Nombres complexes

Vue d'ensemble

Les nombres complexes sont le grand chapitre charnière de MPSI : on construit le corps $C$ à partir de $R$ en ajoutant une racine $i$ à $X^{2} + 1$ , et l'on découvre que tout polynôme du second degré admet désormais ses racines — ce que $R$ ne savait pas faire. Mais l'enjeu va beaucoup plus loin : les complexes donnent une écriture trigonométrique qui transforme les rotations en multiplications, fournissent les formules d'Euler et de Moivre pour linéariser $cos^{n}$ , $sin^{n}$ , et débloquent enfin la résolution générale de $z^{n} = a$ (racines n-ièmes). Cette fiche regroupe les 9 théorèmes incontournables, les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre des points en DS comme en khôlle.

Au programme MPSI (officiel) — Corps

C

, partie réelle, partie imaginaire, conjugué, module, argument, forme algébrique, forme trigonométrique, forme exponentielle, formules d'Euler et de Moivre, racines n-ièmes d'un complexe, racines n-ièmes de l'unité, équation du second degré à coefficients complexes, interprétation géométrique (affixe, distance, angle, rotation, similitude).

Prérequis

Trigonométrie réelle : $cos$ , $sin$ , $tan$ , formules d'addition et de duplication
Géométrie du plan (vecteurs, angles orientés, identification d'un complexe à un couple de réels)
Résolution d'une équation du second degré à coefficients réels (discriminant)

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1. Construction de ℂ et forme algébrique

Définition 1.1 — Le corps ℂ

L'ensemble $C = {a + ib ∣ a, b \in R}$ avec $i^{2} = - 1$ , muni des opérations $(a + ib) + (a^{'} + i b^{'}) = (a + a^{'}) + i (b + b^{'})$ et $(a + ib) (a^{'} + i b^{'}) = (a a^{'} - b b^{'}) + i (a b^{'} + a^{'} b)$ , est un corps commutatif contenant $R$ (les réels sont les complexes de partie imaginaire nulle).

Définition 1.2 — Partie réelle, partie imaginaire

L'écriture $z = a + ib$ avec $a, b \in R$ est unique ; on appelle $Re (z) = a$ la partie réelle et $Im (z) = b$ la partie imaginaire (un réel, pas $ib$ !). $z$ est réel ssi $Im (z) = 0$ , imaginaire pur ssi $Re (z) = 0$ .

⚠ Piège #1 — La partie imaginaire est un réel. Beaucoup d'élèves écrivent «

Im (2 + 3 i) = 3 i

» : faux. La partie imaginaire est le coefficient de

i

, donc

Im (2 + 3 i) = 3

, pas

3 i

. Cette confusion casse ensuite toutes les égalités du type « deux complexes sont égaux ssi parties réelles et imaginaires sont égales ».

Définition 1.3 — Conjugué

Le conjugué de $z = a + ib$ est $\overset{z}{ˉ} = a - ib$ (géométriquement, symétrie orthogonale par rapport à l'axe réel).

Proposition 1.4 — Propriétés du conjugué

Pour tous $z, z^{'} \in C$ :

$\overline{\overset{z}{ˉ}} = z$ (involution)
$\overline{z + z^{'}} = \overset{z}{ˉ} + \overline{z^{'}}$ (linéarité)
$\overline{z \cdot z^{'}} = \overset{z}{ˉ} \cdot \overline{z^{'}}$
Si $z^{'} \neq = 0$ : $\overline{(\frac{z}{z ^{'}})} = \frac{z ˉ}{z ^{'}}$
$z + \overset{z}{ˉ} = 2 Re (z)$ et $z - \overset{z}{ˉ} = 2 i Im (z)$
$z \cdot \overset{z}{ˉ} = a^{2} + b^{2} \in R_{+}$ (clé pour calculer $1/ z$ )

📐 Méthode-type — Mettre $1/ z$ sous forme algébrique. Pour

\frac{1}{a + ib}

\frac{z}{z ^{'}}

, multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur :

\frac{1}{a + ib} = \frac{a - ib}{( a + ib ) ( a - ib )} = \frac{a - ib}{a ^{2} + b ^{2}}

. Le dénominateur devient réel positif et tu lis directement parties réelle et imaginaire. Réflexe automatique dès qu'il y a un

i

au dénominateur.

