Relations

Vue d'ensemble

Une relation binaire sur un ensemble $E$ , c'est simplement la donnée d'un sous-ensemble $R$ de $E \times E$ : on écrit $x R y$ lorsque $(x, y) \in R$ . Derrière cette définition minimaliste se cachent les deux structures fondamentales du programme MPSI : les relations d'équivalence (qui regroupent et quotientent) et les relations d'ordre (qui hiérarchisent et comparent). Cette fiche regroupe les 7 théorèmes incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre des points en khôlle ou en DS.

Au programme MPSI (officiel) — Relations binaires sur un ensemble. Propriétés : réflexivité, symétrie, antisymétrie, transitivité. Relations d'équivalence, classes d'équivalence, ensemble quotient. Relations d'ordre, ordre total/partiel, majorant, minorant, plus grand/plus petit élément, élément maximal/minimal, borne supérieure et inférieure. Exemples : congruence modulo

n

, ordre usuel sur

R

, inclusion sur

P (E)

, divisibilité sur

N^{*}

Prérequis

Notion de produit cartésien $E \times E$ et de sous-ensemble (fiche Ensembles)
Quantificateurs $\forall, \exists$ et logique propositionnelle (fiche Rudiments de logique)
Notion de partition d'un ensemble (réunion disjointe couvrant $E$ )
Borne supérieure/inférieure dans ℝ (axiome de la borne sup, fiche Nombres réels)

🎯 Accompagnement Majorant

Tu confonds élément maximum et élément maximal ? C'est le piège qui coûte le plus de points en MPSI sur ce chapitre — et le grand classique des khôlles d'algèbre. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te montrent en 1 séance la différence visuelle (diagrammes de Hasse) et les exemples qui ne s'oublient plus.

Trouver un mentor MPSI →

1. Relation binaire et propriétés remarquables

Définition 1.1 — Relation binaire sur E

Soit $E$ un ensemble. Une relation binaire sur $E$ est la donnée d'un sous-ensemble $R \subset E \times E$ . Pour $(x, y) \in E \times E$ , on écrit $x R y$ — et on lit « $x$ est en relation avec $y$ » — lorsque $(x, y) \in R$ . Sinon on note $x \neq R y$ .

Définition 1.2 — Réflexivité

$R$ est réflexive si :

\forall x \in E, x R x .

Autrement dit, tout élément est en relation avec lui-même.

Définition 1.3 — Symétrie

$R$ est symétrique si :

\forall x, y \in E, x R y ⟹ y R x .

L'ordre des termes ne compte pas pour décider si la relation est vérifiée.

Définition 1.4 — Antisymétrie

$R$ est antisymétrique si :

\forall x, y \in E, (x R y et y R x) ⟹ x = y .

Le seul moyen pour deux éléments distincts d'être « en relation dans les deux sens », c'est… qu'il n'y a pas de moyen : ils ne peuvent pas l'être.

⚠ Piège #1 du chapitre — antisymétrie n'est PAS la négation de symétrie. Une relation peut être à la fois symétrique et antisymétrique : c'est le cas de l'égalité sur

E

(et plus généralement de toute relation dont le graphe est inclus dans la diagonale

{(x, x), x \in E}

). Inversement, une relation peut n'être ni symétrique ni antisymétrique. Les quatre cas sont possibles — ne jamais déduire l'une de la négation de l'autre.

Définition 1.5 — Transitivité

$R$ est transitive si :

\forall x, y, z \in E, (x R y et y R z) ⟹ x R z .

C'est la propriété qui permet de « chaîner » les relations : on peut sauter d'un maillon à l'autre sans repasser par les intermédiaires.

💡 Exemples canoniques (à connaître par cœur).

