Topologie des evn : limites, continuité, applications linéaires continues

Vue d'ensemble

Après le décor (normes, ouverts, fermés), voici les acteurs : les applications continues entre espaces vectoriels normés. Ce deuxième volet généralise la continuité de sup à tous les espaces, en fait un outil topologique redoutable (l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert), et traite le cas capital des applications linéaires continues — où continuité équivaut à « bornée sur la boule unité », via la norme subordonnée. C'est le chapitre qui transforme « montrer que $F$ est fermé » en « $F = f^{- 1} ({0})$ avec $f$ continue » : la méthode la plus rentable de toute l'analyse de spé. Cette fiche regroupe les 4 théorèmes incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Topologie des evn, deuxième volet : limite d'une fonction en un point, continuité en un point et sur une partie, caractérisation séquentielle de la continuité ; continuité et image réciproque des ouverts/fermés ; opérations, composition, continuité des applications composantes ; applications lipschitziennes ; applications linéaires continues, caractérisation par la bornitude sur la boule unité, norme d'opérateur ; continuité automatique en dimension finie.

Prérequis

Topologie 1 : normes, suites, ouverts, fermés, adhérence, caractérisation séquentielle
Continuité des fonctions d'une variable (sup) : définition ε, caractérisation séquentielle
Applications linéaires et dimension finie

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1. Limite et continuité dans les evn

Définition 1.1 — Limite en un point

Soient $(E, N_{E})$ , $(F, N_{F})$ deux evn, $A \subset E$ , $f : A \to F$ et $a \in \overset{ˉ}{A}$ . On dit que $f$ tend vers $ℓ \in F$ en $a$ si :

\forall ε > 0, \exists η > 0, \forall x \in A, N_{E} (x - a) \leq η \Rightarrow N_{F} (f (x) - ℓ) \leq ε .

La limite, si elle existe, est unique ( $a$ étant adhérent à $A$ ). C'est la définition « ε–η » de sup, où les valeurs absolues sont remplacées par les normes de départ et d'arrivée.

Définition 1.2 — Continuité en un point, sur une partie

$f$ est continue en $a \in A$ si $f (x) \to f (a)$ quand $x \to a$ ; elle est continue sur $A$ si elle l'est en tout point de $A$ . En dimension finie, grâce à l'équivalence des normes, la continuité ne dépend pas des normes choisies — on peut prendre celle qui arrange le calcul.

Théorème 1.3 — Caractérisation séquentielle de la continuité ★ À savoir démontrer

$f$ est continue en $a$ si et seulement si, pour toute suite $(x_{n})$ de $A$ convergeant vers $a$ , la suite $(f (x_{n}))$ converge vers $f (a)$ .

Démonstration (les deux sens, dont la contraposée)

Sens direct. Supposons $f$ continue en $a$ et $x_{n} \to a$ . Soit $ε > 0$ : il existe $η > 0$ tel que $N_{E} (x - a) \leq η \Rightarrow N_{F} (f (x) - f (a)) \leq ε$ . Comme $x_{n} \to a$ , il existe $n_{0}$ tel que $N_{E} (x_{n} - a) \leq η$ pour $n \geq n_{0}$ ; alors $N_{F} (f (x_{n}) - f (a)) \leq ε$ . Donc $f (x_{n}) \to f (a)$ .

Réciproque (contraposée). Supposons $f$ non continue en $a$ : il existe $ε_{0} > 0$ tel que, pour tout $η > 0$ , un point viole la condition. En prenant $η = \frac{1}{n + 1}$ , on obtient $x_{n} \in A$ avec $N_{E} (x_{n} - a) \leq \frac{1}{n + 1}$ mais $N_{F} (f (x_{n}) - f (a)) > ε_{0}$ . Alors $x_{n} \to a$ sans que $f (x_{n}) \to f (a)$ : la caractérisation séquentielle échoue. Par contraposée, elle implique la continuité.

Usage n°1 : pour montrer qu'une fonction est DIScontinue, exhiber une seule suite $x_{n} \to a$ telle que $f (x_{n}) \neq \to f (a)$ — souvent plus rapide qu'un raisonnement en ε.

