Polynômes

Vue d'ensemble

Les polynômes sont le premier objet algébrique « pur » du programme MPSI : on quitte l'analyse et on raisonne sur des objets formels — des suites finies de coefficients — qu'on additionne, multiplie et dérive selon des règles parfaitement calculatoires. Ce chapitre est stratégique aux concours car il fournit les outils pour toute l'algèbre de spé (réduction d'endomorphismes, polynôme caractéristique, polynômes annulateurs) et pour les fractions rationnelles. Cette fiche regroupe les 8 théorèmes incontournables, les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre des points.

Au programme MPSI (officiel) — L'algèbre 𝕂[X] (𝕂 = ℝ ou ℂ), degré, opérations, division euclidienne, dérivation formelle, formule de Taylor, racines et ordre de multiplicité, théorème de d'Alembert-Gauss (admis), polynômes scindés, factorisation dans ℂ[X] et ℝ[X], relations coefficients-racines, polynôme d'interpolation de Lagrange.

Prérequis

Manipulation des sommes $k = 0 \sum n$ et indices muets
Notion d'anneau commutatif unitaire intègre (vue dans le chapitre Structures algébriques)
Formule de Taylor (vue pour les fonctions, généralisée formellement ici)
Nombres complexes : conjugaison, racines de l'unité

🎯 Accompagnement Majorant

Tu confonds polynôme, fonction polynomiale et indéterminée X ? C'est le blocage n°1 sur ce chapitre — et c'est exactement ce que les correcteurs traquent en début d'année. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines remettent ces fondations algébriques en place avec des exos sur-mesure tirés de tes propres DS.

Trouver un mentor MPSI →

1. Généralités sur 𝕂[X]

1.1 — Polynôme, coefficients, degré

Définition 1.1 — Polynôme à coefficients dans 𝕂

Soit $K = R$ ou $C$ . Un polynôme à coefficients dans 𝕂 est une suite $(a_{i})_{i \in N}$ d'éléments de $K$ nulle à partir d'un certain rang. On le note formellement :

P = P (X) = a_{0} + a_{1} X + a_{2} X^{2} + \dots + a_{p} X^{p} = i = 0 \sum p a_{i} X^{i} .

Les $a_{i}$ sont les coefficients de $P$ . L'ensemble des polynômes à coefficients dans $K$ se note $K [X]$ . On note $K_{n} [X]$ le sous-ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$ .

Définition 1.2 — Degré, coefficient dominant, polynôme unitaire

Si $P \neq = 0$ , le degré de $P$ , noté $de g P$ (ou $d^{\circ} P$ ), est le plus grand entier $p$ tel que $a_{p} \neq = 0$ . Le coefficient $a_{p}$ est appelé coefficient dominant de $P$ . Lorsque $a_{p} = 1$ , le polynôme est dit unitaire (ou normalisé). Par convention, $de g (0) = - \infty$ .

⚠ Piège #1 du chapitre — Polynôme vs fonction polynomiale.

P \in K [X]

est un objet formel (une suite de coefficients), pas une fonction. On lui associe la fonction polynomiale

P : x \mapsto \sum_{i} a_{i} x^{i}

K

dans

K

. Sur

K

infini (ℝ ou ℂ), l'application

P \mapsto P

est injective : on peut confondre

P

P

sans risque. Mais ce n'est plus vrai sur un corps fini (hors-prog) :

X^{p} - X

est non nul dans

F_{p} [X]

mais sa fonction polynomiale est identiquement nulle. Garde le vocabulaire propre :

X

est l'indéterminée,

x

est la variable.

1.2 — Opérations dans 𝕂[X]

Soient $P = i = 0 \sum n a_{i} X^{i}$ et $Q = j = 0 \sum m b_{j} X^{j}$ deux éléments de $K [X]$ , et $λ \in K$ .

Proposition 1.3 — Addition et produit par un scalaire

L'addition et la multiplication par un scalaire sont définies coefficient par coefficient :

P + Q = k = 0 \sum m a x (n, m) (a_{k} + b_{k}) X^{k}, λ \cdot P = i = 0 \sum n (λ a_{i}) X^{i} .

Pour les degrés : $de g (P + Q) \leq max (de g P, de g Q)$ , avec égalité si $de g P \neq = de g Q$ . Et pour $λ \neq = 0$ : $de g (λ P) = de g P$ .

