Fractions rationnelles

Vue d'ensemble

Les fractions rationnelles sont aux polynômes ce que les nombres rationnels sont aux entiers : on construit $K (X)$ , le corps des quotients $P / Q$ avec $Q \neq = 0$ . L'enjeu central du chapitre, c'est la décomposition en éléments simples (DES) — un outil de calcul qui sert à intégrer, à sommer par télescopage, à résoudre des équations différentielles et à inverser des transformations de Laplace en spé. Cette fiche rassemble les 9 théorèmes incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et la méthode-type de DES qui revient à chaque DS.

Au programme MPSI (officiel) — Corps

K (X)

des fractions rationnelles (

K = R

C

), représentant irréductible, degré, racines et pôles, ordre de multiplicité, partie entière, partie polaire, théorème d'existence et d'unicité de la DES dans

C (X)

et dans

R (X)

, pratique du calcul des coefficients (multiplication par

(X - α)^{k}

, évaluation, parité, identification), dérivation et primitive d'une fraction rationnelle.

Prérequis

Anneau $K [X]$ des polynômes, division euclidienne, pgcd
Racines d'un polynôme, ordre de multiplicité, théorème de d'Alembert-Gauss
Polynômes irréductibles sur $R$ (degré 1 et trinômes à discriminant strictement négatif)
Dérivation des polynômes et opérations algébriques

🎯 Accompagnement Majorant

La DES, c'est LE chapitre qui sépare ceux qui calculent et ceux qui rament aux concours. Une bonne DES = 3 lignes au tableau ; une mauvaise = 20 lignes de calculs faux. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font drill 15 DES en 2h, jusqu'à ce que la méthode soit un réflexe avant l'oral.

Trouver un mentor MPSI →

1. Le corps 𝕂(X) des fractions rationnelles

Définition 1.1 — Fraction rationnelle

Soit $K = R$ ou $C$ . Une fraction rationnelle à coefficients dans $K$ est un quotient formel $F = P / Q$ avec $P, Q \in K [X]$ et $Q \neq = 0$ . Deux écritures $P_{1} / Q_{1}$ et $P_{2} / Q_{2}$ désignent la même fraction si et seulement si $P_{1} Q_{2} = P_{2} Q_{1}$ . L'ensemble des fractions rationnelles est noté $K (X)$ — c'est un corps qui contient $K [X]$ .

Définition 1.2 — Représentant irréductible

Toute fraction $F \in K (X) ∖ {0}$ admet un unique représentant $P / Q$ (à un scalaire près) tel que $pgcd (P, Q) = 1$ — c'est le représentant irréductible. On l'obtient en simplifiant $P$ et $Q$ par leur pgcd. Dans toute la suite, sauf mention contraire, $F = P / Q$ désigne ce représentant irréductible.

Définition 1.3 — Degré d'une fraction rationnelle

Pour $F = P / Q \in K (X) ∖ {0}$ , on définit son degré par :

de g (F) = de g (P) - de g (Q) \in Z .

Cette définition ne dépend pas du représentant choisi (les simplifications se compensent). On pose $de g (0) = - \infty$ . Le degré vérifie $de g (F + G) \leq max (de g F, de g G)$ et $de g (F G) = de g F + de g G$ .

📝 Le degré peut être négatif. Contrairement aux polynômes,

de g (F)

peut être négatif : par exemple

de g (1/ X) = - 1

de g (1/ (X^{2} + 1)) = - 2

. Les fractions de degré

\leq - 1

tendent vers

0

à l'infini, ce qui sera crucial pour la décomposition en éléments simples.

Définition 1.4 — Racine et pôle

Soit $F = P / Q$ sous forme irréductible. Un élément $α \in K$ est :

une racine (ou un zéro) de $F$ si $P (α) = 0$ — l'ordre de multiplicité est celui de $α$ dans $P$ ;
un pôle de $F$ si $Q (α) = 0$ — l'ordre du pôle est la multiplicité de $α$ comme racine de $Q$ .

