Variables aléatoires discrètes

Vue d'ensemble

Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue d'une expérience : le nombre de piles en $n$ lancers, l'instant du premier succès, le nombre d'appels reçus par un standard. En MP, ces variables prennent leurs valeurs dans un ensemble dénombrable — d'où la théorie des variables aléatoires DISCRÈTES, bâtie sur les espaces probabilisés. On décrit une telle variable par sa loi de probabilité et on met en scène les lois usuelles qui reviennent partout : Bernoulli, binomiale (compter des succès), géométrique (attendre un succès), Poisson (événements rares). Deux propriétés remarquables structurent le chapitre : la binomiale est une somme de Bernoulli indépendantes, et la géométrique est « sans mémoire ». Ce chapitre prépare l'étude de l'espérance, de la variance et des théorèmes limites. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Variables aléatoires discrètes : variable aléatoire à valeurs dans un ensemble dénombrable, loi de probabilité, fonction de répartition ; lois usuelles (uniforme, Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson) ; couples et familles de variables aléatoires, lois marginales, indépendance de variables aléatoires. (Espérance et variance : chapitre suivant.)

Prérequis

Espaces probabilisés, σ-additivité, indépendance d'événements
Séries numériques (géométrique, exponentielle), coefficients binomiaux
Formule des probabilités totales

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1. Variables aléatoires et loi de probabilité

Définition 1.1 — Variable aléatoire discrète

Une variable aléatoire discrète sur un espace probabilisé $(Ω, A, P)$ est une application $X : Ω \to E$ , où $E$ est un ensemble dénombrable (souvent $\subset R$ ), telle que pour tout $x$ , l'ensemble ${X = x} = {ω : X (ω) = x}$ est un événement. On note $X (Ω)$ l'ensemble (au plus dénombrable) des valeurs prises.

Définition 1.2 — Loi de probabilité

La loi de $X$ est la donnée des probabilités $P (X = x)$ pour $x \in X (Ω)$ . Elle vérifie $P (X = x) \geq 0$ et :

x \in X (Ω) \sum P (X = x) = 1.

Les événements ${X = x}_{x \in X (Ω)}$ forment un système complet d'événements. La loi caractérise complètement le comportement probabiliste de $X$ (indépendamment de l'espace $Ω$ sous-jacent).

Définition 1.3 — Indépendance de variables aléatoires

Deux variables aléatoires $X, Y$ sont indépendantes si, pour tous $x, y$ :

P (X = x, Y = y) = P (X = x) P (Y = y) .

Une famille $(X_{i})$ est indépendante si cette factorisation vaut pour toute sous-famille finie. L'indépendance signifie que la valeur de l'une n'apporte AUCUNE information sur l'autre — hypothèse clé pour sommer des variables.

⚠ Piège — La loi ne dépend pas de l'espace Ω. Deux variables aléatoires définies sur des espaces différents peuvent avoir la MÊME loi. On dit qu'elles « suivent la même loi » (

X \sim Y

) sans qu'elles soient égales. Ne pas confondre égalité de variables (

X = Y

, même valeur sur chaque

ω

) et égalité de lois (

X \sim Y

, mêmes probabilités).

2. Les lois usuelles

Théorème 2.1 — Loi binomiale comme somme de Bernoulli ★ À savoir démontrer

Si $X_{1}, \dots, X_{n}$ sont des variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre $p$ ( $P (X_{i} = 1) = p$ , $P (X_{i} = 0) = 1 - p$ ), alors leur somme $S = X_{1} + \dots + X_{n}$ suit la loi binomiale $B (n, p)$ :

P (S = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}, k \in {0, 1, \dots, n} .

Démonstration (dénombrement des séquences de succès)

$S = \sum_{i} X_{i}$ compte le nombre de « succès » ( $X_{i} = 1$ ) parmi $n$ épreuves indépendantes. L'événement ${S = k}$ est la réunion DISJOINTE de tous les $n$ -uplets $(x_{1}, \dots, x_{n}) \in {0, 1}^{n}$ comportant exactement $k$ fois la valeur $1$ .