💡 Exemple.

\frac{2 + 3 i}{1 - i} = \frac{( 2 + 3 i ) ( 1 + i )}{( 1 - i ) ( 1 + i )} = \frac{- 1 + 5 i}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{5}{2} i

, de partie réelle

- 1/2

et imaginaire

5/2

2. Module et argument

Définition 2.1 — Module

Le module de $z = a + ib$ est $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2} = z \overset{z}{ˉ}$ , réel positif égal à la distance de l'affixe de $z$ à l'origine.

Proposition 2.2 — Propriétés du module

Pour tous $z, z^{'} \in C$ :

$∣ z ∣ \geq 0$ , et $∣ z ∣ = 0 \Leftrightarrow z = 0$
$∣ z ∣^{2} = z \cdot \overset{z}{ˉ}$ (formule reine, à utiliser à chaque démo de module)
$∣ \overset{z}{ˉ} ∣ = ∣ z ∣$ et $∣ - z ∣ = ∣ z ∣$
$∣ z \cdot z^{'} ∣ = ∣ z ∣ \cdot ∣ z^{'} ∣$ (multiplicativité)
Si $z^{'} \neq = 0$ : $\frac{z}{z ^{'}} = \frac{∣ z ∣}{∣ z ^{'} ∣}$
$∣ Re (z) ∣ \leq ∣ z ∣$ et $∣ Im (z) ∣ \leq ∣ z ∣$

Théorème 2.3 — Inégalité triangulaire ★ À savoir démontrer

Pour tous $z, z^{'} \in C$ :

∣ z + z^{'} ∣ \leq ∣ z ∣ + ∣ z^{'} ∣.

Cas d'égalité : il y a égalité ssi $z$ et $z^{'}$ sont positivement liés, c'est-à-dire ssi il existe $λ \geq 0$ tel que $z^{'} = λ z$ (ou $z = 0$ ). Inégalité triangulaire renversée :

∣ z ∣ - ∣ z^{'} ∣ \leq ∣ z - z^{'} ∣.

Démonstration (par développement de

∣ z + z^{'} ∣^{2}

)

On part de l'identité $∣ w ∣^{2} = w \overset{w}{ˉ}$ et l'on calcule :

∣ z + z^{'} ∣^{2} = (z + z^{'}) (\overset{z}{ˉ} + \overline{z^{'}}) = ∣ z ∣^{2} + ∣ z^{'} ∣^{2} + z \overline{z^{'}} + z^{'} \overset{z}{ˉ} .

Comme $z^{'} \overset{z}{ˉ} = \overline{z \overline{z^{'}}}$ , on a $z \overline{z^{'}} + z^{'} \overset{z}{ˉ} = 2 Re (z \overline{z^{'}})$ , donc $∣ z + z^{'} ∣^{2} = ∣ z ∣^{2} + ∣ z^{'} ∣^{2} + 2 Re (z \overline{z^{'}})$ . En majorant $Re (z \overline{z^{'}}) \leq ∣ z \overline{z^{'}} ∣ = ∣ z ∣ \cdot ∣ z^{'} ∣$ :

∣ z + z^{'} ∣^{2} \leq ∣ z ∣^{2} + ∣ z^{'} ∣^{2} + 2∣ z ∣ \cdot ∣ z^{'} ∣ = (∣ z ∣ + ∣ z^{'} ∣)^{2} .

Les deux membres sont positifs : on passe à la racine et l'on obtient $∣ z + z^{'} ∣ \leq ∣ z ∣ + ∣ z^{'} ∣$ . Le cas d'égalité demande $Re (z \overline{z^{'}}) = ∣ z \overline{z^{'}} ∣$ , soit $z \overline{z^{'}} \in R_{+}$ — c'est-à-dire $z$ et $z^{'}$ positivement liés.

