Structure d'espace vectoriel

Vue d'ensemble

La structure d'espace vectoriel est l'objet central de l'algèbre linéaire en MPSI : elle est la version axiomatique de tout ce qui « se combine linéairement » — vecteurs du plan, polynômes, matrices, fonctions, suites, signaux. Cette fiche te donne les 10 résultats incontournables, les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre des points en DS et en khôlle.

Au programme MPSI (officiel) — Espace vectoriel sur un corps 𝕂 (𝕂 = ℝ ou ℂ) : axiomes, exemples canoniques (𝕂ⁿ, 𝕂[X], 𝕄_(p,q)(𝕂), F(I,ℝ)), sous-espace vectoriel et caractérisation, intersection et somme de sous-espaces, somme directe et supplémentaires, combinaisons linéaires, sous-espace engendré, familles libres, liées, génératrices, base et coordonnées.

Prérequis

Structure de groupe abélien (loi interne associative, commutative, neutre, opposé)
Notion de corps (𝕂 = ℝ ou ℂ) et calcul algébrique sur les scalaires
Quantificateurs $\forall, \exists$ et inclusion d'ensembles $\subset$
Sommes finies $i = 1 \sum n λ_{i} x_{i}$ et manipulations indicielles

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L'algèbre linéaire te paraît trop abstraite pour s'« accrocher » ? C'est la douleur n°1 en début de MPSI sur ce chapitre : les axiomes flottent sans accroche concrète. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font construire l'intuition vecteurs/polynômes/matrices avec des exos sur-mesure, jusqu'au déclic.

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1. Définitions essentielles

Définition 1.1 — Espace vectoriel sur 𝕂

Soit 𝕂 un corps (en MPSI, 𝕂 = ℝ ou ℂ). Un espace vectoriel sur 𝕂 (ou 𝕂-espace vectoriel) est un ensemble $E$ muni :

d'une loi interne $+ : E \times E \to E$ , $(x, y) \mapsto x + y$ , telle que $(E, +)$ soit un groupe abélien (associative, commutative, neutre noté $0_{E}$ , tout $x$ admet un opposé $- x$ ) ;
d'une loi externe $\cdot : K \times E \to E$ , $(λ, x) \mapsto λ \cdot x$ , vérifiant les quatre axiomes suivants pour tous $λ, μ \in K$ et $x, y \in E$ :

(D1) λ \cdot (x + y) = λ \cdot x + λ \cdot y (D2) (λ + μ) \cdot x = λ \cdot x + μ \cdot x (A) λ \cdot (μ \cdot x) = (λ μ) \cdot x (N) 1_{K} \cdot x = x

Les éléments de $E$ sont appelés vecteurs, ceux de 𝕂 scalaires.

📝 Lire les axiomes. (D1) et (D2) sont les deux distributivités (à droite, à gauche), (A) est l'associativité mixte scalaire–vecteur, et (N) dit que le scalaire

1

agit comme une identité. L'axiome (N) est souvent oublié — sans lui on aurait des cas pathologiques où

λ \cdot x = 0

pour tout

λ, x

Proposition 1.2 — Règles de calcul immédiates

Pour tous $λ \in K$ , $x \in E$ :

$0_{K} \cdot x = 0_{E}$
$λ \cdot 0_{E} = 0_{E}$
$(- 1) \cdot x = - x$
$λ \cdot x = 0_{E} ⟺ λ = 0_{K}$ ou $x = 0_{E}$

💡 Exemples canoniques — à connaître par cœur.

$R^{n}$ et $C^{n}$ : $n$ -uplets $(x_{1}, \dots, x_{n})$ avec addition coordonnée par coordonnée et multiplication scalaire $λ \cdot (x_{1}, \dots, x_{n}) = (λ x_{1}, \dots, λ x_{n})$ .
$K [X]$ : polynômes à coefficients dans 𝕂, somme et produit scalaire usuels.
$M_{p, q} (K)$ : matrices à $p$ lignes et $q$ colonnes, addition coefficient par coefficient.
$C (R, R)$ et plus généralement $F (I, R)$ : fonctions de $I$ dans ℝ, avec $(f + g) (t) = f (t) + g (t)$ et $(λ \cdot f) (t) = λ f (t)$ .
$R^{N}$ : suites réelles, opérations terme à terme.
${0_{E}}$ : l'espace nul, ev le plus petit possible.