Un pôle d'ordre $1$ est dit simple, d'ordre $2$ double, etc.

⚠ Piège #1 — Toujours simplifier AVANT d'identifier les pôles. Sur

F = (X^{2} - 1) / (X - 1)

, si tu n'es pas passé au représentant irréductible, tu vas annoncer

1

comme pôle. Or après simplification

F = X + 1

, il n'y a aucun pôle. Règle d'or : simplifie

P / Q

par leur pgcd avant de chercher pôles, ordres et DES — sinon tu travailles sur de faux pôles et tout le calcul s'écroule.

Définition 1.5 — Fonction rationnelle associée

À toute $F = P / Q \in K (X)$ on associe la fonction rationnelle :

F : x ⟼ \frac{P ( x )}{Q ( x )},

définie sur $K ∖ {p \overset{o}{ˆ} les de F}$ . Attention : deux fractions égales dans $K (X)$ donnent la même fonction, mais la fonction ne distingue pas un pôle d'une « non-définition » accidentelle.

2. Partie entière et partie polaire

Théorème 2.1 — Existence et unicité de la partie entière ★ À savoir démontrer

Soit $F = P / Q \in K (X)$ . Il existe un unique couple $(E, R) \in K [X] \times K [X]$ tel que :

F = E (X) + \frac{R ( X )}{Q ( X )} avec de g R < de g Q .

Le polynôme $E$ s'appelle la partie entière de $F$ . On a $E \neq = 0$ si et seulement si $de g F \geq 0$ , et dans ce cas $de g E = de g F = de g P - de g Q$ .

Démonstration (division euclidienne dans

K [X]

)

Existence. La division euclidienne de $P$ par $Q$ dans $K [X]$ — algorithme valide car $K [X]$ est euclidien — fournit un unique couple $(E, R)$ avec $P = E Q + R$ et $de g R < de g Q$ . En divisant par $Q$ on obtient $F = E + R / Q$ , ce qui prouve l'existence.

Unicité. Si $F = E_{1} + R_{1} / Q = E_{2} + R_{2} / Q$ , alors $(E_{1} - E_{2}) Q = R_{2} - R_{1}$ . Le membre de droite a un degré strictement inférieur à $de g Q$ ; le membre de gauche est ou bien nul, ou bien de degré $\geq de g Q$ . Le seul moyen de concilier les deux : $E_{1} - E_{2} = 0$ et $R_{2} - R_{1} = 0$ . D'où $E_{1} = E_{2}$ et $R_{1} = R_{2}$ .

📐 Calculer la partie entière en pratique. Pose la division euclidienne de

P

par

Q

(comme une division d'entiers, en colonnes). Le quotient est

E

; le reste est

R

. Tu peux alors écrire

F = E + R / Q

avec

R / Q

une fraction de degré strictement négatif — exactement la forme dont on a besoin pour la DES.

💡 Exemple. Pour

F = (X^{3} + 1) / (X^{2} - 1)

, la division donne

X^{3} + 1 = X \cdot (X^{2} - 1) + (X + 1)

. Donc :

F = X + \frac{X + 1}{X ^{2} - 1} = X + \frac{X + 1}{( X - 1 ) ( X + 1 )} = X + \frac{1}{X - 1} .

La partie entière est $E (X) = X$ ; et après simplification, le pôle $α = - 1$ disparaît — c'était un faux pôle.

Définition 2.2 — Partie polaire en un pôle

Soit $α$ un pôle d'ordre $k$ de $F = P / Q$ . La partie polaire de $F$ en $α$ est l'unique somme de la forme :

Pol_{α} (F) = \frac{a _{1}}{X - α} + \frac{a _{2}}{( X - α ) ^{2}} + \dots + \frac{a _{k}}{( X - α ) ^{k}}

avec $a_{1}, \dots, a_{k} \in K$ et $a_{k} \neq = 0$ , telle que $F - Pol_{α} (F)$ n'a plus $α$ comme pôle. Les $a_{i}$ sont appelés coefficients de la partie polaire. Le coefficient $a_{1}$ (terme en $(X - α)^{- 1}$ ) est le résidu de $F$ en $α$ .

