement ce qui rend

\forall ε, \exists N

(limite) différent de

\exists N, \forall ε

4.2 — Négation d'une phrase quantifiée

Théorème 4.4 — Négation des quantificateurs ★ À savoir démontrer

\neg (\forall x \in E, P (x)) \Leftrightarrow \exists x \in E, \neg P (x),

\neg (\exists x \in E, P (x)) \Leftrightarrow \forall x \in E, \neg P (x) .

Démonstration (par récurrence sur la structure de la formule)

On démontre la première équivalence ; la seconde s'obtient en l'appliquant à $\neg P$ puis en utilisant la double négation.

Cas $E$ fini. Si $E = {a_{1}, \dots, a_{n}}$ , alors $\forall x \in E, P (x)$ équivaut par définition à $P (a_{1}) \land \dots \land P (a_{n})$ . Sa négation est, par application répétée de De Morgan, $\neg P (a_{1}) \lor \dots \lor \neg P (a_{n})$ , qui est précisément $\exists x \in E, \neg P (x)$ . Preuve formelle par récurrence sur $n = card (E)$ : initialisation $n = 1$ immédiate ; hérédité par De Morgan sur $P (a_{1}) \land \dots \land P (a_{n + 1})$ .

Cas général. Sémantiquement : $\forall x \in E, P (x)$ est fausse ssi il existe $x_{0} \in E$ avec $P (x_{0})$ fausse, soit $\exists x \in E, \neg P (x)$ vraie. Les deux propositions ont donc toujours la même valeur de vérité — c'est l'équivalence cherchée.

📐 Méthode-type — Nier une phrase quantifiée à plusieurs étages. Procédure mécanique de gauche à droite : (1) chaque

\forall

devient

\exists

et inversement ; (2) le prédicat final est nié, et lui seul ; (3) les ensembles d'appartenance

\in E

restent inchangés. Exemple critique — négation de la définition de limite :

u_{n} \to ℓ : \forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, ∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq ε

a pour négation

\exists ε > 0, \forall N \in N, \exists n \geq N, ∣ u_{n} - ℓ ∣ > ε .

C'est exactement ce que tu écris pour prouver qu'une suite ne converge PAS vers $ℓ$ : un seuil de divergence

ε_{0} > 0

jamais définitivement atteint.

💡 Exemple — Nier la définition d'un majorant. «

M

majore

A

» :

\forall a \in A, a \leq M

; négation :

\exists a \in A, a > M

. C'est ce qu'on utilise pour montrer que

sup A - ε

n'est plus un majorant.

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La négation des phrases quantifiées est l'outil que tu vas utiliser sur 90 % de tes démos d'analyse. En 1 séance ciblée avec un mentor Majorant alumni X·Centrale, tu nies une définition de limite, de continuité, d'uniforme continuité ou de Cauchy les yeux fermés, et tu sais l'utiliser pour raisonner par l'absurde sans te tromper.

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5. Les six types de raisonnement

5.1 — Déduction directe (modus ponens)

Proposition 5.1 — Modus ponens

Si $P$ est vraie et si $P \Rightarrow Q$ est vraie, alors $Q$ est vraie. Schéma de base de toute démonstration : on enchaîne des implications à partir d'une vérité acquise.

5.2 — Raisonnement par contraposée

📐 Méthode-type — Démontrer $P \Rightarrow Q$ par contraposée. Par le théorème 3.4, on suppose

\neg Q

et on démontre

\neg P

. Utile quand

\neg Q

donne une information plus exploitable que

P

. Annonce-le explicitement : « on raisonne par contraposée ». Exemple-test : montrer que si

n^{2}

est pair, alors

n

est pair. Par contraposée, si

n = 2 k + 1

, alors

n^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1 = 2 (2 k^{2} + 2 k) + 1

est impair. Cqfd.