Définition 2.4 — Argument

Pour $z \neq = 0$ , un argument de $z$ est un réel $θ$ tel que $z = ∣ z ∣ (cos θ + i sin θ)$ . L'argument n'est défini qu'à $2 π$ près : on note $ar g (z) \in R /2 π Z$ , et l'unique représentant dans $] - π, π]$ est l'argument principal. $ar g (z)$ n'est pas défini pour $z = 0$ .

⚠ Piège #2 — $ar g$ n'est pas une fonction sur ℂ. Écrire «

ar g (z) = θ

» comme une égalité de réels est incorrect : on doit écrire

ar g (z) \equiv θ (mod 2 π)

. De même,

ar g (z z^{'}) = ar g (z) + ar g (z^{'})

n'est vraie que modulo $2 π$ — la somme peut sortir de

] - π, π]

. Erreur fréquente en concours : utiliser une « égalité » d'arguments et conclure faussement sur des inégalités.

Proposition 2.5 — Calcul pratique de l'argument

Pour $z = a + ib \neq = 0$ , un argument $θ$ vérifie simultanément $cos θ = a /∣ z ∣$ et $sin θ = b /∣ z ∣$ . Les deux équations sont nécessaires : $arctan (b / a)$ seul ne couvre que $] - π /2, π /2 [$ et rate la moitié du plan complexe lorsque $a < 0$ .

3. Forme trigonométrique et forme exponentielle

Définition 3.1 — Forme trigonométrique

Tout $z \in C^{*}$ s'écrit de façon unique (à $2 π$ près sur $θ$ ) sous la forme $z = r (cos θ + i sin θ)$ avec $r = ∣ z ∣ > 0$ et $θ = ar g (z)$ .

Définition 3.2 — Notation d'Euler, forme exponentielle

On pose, pour tout $θ \in R$ , $e^{i θ} := cos θ + i sin θ$ . Alors tout $z \in C^{*}$ s'écrit $z = ∣ z ∣ \cdot e^{i θ}$ avec $θ = ar g (z)$ . Cette notation se comporte comme une vraie exponentielle (propriété multiplicative ci-dessous), ce qui justifie l'écriture.

Proposition 3.3 — Règles de calcul sur

e^{i θ}

Pour tous $θ, θ^{'} \in R$ et $n \in Z$ :

$e^{i θ} = 1$ (le complexe $e^{i θ}$ est sur le cercle unité)
$\overline{e^{i θ}} = e^{- i θ}$
$e^{i θ} \cdot e^{i θ^{'}} = e^{i (θ + θ^{'})}$ (la multiplication des complexes ajoute les arguments)
$\frac{1}{e ^{i θ}} = e^{- i θ}$
$(e^{i θ})^{n} = e^{in θ}$ (formule de Moivre, ci-dessous)

Conséquence pratique : pour multiplier deux complexes en forme exponentielle, on multiplie les modules et on ajoute les arguments — $∣ z ∣ e^{i θ} \cdot ∣ z^{'} ∣ e^{i θ^{'}} = ∣ z ∣ \cdot ∣ z^{'} ∣ \cdot e^{i (θ + θ^{'})}$ .

📐 Méthode-type — Passer entre forme algébrique et forme exponentielle.

Algébrique → exponentielle : pour $z = a + ib$ , calcule $r = a^{2} + b^{2}$ , puis identifie $θ$ tel que $cos θ = a / r$ et $sin θ = b / r$ — pas d' $arctan$ seul. Écris $z = r e^{i θ}$ .
Exponentielle → algébrique : pour $z = r e^{i θ}$ , développe $z = r cos θ + i r sin θ$ .
Quand utiliser laquelle ? — Forme algébrique pour additionner, soustraire, lire parties réelle et imaginaire. Forme exponentielle pour multiplier, élever à une puissance, prendre des racines n-ièmes, calculer un argument.