Par indépendance, chaque $n$ -uplet fixé de ce type a pour probabilité $\prod_{i} P (X_{i} = x_{i}) = p^{k} (1 - p)^{n - k}$ ( $k$ facteurs $p$ , $n - k$ facteurs $1 - p$ ). Le nombre de tels $n$ -uplets est le nombre de façons de choisir les $k$ positions des succès, soit $(k n)$ . En sommant ces probabilités disjointes : $P (S = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} .$ CQFD. On vérifie $\sum_{k = 0}^{n} P (S = k) = (p + (1 - p))^{n} = 1$ (binôme de Newton).

Définition 2.1 — Loi géométrique

Une variable $X$ suit la loi géométrique $G (p)$ ( $0 < p \leq 1$ ) si elle compte le rang du premier succès dans une répétition d'épreuves de Bernoulli indépendantes :

P (X = k) = (1 - p)^{k - 1} p, k \in N^{*} .

Interprétation : $k - 1$ échecs (chacun de proba $1 - p$ ) suivis d'un succès (proba $p$ ). On vérifie $\sum_{k \geq 1} (1 - p)^{k - 1} p = p \cdot \frac{1}{1 - ( 1 - p )} = 1$ (série géométrique).

Théorème 2.2 — Absence de mémoire de la loi géométrique ★ À savoir démontrer

La loi géométrique est sans mémoire : pour tous $n, m \geq 0$ ,

P (X > n + m ∣ X > n) = P (X > m) .

« Le processus oublie le passé » : sachant qu'on a déjà eu $n$ échecs, la probabilité d'attendre encore $m$ essais est la même qu'au départ. C'est la seule loi discrète (sur $N^{*}$ ) à posséder cette propriété.

Démonstration (calcul de P(X > n))

Calculons d'abord $P (X > n)$ : l'événement ${X > n}$ signifie « les $n$ premières épreuves sont des échecs », donc $P (X > n) = (1 - p)^{n}$ . (On peut aussi sommer la série : $\sum_{k > n} (1 - p)^{k - 1} p = (1 - p)^{n}$ .)

Alors, par définition de la probabilité conditionnelle, et comme ${X > n + m} \subset {X > n}$ : $P (X > n + m ∣ X > n) = \frac{P ( X > n + m )}{P ( X > n )} = \frac{( 1 - p ) ^{n + m}}{( 1 - p ) ^{n}} = (1 - p)^{m} = P (X > m) .$ CQFD. L'absence de mémoire découle directement de la propriété multiplicative de l'exponentielle $(1 - p)^{n + m} = (1 - p)^{n} (1 - p)^{m}$ .

Définition 2.2 — Loi de Poisson

Une variable $X$ suit la loi de Poisson $P (λ)$ ( $λ > 0$ ) si :

P (X = k) = e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !}, k \in N .

Elle modélise le nombre d'événements rares sur une période (appels, désintégrations, fautes de frappe). La normalisation utilise la série exponentielle : $\sum_{k \geq 0} e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !} = e^{- λ} e^{λ} = 1$ .

Théorème 2.3 — Poisson, loi des événements rares

La loi de Poisson est la limite de la loi binomiale $B (n, p)$ quand $n \to + \infty$ et $p \to 0$ avec $n p = λ$ FIXÉ :

(k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} n p = λ n \to + \infty e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !} .

C'est pourquoi Poisson modélise « beaucoup d'épreuves, chacune très improbable » : grand nombre de tentatives, faible probabilité individuelle, nombre moyen $λ$ fixé.

📐 Méthode-type — Reconnaître et utiliser une loi usuelle.

Nombre FIXÉ d'épreuves, compter les succès → binomiale $B (n, p)$ .
Attendre le premier succès (rang) → géométrique $G (p)$ (pense à l'absence de mémoire).
Compter des événements rares sur une durée → Poisson $P (λ)$ .
Somme de variables indépendantes : binomiale = somme de Bernoulli ; somme de Poisson indépendantes = Poisson (paramètres additionnés).

💡 Exemple — Reconnaître la loi.
— « On lance

10

fois un dé,

X

= nombre de

6

» : nombre fixé d'épreuves (

n = 10

), on compte les succès (proba

p = 1/6

) →

X \sim B (10, 1/6)

.
— « On lance un dé jusqu'au premier

6

X

= nombre de lancers » : rang du premier succès →

X \sim G (1/6)

.
— « Nombre de clients arrivant à un guichet en une heure » : événements rares sur une durée →

X \sim P (λ)

λ

= nombre moyen par heure.