Définition 1.3 — Sous-espace vectoriel

Soit $E$ un 𝕂-ev. Une partie $F \subset E$ est un sous-espace vectoriel (sev) de $E$ si :

$F$ est non vide (contient au moins $0_{E}$ ),
$F$ est stable par la loi interne : $\forall x, y \in F, x + y \in F$ ,
$F$ est stable par la loi externe : $\forall λ \in K, \forall x \in F, λ \cdot x \in F$ .

Muni des lois restreintes, $F$ est alors lui-même un 𝕂-ev.

Définition 1.4 — Combinaison linéaire

Soit $(x_{1}, \dots, x_{n})$ une famille finie de vecteurs de $E$ . Une combinaison linéaire de cette famille est tout vecteur de la forme $i = 1 \sum n λ_{i} x_{i}$ avec $λ_{1}, \dots, λ_{n} \in K$ . Pour une famille quelconque $(x_{i})_{i \in I}$ , une combinaison linéaire est une somme $\sum_{i \in J} λ_{i} x_{i}$ où $J \subset I$ est une partie finie.

Définition 1.5 — Sous-espace engendré par une famille — Vect(X)

Soit $X = (x_{i})_{i \in I}$ une famille de vecteurs de $E$ . Le sous-espace engendré par $X$ , noté $Vect (X)$ , est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires finies de vecteurs de $X$ :

Vect (X) = {i \in J \sum λ_{i} x_{i} J \subset I fini, λ_{i} \in K} .

Par convention, $Vect (\emptyset) = {0_{E}}$ .

Définition 1.6 — Famille libre, liée, génératrice, base

Soit $X = (x_{i})_{i \in I}$ une famille de $E$ .

Libre : pour toute partie finie $J \subset I$ et tous scalaires $(λ_{i})_{i \in J}$ , $i \in J \sum λ_{i} x_{i} = 0_{E} ⟹ \forall i \in J, λ_{i} = 0$ .
Liée : non libre, donc il existe une combinaison linéaire non triviale donnant $0_{E}$ .
Génératrice : $Vect (X) = E$ .
Base : famille à la fois libre et génératrice.

Définition 1.7 — Somme et somme directe de deux sev

Soient $F, G$ deux sev de $E$ .

Somme : $F + G = {x + y ∣ x \in F, y \in G}$ . C'est un sev de $E$ .
Somme directe : la somme $F + G$ est dite directe, et on note $F \oplus G$ , lorsque $F \cap G = {0_{E}}$ . Dans ce cas, tout $z \in F + G$ admet une décomposition unique $z = x + y$ avec $x \in F, y \in G$ .
Supplémentaires : $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ si $F \oplus G = E$ , c'est-à-dire $F \cap G = {0_{E}}$ et $F + G = E$ .

⚠ Piège #1 du chapitre — « supplémentaire » n'est pas « complémentaire ». Le complémentaire ensembliste

E ∖ F

ne contient jamais

0_{E}

, donc n'est jamais un sev. « Supplémentaire » est une notion algébrique propre aux ev : un même

F

admet en général une infinité de supplémentaires

G

(ils sont tous de même dimension en dimension finie, mais pas tous égaux).

2. Théorèmes fondamentaux

2.1 — Caractérisation pratique d'un sous-espace vectoriel

Théorème 2.1 — Caractérisation d'un sev ★ À savoir démontrer

Soit $F \subset E$ . Alors $F$ est un sev de $E$ si et seulement si :

0_{E} \in F et \forall x, y \in F, \forall λ \in K, λ x + y \in F .

Démonstration (double implication, schéma à connaître)

(⇒) Si $F$ est un sev, alors par définition il est non vide ; comme $F$ est un sous-groupe de $(E, +)$ , il contient $0_{E}$ . Pour $x, y \in F$ et $λ \in K$ , la stabilité par la loi externe donne $λ x \in F$ , et la stabilité par la loi interne donne $λ x + y \in F$ .