Proposition 1.4 — Produit de deux polynômes

Le produit de deux polynômes est défini par convolution discrète :

P \cdot Q = k = 0 \sum n + m d_{k} X^{k} avec d_{k} = i + j = k \sum a_{i} b_{j} = i = 0 \sum k a_{i} b_{k - i} .

Le degré se comporte additivement : $de g (P \cdot Q) = de g P + de g Q$ (formule capitale qui justifie l'intégrité de $K [X]$ ).

Théorème 1.5 — Structure d'anneau de 𝕂[X]

$(K [X], +, \times)$ est un anneau commutatif unitaire intègre :

Anneau commutatif : $+$ et $\times$ sont associatifs, commutatifs, distributifs, avec neutres $0$ et $1$ ;
Intègre : $P \cdot Q = 0 \Rightarrow P = 0$ ou $Q = 0$ (conséquence directe de $de g (P Q) = de g P + de g Q$ ) ;
Les inversibles de $K [X]$ sont exactement les polynômes constants non nuls, soit $K^{*}$ .

Définition 1.6 — Composition de polynômes

Le composé de $P$ et $Q$ , noté $P \circ Q$ , est défini par :

P \circ Q = i = 0 \sum n a_{i} Q^{i} .

Si $P$ et $Q$ sont non constants, on a $de g (P \circ Q) = de g P \times de g Q$ . On écrit souvent $P (Q)$ au lieu de $P \circ Q$ .

2. Division euclidienne et dérivation

2.1 — Divisibilité et division euclidienne

Définition 2.1 — Divisibilité, polynômes associés

Soient $A, B \in K [X]$ . On dit que $B$ divise $A$ (noté $B ∣ A$ ) s'il existe $Q \in K [X]$ tel que $A = B \cdot Q$ ; on dit alors que $A$ est un multiple de $B$ . Deux polynômes $A$ et $B$ sont associés lorsqu'il existe $λ \in K^{*}$ tel que $A = λ B$ .

Théorème 2.2 — Division euclidienne dans 𝕂[X]

Soient $A, B \in K [X]$ avec $B \neq = 0$ . Il existe un unique couple $(Q, R) \in K [X]^{2}$ tel que :

A = B \cdot Q + R avec de g R < de g B .

$Q$ est le quotient, $R$ est le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$ . L'algorithme de division pose les puissances de $X$ par ordre décroissant — exactement comme la division des entiers, en remplaçant les chiffres par les coefficients.

2.2 — Polynôme dérivé et formule de Taylor

Définition 2.3 — Polynôme dérivé

Soit $P = i = 0 \sum n a_{i} X^{i}$ . Le polynôme dérivé de $P$ est défini formellement par :

P^{'} = i = 1 \sum n i a_{i} X^{i - 1} .

Si $P \neq = 0$ non constant, alors $de g P^{'} = de g P - 1$ . On définit par récurrence les dérivées successives $P^{(0)} = P, P^{(k + 1)} = (P^{(k)})^{'}$ . Si $de g P = n$ , alors $P^{(n)}$ est constant non nul, et $P^{(k)} = 0$ pour $k > n$ .

📝 Dérivation formelle vs analytique. Cette définition est purement algébrique. Sur

K = R

C

, elle coïncide avec la dérivée de

P

. Toutes les règles restent valables :

(P + Q)^{'} = P^{'} + Q^{'}

(P Q)^{'} = P^{'} Q + P Q^{'}

(P \circ Q)^{'} = Q^{'} \cdot (P^{'} \circ Q)

et la formule de Leibniz :

(P Q)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) P^{(k)} Q^{(n - k)}

Théorème 2.5 — Formule de Taylor polynomiale

Si $P \in K [X]$ est de degré $n$ , alors pour tout $a \in K$ :

P (X) = i = 0 \sum n \frac{P ^{(i)} ( a )}{i !} (X - a)^{i} .

Important : le reste est identiquement nul à partir de l'ordre $n + 1$ (puisque $P^{(n + 1)} = 0$ ) : la formule est exacte, pas seulement asymptotique. C'est cette formule qui sert pour caractériser l'ordre de multiplicité d'une racine.