L'égalité $=$ sur $E$ est réflexive, symétrique, antisymétrique et transitive.
L'ordre usuel $\leq$ sur $R$ est réflexive, antisymétrique et transitive, mais pas symétrique.
L'inclusion $\subset$ sur $P (E)$ est réflexive, antisymétrique et transitive, mais pas symétrique.
La divisibilité $∣$ sur $N^{*}$ est réflexive, antisymétrique et transitive (mais pas symétrique).
La relation « $x$ est ami de $y$ » (dans un graphe d'amitié) est symétrique mais en général pas transitive ni réflexive.

📐 Méthode-type — Tester les 4 propriétés sur une relation donnée. Devant une relation

R

sur un ensemble

E

, procède dans cet ordre :

Réflexivité : prendre un $x \in E$ quelconque et vérifier si $x R x$ . Si la définition de $R$ dépend d'une donnée annexe (un $n$ , un $f$ …), tester d'abord sur un cas particulier suspect.
Symétrie : prendre $x, y$ avec $x R y$ , réécrire littéralement la condition en échangeant $x$ et $y$ , voir si elle est encore vraie.
Antisymétrie : supposer les deux relations $x R y$ et $y R x$ simultanément, et chercher à en déduire $x = y$ .
Transitivité : prendre $x, y, z$ avec $x R y$ et $y R z$ , chercher à conclure $x R z$ — le plus souvent en composant les conditions (transitivité de $\leq$ , de $=$ , addition de congruences…).

Si une propriété est fausse, donne un contre-exemple chiffré : un seul triplet

(x, y, z)

suffit, et il vaut tous les discours.

2. Relations d'équivalence

2.1 — Définition et exemples

Définition 2.1 — Relation d'équivalence

Une relation binaire $R$ sur $E$ est une relation d'équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive. On note alors souvent $\sim$ (ou $\equiv$ ) à la place de $R$ .

💡 Exemples canoniques.

L'égalité $=$ sur n'importe quel ensemble : la relation d'équivalence minimale.
La congruence modulo $n$ sur $Z$ : $x \equiv y (mod n)$ ssi $n ∣ (x - y)$ . Elle est réflexive ( $n ∣ 0$ ), symétrique ( $n ∣ (x - y) \Leftrightarrow n ∣ (y - x)$ ) et transitive (somme de deux multiples de $n$ ).
La similarité de matrices : $A \sim B$ ssi $\exists P \in G L_{n} (R), B = P^{- 1} A P$ .
L'équipotence : $A \sim B$ ssi il existe une bijection entre $A$ et $B$ .
Le parallélisme entre droites du plan (relation réflexive par convention).

Définition 2.2 — Classe d'équivalence

Soit $\sim$ une relation d'équivalence sur $E$ et $x \in E$ . On appelle classe d'équivalence de $x$ modulo $\sim$ l'ensemble :

\overline{x} = {y \in E ∣ y \sim x} .

On note aussi $[x]$ ou $cl (x)$ . Un élément $y \in \overline{x}$ s'appelle un représentant de la classe.

📝 Choix du représentant. Par définition,

x \in \overline{x}

(par réflexivité). Une classe est toujours non vide, et son nom

\overline{x}

fait référence à un représentant — mais n'importe quel autre représentant désigne la même classe : si

y \in \overline{x}

, alors

\overline{y} = \overline{x}

(conséquence directe du Théorème 2.3 ci-dessous).

2.2 — Le théorème fondamental : classes = partition

Théorème 2.3 — Les classes d'équivalence forment une partition ★ À savoir démontrer

Soit $\sim$ une relation d'équivalence sur $E$ . Les classes d'équivalence ${\overline{x} ∣ x \in E}$ forment une partition de $E$ :

Chaque classe est non vide.
Deux classes sont soit égales, soit disjointes : $\overline{x} \cap \overline{y} \neq = \emptyset ⟹ \overline{x} = \overline{y}$ .
La réunion de toutes les classes est $E$ tout entier : $E = x \in E ⋃ \overline{x}$ .