5.3 — Raisonnement par l'absurde

📐 Méthode-type — Démontrer $P$ par l'absurde. On suppose $\neg P$ et on déduit une contradiction (proposition de la forme

Q \land \neg Q

, ou

0 = 1

, ou

a < a

). Le point critique est la bonne négation de $P$ , surtout en présence de quantificateurs — la moitié des erreurs viennent de là.

💡 Exemple culte — $2 \in / Q$ . Supposons par l'absurde

2 = p / q

avec

g cd (p, q) = 1

. Alors

2 q^{2} = p^{2}

, donc

p^{2}

est pair, donc

p

est pair, donc

p = 2 p^{'}

. Alors

q^{2} = 2 p^{'2}

q

est pair aussi. Contradiction avec

g cd (p, q) = 1

Théorème 5.2 — Équivalence absurde / contraposée pour une implication ★ À savoir démontrer

Pour démontrer $P \Rightarrow Q$ , les trois schémas suivants sont logiquement équivalents :

Direct : supposer $P$ , prouver $Q$ .
Contraposée : supposer $\neg Q$ , prouver $\neg P$ .
Absurde : supposer $P \land \neg Q$ , trouver une contradiction.

Démonstration de l'équivalence des trois schémas

Par le théorème 3.3, $(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg P) \lor Q$ , de négation $P \land \neg Q$ (De Morgan).

Direct ⇔ Contraposée : théorème 3.4, $(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg Q \Rightarrow \neg P)$ .
Direct ⇔ Absurde : démontrer $P \Rightarrow Q$ par l'absurde, c'est montrer que sa négation $P \land \neg Q$ implique une contradiction, donc est impossible, donc $P \Rightarrow Q$ est vraie.
Contraposée ⇔ Absurde : sous $\neg Q$ , démontrer $\neg P$ ou, en supposant en plus $P$ , trouver une contradiction (à savoir $P \land \neg P$ ) sont strictement équivalents.

Les trois schémas démontrent la même proposition ; le choix est purement tactique (lequel donne la rédaction la plus naturelle).

5.4 — Raisonnement par analyse-synthèse

📐 Méthode-type — Analyse-synthèse. Pour déterminer toutes les solutions d'un problème (équations fonctionnelles, existence + unicité).

Analyse : on suppose qu'une solution existe, on en déduit sa forme nécessaire (condition nécessaire).
Synthèse : on prend cette forme et on vérifie qu'elle résout effectivement le problème (condition suffisante).

L'analyse seule ne prouve pas l'existence ; la synthèse seule ne prouve pas qu'on a toutes les solutions — les deux étapes sont indispensables. Exemple type : décomposition

f = p + i

(paire + impaire). Analyse :

f (x) + f (- x) = 2 p (x)

impose

p (x) = \frac{f ( x ) + f ( - x )}{2}

et de même

i (x) = \frac{f ( x ) - f ( - x )}{2}

. Synthèse : ces

p, i

ont bien les bonnes parités et leur somme vaut

f

5.5 — Disjonction des cas

📐 Méthode-type — Disjonction des cas. Repose sur l'équivalence

[(P \Rightarrow Q) \land (\neg P \Rightarrow Q)] \Leftrightarrow Q

. Plus généralement, si

E = E_{1} \cup \dots \cup E_{k}

, on démontre

P

séparément sur chaque

E_{j}

. Partitions usuelles : pair/impair, signe de

x

x = 0

x \neq = 0

∣ q ∣ < 1

= 1

> 1

. Conclure par « dans tous les cas… ». Exemple : montrer

∣ x ∣ \leq x^{2} + 1

. Si

x \geq 0

x^{2} - x + 1

a un discriminant

- 3 < 0

, donc

\geq 0

. Si

x < 0

: symétrique. Cqfd.

5.6 — Raisonnement par récurrence

Théorème 5.3 — Principe de récurrence (simple) ★ À savoir démontrer

Soit $P (n)$ un prédicat dépendant d'un entier $n \in N$ . Si :

Initialisation : $P (0)$ est vraie ;
Hérédité : pour tout $k \in N$ , $P (k) \Rightarrow P (k + 1)$ ;

alors $P (n)$ est vraie pour tout $n \in N$ .