3. Racines d'un polynôme et multiplicité

Définition 3.1 — Racine (ou zéro) d'un polynôme

Soit $P \in K [X]$ et $α \in K$ . On dit que $α$ est une racine (ou un zéro) de $P$ si $P (α) = 0$ , autrement dit si $α$ annule le polynôme.

Théorème 3.2 — Caractérisation de la racine par divisibilité ★ À savoir démontrer

Soient $P \in K [X]$ et $α \in K$ . Alors :

α est racine de P ⟺ (X - α) ∣ P .

Démonstration (par division euclidienne)

(⇐) Si $(X - α) ∣ P$ , alors il existe $Q \in K [X]$ tel que $P = (X - α) \cdot Q$ . En évaluant en $α$ : $P (α) = (α - α) \cdot Q (α) = 0$ , donc $α$ est racine.

(⇒) Réciproquement, supposons $P (α) = 0$ . On effectue la division euclidienne de $P$ par $B = X - α$ , qui est non nul de degré $1$ . Par le théorème 2.2, il existe un unique couple $(Q, R)$ tel que :

P = (X - α) \cdot Q + R avec de g R < de g (X - α) = 1.

Donc $R$ est de degré $\leq 0$ , i.e. $R$ est une constante : $R = r \in K$ . En évaluant en $α$ :

0 = P (α) = (α - α) \cdot Q (α) + r = r,

donc $r = 0$ et $P = (X - α) \cdot Q$ . Conclusion : $(X - α) ∣ P$ .

Définition 3.3 — Ordre de multiplicité d'une racine

Soit $α$ une racine de $P \in K [X]$ et $k \in N^{*}$ . On dit que $α$ est racine de multiplicité $k$ (ou racine d'ordre $k$ ) s'il existe $Q \in K [X]$ tel que :

P = (X - α)^{k} \cdot Q avec Q (α) \neq = 0.

Pour $k = 1$ la racine est dite simple, pour $k = 2$ double, pour $k \geq 2$ multiple. L'entier $k$ est unique : c'est la plus grande puissance de $(X - α)$ qui divise $P$ .

Théorème 3.4 — Caractérisation par les dérivées successives ★ À savoir démontrer

Soit $P \in K [X]$ , $α \in K$ , $k \in N^{*}$ . Alors $α$ est racine d'ordre au moins $k$ ssi :

P (α) = P^{'} (α) = P^{''} (α) = \dots = P^{(k - 1)} (α) = 0.

$α$ est racine exactement d'ordre $k$ ssi, de plus, $P^{(k)} (α) \neq = 0$ .

Démonstration (via la formule de Taylor polynomiale)

Soit $n = de g P$ . La formule de Taylor en $α$ (Théorème 2.5) donne $P (X) = \sum_{i = 0}^{n} \frac{P ^{(i)} ( α )}{i !} (X - α)^{i}$ , et c'est un développement unique en puissances de $(X - α)$ .

(⇒) Si $α$ est d'ordre exactement $k$ , alors $P = (X - α)^{k} Q$ avec $Q (α) \neq = 0$ ; en développant $Q$ en puissances de $(X - α)$ , on voit que les coefficients de $(X - α)^{i}$ pour $i < k$ sont nuls et que celui de $(X - α)^{k}$ vaut $Q (α) \neq = 0$ . Par unicité, $\frac{P ^{(i)} ( α )}{i !} = 0$ pour $0 \leq i \leq k - 1$ et $\frac{P ^{(k)} ( α )}{k !} = Q (α) \neq = 0$ .

(⇐) Réciproquement, si $P^{(i)} (α) = 0$ pour $0 \leq i \leq k - 1$ et $P^{(k)} (α) \neq = 0$ , les $k$ premiers termes du Taylor s'annulent :

P (X) = (X - α)^{k} \cdot =: Q (X) i = k \sum n \frac{P ^{(i)} ( α )}{i !} (X - α)^{i - k},

avec $Q (α) = \frac{P ^{(k)} ( α )}{k !} \neq = 0$ . Donc $α$ est d'ordre exactement $k$ .

📐 Méthode-type — Déterminer l'ordre de multiplicité d'une racine.