🧑‍🏫 Les lois usuelles au point

Binomiale, géométrique, Poisson : savoir les reconnaître, c'est la moitié du travail. Un mentor Majorant te fait identifier la bonne loi au premier coup d'œil et exploiter leurs propriétés — le réflexe qui fait la différence sur les problèmes de probabilités.

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3. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Les variables aléatoires récompensent la précision sur les lois et l'indépendance. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Confondre binomiale et géométrique. Binomiale = nombre de succès en

n

épreuves FIXÉES ; géométrique = RANG du premier succès (nombre d'épreuves variable). Bien identifier ce que compte la variable (des succès, ou un rang d'attente) avant de choisir la loi.

⚠ Erreur 2 — Se tromper de support de la loi géométrique. La loi géométrique

G (p)

prend ses valeurs dans

N^{*}

(

k \geq 1

, car il faut au moins un lancer). Écrire

P (X = 0)

pour une géométrique est une faute. La binomiale, elle, part de

k = 0

⚠ Erreur 3 — Oublier l'indépendance pour sommer. « Binomiale = somme de Bernoulli » suppose les Bernoulli INDÉPENDANTES et de MÊME paramètre. Sans indépendance, la somme ne suit pas une binomiale. De même, la stabilité de Poisson par somme exige l'indépendance. Toujours vérifier l'hypothèse.

⚠ Erreur 4 — Confondre égalité de variables et égalité de lois.

X \sim Y

(même loi) n'implique PAS

X = Y

(mêmes valeurs). Deux dés distincts suivent la même loi mais ne prennent pas la même valeur. Écrire

X = Y

au lieu de

X \sim Y

est une confusion sanctionnée.

⚠ Erreur 5 — Vérifier la normalisation avec la mauvaise série. Chaque loi se normalise avec SA série : géométrique → série géométrique

\sum (1 - p)^{k - 1} p = 1

; Poisson → série exponentielle

\sum λ^{k} / k! = e^{λ}

. Se tromper de série (ou oublier le facteur) donne une « loi » qui ne somme pas à

1

. Toujours contrôler

\sum P (X = k) = 1

4. Pour aller plus loin

Les variables aléatoires discrètes ouvrent sur toute la théorie probabiliste :

Espérance et variance — les moments d'une variable, valeur moyenne et dispersion : le chapitre qui suit directement.
Fonctions génératrices — un outil algébrique puissant pour calculer moments et sommes de variables indépendantes.
Théorèmes limites — loi des grands nombres, inégalités de concentration (Markov, Bienaymé-Tchebychev).
Chaînes de Markov et files d'attente — la loi de Poisson y modélise les arrivées ; applications en réseaux, biologie, finance.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir une variable aléatoire discrète (valeurs dénombrables) ?
Sais-tu que la loi vérifie Σ P(X = x) = 1 (système complet) ?
Sais-tu définir l'indépendance de variables aléatoires ?
Sais-tu distinguer égalité de variables (X = Y) et de lois (X ∼ Y) ?
Connais-tu la loi binomiale P(S = k) = C(n,k) pᵏ (1−p)^(n−k) ?
Sais-tu démontrer que la binomiale est une somme de Bernoulli indépendantes ?
Connais-tu la loi géométrique P(X = k) = (1−p)^(k−1) p sur ℕ* ?
Sais-tu que P(X > n) = (1−p)ⁿ pour une géométrique ?
Sais-tu démontrer l'absence de mémoire P(X > n+m | X > n) = P(X > m) ?
Connais-tu la loi de Poisson P(X = k) = e^(−λ) λᵏ/k! ?
Sais-tu que Poisson est la limite de la binomiale (np = λ fixé) ?
Sais-tu reconnaître la bonne loi selon l'énoncé (fixé/attente/rare) ?

Démonstrations à savoir refaire

Binomiale = somme de Bernoulli — dénombrement des uplets, C(n,k) pᵏ(1−p)^(n−k)
Absence de mémoire (géométrique) — P(X > n) = (1−p)ⁿ, conditionnement

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Variables aléatoires et loi de probabilité

2. Les lois usuelles

3. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

4. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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