Démonstration (à partir de la propriété du bon ordre de ℕ)

On utilise la propriété fondamentale de $N$ (équivalente à l'axiome de la borne sup restreint aux parties discrètes) : toute partie non vide de $N$ admet un plus petit élément.

Posons $A = {n \in N ∣ P (n) est fausse}$ . On veut $A = \emptyset$ . Supposons par l'absurde $A \neq = \emptyset$ : $A$ admet un plus petit élément $n_{0}$ .

Si $n_{0} = 0$ : $P (0)$ est fausse, contradiction avec l'initialisation.
Si $n_{0} \geq 1$ : $n_{0} - 1 \in N$ et $n_{0} - 1 \in / A$ (minimalité), donc $P (n_{0} - 1)$ est vraie. Par hérédité, $P (n_{0})$ est vraie — contradiction avec $n_{0} \in A$ .

Dans les deux cas, contradiction. Donc $A = \emptyset$ : $P (n)$ est vraie pour tout $n \in N$ . Le principe de récurrence n'est pas un axiome supplémentaire : c'est un théorème, conséquence du bon ordre.

Théorème 5.4 — Récurrences forte et double

Forte : si $P (0)$ et $\forall k \geq 0, [P (0) \land \dots \land P (k)] \Rightarrow P (k + 1)$ , alors $\forall n, P (n)$ .
Double : si $P (0), P (1)$ et $\forall k, [P (k) \land P (k + 1)] \Rightarrow P (k + 2)$ , alors $\forall n, P (n)$ . C'est la récurrence des récurrences linéaires d'ordre 2 (Fibonacci).

📐 Méthode-type — Rédiger une récurrence en MPSI (rituel à 4 temps).

Énoncer $P (n)$ précisément (jamais « la propriété est vraie » : écris-la).
Initialisation : vérifier $P (0)$ par calcul explicite.
Hérédité : fixer $k$ , supposer $P (k)$ (nomme-la HR), démontrer $P (k + 1)$ .
Conclusion : « par le principe de récurrence, $\forall n \in N, P (n)$ ». Cette ligne est obligatoire.

Choix : simple si

u_{n + 1}

dépend de

u_{n}

; double si

u_{n + 2}

dépend de

u_{n + 1}, u_{n}

(Fibonacci) ; forte si l'hérédité requiert tous les rangs précédents (décomposition en facteurs premiers).

💡 Exemple — Somme des carrés impairs.

i = 1 \sum n (2 i - 1)^{2} = \frac{1}{3} n (4 n^{2} - 1)

pour

n \geq 1

. Initialisation (

n = 1

) :

1 = \frac{1}{3} (4 - 1) = 1

✓. Hérédité : sous HR,

\sum_{i = 1}^{n + 1} (2 i - 1)^{2} = \frac{1}{3} n (4 n^{2} - 1) + (2 n + 1)^{2}

; développement puis factorisation par

(n + 1)

donnent

\frac{1}{3} (n + 1) (4 (n + 1)^{2} - 1)

. Cqfd.

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) dès les premières copies de l'année. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence — et il y en a souvent plusieurs par copie.

⚠ Erreur 1 — Confondre contraposée et réciproque. Contraposée de

P \Rightarrow Q

\neg Q \Rightarrow \neg P

(équivalente). Réciproque :

Q \Rightarrow P

(en général non équivalente). Annoncer « par contraposée » alors qu'on prouve la réciproque est une faute pénalisée.

⚠ Erreur 2 — Nier une implication par une implication.

\neg (P \Rightarrow Q)

n'est pas

P \Rightarrow \neg Q

. C'est

P \land \neg Q

(conjonction). Pour réfuter une implication, exhiber un cas où

P

est vraie ET

Q

fausse.

⚠ Erreur 3 — Permuter ∀ et ∃ sans précaution.