(⇐) Supposons $0_{E} \in F$ et la propriété $\forall x, y, λ, λ x + y \in F$ . Alors $F$ est non vide (il contient $0_{E}$ ). Vérifions les deux stabilités :

Stabilité par la loi externe. Pour $λ \in K$ et $x \in F$ , on a $x \in F$ et $0_{E} \in F$ , donc $λ x + 0_{E} = λ x \in F$ .
Stabilité par la loi interne. Pour $x, y \in F$ , on prend $λ = 1_{K}$ : $1 \cdot x + y = x + y \in F$ .

Donc $F$ est non vide, stable par $+$ et par $\cdot$ : c'est un sev de $E$ . Cette caractérisation en une seule ligne (combinaison linéaire) est celle qu'on utilise en pratique pour montrer qu'un ensemble est un sev — c'est l'outil de base du chapitre.

📐 Méthode-type — Montrer que $F \subset E$ est un sev.

Vérifier $0_{E} \in F$ . Si $0_{E} \in / F$ , inutile d'aller plus loin : $F$ n'est pas un sev. Réflexe à exécuter en premier.
Prendre $x, y \in F$ et $λ \in K$ quelconques.
Montrer $λ x + y \in F$ en revenant à la définition explicite de $F$ (équation, propriété…).
Conclure : par la caractérisation du Théorème 2.1, $F$ est un sev de $E$ .

Astuce SEO khôlleur : tu n'écris jamais les trois axiomes séparément en copie, sauf si l'énoncé l'exige explicitement. La version combinaison linéaire est plus courte et aussi rigoureuse.

💡 Exemple — Le noyau d'une équation linéaire est un sev. Soit

F = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ 2 x - y + 3 z = 0}

. Alors :

$(0, 0, 0) \in F$ car $2 \cdot 0 - 0 + 3 \cdot 0 = 0$ . ✓
Soient $u = (x_{1}, y_{1}, z_{1}) \in F$ , $v = (x_{2}, y_{2}, z_{2}) \in F$ , $λ \in R$ . Alors $λ u + v = (λ x_{1} + x_{2}, λ y_{1} + y_{2}, λ z_{1} + z_{2})$ et : $2 (λ x_{1} + x_{2}) - (λ y_{1} + y_{2}) + 3 (λ z_{1} + z_{2}) = λ = 0 (2 x_{1} - y_{1} + 3 z_{1}) + = 0 (2 x_{2} - y_{2} + 3 z_{2}) = 0.$ Donc $λ u + v \in F$ . ✓

Conclusion :

F

est un sev de

R^{3}

(c'est un plan vectoriel).

2.2 — Intersection et union de sous-espaces

Théorème 2.2 — Intersection de sev ★ À savoir démontrer

Soit $(F_{i})_{i \in I}$ une famille quelconque de sev d'un 𝕂-ev $E$ . Alors $i \in I ⋂ F_{i}$ est un sev de $E$ .

Démonstration (caractérisation du Théorème 2.1)

Posons $F = ⋂_{i \in I} F_{i}$ . On utilise le Théorème 2.1.

$0_{E} \in F$ . Pour tout $i \in I$ , $F_{i}$ est un sev, donc $0_{E} \in F_{i}$ . Comme c'est vrai pour tout $i$ , $0_{E} \in ⋂ F_{i} = F$ .
Combinaison linéaire. Soient $x, y \in F$ et $λ \in K$ . Pour tout $i \in I$ , $x \in F_{i}$ et $y \in F_{i}$ , donc par stabilité de $F_{i}$ , $λ x + y \in F_{i}$ . Ceci étant vrai pour tout $i$ , $λ x + y \in ⋂ F_{i} = F$ .

Donc $F$ est un sev de $E$ . Le résultat vaut pour une intersection finie ou infinie — c'est la grande force du critère.