Proposition 2.3 — Coefficient dominant de la partie polaire

Si $α$ est un pôle d'ordre $k$ de $F = P / Q$ , alors le coefficient $a_{k}$ (terme en $(X - α)^{- k}$ ) de la partie polaire vaut :

a_{k} = X \to α lim (X - α)^{k} F (X) .

En particulier, si $α$ est un pôle simple ( $k = 1$ ) :

a_{1} = X \to α lim (X - α) F (X) = \frac{P ( α )}{Q ^{'} ( α )} .

3. Décomposition en éléments simples dans ℂ(X)

Théorème 3.1 — Existence et unicité de la DES dans ℂ(X) ★ À savoir démontrer

Soit $F = P / Q \in C (X)$ sous forme irréductible. Notons $α_{1}, \dots, α_{r}$ les pôles distincts de $F$ dans $C$ , avec $α_{i}$ d'ordre $k_{i}$ . Alors $F$ admet une unique écriture, dite décomposition en éléments simples :

F (X) = E (X) + i = 1 \sum r j = 1 \sum k_{i} \frac{a _{i, j}}{( X - α _{i} ) ^{j}},

où $E \in C [X]$ est la partie entière de $F$ et où chaque $j = 1 \sum k_{i} \frac{a _{i, j}}{( X - α _{i} ) ^{j}}$ est la partie polaire de $F$ en $α_{i}$ .

Démonstration (récurrence sur le nombre de pôles distincts)

Quitte à extraire la partie entière par division euclidienne, on suppose $de g F < 0$ , donc $E = 0$ . On raisonne par récurrence sur $r$ , le nombre de pôles distincts de $F$ .

Cas $r = 1$ . Soit $α$ l'unique pôle, d'ordre $k$ . On écrit $Q (X) = (X - α)^{k}$ (à un scalaire près, qu'on absorbe dans $P$ ). Par division euclidienne de $P$ par $X - α$ , il existe $P_{1}$ et $a_{k} \in C$ tels que $P = (X - α) P_{1} + a_{k}$ , donc : $F = \frac{P _{1}}{( X - α ) ^{k - 1}} + \frac{a _{k}}{( X - α ) ^{k}} .$ On itère sur $P_{1} / (X - α)^{k - 1}$ (même structure, ordre diminué), ce qui fournit par récurrence finie la partie polaire complète. L'unicité vient de l'unicité de la division euclidienne à chaque étape.

Hérédité. Supposons le théorème vrai pour les fractions à $r - 1$ pôles distincts, et soit $F$ à $r$ pôles $α_{1}, \dots, α_{r}$ . Le coefficient $a_{1, k_{1}}$ de la partie polaire en $α_{1}$ est défini de manière unique par la Proposition 2.3. On forme : $G (X) = F (X) - j = 1 \sum k_{1} \frac{a _{1, j}}{( X - α _{1} ) ^{j}} .$ Par construction, $G$ n'a plus $α_{1}$ comme pôle ; les coefficients $a_{1, j}$ s'obtiennent de proche en proche par la formule de Proposition 2.3 appliquée à $F$ et à des fractions auxiliaires. Donc $G$ a au plus $r - 1$ pôles distincts, et par hypothèse de récurrence elle admet une unique DES. En combinant, $F$ en admet une.

Unicité globale. Si $F$ admet deux DES, leur différence est nulle dans $C (X)$ mais s'écrit comme somme d'éléments simples et de polynômes. On évalue la différence en multipliant successivement par $(X - α_{i})^{k_{i}}$ et en spécialisant en $α_{i}$ : chaque coefficient est forcé. D'où l'unicité.