Vérifier que $α$ est racine : calculer $P (α)$ . Si non nul, multiplicité $0$ (pas racine).
Dériver successivement et évaluer en $α$ tant que c'est nul. Le premier $P^{(k)}$ tel que $P^{(k)} (α) \neq = 0$ donne la multiplicité.
Variante factorisation : si on connaît déjà la factorisation partielle $P = (X - α)^{j} \cdot R$ avec $R \in K [X]$ , évaluer $R (α)$ ; si $R (α) \neq = 0$ , la multiplicité est exactement $j$ , sinon on continue à factoriser.

Astuce concours : sur les polynômes type

P = (X - 1)^{n} \cdot Q (X) + reste

, la caractérisation par les dérivées est presque toujours plus rapide que la factorisation directe.

Théorème 3.5 — Nombre de racines borné par le degré ★ À savoir démontrer

Un polynôme non nul $P \in K [X]$ de degré $n$ admet au plus $n$ racines dans $K$ , comptées avec multiplicité. En particulier : si $P$ admet strictement plus de $n$ racines, alors $P = 0$ .

Démonstration (par récurrence forte sur le degré)

Soit $H (n)$ : « tout polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines comptées avec multiplicité ». Récurrence forte sur $n \in N$ .

Initialisation $n = 0$ : $P$ est une constante non nulle, sans racine. $0 \leq 0$ , vrai.

Hérédité : on suppose $H (0), \dots, H (n)$ vraies. Soit $P$ de degré $n + 1$ . Si $P$ n'a pas de racine, fini. Sinon soit $α$ une racine de $P$ , de multiplicité $k \geq 1$ : $P = (X - α)^{k} Q$ avec $Q (α) \neq = 0$ et $de g Q = (n + 1) - k \leq n$ . Toute racine $β \neq = α$ de $P$ vérifie $(β - α)^{k} \neq = 0$ , donc est racine de $Q$ avec la même multiplicité. Par $H$ , $Q$ a au plus $n + 1 - k$ racines comptées avec multiplicité, donc $P$ a au plus $k + (n + 1 - k) = n + 1$ racines. $H (n + 1)$ est vraie. Par récurrence, $H (n)$ vraie pour tout $n$ .

Corollaire 3.6 — Un polynôme à une infinité de racines est nul

Si $P \in K [X]$ admet une infinité de racines (ou plus de $de g P$ racines), alors $P = 0$ . En particulier, deux polynômes qui coïncident sur une partie infinie de $K$ sont égaux.

🧑‍🏫 Décortique cette démo avec un mentor

La démo « nombre de racines ≤ degré » est LE classique de khôlle de janvier. La récurrence forte + l'argument de multiplicité y est piégeur : beaucoup d'élèves perdent le compte des multiplicités. En 1 séance avec un mentor Majorant alumni de l'X, tu maîtrises la démo pour de bon — énoncé, schéma au tableau, variantes en oral.

Réserver une séance ciblée →

Définition 3.7 — Polynôme scindé

Un polynôme $P \in K [X]$ de degré $n \geq 1$ est scindé sur $K$ s'il se factorise comme produit de $n$ polynômes de degré 1, soit :

P = a_{n} i = 1 \prod r (X - α_{i})^{k_{i}}, avec i = 1 \sum r k_{i} = n,

où $α_{1}, \dots, α_{r}$ sont les racines distinctes de $P$ dans $K$ et $k_{i}$ leurs multiplicités. Si toutes les $k_{i}$ valent 1, on dit que $P$ est scindé à racines simples.

4. Factorisation dans ℂ[X] et ℝ[X]

4.1 — Théorème de d'Alembert-Gauss

Théorème 4.1 — d'Alembert-Gauss (théorème fondamental de l'algèbre)

Tout polynôme non constant de $C [X]$ admet au moins une racine dans $C$ .

Admis en MPSI — la démonstration relève de l'analyse complexe (spé / L3 maths). On en déduit le résultat fondamental ci-dessous.

Corollaire 4.2 — Tout polynôme de ℂ[X] est scindé

Tout polynôme $P \in C [X]$ de degré $n \geq 1$ admet exactement $n$ racines dans $C$ comptées avec multiplicité, et se factorise :

P = a_{n} i = 1 \prod r (X - α_{i})^{k_{i}}, i = 1 \sum r k_{i} = n,

avec $α_{1}, \dots, α_{r}$ ses racines distinctes dans $C$ . Démonstration : récurrence sur $n$ — par d'Alembert-Gauss, $P$ a une racine $α$ , donc $P = (X - α) Q$ avec $de g Q = n - 1$ ; on applique l'hypothèse de récurrence à $Q$ .