💡 Exemple canonique — Les angles à savoir reconnaître par cœur.

1 = e^{i \cdot 0}

i = e^{iπ /2}

- 1 = e^{iπ}

- i = e^{- iπ /2}

; et

1 + i = 2 e^{iπ /4}

3 + i = 2 e^{iπ /6}

1 + i 3 = 2 e^{iπ /3}

: ces formes doivent venir sans calcul en khôlle.

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4. Formules d'Euler et de Moivre

Théorème 4.1 — Formules d'Euler ★ À savoir démontrer

Pour tout $θ \in R$ :

cos θ = \frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2}, sin θ = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i} .

Démonstration (à partir de

e^{i θ} = cos θ + i sin θ

)

Par définition $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ . La conjugaison envoie $i$ sur $- i$ et fixe les réels, donc $e^{- i θ} = \overline{e^{i θ}} = cos θ - i sin θ$ . En ajoutant les deux égalités : $e^{i θ} + e^{- i θ} = 2 cos θ$ , d'où $cos θ = (e^{i θ} + e^{- i θ}) /2$ . En les soustrayant : $e^{i θ} - e^{- i θ} = 2 i sin θ$ , d'où $sin θ = (e^{i θ} - e^{- i θ}) / (2 i)$ .

📐 Méthode-type — Linéariser $cos^{n} θ$ ou $sin^{n} θ$ . Quand tu dois calculer

\int cos^{4} θ d θ

ou exprimer

sin^{3} θ

en fonction de

sin (k θ)

, passe par Euler :

Écris $cos θ = \frac{1}{2} (e^{i θ} + e^{- i θ})$ puis élève à la puissance.
Développe avec la formule du binôme.
Regroupe les termes par paires $e^{ik θ} + e^{- ik θ} = 2 cos (k θ)$ ou $e^{ik θ} - e^{- ik θ} = 2 i sin (k θ)$ .

Exemple :

cos^{2} θ = \frac{1}{4} (e^{i θ} + e^{- i θ})^{2} = \frac{1}{4} (e^{2 i θ} + 2 + e^{- 2 i θ}) = \frac{1}{4} (2 cos (2 θ) + 2) = \frac{1 + c o s ( 2 θ )}{2}

Théorème 4.2 — Formule de Moivre ★ À savoir démontrer

Pour tout $θ \in R$ et tout $n \in Z$ :

(cos θ + i sin θ)^{n} = cos (n θ) + i sin (n θ),

ou de manière équivalente $(e^{i θ})^{n} = e^{in θ}$ .

Démonstration (récurrence sur

n \geq 0

, puis extension à

n < 0

)

Soit $P (n)$ : « $(cos θ + i sin θ)^{n} = cos (n θ) + i sin (n θ)$ » pour $n \in N$ .

Initialisation ( $n = 0$ ) : $(cos θ + i sin θ)^{0} = 1 = cos 0 + i sin 0$ . OK.

Hérédité : supposons $P (n)$ . Alors :

(cos θ + i sin θ)^{n + 1} = (cos (n θ) + i sin (n θ)) (cos θ + i sin θ) .

On développe : $= cos (n θ) cos θ - sin (n θ) sin θ + i (sin (n θ) cos θ + cos (n θ) sin θ)$ . Par les formules d'addition de $cos$ et $sin$ , c'est exactement $cos ((n + 1) θ) + i sin ((n + 1) θ)$ . Donc $P (n + 1)$ est vraie.

Cas $n < 0$ : avec $m = - n > 0$ , l'inverse d'un complexe de module $1$ est son conjugué, donc $(cos θ + i sin θ)^{n} = (cos (m θ) + i sin (m θ))^{- 1} = cos (m θ) - i sin (m θ) = cos (n θ) + i sin (n θ)$ . OK.