Réciproquement, toute partition de $E$ provient d'une unique relation d'équivalence (deux éléments sont équivalents ssi ils sont dans le même bloc).

Démonstration (sens direct, par double inclusion)

On suppose $\sim$ réflexive, symétrique et transitive. On montre les trois points.

(1) Chaque classe est non vide. Par réflexivité, $x \sim x$ donc $x \in \overline{x}$ . En particulier $\overline{x} \neq = \emptyset$ .

(2) Deux classes sont égales ou disjointes. C'est le cœur de la preuve. Supposons $\overline{x} \cap \overline{y} \neq = \emptyset$ : il existe $z \in \overline{x} \cap \overline{y}$ , c'est-à-dire $z \sim x$ et $z \sim y$ . Par symétrie, $x \sim z$ , et par transitivité avec $z \sim y$ on obtient $x \sim y$ .

Montrons alors $\overline{x} = \overline{y}$ par double inclusion. Inclusion $\overline{x} \subset \overline{y}$ : soit $t \in \overline{x}$ , i.e. $t \sim x$ . Comme $x \sim y$ , la transitivité donne $t \sim y$ , donc $t \in \overline{y}$ . Inclusion réciproque : par symétrie de l'argument (on a aussi $y \sim x$ ), si $t \in \overline{y}$ alors $t \sim y \sim x$ donc $t \in \overline{x}$ . Ainsi $\overline{x} = \overline{y}$ .

On a donc bien la dichotomie : soit l'intersection est vide, soit les deux classes sont identiques.

(3) Réunion = $E$ . Tout $x \in E$ appartient à $\overline{x}$ (point (1)), donc $x \in ⋃_{y \in E} \overline{y}$ . Réciproquement, toute classe est incluse dans $E$ , donc leur réunion aussi.

Les trois conditions définissant une partition sont vérifiées.

⚠ Piège fréquent. Le théorème est utilisé en contraposée dans les exercices : « si

\overline{x} \neq = \overline{y}

, alors

\overline{x} \cap \overline{y} = \emptyset

». Beaucoup d'élèves croient qu'il faut montrer l'intersection vide en exhibant un élément qui distingue les deux classes — c'est inutile : il suffit de constater qu'elles ne sont pas égales.

2.3 — Ensemble quotient

Définition 2.4 — Ensemble quotient

L'ensemble quotient de $E$ par la relation d'équivalence $\sim$ , noté $E / \sim$ (ou $E / R$ ), est l'ensemble des classes d'équivalence :

E / \sim = {\overline{x} ∣ x \in E} .

C'est un sous-ensemble de $P (E)$ : chaque élément de $E / \sim$ est un sous-ensemble de $E$ (une classe), pas un élément de $E$ .

💡 Exemple canonique — $Z / n Z$ . Pour la congruence modulo

n

sur

Z

, les classes sont

\overline{0}, \overline{1}, \dots, \overline{n - 1}

(toute classe

\overline{k}

pour

k \in Z

est égale à l'une de celles-ci). L'ensemble quotient

Z / n Z

possède exactement

n

éléments. C'est le squelette de toute l'arithmétique modulaire et de la cryptographie.

🧑‍🏫 Décortique la démo de la partition avec un mentor

Le théorème classes = partition est LA démo charnière du chapitre. Elle revient en spé sur les anneaux quotient, les espaces vectoriels quotient et la topologie. En 1 séance avec un mentor Majorant alumni de Centrale, tu maîtrises le schéma double inclusion + symétrie + transitivité pour de bon.

Réserver une séance ciblée →

3. Relations d'ordre

3.1 — Définition et exemples

Définition 3.1 — Relation d'ordre

Une relation binaire $R$ sur $E$ est une relation d'ordre si elle est réflexive, antisymétrique et transitive. On la note souvent $⪯$ (ou $\leq$ si le contexte est clair). Le couple $(E, ⪯)$ est appelé ensemble ordonné.