Proposition 1.4 — Opérations et composition

Combinaisons linéaires, produits (si $F$ est une algèbre normée), quotients (là où le dénominateur ne s'annule pas) et composées d'applications continues sont continues. Une application à valeurs dans un espace produit (ou de dimension finie) est continue si et seulement si chacune de ses applications composantes l'est. La norme $x \mapsto N (x)$ est toujours continue (1-lipschitzienne, par l'inégalité triangulaire inverse).

2. Continuité et image réciproque : l'outil roi

Théorème 2.1 — Caractérisation topologique de la continuité ★ À savoir démontrer

Pour $f : E \to F$ , les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) $f$ est continue sur $E$ ;
(ii) l'image réciproque de tout ouvert de $F$ est un ouvert de $E$ ;
(iii) l'image réciproque de tout fermé de $F$ est un fermé de $E$ .

Démonstration ((i) ⟹ (ii), puis (ii) ⟺ (iii) par complémentaire)

(i) ⟹ (ii). Soit $U$ ouvert de $F$ et $a \in f^{- 1} (U)$ : alors $f (a) \in U$ ouvert, donc il existe $ε > 0$ avec $B (f (a), ε) \subset U$ . Par continuité en $a$ , il existe $η > 0$ tel que $f (B (a, η)) \subset B (f (a), ε) \subset U$ , c'est-à-dire $B (a, η) \subset f^{- 1} (U)$ . Donc $f^{- 1} (U)$ est ouvert.

(ii) ⟺ (iii). Immédiat par passage au complémentaire : $f^{- 1} (F ∖ B) = E ∖ f^{- 1} (B)$ , et « ouvert » et « fermé » sont échangés par complémentation.

(ii) ⟹ (i). Pour $a \in E$ et $ε > 0$ , la boule $B (f (a), ε)$ est un ouvert ; son image réciproque est un ouvert contenant $a$ , donc contient une boule $B (a, η)$ . C'est la continuité en $a$ .

📐 Méthode-type — Montrer qu'une partie est ouverte / fermée par continuité.

Écrire la partie comme image réciproque : identifier une fonction continue $f$ et un ensemble simple tels que $A = f^{- 1} (cet ensemble)$ .
Fermés types : $f^{- 1} ({c})$ (égalité $f = c$ ), $f^{- 1} (] - \infty, c])$ (inégalité large $f \leq c$ ), image réciproque d'un singleton ou d'un intervalle fermé.
Ouverts types : $f^{- 1} (] a, b [)$ , $f^{- 1} (R^{*})$ (inégalité stricte, non-annulation).
Vérifier la continuité de $f$ : combinaison / composée de fonctions continues usuelles (norme, coordonnées, déterminant, trace, produit scalaire…).

💡 Exemples matriciels canoniques.

G L_{n} (R) = det^{- 1} (R^{*})

: image réciproque d'un OUVERT par

det

continue ⟹ ouvert.

S L_{n} (R) = det^{- 1} ({1})

: image réciproque d'un FERMÉ ⟹ fermé.

O (n) = {M, M^{T} M = I_{n}}

: image réciproque de

{I_{n}}

(fermé) par

M \mapsto M^{T} M

continue ⟹ fermé (et borné, car ses colonnes sont unitaires :

∥ M ∥

borné). Trois preuves en une ligne chacune, là où la voie séquentielle prend un paragraphe.

⚠ Piège n°1 du chapitre — C'est l'image RÉCIPROQUE, pas l'image directe. L'image DIRECTE d'un ouvert par une application continue n'a aucune raison d'être ouverte :

x \mapsto x^{2}

envoie l'ouvert

] - 1, 1 [

sur

[0, 1 [

, ni ouvert. Toujours revenir à

f^{- 1}

(« les

x

tels que

f (x) \in \dots

»). Inverser le sens est l'erreur de topologie la plus fréquente aux écrits.

3. Applications lipschitziennes et linéaires continues

Définition 3.1 — Application lipschitzienne

$f : A \to F$ est $k$ -lipschitzienne s'il existe $k \geq 0$ tel que $N_{F} (f (x) - f (y)) \leq k N_{E} (x - y)$ pour tous $x, y$ . Toute application lipschitzienne est continue (uniformément, même). Exemple universel : $x \mapsto N (x)$ est 1-lipschitzienne.