🧑‍🏫 Décortique la démo avec un mentor

Cette démo de DES est la plus belle du chapitre — et la plus tombée à l'oral. L'idée « on tue le pôle dominant par multiplication, on récidive » est la même que dans la décomposition de Jordan en spé. En 1 séance avec un alumni X de Majorant, tu la restitues au tableau, propre, en 8 minutes.

Réserver une séance ciblée →

📐 Méthode-type — Calculer la DES d'une fraction $F = P / Q$ dans ℂ(X).

Forme irréductible. Simplifie $P / Q$ par $pgcd (P, Q)$ . Tous les pôles annoncés doivent être de vrais pôles.
Partie entière. Si $de g P \geq de g Q$ , pose la division euclidienne de $P$ par $Q$ pour obtenir $F = E + R / Q$ avec $de g R < de g Q$ . Sinon, $E = 0$ .
Factorisation de $Q$ . Écris $Q (X) = \prod_{i} (X - α_{i})^{k_{i}}$ (théorème de d'Alembert-Gauss).
Forme a priori. Écris la DES inconnue : $F = E (X) + i \sum j = 1 \sum k_{i} \frac{a _{i, j}}{( X - α _{i} ) ^{j}}$ .
Coefficient dominant en chaque pôle. Pour chaque pôle $α_{i}$ d'ordre $k_{i}$ , calcule $a_{i, k_{i}} = lim_{X \to α_{i}} (X - α_{i})^{k_{i}} F (X)$ . Si $k_{i} = 1$ , formule $a_{i, 1} = P (α_{i}) / Q^{'} (α_{i})$ .
Autres coefficients. Si tous les pôles sont simples, c'est fini. Sinon, complète par :
- évaluation en une valeur particulière (ex. $X = 0$ ) ;
- parité (si $F$ est paire/impaire, contraintes sur les $a_{i, j}$ ) ;
- limite à l'infini (multiplier par $X$ , passer à la limite — donne la somme des résidus si $de g F \leq - 2$ ) ;
- identification en réduisant au même dénominateur et égalant numérateurs.
Vérification. Réduis ta DES au même dénominateur et vérifie qu'on retrouve $P / Q$ — ou évalue en un point non-pôle.

💡 Exemple canonique — DES de $F = 1/ (X^{2} - 1)$ dans ℂ(X). Pôles simples

α = 1

α = - 1

. La forme a priori :

F (X) = \frac{a}{X - 1} + \frac{b}{X + 1} .

Coefficient en

α = 1

a = lim_{X \to 1} (X - 1) F (X) = lim_{X \to 1} \frac{1}{X + 1} = \frac{1}{2}

. Symétriquement,

b = lim_{X \to - 1} (X + 1) F (X) = - \frac{1}{2}

. Donc :

\frac{1}{X ^{2} - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{X - 1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{X + 1} .

💡 Exemple — Pôle double. DES de

F = 1/ (X^{2} (X - 1))

dans

C (X)

: forme a priori

F = a / X + b / X^{2} + c / (X - 1)

. On a

b = lim_{X \to 0} X^{2} F (X) = - 1

c = lim_{X \to 1} (X - 1) F (X) = 1

. Pour

a

, évaluation en

X = - 1

F (- 1) = 1/ ((- 1)^{2} \cdot (- 2)) = - 1/2

, ce qui donne

- a - 1 - 1/2 = - 1/2

soit

a = - 1

. Donc :

\frac{1}{X ^{2} ( X - 1 )} = - \frac{1}{X} - \frac{1}{X ^{2}} + \frac{1}{X - 1} .

⚠ Piège #2 — Oublier la partie entière. Si

de g P \geq de g Q

, écrire

F = \sum a_{i, j} / (X - α_{i})^{j}

sans partie entière est faux : la somme à droite est de degré strictement négatif, alors que

F

ne l'est pas. Réflexe : compare

de g P

de g Q

avant toute chose ; si

de g P \geq de g Q

, pose la division euclidienne en premier.