4.2 — Factorisation dans ℝ[X]

Proposition 4.3 — Racines complexes conjuguées d'un polynôme réel

Si $P \in R [X]$ et si $α \in C$ est racine de $P$ de multiplicité $k$ , alors $\overline{α}$ est aussi racine de $P$ avec la même multiplicité $k$ . Idée : à coefficients réels, $P (\overline{z}) = \overline{P (z)}$ .

Théorème 4.4 — Factorisation dans ℝ[X] ★ À savoir démontrer

Les polynômes irréductibles de $R [X]$ sont :

les polynômes de degré 1 : $X - α$ avec $α \in R$ ;
les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif : $a X^{2} + b X + c$ avec $Δ = b^{2} - 4 a c < 0$ .

Tout polynôme $P \in R [X]$ de degré $\geq 1$ se factorise de manière unique (à l'ordre près) sous la forme :

P = a_{n} i = 1 \prod r (X - α_{i})^{k_{i}} \cdot j = 1 \prod s (X^{2} + p_{j} X + q_{j})^{m_{j}},

où les $α_{i} \in R$ sont les racines réelles distinctes de $P$ (de multiplicités $k_{i}$ ) et les facteurs $X^{2} + p_{j} X + q_{j}$ correspondent aux paires de racines complexes conjuguées non réelles $β_{j}, \overline{β_{j}}$ (de multiplicités $m_{j}$ ).

Démonstration (à partir de la factorisation dans ℂ[X])

Soit $P \in R [X]$ de degré $n \geq 1$ et coefficient dominant $a_{n} \in R^{*}$ . Vu dans $C [X]$ , par d'Alembert-Gauss, $P$ se factorise :

P = a_{n} i = 1 \prod r (X - α_{i})^{k_{i}} \cdot j = 1 \prod s ((X - β_{j}) (X - \overline{β_{j}}))^{m_{j}},

où les $α_{i} \in R$ sont les racines réelles et les $β_{j} \in C ∖ R$ représentent chaque paire conjuguée non réelle (de multiplicité $m_{j}$ par Prop 4.3). Pour chaque $j$ :

(X - β_{j}) (X - \overline{β_{j}}) = X^{2} - 2 Re (β_{j}) X + ∣ β_{j} ∣^{2} =: X^{2} + p_{j} X + q_{j},

avec $p_{j}, q_{j} \in R$ . Comme $β_{j} \in / R$ , son discriminant vaut $- 4 Im (β_{j})^{2} < 0$ : irréductible dans $R [X]$ . D'où la décomposition annoncée à coefficients réels. Unicité : par unicité de la factorisation dans $C [X]$ , les facteurs réels sont uniquement déterminés à permutation près.

💡 Exemple canonique — Factorisation de $X^{4} + 1$ dans ℝ[X]. Dans

C [X]

, les racines sont les 4 racines 8-èmes primitives de l'unité :

e^{iπ /4}, e^{3 iπ /4}, e^{5 iπ /4}, e^{7 iπ /4}

. Elles sont conjuguées deux à deux :

{e^{iπ /4}, e^{- iπ /4}}

{e^{3 iπ /4}, e^{- 3 iπ /4}}

. On regroupe :

X^{4} + 1 = (X^{2} - 2 cos (\frac{π}{4}) X + 1) (X^{2} - 2 cos (\frac{3 π}{4}) X + 1) = (X^{2} - 2 X + 1) (X^{2} + 2 X + 1) .

Vérification : discriminants

(\pm 2)^{2} - 4 = - 2 < 0

, les deux facteurs sont bien irréductibles dans

R [X]

4.3 — Relations coefficients-racines

Proposition 4.5 — Relations de Viète

Soit $P = i = 0 \sum n a_{i} X^{i} \in C [X]$ scindé, de racines $α_{1}, \dots, α_{n}$ (comptées avec multiplicité). Notons $σ_{p}$ la somme des produits $p$ à $p$ des racines ( $p$ -ième fonction symétrique élémentaire). Alors :

σ_{p} = (- 1)^{p} \frac{a _{n - p}}{a _{n}} .