Définition 3.2 — Ordre total, ordre partiel

Une relation d'ordre $⪯$ sur $E$ est dite totale si :

\forall x, y \in E, x ⪯ y ou y ⪯ x .

(Deux éléments quelconques sont toujours comparables.) Sinon, l'ordre est dit partiel : il existe au moins un couple $(x, y)$ d'éléments incomparables (ni $x ⪯ y$ ni $y ⪯ x$ ).

💡 Exemples canoniques.

$(R, \leq)$ — ordre total. Idem pour $(N, \leq)$ , $(Z, \leq)$ , $(Q, \leq)$ .
$(P (E), \subset)$ — ordre partiel dès que $Card (E) \geq 2$ : deux parties peuvent être incomparables (ex : ${1}$ et ${2}$ ).
$(N^{*}, ∣)$ — divisibilité, ordre partiel : $2$ et $3$ sont incomparables ( $2 ∤ 3$ et $3 ∤ 2$ ).

Théorème 3.3 — Caractérisation de l'ordre total ★ À savoir démontrer

Soit $⪯$ une relation d'ordre sur $E$ . Alors $⪯$ est totale si et seulement si, pour tout couple $(x, y) \in E^{2}$ , on a $x ⪯ y$ ou $y ⪯ x$ .

Conséquence pratique : dans un ordre total, on peut toujours « ranger » deux éléments — ce qui rend le maniement des extrema beaucoup plus simple qu'en ordre partiel.

Démonstration (équivalence directe avec la définition)

La démonstration consiste à reformuler la définition pour rendre l'équivalence manifeste — et à comprendre la portée logique de chaque sens.

Sens ( $\Rightarrow$ ). Si $⪯$ est totale, alors par définition, pour tout $(x, y) \in E^{2}$ , on a $x ⪯ y$ ou $y ⪯ x$ . C'est exactement l'énoncé voulu.

Sens ( $\Leftarrow$ ). Réciproquement, si pour tout $(x, y) \in E^{2}$ , $x ⪯ y$ ou $y ⪯ x$ , la propriété définissant la totalité est vérifiée — donc $⪯$ est totale.

Conséquence à connaître. Dans un ensemble totalement ordonné, deux éléments quelconques admettent toujours un $min$ et un $max$ : si $x ⪯ y$ alors $min (x, y) = x$ et $max (x, y) = y$ , sinon $y ⪯ x$ et on échange. En ordre partiel, c'est faux : deux éléments incomparables n'ont ni min ni max bien défini parmi eux.

⚠ Piège — l'ordre n'a pas à être total. Beaucoup d'élèves raisonnent inconsciemment comme dans

R

: « soit

x ⪯ y

, soit

y ⪯ x

». Sur un ordre partiel (inclusion, divisibilité, ordre produit…), cette dichotomie est fausse en général : il existe un troisième cas, l'incomparabilité. Avant de rédiger « supposons

x ⪯ y

, sinon

y ⪯ x

… », vérifie que ton ordre est total.

3.2 — Plus grand / plus petit, maximal / minimal

Définition 3.4 — Plus grand élément (maximum), plus petit (minimum)

Soit $(E, ⪯)$ un ensemble ordonné et $A \subset E$ . On dit que :

$M \in A$ est plus grand élément (ou maximum) de $A$ si : $\forall a \in A, a ⪯ M$ . Notation : $M = max A$ .
$m \in A$ est plus petit élément (ou minimum) de $A$ si : $\forall a \in A, m ⪯ a$ . Notation : $m = min A$ .

Crucial : le max/min, s'il existe, est dans $A$ et est comparable à tous les éléments de $A$ .

Théorème 3.5 — Unicité du plus grand élément ★ À savoir démontrer

Soit $(E, ⪯)$ un ensemble ordonné et $A \subset E$ . Si $A$ admet un plus grand élément, alors celui-ci est unique. Idem pour le plus petit élément.