4. Décomposition en éléments simples dans ℝ(X)

Dans $R [X]$ , les polynômes irréductibles unitaires sont de deux types : les $X - α$ (degré 1, racine réelle $α$ ) et les $X^{2} + pX + q$ avec $p^{2} - 4 q < 0$ (degré 2, racines complexes conjuguées). On en déduit la forme canonique de la DES réelle.

Théorème 4.1 — Existence et unicité de la DES dans ℝ(X)

Soit $F = P / Q \in R (X)$ sous forme irréductible. Notons $Q (X) = \prod_{i} (X - α_{i})^{k_{i}} \prod_{ℓ} (X^{2} + p_{ℓ} X + q_{ℓ})^{m_{ℓ}}$ sa factorisation dans $R [X]$ (avec $p_{ℓ}^{2} - 4 q_{ℓ} < 0$ ). Alors $F$ s'écrit de manière unique :

F (X) = E (X) + i \sum j = 1 \sum k_{i} \frac{a _{i, j}}{( X - α _{i} ) ^{j}} + ℓ \sum n = 1 \sum m_{ℓ} \frac{b _{ℓ, n} X + c _{ℓ, n}}{( X ^{2} + p _{ℓ} X + q _{ℓ} ) ^{n}},

avec $E \in R [X]$ et $a_{i, j}, b_{ℓ, n}, c_{ℓ, n} \in R$ .

📝 Lien complexe → réel. Si on connaît la DES complexe et que

F

est à coefficients réels, alors les pôles complexes apparaissent par paires conjuguées

β, \overset{ˉ}{β}

avec des coefficients eux-mêmes conjugués. En sommant les deux parties polaires conjuguées, on obtient un élément simple de seconde espèce

(b X + c) / (X^{2} + pX + q)

à coefficients réels — la DES réelle.

📐 Méthode-type — DES réelle quand le dénominateur a un trinôme irréductible. Sur l'exemple

F = 1/ ((X - 1) (X^{2} + 1))

Forme a priori réelle : $F = a / (X - 1) + (b X + c) / (X^{2} + 1)$ (un coefficient pour le pôle réel, deux pour le trinôme irréductible).
Coefficient $a = lim_{X \to 1} (X - 1) F (X) = 1/ (1^{2} + 1) = 1/2$ .
Limite à l'infini : multiplier par $X$ , $X F (X) \to 0$ , donc $a + b = 0$ , d'où $b = - 1/2$ .
Évaluation en $X = 0$ : $F (0) = 1/ ((- 1) \cdot 1) = - 1$ ; à droite, $- a + c = - 1/2 + c = - 1$ , donc $c = - 1/2$ .
Conclusion : $F = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{X - 1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{X + 1}{X ^{2} + 1}$ .

⚠ Piège #3 — Forme a priori incorrecte sur un trinôme irréductible. Au-dessus de

(X^{2} + pX + q)^{n}

(avec discriminant négatif), l'élément simple est de la forme

(b X + c) / (X^{2} + pX + q)^{n}

— deux coefficients par puissance, pas un. Écrire

a / (X^{2} + pX + q)^{n}

est faux et bloque toute identification ultérieure.

5. Dérivée et primitive d'une fraction rationnelle

Proposition 5.1 — Dérivation

L'application $F = P / Q \mapsto F^{'} = (P^{'} Q - P Q^{'}) / Q^{2}$ définit la dérivée sur $K (X)$ . Elle est $K$ -linéaire et vérifie la règle du produit $(F G)^{'} = F^{'} G + F G^{'}$ et la règle du quotient. La dérivée d'une fraction rationnelle est encore une fraction rationnelle, et $de g (F^{'}) \leq de g (F) - 1$ (avec égalité si $de g F \neq = 0$ ).