💡 Exemple — $cos (3 θ)$ en fonction de $cos θ$ . Par Moivre,

cos (3 θ) + i sin (3 θ) = (cos θ + i sin θ)^{3}

; on développe avec le binôme et l'on prend partie réelle puis imaginaire :

cos (3 θ) = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ

sin (3 θ) = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ

📝 Linéariser vs « démoivriser ». Linéariser

cos^{n} θ

= exprimer

cos^{n} θ

via les

cos (k θ)

(utile pour intégrer) ; démoivriser

cos (n θ)

= exprimer

cos (n θ)

via

cos θ

(utile pour les équations trigonométriques). Choisis le bon sens selon l'énoncé.

5. Racines n-ièmes

Définition 5.1 — Racine n-ième

Pour $a \in C$ et $n \in N^{*}$ , une racine n-ième de $a$ est tout complexe $z$ tel que $z^{n} = a$ .

Théorème 5.2 — Racines n-ièmes de l'unité ★ À savoir démontrer

L'équation $z^{n} = 1$ admet, dans $C$ , exactement $n$ solutions, données par :

ω_{k} = e^{2 ik π / n}, k \in {0, 1, \dots, n - 1} .

Géométriquement, ces $n$ racines sont régulièrement espacées sur le cercle unité ; elles forment les sommets du polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle, avec $1$ comme premier sommet.

Démonstration (par résolution directe en forme exponentielle)

Cherchons $z = r e^{i θ}$ avec $r > 0$ (car $0^{n} = 0 \neq = 1$ ) tel que $z^{n} = r^{n} e^{in θ} = 1 \cdot e^{i \cdot 0}$ . L'égalité de deux complexes en forme exponentielle équivaut à l'égalité des modules et des arguments modulo $2 π$ , donc : $r^{n} = 1$ et $n θ \equiv 0 (mod 2 π)$ .

Comme $r > 0$ , $r^{n} = 1$ impose $r = 1$ . L'équation $n θ \equiv 0 (mod 2 π)$ donne $θ = 2 k π / n$ avec $k \in Z$ ; comme $θ$ est défini modulo $2 π$ , les valeurs distinctes correspondent à $k \in {0, 1, \dots, n - 1}$ (au-delà, on retombe sur les mêmes complexes). On a donc exactement $n$ racines, $ω_{k} = e^{2 ik π / n}$ .

Proposition 5.3 — Racines n-ièmes d'un complexe quelconque

Pour $a = ρ e^{i α} \in C^{*}$ avec $ρ > 0$ , l'équation $z^{n} = a$ admet exactement $n$ solutions $z_{k} = ρ^{1/ n} \cdot e^{i (α + 2 k π) / n}$ pour $k \in {0, 1, \dots, n - 1}$ , régulièrement espacées sur le cercle de rayon $∣ a ∣^{1/ n}$ avec un pas angulaire de $2 π / n$ .

📐 Méthode-type — Résoudre $z^{n} = a$ .

Mets $a$ en forme exponentielle : $a = ρ e^{i α}$ avec $ρ = ∣ a ∣$ et $α$ un argument.
Pose $z = r e^{i θ}$ . L'équation devient $r^{n} e^{in θ} = ρ e^{i α}$ .
Égalité des modules : $r^{n} = ρ$ , donc $r = ρ^{1/ n}$ (racine n-ième réelle positive — sans ambiguïté).
Égalité des arguments mod $2 π$ : $n θ \equiv α (mod 2 π)$ , donc $θ = \frac{α + 2 k π}{n}$ avec $k \in {0, 1, \dots, n - 1}$ .
Écris les $n$ racines et place-les sur un dessin si l'énoncé le demande (polygone régulier).

Proposition 5.4 — Propriétés des racines n-ièmes de l'unité

Notons $ω = e^{2 iπ / n}$ , de sorte que les racines n-ièmes de l'unité sont ${1, ω, ω^{2}, \dots, ω^{n - 1}}$ . Pour $n \geq 2$ :

Somme nulle : $k = 0 \sum n - 1 ω^{k} = 0$ (somme d'une suite géométrique de raison $ω \neq = 1$ ).
Produit : $k = 0 \prod n - 1 ω^{k} = (- 1)^{n + 1}$ (lecture des coefficients de $X^{n} - 1$ ).
Stabilité par conjugaison : $\overline{ω^{k}} = ω^{- k} = ω^{n - k}$ .