Cas $n = 2$ : $α + β = - b / a$ et $α β = c / a$ (rappels seconde). Cas $n = 3$ : $α + β + γ = - a_{2} / a_{3}$ , $α β + β γ + γ α = a_{1} / a_{3}$ , $α β γ = - a_{0} / a_{3}$ .

5. Polynôme d'interpolation de Lagrange

Théorème 5.1 — Existence et unicité du polynôme interpolateur

Soient $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n} \in K$ deux à deux distincts et $b_{0}, b_{1}, \dots, b_{n} \in K$ . Il existe un unique polynôme $L \in K_{n} [X]$ (de degré $\leq n$ ) tel que :

\forall i \in {0, 1, \dots, n}, L (a_{i}) = b_{i} .

Ce polynôme est donné explicitement par :

L (X) = i = 0 \sum n b_{i} \cdot =: ℓ_{i} (X) j = 0 j \neq = i \prod n \frac{X - a _{j}}{a _{i} - a _{j}},

où $ℓ_{i} (X)$ est le $i$ -ème polynôme de Lagrange, caractérisé par $ℓ_{i} (a_{j}) = δ_{i, j}$ (symbole de Kronecker : 1 si $i = j$ , 0 sinon).

📐 Méthode-type — Quand utiliser Lagrange ?

Calculer un polynôme à partir de valeurs imposées — la formule donne explicitement le $P$ de degré $\leq n$ tel que $P (a_{i}) = b_{i}$ .
Démontrer une identité polynomiale — si $P, Q \in K_{n} [X]$ coïncident en $n + 1$ points distincts, alors $P = Q$ (réflexe : « $P - Q$ a $n + 1$ racines distinctes et est de degré $\leq n$ , donc $P - Q = 0$ » par le Théorème 3.5).
Construire une base de $K_{n} [X]$ — les $(ℓ_{i})_{0 \leq i \leq n}$ forment la base de Lagrange duale à la base canonique des évaluations.

🚀 Stage intensif Majorant

Tu veux verrouiller tout le chapitre Polynômes avant le DS ? Nos stages intensifs vacances (1 semaine, 25h) reprennent l'intégralité du chapitre avec exos type concours, factorisations dans $R [X]$ et $C [X]$ , khôlles blanches. Encadrés par des alumni X-ENS, Centrale et Mines.

Voir les stages MPSI →

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves comportant des polynômes. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Confondre l'indéterminée X et la variable x. Écrire

X = 2

n'a aucun sens :

X

est un symbole formel, pas un réel. Le bon raccourci est « j'évalue $P$ en $2$ », ce qui donne

P (2)

(ou

P (2)

avec la confusion autorisée sur

K

infini). Cette erreur de vocabulaire suffit à faire sauter 0,5 point sur une question de cours.

⚠ Erreur 2 — Oublier la multiplicité dans le compte des racines. « Le polynôme

P

de degré 5 a 3 racines, donc

P

n'est pas scindé » est une conclusion fausse si l'on n'a pas vérifié les multiplicités. Exemple :

P = (X - 1)^{3} (X - 2) (X - 3)

a 3 racines distinctes mais 5 racines comptées avec multiplicité, donc est scindé. Toujours écrire « $P$ a $n$ racines comptées avec multiplicité » sans ambiguïté.

⚠ Erreur 3 — Croire que ℝ[X] est scindé. Le théorème de d'Alembert-Gauss vaut uniquement sur

C

. Dans

R [X]

, le polynôme

X^{2} + 1

n'a pas de racine — il est irréductible. Conséquence : tout polynôme de

R [X]

se factorise en degré 1 et degré 2 (à

Δ < 0

), jamais en facteurs de degré 1 seuls (sauf si toutes les racines complexes sont déjà réelles).

⚠ Erreur 4 — Mal manipuler le degré du polynôme nul. Par convention,

de g (0) = - \infty

. Cela rend cohérentes les formules

de g (P Q) = de g P + de g Q

(avec

- \infty + n = - \infty

) et

de g (P + Q) \leq max (de g P, de g Q)

. Conséquence : ne jamais écrire « soit

P

de degré

\leq n

» sans préciser si on autorise

P = 0

— sinon tu risques de manipuler implicitement

de g 0 = 0

, faux.