Proposition 5.2 — Dérivée d'un élément simple

Pour $n \in N^{*}$ et $α \in K$ :

(\frac{1}{( X - α ) ^{n}})^{'} = - \frac{n}{( X - α ) ^{n + 1}} .

En particulier, dériver une DES revient à dériver chaque élément simple — c'est ce qui en fait un outil aussi puissant : la forme « somme de $1/ (X - α)^{j}$ » est stable par dérivation (à un changement d'ordre près).

Théorème 5.3 — Primitive d'un élément simple de première espèce ★ À savoir démontrer

Sur tout intervalle $I \subset R$ ne contenant pas $α$ , une primitive de $x \mapsto 1/ (x - α)^{n}$ est :

\int \frac{d x}{( x - α ) ^{n}} = ⎩ ⎨ ⎧ ln ∣ x - α ∣ - \frac{1}{( n - 1 ) ( x - α ) ^{n - 1}} si n = 1, si n \geq 2.

Démonstration (calcul direct par dérivation inverse)

Cas $n = 1$ . Sur $I$ , $x - α$ garde un signe constant. Posons $F (x) = ln ∣ x - α ∣$ . Si $x > α$ , $F (x) = ln (x - α)$ et $F^{'} (x) = 1/ (x - α)$ . Si $x < α$ , $F (x) = ln (α - x)$ et $F^{'} (x) = - 1/ (α - x) = 1/ (x - α)$ . Dans les deux cas, $F^{'} (x) = 1/ (x - α)$ .

Cas $n \geq 2$ . On dérive $G (x) = - 1/ ((n - 1) (x - α)^{n - 1}) = - (n - 1)^{- 1} (x - α)^{- (n - 1)}$ : $G^{'} (x) = - \frac{1}{n - 1} \cdot (- (n - 1)) \cdot (x - α)^{- n} = \frac{1}{( x - α ) ^{n}} .$ Donc $G$ est bien une primitive. Toutes les autres primitives diffèrent de $G$ par une constante sur chaque intervalle où $x \neq = α$ .

Proposition 5.4 — Primitive d'un élément simple de seconde espèce

Pour $p^{2} - 4 q < 0$ , on écrit $x^{2} + p x + q = (x + p /2)^{2} + (q - p^{2} /4)$ avec $q - p^{2} /4 > 0$ . Une primitive de $1/ (x^{2} + p x + q)$ fait alors apparaître une fonction arctan :

\int \frac{d x}{x ^{2} + p x + q} = \frac{2}{4 q - p ^{2}} arctan (\frac{2 x + p}{4 q - p ^{2}}) .

Pour $(b x + c) / (x^{2} + p x + q)$ , on sépare le numérateur en une partie proportionnelle à la dérivée $(2 x + p)$ — qui donne un $ln$ — et une constante — qui donne un $arctan$ .

📐 Méthode-type — Primitiver une fraction rationnelle.

DES de $F$ sur $R (X)$ (étape qui concentre 90 % du travail).
Primitive de la partie entière $E (x)$ : polynôme $\to$ polynôme.
Primitive de chaque élément simple de première espèce $a / (x - α)^{n}$ : Théorème 5.3 ( $ln$ si $n = 1$ , puissance négative sinon).
Primitive de chaque élément simple de seconde espèce $(b x + c) / (x^{2} + p x + q)^{n}$ : décomposition en $ln$ + $arctan$ (cas $n = 1$ ) ; pour $n \geq 2$ , changement de variable ou intégration par parties (rare en MPSI).
Constante d'intégration, n'oublie pas — sur un intervalle.

6. Applications classiques de la DES

6.1 — Calcul d'intégrales

💡 Calcul de $\int_{2}^{3} \frac{d x}{x ^{2} - 1}$ . DES :

1/ (x^{2} - 1) = \frac{1}{2} / (x - 1) - \frac{1}{2} / (x + 1)

. Donc :

\int_{2}^{3} \frac{d x}{x ^{2} - 1} = \frac{1}{2} [ln ∣ x - 1∣ - ln ∣ x + 1∣]_{2}^{3} = \frac{1}{2} ln (\frac{2/4}{1/3}) = \frac{1}{2} ln \frac{3}{2} .

