Séries de fonctions

Vue d'ensemble

Une série de fonctions $\sum f_{n}$ est une suite de sommes partielles : tout ce qu'on a appris sur les suites de fonctions s'y applique, avec un mode de convergence supplémentaire et REDOUTABLEMENT pratique — la convergence normale. Elle se vérifie par une simple série NUMÉRIQUE ( $\sum ∥ f_{n} ∥_{\infty} < \infty$ ), et elle entraîne tout : la continuité, l'intégration terme à terme, et — sous une hypothèse sur les dérivées — la dérivation terme à terme. C'est l'outil qui légitime les manipulations $\int \sum = \sum \int$ et $(\sum f_{n})^{'} = \sum f_{n}^{'}$ , et le tremplin vers les séries entières et de Fourier. Cette fiche regroupe les théorèmes incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Séries de fonctions : convergence simple, convergence uniforme (de la suite des sommes partielles), convergence normale ; lien entre ces modes ; continuité et théorème de la double limite pour une somme de série ; intégration terme à terme sur un segment (convergence uniforme) et sur un intervalle quelconque (convergence normale / domination) ; dérivation terme à terme (convergence uniforme de la série des dérivées) ; reste d'une série uniformément convergente.

Prérequis

Suites de fonctions : convergence simple, uniforme, continuité de la limite, interversion
Séries numériques : convergence absolue, comparaison, restes
Norme de la convergence uniforme $∥ \cdot ∥_{\infty}$

🎯 Accompagnement Majorant

La convergence normale est ton meilleur ami — apprends à la dégainer. Une majoration $∣ f_{n} ∣ \leq a_{n}$ avec $\sum a_{n} < \infty$ , et tout devient permis. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font maîtriser les modes de convergence et les interversions terme à terme sur les sujets de concours.

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1. Les trois modes de convergence

Définition 1.1 — Convergence simple et uniforme d'une série

$\sum f_{n}$ converge simplement (resp. uniformément) sur $A$ si la suite des sommes partielles $S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} f_{n}$ converge simplement (resp. uniformément) vers la somme $S = \sum_{n = 0}^{\infty} f_{n}$ . La convergence uniforme équivaut à $∥ S - S_{N} ∥_{\infty} \to 0$ , c'est-à-dire $∥ R_{N} ∥_{\infty} \to 0$ où $R_{N} = \sum_{n > N} f_{n}$ est le reste.

Définition 1.2 — Convergence normale

$\sum f_{n}$ converge normalement sur $A$ si la série NUMÉRIQUE des normes converge :

n \sum ∥ f_{n} ∥_{\infty, A} < + \infty o \overset{u}{ˋ} ∥ f_{n} ∥_{\infty} = x \in A sup ∣ f_{n} (x) ∣.

En pratique : trouver une majoration $∣ f_{n} (x) ∣ \leq a_{n}$ valable pour TOUT $x \in A$ , avec $\sum a_{n}$ convergente. C'est le mode le plus FACILE à vérifier — une simple série numérique.

Définition 1.3 — Reste et convergence uniforme sur tout segment

Pour une série convergeant simplement de somme $S$ , le reste d'ordre $N$ est $R_{N} = S - S_{N} = \sum_{n > N} f_{n}$ . La convergence uniforme équivaut à $∥ R_{N} ∥_{\infty} \to 0$ . On dit que la série converge uniformément (ou normalement) sur tout segment si c'est le cas sur chaque segment inclus dans le domaine — hypothèse plus faible mais suffisante pour la continuité et la dérivation (propriétés locales).

Théorème 1.4 — Normale ⟹ uniforme ⟹ simple ★ À savoir démontrer

La convergence normale entraîne la convergence uniforme (et absolue en chaque point), qui entraîne la convergence simple. Les réciproques sont FAUSSES.

Démonstration (majoration du reste par le reste des normes)

Supposons $\sum ∥ f_{n} ∥_{\infty} < \infty$ . D'abord, en chaque point, $\sum ∣ f_{n} (x) ∣ \leq \sum ∥ f_{n} ∥_{\infty} < \infty$ : la série converge ABSOLUMENT, donc converge (série numérique). Notons $S (x) = \sum f_{n} (x)$ .

Majorons le reste UNIFORMÉMENT : pour tout $x$ ,

∣ S (x) - S_{N} (x) ∣ = n > N \sum f_{n} (x) \leq n > N \sum ∣ f_{n} (x) ∣ \leq n > N \sum ∥ f_{n} ∥_{\infty} .

Le majorant $\sum_{n > N} ∥ f_{n} ∥_{\infty}$ est le reste d'une série NUMÉRIQUE convergente : il tend vers 0 quand $N \to \infty$ , INDÉPENDAMMENT de $x$ . Donc $∥ S - S_{N} ∥_{\infty} \leq \sum_{n > N} ∥ f_{n} ∥_{\infty} \to 0$ : convergence uniforme. C'est le mécanisme central — une majoration par une série numérique donne l'uniformité gratuitement.

⚠ Piège — Normale exige une majoration INDÉPENDANTE de x.