💡 Exemple — Racines cubiques de l'unité.

z^{3} = 1

donne

ω_{k} = e^{2 ik π /3}

pour

k = 0, 1, 2

, soit :

ω_{0} = 1

ω_{1} = e^{2 iπ /3} = - \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

ω_{2} = e^{4 iπ /3} = - \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

. On note souvent

j = ω_{1}

; alors

j^{2} = ω_{2} = \overset{ˉ}{j}

j^{3} = 1

1 + j + j^{2} = 0

— formule à connaître par cœur.

⚠ Piège #3 — Ne pas écrire « $n a$ » pour un complexe. La racine n-ième complexe n'est pas une fonction : il y a

n

valeurs possibles. L'écriture

n a

sans indication supplémentaire est ambigüe et sanctionnée en copie. Préfère « les racines n-ièmes de $a$ » et énumère-les explicitement.

reste réservé à la racine carrée réelle positive (sur

R_{+}

6. Équation du second degré dans ℂ

Théorème 6.1 — Résolution de

a z^{2} + b z + c = 0

dans ℂ

Soit $a, b, c \in C$ avec $a \neq = 0$ . L'équation $a z^{2} + b z + c = 0$ admet toujours deux racines (éventuellement confondues) dans $C$ , données par :

z_{1, 2} = \frac{- b \pm δ}{2 a},

où $δ$ est une racine carrée du discriminant $Δ = b^{2} - 4 a c$ dans $C$ (l'autre racine carrée est $- δ$ , d'où le $\pm$ ).

Si $a, b, c \in R$ et $Δ < 0$ , alors $δ = i ∣Δ∣$ et les racines sont complexes conjuguées : $z_{1, 2} = \frac{- b \pm i ∣Δ∣}{2 a}$ .
Si $Δ = 0$ : racine double $z_{0} = - b / (2 a)$ .
Relations de Viète : $z_{1} + z_{2} = - b / a$ et $z_{1} z_{2} = c / a$ .

📐 Méthode-type — Trouver $δ$ tel que $δ^{2} = Δ$ (cas $Δ$ complexe). Quand

Δ = X + iY

n'est ni réel ni imaginaire pur, on cherche

δ = x + i y

tel que

(x + i y)^{2} = X + iY

Développe : $(x + i y)^{2} = x^{2} - y^{2} + 2 i x y$ . Identifie avec $X + iY$ : $x^{2} - y^{2} = X$ et $2 x y = Y$ .
Ajoute l'équation des modules : $∣ δ ∣^{2} = ∣Δ∣$ , soit $x^{2} + y^{2} = X^{2} + Y^{2}$ .
Combine avec $x^{2} - y^{2} = X$ pour obtenir $x^{2}$ et $y^{2}$ ; choisis les signes cohérents avec $2 x y = Y$ .

Astuce : si

Δ

est facilement reconnaissable en forme exponentielle

ρ e^{i α}

, prends

δ = ρ e^{i α /2}

— plus rapide.

💡 Exemple — $z^{2} + z + 1 = 0$ .

Δ = 1 - 4 = - 3

, donc

δ = i 3

, et les racines sont

z_{1, 2} = \frac{- 1 \pm i 3}{2}

. Ces deux racines sont précisément

j

\overset{ˉ}{j}

, les racines cubiques non triviales de l'unité — donc

z^{3} = 1

avec

z \neq = 1

équivaut à

z^{2} + z + 1 = 0

7. Interprétation géométrique

Définition 7.1 — Affixe d'un point, d'un vecteur

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé direct, à tout point $M$ de coordonnées $(a, b)$ on associe son affixe $z_{M} = a + ib \in C$ (idem pour un vecteur).

Proposition 7.2 — Distances et angles via les complexes

Soient $A, B, C$ trois points d'affixes $z_{A}, z_{B}, z_{C}$ .