⚠ Erreur 5 — Confondre « irréductible » et « sans racine ». Un polynôme sans racine dans

K

n'est pas forcément irréductible dans

K [X]

! Exemple :

P = (X^{2} + 1) (X^{2} + 2)

dans

R [X]

n'a aucune racine réelle, mais n'est pas irréductible (il est produit de deux facteurs non triviaux). La réciproque vaut uniquement en degré

\leq 3

sur

R

C

7. Pour aller plus loin

Les polynômes sont l'infrastructure de toute l'algèbre MPSI et spé. Les chapitres qui les réinvestissent directement :

Fractions rationnelles (MPSI) — décomposition en éléments simples sur $C$ et $R$ reposant intégralement sur la factorisation des polynômes vue ici.
Espaces vectoriels et applications linéaires — $K_{n} [X]$ est l'exemple canonique d'ev de dimension finie ; la base canonique $(1, X, X^{2}, \dots, X^{n})$ et la base de Lagrange y vivent.
Réduction d'endomorphismes (spé) — polynôme caractéristique, polynôme minimal, polynômes annulateurs : la diagonalisation se lit sur la factorisation du polynôme minimal en facteurs irréductibles.
Séries entières (spé) — un polynôme est une série entière de rayon infini ; toutes les manipulations formelles de cette fiche se prolongent aux séries entières.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu écrire la définition formelle d'un polynôme de $K [X]$ comme suite de coefficients nulle à partir d'un certain rang ?
Sais-tu distinguer le polynôme $P$ (objet formel) de la fonction polynomiale $P$ — et pourquoi on peut les confondre sur ℝ ou ℂ ?
Connais-tu par cœur la formule $de g (P Q) = de g P + de g Q$ et l'inégalité $de g (P + Q) \leq max (de g P, de g Q)$ ?
Sais-tu énoncer le théorème de la division euclidienne dans $K [X]$ — existence ET unicité ?
Sais-tu démontrer le théorème de la racine $α racine de P \Leftrightarrow (X - α) ∣ P$ ?
Sais-tu énoncer et démontrer la caractérisation de la multiplicité par $P (α) = \dots = P^{(k - 1)} (α) = 0$ et $P^{(k)} (α) \neq = 0$ (via Taylor) ?
Sais-tu démontrer qu'un polynôme de degré $n$ admet au plus $n$ racines (par récurrence forte) ?
Sais-tu énoncer le théorème de d'Alembert-Gauss et en déduire que tout $P \in C [X]$ est scindé ?
Sais-tu décrire les irréductibles de $R [X]$ (degré 1, ou degré 2 avec $Δ < 0$ ) ?
Sais-tu factoriser $X^{4} + 1$ ou $X^{n} - 1$ dans $R [X]$ ?
Sais-tu énoncer les relations de Viète (somme/produit des racines en fonction des coefficients) ?
Sais-tu écrire le polynôme d'interpolation de Lagrange en $n + 1$ points et justifier son unicité ?

Démonstrations à savoir refaire

Théorème de la racine — $P (α) = 0 \Leftrightarrow (X - α) ∣ P$ , par division euclidienne par $X - α$
Caractérisation de la multiplicité $k$ — $P (α) = \dots = P^{(k - 1)} (α) = 0$ et $P^{(k)} (α) \neq = 0$ , via la formule de Taylor polynomiale
Nombre de racines ≤ degré — récurrence forte sur le degré et factorisation par $(X - α)^{k}$
Factorisation dans ℝ[X] — regroupement des paires de racines complexes conjuguées $(X - β) (X - \overline{β}) = X^{2} - 2 Re (β) X + ∣ β ∣^{2}$

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Généralités sur 𝕂[X]

1.1 — Polynôme, coefficients, degré

1.2 — Opérations dans 𝕂[X]

2. Division euclidienne et dérivation

2.1 — Divisibilité et division euclidienne

2.2 — Polynôme dérivé et formule de Taylor

3. Racines d'un polynôme et multiplicité

4. Factorisation dans ℂ[X] et ℝ[X]

4.1 — Théorème de d'Alembert-Gauss

4.2 — Factorisation dans ℝ[X]

4.3 — Relations coefficients-racines

5. Polynôme d'interpolation de Lagrange

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

7. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

Fiches associées

Nombres réels

Suites numériques

Généralités sur les fonctions

Limites et continuité

Fonctions dérivables

Logarithmes, exponentielles et puissances

Tu veux aller plus loin sur ce chapitre ?