⚠ Piège #2 — L'union de deux sev n'est PAS un sev en général. Contre-exemple à retenir : dans

R^{2}

, prends

F = R \times {0}

(axe des abscisses) et

G = {0} \times R

(axe des ordonnées). Alors

(1, 0) \in F \cup G

(0, 1) \in F \cup G

, mais leur somme

(1, 1) \in / F \cup G

(elle n'est sur aucun des deux axes). Donc

F \cup G

n'est pas stable par

+

: ce n'est pas un sev.

Exception :

F \cup G

est un sev si et seulement si

F \subset G

G \subset F

2.3 — Vect(X) est le plus petit sev contenant X

Théorème 2.3 — Caractérisation de Vect(X) ★ À savoir démontrer

Soit $X$ une partie de $E$ (ou une famille). Alors $Vect (X)$ est le plus petit sev de $E$ contenant $X$ , au sens suivant :

$Vect (X)$ est un sev de $E$ ,
$X \subset Vect (X)$ ,
pour tout sev $F$ de $E$ tel que $X \subset F$ , on a $Vect (X) \subset F$ .

Démonstration (trois points)

(i) $Vect (X)$ est un sev. On applique le Théorème 2.1. $0_{E} = \sum_{i \in \emptyset} λ_{i} x_{i}$ (somme vide) appartient à $Vect (X)$ . Soient $u = \sum_{i \in J} λ_{i} x_{i}$ et $v = \sum_{i \in K} μ_{i} x_{i}$ dans $Vect (X)$ (avec $J, K$ finis) et $α \in K$ . Quitte à ajouter des coefficients nuls, on peut supposer $J = K = L$ (réunion finie). Alors :

α u + v = i \in L \sum (α λ_{i} + μ_{i}) x_{i} \in Vect (X) .

Donc $Vect (X)$ est stable par combinaison linéaire : c'est un sev.

(ii) $X \subset Vect (X)$ . Pour $x \in X$ , $x = 1_{K} \cdot x$ est une combinaison linéaire d'un seul vecteur de $X$ , donc $x \in Vect (X)$ .

(iii) Minimalité. Soit $F$ un sev contenant $X$ . Toute combinaison linéaire finie de vecteurs de $X \subset F$ reste dans $F$ (par récurrence immédiate sur la longueur, en utilisant la stabilité de $F$ par combinaison linéaire). Donc $Vect (X) \subset F$ .

Conséquence pratique : on peut définir $Vect (X)$ de manière intrinsèque comme $⋂ {F sev de E, X \subset F}$ (intersection de tous les sev contenant $X$ ) ; les deux définitions coïncident.

Proposition 2.4 — Règles de calcul sur Vect

$Vect (X) \subset Vect (Y)$ dès que $X \subset Y$ (croissance).
$Vect (Vect (X)) = Vect (X)$ (idempotence).
$Vect (X) = Vect (Y) ⟺ X \subset Vect (Y)$ et $Y \subset Vect (X)$ .
Pour deux familles finies, $Vect (X) + Vect (Y) = Vect (X \cup Y)$ .

🧑‍🏫 Décortique cette démo avec un mentor

« Plus petit sev contenant X » : tu vois le mot, tu ne sais pas l'écrire ? C'est typique de l'algèbre linéaire MPSI : on bute sur la quantification universelle sur tous les sev. En 1 séance avec un mentor Majorant alumni de l'X, tu fais cette démo trois fois avec variantes (intersection, dual) — et elle ne te lâche plus.

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2.4 — Somme directe et supplémentaires

Théorème 2.5 — Caractérisation de la somme directe ★ À savoir démontrer

Soient $F, G$ deux sev de $E$ . Les trois assertions suivantes sont équivalentes :

$F \cap G = {0_{E}}$ (la somme est directe, notée $F \oplus G$ ),
tout vecteur de $F + G$ admet une unique décomposition $z = x + y$ avec $x \in F$ , $y \in G$ ,
la seule décomposition de $0_{E}$ sous la forme $x + y$ avec $x \in F, y \in G$ est $x = y = 0_{E}$ .