Distance : $A B = ∣ z_{B} - z_{A} ∣$ .
Angle orienté : $(A B, A C) \equiv ar g (\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}) (mod 2 π)$ .
Alignement : $A, B, C$ alignés ssi $\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} \in R$ .
Orthogonalité : $A B ⊥ A C$ ssi $\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} \in i R$ (imaginaire pur).

Proposition 7.3 — Transformations du plan

Soit $M$ d'affixe $z$ . Image $M^{'}$ d'affixe $z^{'}$ par :

Translation de vecteur d'affixe $b$ : $z^{'} = z + b$ .
Rotation de centre $Ω$ (affixe $ω$ ) et d'angle $θ$ : $z^{'} - ω = e^{i θ} (z - ω)$ .
Homothétie de centre $Ω$ et de rapport $k \in R^{*}$ : $z^{'} - ω = k (z - ω)$ .
Similitude directe de centre $Ω$ , rapport $k > 0$ , angle $θ$ : $z^{'} - ω = k e^{i θ} (z - ω)$ .

📝 Pourquoi les complexes simplifient la géométrie. Une rotation, qui s'écrit comme une matrice

2 \times 2

en coordonnées, devient une simple multiplication par

e^{i θ}

dans

C

— d'où l'utilité des complexes en géométrie : passe en complexes dès qu'il y a rotations, angles ou longueurs en jeu.

💡 Exemple — Triangle équilatéral. Trois points distincts

A, B, C

d'affixes

z_{A}, z_{B}, z_{C}

forment un triangle équilatéral direct ssi

\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} = e^{iπ /3}

, ce qui se traduit (après réduction au même dénominateur et utilisation de

1 + j + j^{2} = 0

) par la caractérisation symétrique :

z_{A} + j z_{B} + j^{2} z_{C} = 0 (direct),

où

j = e^{2 iπ /3}

8. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs reviennent chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves de maths comportant des complexes. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Confondre $Im (z)$ et $i Im (z)$ . «

Im (2 + 3 i) = 3 i

» est faux : la partie imaginaire est le réel

3

, le coefficient de

i

. Cette confusion casse ensuite «

z = z^{'} \Leftrightarrow Re (z) = Re (z^{'})

Im (z) = Im (z^{'})

», qui ne fonctionne qu'avec des réels des deux côtés.

⚠ Erreur 2 — Écrire $ar g (z) = θ$ comme une égalité de réels. L'argument n'est défini qu'à

2 π

près. Écris

ar g (z) \equiv θ (mod 2 π)

, ou précise « un argument de $z$ est $θ$ ». De même

ar g (z z^{'}) = ar g (z) + ar g (z^{'})

n'est vraie que modulo $2 π$ — la somme directe peut sortir de

] - π, π]

⚠ Erreur 3 — Utiliser $arctan (b / a)$ seul pour calculer un argument. Cela ne donne l'argument que si

a > 0

. Pour

a < 0

, il faut ajouter ou retrancher

π

; pour

a = 0

, il faut traiter à part. Réflexe correct : impose simultanément

cos θ = a /∣ z ∣

sin θ = b /∣ z ∣

— ces deux équations déterminent

θ

sans ambiguïté.

⚠ Erreur 4 — Écrire $Δ$ pour $Δ \in C$ . La notation

\cdot

est réservée à la racine carrée réelle positive. Pour un discriminant complexe, écris « soit $δ$ une racine carrée de $Δ$ dans $C$ » puis vérifie

δ^{2} = Δ

. Idem pour les racines n-ièmes complexes : il y en a

n

, pas une.

⚠ Erreur 5 — Oublier le $\pm 2 k π$ en résolvant une équation d'argument. Quand tu résous

n θ = α

modulo

2 π

, n'oublie pas le terme

2 k π

: tu dois écrire

θ = \frac{α + 2 k π}{n}

avec

k \in {0, \dots, n - 1}

. Oublier le

2 k π

te fait perdre $n - 1$ solutions sur les

n

attendues — sanction quasi systématique en concours.