Définition 3.2 — Distance à une partie

Pour une partie non vide $A \subset E$ , la distance d'un point $x$ à $A$ est $d (x, A) = in f_{a \in A} N (x - a)$ . L'application $x \mapsto d (x, A)$ est 1-lipschitzienne (donc continue), et $d (x, A) = 0 ⟺ x \in \overset{ˉ}{A}$ : elle fournit une fonction-témoin continue pour démontrer que $\overset{ˉ}{A} = d (\cdot, A)^{- 1} ({0})$ est fermé.

Théorème 3.3 — Continuité d'une application linéaire ★ À savoir démontrer

Pour une application linéaire $u : E \to F$ , il y a équivalence entre :

(i) $u$ est continue ; (ii) $u$ est continue en $0$ ;
(iii) $u$ est bornée sur la boule unité : $\exists k \geq 0, \forall x, N_{F} (u (x)) \leq k N_{E} (x)$ ;
(iv) $u$ est lipschitzienne.

Démonstration (le cycle des équivalences)

(iii) ⟹ (iv). Par linéarité, $u (x) - u (y) = u (x - y)$ , donc $N_{F} (u (x) - u (y)) = N_{F} (u (x - y)) \leq k N_{E} (x - y)$ : $u$ est $k$ -lipschitzienne. (iv) ⟹ (i) ⟹ (ii) : trivial.

(ii) ⟹ (iii). Supposons $u$ continue en $0$ (avec $u (0) = 0$ par linéarité). Pour $ε = 1$ , il existe $η > 0$ tel que $N_{E} (x) \leq η \Rightarrow N_{F} (u (x)) \leq 1$ . Pour $x \neq = 0$ quelconque, le vecteur $η \frac{x}{N _{E} ( x )}$ est de norme $η$ , donc :

N_{F} (u (η \frac{x}{N _{E} ( x )})) \leq 1 ⟹ \frac{η}{N _{E} ( x )} N_{F} (u (x)) \leq 1 ⟹ N_{F} (u (x)) \leq \frac{1}{η} N_{E} (x) .

On a la bornitude avec $k = 1/ η$ . Le cycle est bouclé : les quatre assertions sont équivalentes.

Définition 3.4 — Norme subordonnée (norme d'opérateur)

Pour $u \in L_{c} (E, F)$ (linéaire continue), la norme subordonnée est la plus petite constante de bornitude :

∣∣∣ u ∣∣∣ = x \neq = 0 sup \frac{N _{F} ( u ( x ))}{N _{E} ( x )} = N_{E} (x) \leq 1 sup N_{F} (u (x)) = N_{E} (x) = 1 sup N_{F} (u (x)) .

Elle vérifie $N_{F} (u (x)) \leq ∣∣∣ u ∣∣∣ N_{E} (x)$ et la propriété sous-multiplicative $∣∣∣ v \circ u ∣∣∣ \leq ∣∣∣ v ∣∣∣ \cdot ∣∣∣ u ∣∣∣$ — d'où, sur $M_{n}$ , $∣∣∣ A^{k} ∣∣∣ \leq ∣∣∣ A ∣∣ ∣^{k}$ .

Théorème 3.5 — Continuité automatique en dimension finie

Si $E$ est de dimension finie, TOUTE application linéaire $u : E \to F$ est continue. Plus généralement, toute application $p$ -linéaire sur un produit d'espaces de dimension finie est continue (déterminant, produit matriciel, produit scalaire, produit vectoriel : tous continus).

⚠ Piège — En dimension infinie, une application linéaire peut être discontinue. Sur

(R [X], ∥ \cdot ∥_{\infty})

, la dérivation

P \mapsto P^{'}

n'est PAS continue :

P_{n} = X^{n}

vérifie

∥ P_{n} ∥_{\infty} = 1

(sur

[0, 1]

) mais

∥ P_{n}^{'} ∥_{\infty} = n \to \infty

. En dimension infinie, « linéaire » n'entraîne JAMAIS « continue » : il faut le prouver (bornitude). Oubli fréquent, épinglé par les rapports.