6.2 — Sommes par télescopage

💡 Somme harmonique alternée — première approche. Pour

F (X) = 1/ (X (X + 1))

, DES

= 1/ X - 1/ (X + 1)

. D'où :

k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 1 )} = k = 1 \sum n (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1} n \to + \infty 1.

Le télescopage est l'application historique de la DES.

💡 Variante — fraction d'ordre 3. Pour

F (X) = 1/ (X (X + 1) (X + 2))

, DES

= \frac{1}{2} / X - 1/ (X + 1) + \frac{1}{2} / (X + 2)

. Le télescopage en deux temps donne :

\sum_{k = 1}^{n} 1/ (k (k + 1) (k + 2)) \to 1/4

6.3 — Équations différentielles linéaires

Pour résoudre $y^{'} = a (x) y + b (x)$ où $a (x) = P (x) / Q (x)$ est rationnelle, la primitive de $a$ — utilisée dans le facteur intégrant $exp (- \int a)$ — passe obligatoirement par une DES. C'est aussi le mécanisme central de la transformée de Laplace inverse en spé : on décompose en DES, on lit chaque élément simple comme image inverse d'une exponentielle, on resomme.

🚀 Stage intensif Majorant

Tu veux maîtriser la DES + intégration en 1 week-end ? Nos stages intensifs vacances reprennent tout le bloc « fractions rationnelles → primitives → équations diff' », avec 30 exos types concours corrigés au tableau. Encadrement alumni X-ENS · Centrale · Mines.

Voir les stages MPSI →

7. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs reviennent chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves comportant de la DES ou de l'intégration. Elles coûtent typiquement 1 à 3 points par occurrence sur un exercice à 10 points.

⚠ Erreur 1 — DES sans avoir extrait la partie entière. Sur

F = X^{3} / (X^{2} - 1)

, écrire d'emblée

F = a / (X - 1) + b / (X + 1)

est faux : le membre de droite est de degré

\leq - 1

, pas

F

. Il faut d'abord diviser

X^{3}

par

X^{2} - 1

(quotient

X

, reste

X

), puis décomposer

X / (X^{2} - 1)

⚠ Erreur 2 — Mauvais nombre de coefficients sur un pôle multiple. Sur un pôle

α

d'ordre

k

, la partie polaire comporte

k

coefficients

a_{1}, \dots, a_{k}

— un par puissance

(X - α)^{j}

pour

j = 1, \dots, k

. Beaucoup d'élèves n'écrivent que

a / (X - α)^{k}

(un seul terme) et se retrouvent bloqués à l'identification. Sur un trinôme irréductible

(X^{2} + pX + q)^{m}

, c'est pareil :

m

éléments simples

(b_{n} X + c_{n}) / (X^{2} + pX + q)^{n}

, donc

2 m

coefficients.

⚠ Erreur 3 — Confondre racine du numérateur et pôle. Une racine est une racine du numérateur (point où

F = 0

) ; un pôle est une racine du dénominateur (point où

F

explose). Sur

F = (X - 1) / (X - 2)

1

est une racine,

2

est un pôle. Inverser les deux dans une rédaction = -1 point minimum.

⚠ Erreur 4 — Oublier la valeur absolue dans la primitive de $1/ (x - α)$ . La primitive de

1/ (x - α)

est

ln ∣ x - α ∣

, pas

ln (x - α)

— sauf si on précise « sur

{x > α}

», auquel cas la valeur absolue tombe. Manquer la valeur absolue sur un intervalle qui n'est pas explicité = perte de points en analyse et en physique (où

ln (x - α)

avec

x < α

n'existe pas dans

R

⚠ Erreur 5 — Ne pas vérifier la DES en fin de calcul. Une DES sans vérification = roulette russe. Le minimum syndical : évaluer en un point (le

0

marche presque toujours), ou limite à l'infini. Cinq secondes de vérif évitent les fautes de signe qui plombent toute la suite de l'exercice.