\forall x, \exists y, P (x, y)

\exists y, \forall x, P (x, y)

ne sont jamais équivalentes en général. C'est l'erreur n°1 sur les définitions de limite, continuité uniforme — tout ce qui implique un

N (ε)

δ (ε)

⚠ Erreur 4 — Récurrence sans conclusion. Initialisation + hérédité ne suffisent pas. La ligne « par le principe de récurrence,

\forall n, P (n)

» est obligatoire — c'est elle qui invoque le théorème.

⚠ Erreur 5 — Analyse sans synthèse (ou inversement). L'analyse seule prouve l'unicité ; la synthèse seule prouve l'existence. Les deux étapes sont indispensables pour conclure sur l'ensemble exact des solutions.

7. Pour aller plus loin

Les rudiments de logique sont le langage qui irrigue toute la MPSI et la spé. Tu les réinvestiras notamment en :

Ensembles, applications, relations — De Morgan logique devient De Morgan ensembliste $∁ (A \cap B) = ∁ A \cup ∁ B$ .
Suites numériques — la définition de la limite est $\forall ε, \exists N, \forall n \geq N$ ; sa négation prouve la divergence.
Continuité, dérivabilité, intégration — chaque définition est une phrase quantifiée à 3 ou 4 étages.
Algèbre linéaire et arithmétique — récurrence sur la dimension, le degré, décomposition en facteurs premiers (forte).

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu donner la table de vérité de $\neg, \land, \lor, \Rightarrow, \Leftrightarrow$ ?
Sais-tu réécrire $P \Rightarrow Q$ en $(\neg P) \lor Q$ et nier une implication en $P \land \neg Q$ ?
Sais-tu démontrer (par table de vérité) la contraposée $(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg Q \Rightarrow \neg P)$ ?
Sais-tu énoncer et démontrer les deux lois de De Morgan ?
Sais-tu écrire en 30 secondes la négation d'une phrase quantifiée à 3 étages ?
Sais-tu expliquer pourquoi $\forall x, \exists y$ n'équivaut pas à $\exists y, \forall x$ , avec un exemple ?
Sais-tu choisir entre direct, contraposée et absurde selon la forme de l'énoncé ?
Sais-tu rédiger une récurrence en 4 temps (prédicat / initialisation / hérédité / conclusion) ?
Sais-tu distinguer récurrence simple, double, forte — et choisir la bonne ?
Sais-tu structurer une analyse-synthèse et justifier que les deux étapes sont indispensables ?
Sais-tu démontrer que $2$ est irrationnel par l'absurde ?
Sais-tu démontrer le principe de récurrence à partir du bon ordre de $N$ ?

Démonstrations à savoir refaire

Lois de De Morgan — par table de vérité
$(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg P) \lor Q$ — par table de vérité, donne la négation d'une implication
Contraposée — par table de vérité ou via le théorème 3.3
Négation d'une phrase quantifiée — récurrence sur la structure (De Morgan en cas fini)
Équivalence direct / contraposée / absurde — via $(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg P) \lor Q$
Principe de récurrence — à partir du bon ordre de ℕ, par l'absurde sur l'ensemble des contre-exemples

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Propositions et valeurs de vérité

2. Connecteurs logiques et tables de vérité

2.1 — Table de vérité maîtresse

3. Équivalences logiques fondamentales

3.1 — Double négation et lois de De Morgan

3.2 — Implication, contraposée, négation

3.3 — Commutativité, associativité, distributivité

4. Quantificateurs ∀ et ∃

4.1 — Ordre des quantificateurs

4.2 — Négation d'une phrase quantifiée

5. Les six types de raisonnement

5.1 — Déduction directe (modus ponens)

5.2 — Raisonnement par contraposée

5.3 — Raisonnement par l'absurde

5.4 — Raisonnement par analyse-synthèse

5.5 — Disjonction des cas

5.6 — Raisonnement par récurrence

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

7. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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