Démonstration (par antisymétrie)

Supposons que $A$ admette deux plus grands éléments $M_{1}$ et $M_{2}$ . Montrons $M_{1} = M_{2}$ par antisymétrie.

Par définition de $M_{1}$ comme max de $A$ : $\forall a \in A, a ⪯ M_{1}$ . Comme $M_{2} \in A$ , on a en particulier $M_{2} ⪯ M_{1}$ .

Symétriquement, $M_{2}$ étant un max de $A$ : $\forall a \in A, a ⪯ M_{2}$ , et $M_{1} \in A$ donne $M_{1} ⪯ M_{2}$ .

On a donc $M_{1} ⪯ M_{2}$ et $M_{2} ⪯ M_{1}$ . Par antisymétrie de l'ordre $⪯$ , il vient $M_{1} = M_{2}$ .

L'unicité du plus petit élément se démontre identiquement, en échangeant les rôles de $⪯$ et de son inverse. C'est la seule propriété de l'ordre qu'on utilise — c'est pour cela que l'antisymétrie est si centrale dans la définition.

Définition 3.6 — Élément maximal, élément minimal

Soit $A \subset E$ . Un élément $M \in A$ est dit maximal dans $A$ s'il n'existe aucun élément de $A$ strictement plus grand que lui :

\forall a \in A, M ⪯ a ⟹ a = M .

De même, $m \in A$ est minimal dans $A$ si : $\forall a \in A, a ⪯ m \Rightarrow a = m$ .

⚠ Piège #2 du chapitre — maximum vs maximal. La distinction est subtile mais centrale :

Un maximum est plus grand que tous les éléments de $A$ (il est comparable à tous).
Un maximal n'est plus petit qu'aucun (il peut être incomparable à certains).

En ordre total, les deux notions coïncident (à existence près). En ordre partiel, on peut avoir plusieurs maximaux sans qu'aucun ne soit un maximum. Schéma mental : un maximum domine ; un maximal n'est juste dominé par personne.

💡 Exemple éclairant — divisibilité sur ${2, 3, 6}$ . Considérons

A = {2, 3, 6}

muni de la divisibilité

∣

$6$ est maximum : $2 ∣ 6$ , $3 ∣ 6$ , $6 ∣ 6$ .
Sur $A^{'} = {2, 3}$ , il n'y a pas de maximum ( $2$ et $3$ incomparables), mais deux maximaux : $2$ et $3$ (aucun n'a de strict majorant dans $A^{'}$ ).

Premier réflexe : dessine le diagramme de Hasse (élément du dessus = plus grand pour la relation). Un maximum est un sommet unique qui domine tout ; un maximal est un sommet sans flèche sortante.

3.3 — Majorants, minorants, borne sup, borne inf

Définition 3.7 — Majorant, minorant

Soit $(E, ⪯)$ un ensemble ordonné et $A \subset E$ .

Un élément $M \in E$ est un majorant de $A$ si : $\forall a \in A, a ⪯ M$ . On dit alors que $A$ est majorée.
Un élément $m \in E$ est un minorant de $A$ si : $\forall a \in A, m ⪯ a$ . $A$ est alors minorée.

Différence avec max/min : un majorant est dans $E$ , pas nécessairement dans $A$ . Le max, s'il existe, est le majorant qui appartient à $A$ .

Définition 3.8 — Borne supérieure, borne inférieure

Si $A \subset E$ admet des majorants, et si l'ensemble des majorants de $A$ admet un plus petit élément, celui-ci est appelé borne supérieure de $A$ et noté $sup A$ . Autrement dit, $sup A$ est le plus petit des majorants.

De même, $in f A$ — borne inférieure — est le plus grand des minorants de $A$ , s'il existe.