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4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Continuité et topologie se mélangent facilement — florilège des rapports (X-ENS, Mines-Ponts, Centrale, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Confondre image directe et image réciproque. Continue ⟹ image RÉCIPROQUE d'ouvert = ouvert (pas l'image directe). Le sens de la flèche est capital : un ensemble « défini par une condition sur

f

» est

f^{- 1} (\dots)

. C'est la faute la plus signalée du chapitre.

⚠ Erreur 2 — Croire qu'une application linéaire est toujours continue. Vrai en dimension FINIE seulement. En dimension infinie, il faut vérifier la bornitude

N_{F} (u (x)) \leq k N_{E} (x)

. La dérivation sur les polynômes est le contre-exemple à dégainer.

⚠ Erreur 3 — Passer à la limite dans une inégalité stricte. Comme au volet 1 :

f (x_{n}) < c

et continuité donnent

f (a) \leq c

(large). Les fermés se prouvent avec des inégalités larges ; les ensembles à inégalités strictes sont des candidats OUVERTS.

⚠ Erreur 4 — Oublier de justifier la continuité de la fonction-témoin. «

F = f^{- 1} ({0})

donc fermé » n'est valable que si l'on a établi

f

CONTINUE. Détailler pourquoi (combinaison de trace, déterminant, coordonnées… toutes continues) fait partie de la réponse — l'omettre est compté incomplet.

⚠ Erreur 5 — Mélanger norme subordonnée et norme de départ. La norme subordonnée

∣∣∣ u ∣∣∣

DÉPEND des normes choisies sur

E

F

. Changer de norme change sa valeur (même si la continuité, elle, ne change pas en dimension finie). Toujours préciser par rapport à quelles normes on calcule

∣∣∣ u ∣∣∣

5. Pour aller plus loin

La continuité en poche, le dernier volet de topologie et toute l'analyse s'ouvrent :

Topologie 3 : compacité — l'image continue d'un compact est compacte ; une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes (théorème des bornes généralisé) : la clé de l'équivalence des normes en dimension finie.
Suites et séries de fonctions — continuité de la limite uniforme, théorèmes d'interversion : tout repose sur la norme infinie et la continuité.
Calcul différentiel — la différentielle est une application linéaire continue ; toute la théorie vit dans $L_{c} (E, F)$ .
Oraux — continuité du déterminant, densité de $G L_{n}$ , fermeture de $O (n)$ : les questions de topologie matricielle se règlent presque toutes par image réciproque.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir limite et continuité en un point dans un evn (avec les deux normes) ?
Sais-tu démontrer la caractérisation séquentielle de la continuité (dont la contraposée) ?
Sais-tu que la norme est 1-lipschitzienne, et l'utiliser comme fonction-témoin continue ?
Sais-tu démontrer « continue ⟺ image réciproque d'ouvert = ouvert » ?
Sais-tu écrire GLₙ, SLₙ, O(n) comme images réciproques et conclure ouvert/fermé ?
Sais-tu pourquoi c'est l'image réciproque (contre-exemple x ↦ x² pour l'image directe) ?
Sais-tu définir lipschitzien et que lipschitzien ⟹ continu ?
Sais-tu démontrer l'équivalence continue ⟺ bornée sur la boule unité pour une application linéaire ?
Sais-tu définir la norme subordonnée et sa propriété sous-multiplicative ?
Sais-tu qu'en dimension finie toute application linéaire (et multilinéaire) est continue ?
Connais-tu le contre-exemple de la dérivation discontinue en dimension infinie ?
Sais-tu que la norme subordonnée dépend des normes choisies ?

Démonstrations à savoir refaire

Caractérisation séquentielle de la continuité — sens direct + contraposée avec η = 1/(n+1)
Continuité ⟺ image réciproque d'ouvert ouverte — boules, puis complémentaire pour les fermés
Continuité d'une application linéaire — cycle des équivalences, normalisation η·x/N(x)

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Limite et continuité dans les evn

2. Continuité et image réciproque : l'outil roi

3. Applications lipschitziennes et linéaires continues

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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