9. Pour aller plus loin

Les nombres complexes irriguent presque tous les chapitres de fin de MPSI et toute la spé. Les chapitres qui les réinvestissent directement :

Polynômes et fractions rationnelles — $C$ est algébriquement clos (théorème de d'Alembert-Gauss) : tout polynôme se factorise en produit de $(X - z_{k})$ sur $C$ , ce qui simplifie radicalement la décomposition en éléments simples.
Équations différentielles linéaires — les racines complexes du polynôme caractéristique donnent les solutions oscillantes $e^{(α + i β) t}$ que l'on passe ensuite en $e^{α t} (cos (β t) + i sin (β t))$ .
Séries entières et fonctions usuelles complexes (en spé) — l'exponentielle complexe $e^{z}$ se définit comme $\sum z^{n} / n!$ , et la formule $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ apparaît comme un cas particulier.
Algèbre linéaire — la diagonalisation sur $C$ marche pour davantage de matrices que sur $R$ (par exemple les matrices de rotation), grâce à la clôture algébrique de $C$ .

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu écrire $C = {a + ib ∣ a, b \in R}$ et donner les règles d'addition et de multiplication ?
Sais-tu, pour $z = a + ib$ , reconnaître que $Im (z) = b$ est un réel (pas $ib$ ) ?
Connais-tu les 6 propriétés du conjugué (involution, distribution sur les opérations, $z + \overset{z}{ˉ}$ , $z - \overset{z}{ˉ}$ , $z \overset{z}{ˉ}$ ) ?
Sais-tu mettre $1/ (a + ib)$ sous forme algébrique en multipliant par le conjugué ?
Connais-tu la formule reine $∣ z ∣^{2} = z \overset{z}{ˉ}$ et sais-tu l'utiliser pour démontrer l'inégalité triangulaire ?
Sais-tu démontrer $∣ z + z^{'} ∣ \leq ∣ z ∣ + ∣ z^{'} ∣$ par développement de $∣ z + z^{'} ∣^{2}$ ?
Sais-tu que $ar g (z)$ n'est défini que modulo $2 π$ , et calculer un argument avec $cos θ$ et $sin θ$ (pas $arctan$ seul) ?
Sais-tu démontrer les formules d'Euler à partir de $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ ?
Sais-tu démontrer la formule de Moivre par récurrence ?
Sais-tu résoudre $z^{n} = 1$ et retrouver $ω_{k} = e^{2 ik π / n}$ pour $k = 0, \dots, n - 1$ ?
Connais-tu $j = e^{2 iπ /3}$ , $1 + j + j^{2} = 0$ , $j^{3} = 1$ et $\overset{ˉ}{j} = j^{2}$ ?
Sais-tu interpréter géométriquement $∣ z_{B} - z_{A} ∣$ (distance) et $ar g (\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}})$ (angle orienté) ?

Démonstrations à savoir refaire

Inégalité triangulaire $∣ z + z^{'} ∣ \leq ∣ z ∣ + ∣ z^{'} ∣$ — développer $∣ z + z^{'} ∣^{2} = (z + z^{'}) \overline{(z + z^{'})}$ et majorer $Re (z \overline{z^{'}})$
Formules d'Euler $cos θ$ et $sin θ$ — ajouter et soustraire $e^{i θ}$ et $e^{- i θ} = \overline{e^{i θ}}$
Formule de Moivre par récurrence — initialisation à $n = 0$ , hérédité via les formules d'addition
Racines n-ièmes de l'unité — résoudre $z^{n} = 1$ en forme exponentielle, égalité des modules et arguments mod $2 π$

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Construction de ℂ et forme algébrique

2. Module et argument

3. Forme trigonométrique et forme exponentielle

4. Formules d'Euler et de Moivre

5. Racines n-ièmes

6. Équation du second degré dans ℂ

7. Interprétation géométrique

8. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

9. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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