📝 Lien avec la fiche Nombres réels. Dans

(R, \leq)

, l'axiome de la borne supérieure garantit que toute partie non vide majorée admet une borne sup. Cette propriété est spécifique à

R

: elle est fausse sur

Q

(la partie

{q \in Q ∣ q^{2} \leq 2}

est majorée mais sans borne sup rationnelle).

Définition 3.9 — Chaîne, antichaîne

Dans un ensemble ordonné $(E, ⪯)$ , une chaîne est un sous-ensemble totalement ordonné (deux éléments quelconques de la chaîne sont comparables). Une antichaîne est un sous-ensemble formé d'éléments deux à deux incomparables.

💡 Exemple — Diviseurs de 30. Sur

D_{30} = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

muni de la divisibilité :

${1, 2, 6, 30}$ est une chaîne ( $1 ∣ 2 ∣ 6 ∣ 30$ ).
${2, 3, 5}$ est une antichaîne (deux à deux incomparables).
$max D_{30} = 30$ , $min D_{30} = 1$ .

Proposition 3.10 — Si max existe, alors max = sup

Soit $A \subset E$ une partie ordonnée. Si $max A$ existe, alors $sup A$ existe aussi et $sup A = max A$ . Autrement dit, dès qu'un majorant appartient à $A$ , c'est lui le plus petit majorant.

Attention : la réciproque est fausse ! $sup A$ peut exister sans appartenir à $A$ (cas typique : $sup] 0, 1 [= 1$ qui n'est pas dans $] 0, 1 [$ ).

📐 Méthode-type — Étudier un sous-ensemble $A$ d'un ensemble ordonné. Devant la question « trouve max, min, sup, inf de

A

», procède dans cet ordre :

Majorants : caractériser l'ensemble des majorants de $A$ (souvent en réécrivant la condition $\forall a \in A, a ⪯ M$ ).
Borne sup : chercher le plus petit majorant. Souvent, il apparaît comme « cas limite » dans la caractérisation des majorants.
Maximum : vérifier si $sup A \in A$ . Si oui, c'est le max. Sinon, $A$ n'a pas de maximum.
Minorants, inf, min : symétriquement.
Maximaux/minimaux (si l'ordre est partiel) : repérer les éléments de $A$ sans strict majorant dans $A$ . Il peut y en avoir plusieurs.

En ordre total, max = unique maximal si

A

est fini. En ordre partiel, distinguer soigneusement les deux familles.

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves comportant des questions de relations binaires. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Confondre antisymétrique et « pas symétrique ». «

R

est symétrique ssi elle n'est pas antisymétrique » est faux. L'égalité est à la fois symétrique et antisymétrique ; la relation «

x \neq = y

» est symétrique et pas antisymétrique. Les quatre cas (sym/asym, antisym/non-antisym) sont indépendants. À chaque test, vérifie les deux propriétés séparément.

⚠ Erreur 2 — Confondre maximum et élément maximal. En ordre partiel, un maximal n'est pas un maximum : un maximal peut être incomparable à d'autres éléments. Sur

P (E)

avec

Card (E) = 2

, la partie

A = {{1}, {2}}

n'a pas de maximum, mais deux éléments maximaux :

{1}

{2}

. En khôlle, prouve toujours laquelle des deux notions est demandée.

⚠ Erreur 3 — Affirmer « la classe d'équivalence de $x$ est un élément ». Non :

\overline{x}

est un sous-ensemble de

E

, pas un élément de

E

. L'ensemble quotient

E / \sim

est inclus dans

P (E)

. Quand tu écris

\overline{x} = \overline{y}

, c'est une égalité d'ensembles, qui se démontre par double inclusion — ou via la caractérisation

\overline{x} = \overline{y} \Leftrightarrow x \sim y

⚠ Erreur 4 — Penser que $sup A \in A$ . La borne sup, lorsqu'elle existe, est le plus petit des majorants — pas nécessairement un élément de

A

. Sur

] 0, 1 [

, on a

sup = 1 \in /] 0, 1 [

(donc pas de maximum). C'est le cas inverse exact du minimum sur

] 0, 1 [\cup {2}

in f = 0 \in / A

, mais

max = 2 \in A

. Toujours vérifier l'appartenance avant d'écrire « max ».