Démonstration (par implications circulaires)

(1) ⇒ (2). Supposons $F \cap G = {0_{E}}$ . Soit $z \in F + G$ avec deux décompositions $z = x_{1} + y_{1} = x_{2} + y_{2}$ , $x_{1}, x_{2} \in F$ , $y_{1}, y_{2} \in G$ . Alors $x_{1} - x_{2} = y_{2} - y_{1}$ . Le membre de gauche appartient à $F$ (différence de deux vecteurs de $F$ ) ; celui de droite appartient à $G$ . Donc $x_{1} - x_{2} = y_{2} - y_{1} \in F \cap G = {0_{E}}$ , ce qui force $x_{1} = x_{2}$ et $y_{1} = y_{2}$ : unicité.

(2) ⇒ (3). Soit $0_{E} = x + y$ avec $x \in F, y \in G$ . Mais on a aussi la décomposition triviale $0_{E} = 0_{E} + 0_{E}$ avec $0_{E} \in F$ et $0_{E} \in G$ . Par unicité, $x = 0_{E}$ et $y = 0_{E}$ .

(3) ⇒ (1). Soit $z \in F \cap G$ . Alors $z \in F$ et $- z \in G$ (car $z \in G$ et $G$ est stable par $\cdot$ ). On écrit $0_{E} = z + (- z)$ : c'est une décomposition de $0_{E}$ avec $z \in F$ et $- z \in G$ . Par l'hypothèse (3), $z = 0_{E}$ . Donc $F \cap G \subset {0_{E}}$ , et l'inclusion inverse est triviale.

Mnémonique : « somme directe = intersection triviale = décomposition unique = la seule façon d'écrire $0$ est $0 + 0$ ». Les trois lectures sont équivalentes, c'est ce qui rend la notion puissante.

Définition 2.6 — Généralisation à

n

sev

Soient $F_{1}, \dots, F_{n}$ des sev de $E$ . On dit que la somme $F_{1} + \dots + F_{n}$ est directe, notée $F_{1} \oplus \dots \oplus F_{n}$ , si tout vecteur de la somme admet une décomposition unique en $x_{1} + \dots + x_{n}$ avec $x_{i} \in F_{i}$ ; de manière équivalente, si la seule décomposition de $0_{E}$ sous cette forme est $x_{1} = \dots = x_{n} = 0_{E}$ .

⚠ Piège #3 — En somme de $n \geq 3$ sev, « intersections deux à deux triviales » ne suffit PAS. Pour deux sev,

F \cap G = {0}

caractérise la somme directe. Pour trois sev, on peut avoir

F_{i} \cap F_{j} = {0}

pour tous

i \neq = j

sans que la somme soit directe. Exemple : dans

R^{2}

, trois droites distinctes

D_{1}, D_{2}, D_{3}

passant par l'origine satisfont

D_{i} \cap D_{j} = {0}

, mais

D_{1} + D_{2} + D_{3} = R^{2}

et cette somme n'est pas directe (un vecteur non nul s'écrit de plusieurs façons).

Bon critère : la décomposition de

0_{E}

est unique (= triviale).

Définition 2.7 — Supplémentaires

Deux sev $F, G$ de $E$ sont supplémentaires dans $E$ si :

F \oplus G = E ⟺ F \cap G = {0_{E}} et F + G = E .

De manière équivalente, tout vecteur de $E$ s'écrit de manière unique $z = x + y$ avec $x \in F, y \in G$ .

💡 Exemple canonique — Fonctions paires et impaires. Dans

E = F (R, R)

, soient

P = {f \in E ∣ \forall x, f (- x) = f (x)}

(fonctions paires) et

I = {f \in E ∣ \forall x, f (- x) = - f (x)}

(fonctions impaires). Alors

P

I

sont supplémentaires dans

E

: toute fonction

f : R \to R

se décompose de manière unique en

f = f_{p} + f_{i}

avec

f_{p} (x) = \frac{f ( x ) + f ( - x )}{2}

(paire) et

f_{i} (x) = \frac{f ( x ) - f ( - x )}{2}

(impaire).

3. Familles libres, génératrices et bases

Proposition 3.1 — Une famille est liée ssi un vecteur est combinaison linéaire des autres

Soit $(x_{1}, \dots, x_{n})$ une famille de $n \geq 2$ vecteurs. Cette famille est liée si et seulement s'il existe un indice $i_{0}$ tel que $x_{i_{0}}$ soit combinaison linéaire des autres vecteurs $(x_{j})_{j \neq = i_{0}}$ .