8. Pour aller plus loin

Les fractions rationnelles sont l'infrastructure du calcul intégral et de l'algèbre linéaire avancée. Les chapitres qui s'appuient directement dessus :

Intégration sur un segment — la DES rend primitivable toute fraction rationnelle, ce qui ferme la classe des intégrales « calculables explicitement ».
Équations différentielles linéaires — le facteur intégrant et la résolution par variation de la constante passent par des primitives de fractions rationnelles.
Séries entières (spé) — la DES sur $C$ donne directement le développement en série entière d'une fraction rationnelle : chaque $1/ (X - α)$ admet un DSE explicite.
Réduction des endomorphismes (spé) — la décomposition de Jordan d'une matrice est le « DES » de l'opérateur $(X \cdot Id - A)^{- 1}$ ; les pôles sont les valeurs propres.
Transformée de Laplace (spé) — l'inversion de la transformée se fait quasi systématiquement par DES + table.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir une fraction rationnelle, son représentant irréductible, et son degré $de g P - de g Q$ ?
Sais-tu distinguer une racine (numérateur) et un pôle (dénominateur), et donner l'ordre d'un pôle ?
Sais-tu démontrer l'existence et l'unicité de la partie entière par division euclidienne ?
Sais-tu écrire la forme a priori de la DES dans $C (X)$ ? Dans $R (X)$ ?
Sais-tu calculer le coefficient dominant en un pôle $α$ d'ordre $k$ par la formule $lim_{X \to α} (X - α)^{k} F (X)$ ?
Sais-tu calculer le résidu en un pôle simple via $P (α) / Q^{'} (α)$ ?
Sais-tu démontrer l'existence et l'unicité de la DES sur $C (X)$ par récurrence sur le nombre de pôles ?
Sais-tu primitiver $1/ (x - α)^{n}$ pour tout $n \geq 1$ , avec valeur absolue si $n = 1$ ?
Sais-tu intégrer une fraction rationnelle complète : DES $\to$ $ln$ $+$ $arctan$ $+$ puissances négatives ?
Sais-tu utiliser la DES pour calculer une somme par télescopage (typiquement $1/ (k (k + 1))$ ) ?
Connais-tu les 4 méthodes de complément des coefficients : évaluation, parité, limite $\to \infty$ , identification ?
As-tu le réflexe de vérifier la DES avant de conclure (évaluation en $0$ ou limite à l'infini) ?

Démonstrations à savoir refaire

Existence et unicité de la partie entière — division euclidienne dans $K [X]$ + argument de degré pour l'unicité
Existence et unicité de la DES dans $C (X)$ — récurrence sur le nombre de pôles distincts ; pour $r = 1$ , division par $(X - α)$ itérée
Primitive de $1/ (x - α)^{n}$ — $ln ∣ x - α ∣$ si $n = 1$ , $- 1/ ((n - 1) (x - α)^{n - 1})$ si $n \geq 2$ (dérivation inverse directe)

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Le corps 𝕂(X) des fractions rationnelles

2. Partie entière et partie polaire

3. Décomposition en éléments simples dans ℂ(X)

4. Décomposition en éléments simples dans ℝ(X)

5. Dérivée et primitive d'une fraction rationnelle

6. Applications classiques de la DES

6.1 — Calcul d'intégrales

6.2 — Sommes par télescopage

6.3 — Équations différentielles linéaires

7. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

8. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

Fiches associées

Nombres réels

Suites numériques

Généralités sur les fonctions

Limites et continuité

Fonctions dérivables

Logarithmes, exponentielles et puissances

Tu veux aller plus loin sur ce chapitre ?