⚠ Erreur 5 — Oublier que l'ordre peut être partiel. Sur

P (E)

(N^{*}, ∣)

, la disjonction «

x ⪯ y

y ⪯ x

» n'est pas garantie. Ne calque pas le raisonnement réflexe de

R

sur un ordre partiel — vérifie d'abord la totalité ou contourne via les notions d'élément maximal/minimal.

5. Pour aller plus loin

Les relations binaires sont l'infrastructure algébrique sur laquelle reposent plusieurs chapitres clés de MPSI et de spé :

Arithmétique dans $Z$ — la congruence modulo $n$ est la relation d'équivalence centrale ; $Z / n Z$ en est l'ensemble quotient, base de toute l'arithmétique modulaire.
Groupes, anneaux quotient (spé) — passage au quotient par un sous-groupe distingué (ou un idéal) ; chaque structure quotient est construite via la relation d'équivalence « $x - y \in H$ ».
Espaces vectoriels quotient (spé) — $E / F$ où $F$ est un sous-espace ; classes $\overline{x} = x + F$ , partition de $E$ en sous-espaces affines parallèles à $F$ .
Topologie et fermés — la relation « être dans la même composante connexe » est une relation d'équivalence sur un espace topologique.
Théorie de l'ordre, Zorn (hors-prog, mais utile en spé) — lemme de Zorn sur les ensembles inductivement ordonnés, utilisé pour montrer l'existence de bases en dimension infinie.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu énoncer la définition d'une relation binaire comme sous-ensemble de $E \times E$ ?
Sais-tu écrire sans hésiter les quatre propriétés (réflexive, symétrique, antisymétrique, transitive) avec quantificateurs ?
Sais-tu donner un exemple d'une relation à la fois symétrique et antisymétrique (réponse : l'égalité) ?
Sais-tu définir une relation d'équivalence et donner 3 exemples canoniques (égalité, congruence modulo $n$ , équipotence) ?
Sais-tu démontrer que les classes d'équivalence forment une partition de $E$ ?
Sais-tu écrire la définition de la classe $\overline{x}$ et de l'ensemble quotient $E / \sim$ ?
Sais-tu définir une relation d'ordre et la différence entre ordre total et ordre partiel ?
Sais-tu démontrer l'unicité du plus grand élément ?
Sais-tu distinguer maximum (compare à tous) et élément maximal (n'est dominé par personne) et donner un exemple où ils diffèrent ?
Sais-tu définir majorant, minorant, borne sup, borne inf — et la subtilité $sup A \in A$ ou pas ?
Sais-tu reconnaître une chaîne et une antichaîne dans $(D_{30}, ∣)$ ?

Démonstrations à savoir refaire

Les classes d'équivalence forment une partition — double inclusion via symétrie + transitivité, depuis un élément commun.
Caractérisation de l'ordre total — équivalence formelle avec la disjonction « $x ⪯ y$ ou $y ⪯ x$ ».
Unicité du plus grand élément — application directe de l'antisymétrie.

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Relation binaire et propriétés remarquables

2. Relations d'équivalence

2.1 — Définition et exemples

2.2 — Le théorème fondamental : classes = partition

2.3 — Ensemble quotient

3. Relations d'ordre

3.1 — Définition et exemples

3.2 — Plus grand / plus petit, maximal / minimal

3.3 — Majorants, minorants, borne sup, borne inf

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

Fiches associées

Nombres réels

Suites numériques

Généralités sur les fonctions

Limites et continuité

Fonctions dérivables

Logarithmes, exponentielles et puissances

Tu veux aller plus loin sur ce chapitre ?