⚠ Piège #4 — « la famille $(x_{1}, x_{2})$ est liée » ≠ « $x_{2}$ est multiple de $x_{1}$ ». Si

x_{1} = 0_{E}

, alors la famille

(x_{1}, x_{2})

est liée (car

1 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} = 0_{E}

est une relation non triviale), mais

x_{2}

n'est pas multiple de

x_{1} = 0_{E}

en général. Pour deux vecteurs non nuls, oui : liée ⇔ colinéaires. Mais le cas

x_{i} = 0_{E}

est toujours liée — le vecteur nul appartenant à une famille la rend automatiquement liée.

Définition 3.2 — Base et coordonnées

Une base de $E$ est une famille $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ à la fois libre et génératrice. Tout vecteur $x \in E$ s'écrit alors de manière unique :

x = i = 1 \sum n x_{i} e_{i}, (x_{1}, \dots, x_{n}) \in K^{n},

et les scalaires $(x_{1}, \dots, x_{n})$ sont appelés coordonnées de $x$ dans la base $B$ . L'unicité provient du caractère libre ; l'existence du caractère générateur.

💡 Bases canoniques à connaître par cœur.

$K^{n}$ : base canonique $(e_{1}, \dots, e_{n})$ avec $e_{i} = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ ( $1$ en position $i$ ).
$K_{n} [X]$ (polynômes de degré $\leq n$ ) : base canonique $(1, X, X^{2}, \dots, X^{n})$ de cardinal $n + 1$ .
$M_{p, q} (K)$ : base canonique $(E_{i, j})_{1 \leq i \leq p, 1 \leq j \leq q}$ (matrices ayant un seul coefficient égal à $1$ , les autres nuls), de cardinal $pq$ .

📐 Méthode-type — Montrer qu'une famille est libre.

Poser une combinaison linéaire nulle : $i = 1 \sum n λ_{i} x_{i} = 0_{E}$ .
Traduire cette équation dans l'espace concret (coordonnées, coefficients d'un polynôme, évaluation en un point, dérivation, intégration…).
Résoudre le système obtenu : montrer que la seule solution est $λ_{1} = \dots = λ_{n} = 0$ .
Conclure : la famille $(x_{1}, \dots, x_{n})$ est libre.

Astuces fréquentes : pour des polynômes, évaluer en valeurs bien choisies ou comparer les degrés ; pour des fonctions, évaluer en plusieurs points, dériver, ou utiliser une propriété asymptotique.

📝 Lien avec la dimension (chapitre suivant). En dimension finie, toutes les bases ont le même cardinal — c'est la dimension de

E

. Ce résultat (théorème de la dimension) sera démontré au chapitre suivant ; il fonde l'algèbre linéaire en MPSI.

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves comportant de l'algèbre linéaire. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Oublier de vérifier que $0_{E} \in F$ . Beaucoup d'élèves passent directement à la stabilité par combinaison linéaire sans vérifier que

F

est non vide. Or, si

F = \emptyset

, la stabilité est vraie de manière vide mais

F

n'est pas un sev (par convention, un sev contient au moins

0_{E}

). Réflexe : toujours commencer par « $0_{E} \in F$ car… ».

⚠ Erreur 2 — Confondre « $F + G$ » et « $F \cup G$ ».

F + G

est toujours un sev (le plus petit contenant

F \cup G

, d'ailleurs égal à

Vect (F \cup G)

F \cup G

n'est en général PAS un sev. Quand un énoncé parle de « la somme de deux sev », il s'agit toujours de

F + G

, pas de l'union.

⚠ Erreur 3 — Écrire « $F \oplus G$ » sans avoir justifié que la somme est directe. La notation

\oplus

est conclusive : on l'utilise après avoir prouvé

F \cap G = {0_{E}}

, pas avant. Ordre logique correct : (1) calculer

F \cap G

, (2) constater

F \cap G = {0_{E}}

, (3) en déduire « la somme est directe, on note

F \oplus G

».

⚠ Erreur 4 — Affirmer qu'un supplémentaire est unique. Un même sev

F

admet en général une infinité de supplémentaires

G

(sauf cas extrêmes : si

F = E

, seul

G = {0_{E}}

convient ; si

F = {0_{E}}

, seul

G = E

). Exemple : dans

R^{2}

, une droite

F

passant par l'origine admet pour supplémentaire toute autre droite passant par l'origine.

⚠ Erreur 5 — Pour montrer qu'une famille est liée, exhiber UNE relation, pas « toutes ». Une famille

(x_{1}, \dots, x_{n})

est liée dès qu'il existe une relation non triviale

\sum λ_{i} x_{i} = 0_{E}

. Pour libre, c'est l'inverse : il faut montrer que toute telle relation est triviale. Inversion d'ordre des quantificateurs sanctionnée systématiquement.

5. Pour aller plus loin

La structure d'espace vectoriel est l'infrastructure de toute la fin du programme MPSI et de la majeure partie du programme de spé. Les chapitres qui la réinvestissent directement :

Espaces vectoriels de dimension finie — théorème de la dimension, théorème de la base incomplète, rang d'une famille, formule de Grassmann $dim (F + G) = dim F + dim G - dim (F \cap G)$ .
Applications linéaires — morphismes d'ev, noyau et image (qui sont des sev !), théorème du rang $dim E = dim ker u + dim Im u$ .
Matrices — toute matrice de $M_{p, q} (K)$ représente une application linéaire dans des bases données ; les opérations matricielles deviennent des opérations sur les applications linéaires.
Polynômes — $K [X]$ est un ev de dimension infinie, mais ses sev $K_{n} [X]$ sont de dimension finie $n + 1$ ; division euclidienne et décomposition en éléments simples reposent sur la structure d'ev.
Espaces préhilbertiens (spé) — ev munis d'un produit scalaire ; la notion de supplémentaire orthogonal raffine celle de supplémentaire.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu énoncer les quatre axiomes de la loi externe d'un 𝕂-ev (D1, D2, A, N) sans regarder ?
Sais-tu citer 5 exemples canoniques de 𝕂-ev (ℝⁿ, 𝕂[X], 𝕄_(p,q)(𝕂), F(I,ℝ), ℝ^ℕ) ?
Sais-tu énoncer la caractérisation d'un sev en une seule condition (combinaison linéaire) et la démontrer ?
Sais-tu démontrer que l'intersection (quelconque) de sev est un sev ?
Sais-tu donner un contre-exemple à « l'union de deux sev est un sev » ?
Sais-tu définir $Vect (X)$ et démontrer que c'est le plus petit sev contenant $X$ ?
Sais-tu énoncer et démontrer la caractérisation $F \oplus G ⟺ F \cap G = {0_{E}} ⟺$ décomposition unique de $0_{E}$ ?
Connais-tu le contre-exemple à « intersections deux à deux triviales ⇒ somme directe » pour 3 sev ?
Sais-tu démontrer que deux fonctions paire et impaire sont supplémentaires dans $F (R, R)$ ?
Sais-tu réciter la méthode-type pour montrer qu'une famille est libre (4 étapes) ?
Connais-tu par cœur les bases canoniques de $K^{n}$ , $K_{n} [X]$ et $M_{p, q} (K)$ ?
Sais-tu pourquoi une famille contenant le vecteur nul est toujours liée ?

Démonstrations à savoir refaire

Caractérisation d'un sev — double implication, $λ x + y \in F$ suffit
Intersection de sev est un sev — application directe du Théorème 2.1
Vect(X) est le plus petit sev contenant X — sev + inclusion + minimalité
Caractérisation de la somme directe — équivalence (1) ⇔ (2) ⇔ (3), implications circulaires

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Définitions essentielles

2. Théorèmes fondamentaux

2.1 — Caractérisation pratique d'un sous-espace vectoriel

2.2 — Intersection et union de sous-espaces

2.3 — Vect(X) est le plus petit sev contenant X

2.4 — Somme directe et supplémentaires

3. Familles libres, génératrices et bases

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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Logarithmes, exponentielles et puissances

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