∥ f_{n} ∥_{\infty} = sup_{x} ∣ f_{n} (x) ∣

: la borne

a_{n}

doit majorer

∣ f_{n} (x) ∣

pour TOUS les

x \in A

à la fois. Une majoration valable pour certains

x

seulement ne donne pas la convergence normale. Si le sup ne se laisse pas majorer par un terme sommable (ex. sup

= 1

pour tout

n

), il faut chercher la convergence uniforme directement (via le reste) ou sur des sous-intervalles.

2. Continuité et intégration terme à terme

Définition 2.1 — Somme d'une série de fonctions

Lorsque $\sum f_{n}$ converge simplement sur $A$ , sa somme est la fonction $S : x \mapsto \sum_{n = 0}^{\infty} f_{n} (x)$ . Étudier une série de fonctions, c'est étudier les propriétés de cette fonction $S$ (continuité, dérivabilité, limites, intégrale) à partir de celles des $f_{n}$ et du MODE de convergence. Une série qui converge normalement converge aussi absolument en chaque point.

Théorème 2.2 — Continuité de la somme ★ À savoir démontrer

Si $\sum f_{n}$ converge uniformément (a fortiori normalement) sur $A$ et si chaque $f_{n}$ est continue, alors la somme $S = \sum_{n} f_{n}$ est continue sur $A$ .

Démonstration (les sommes partielles sont continues)

Chaque somme partielle $S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} f_{n}$ est une somme FINIE de fonctions continues, donc continue. La suite $(S_{N})$ converge UNIFORMÉMENT vers $S$ . Or la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue (théorème du chapitre « suites de fonctions »). Donc $S$ est continue.

C'est le patron de TOUS les théorèmes de séries de fonctions : appliquer le résultat « suites de fonctions » à la suite des sommes partielles $(S_{N})$ , qui héritent des propriétés (continuité, intégrabilité) de leurs termes puisqu'elles sont des sommes finies.

Théorème 2.3 — Intégration terme à terme sur un segment

Si $\sum f_{n}$ converge uniformément sur un segment $[a, b]$ (fonctions continues), on peut INTÉGRER terme à terme :

\int_{a}^{b} (n \sum f_{n}) d t = n \sum \int_{a}^{b} f_{n} (t) d t .

Sur un intervalle QUELCONQUE, il faut la convergence NORMALE (ou une hypothèse de domination via le théorème d'intégration terme à terme de la convergence dominée) : $\int_{I} \sum f_{n} = \sum \int_{I} f_{n}$ , à condition que $\sum \int_{I} ∣ f_{n} ∣ < \infty$ .

💡 Exemple — Sommer une série par intégration. Pour

∣ x ∣ < 1

\frac{1}{1 - x} = \sum_{n \geq 0} x^{n}

, avec convergence normale sur tout

[- r, r]

(

r < 1

) car

∥ x^{n} ∥_{\infty} = r^{n}

\sum r^{n} < \infty

. Intégrons terme à terme de 0 à

x

- ln (1 - x) = \int_{0}^{x} \frac{d t}{1 - t} = n \geq 0 \sum \int_{0}^{x} t^{n} d t = n \geq 0 \sum \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} = k \geq 1 \sum \frac{x ^{k}}{k} .

On retrouve le développement de

ln (1 - x)

— l'intégration terme à terme en action.

3. Dérivation terme à terme

Définition 3.1 — Série des dérivées

La série des dérivées d'une série $\sum f_{n}$ (de termes $C^{1}$ ) est la série $\sum f_{n}^{'}$ . C'est SA convergence uniforme — et non celle de $\sum f_{n}$ — qui autorise la dérivation terme à terme. Autrement dit, on dérive « sous le signe somme » quand la série obtenue en dérivant chaque terme converge uniformément.

Théorème 3.2 — Dérivation terme à terme ★ À savoir démontrer

Si les $f_{n}$ sont de classe $C^{1}$ , si $\sum f_{n}$ converge SIMPLEMENT (en au moins un point), et si la série des DÉRIVÉES $\sum f_{n}^{'}$ converge uniformément (a fortiori normalement) sur tout segment, alors $S = \sum f_{n}$ est $C^{1}$ et se dérive terme à terme :

S^{'} (x) = (n \sum f_{n})^{'} (x) = n \sum f_{n}^{'} (x) .

Démonstration (via le théorème de dérivation des suites de fonctions)

Appliquons le théorème de dérivation des SUITES de fonctions à la suite des sommes partielles $(S_{N})$ . Chaque $S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} f_{n}$ est $C^{1}$ (somme finie), et sa dérivée est $S_{N}^{'} = \sum_{n = 0}^{N} f_{n}^{'}$ .

Hypothèses vérifiées : (1) $(S_{N})$ converge simplement (hypothèse sur $\sum f_{n}$ ) ; (2) $(S_{N}^{'})$ converge uniformément sur tout segment vers $\sum f_{n}^{'}$ (hypothèse sur la série des dérivées). Le théorème de dérivation des suites conclut : $S = lim S_{N}$ est $C^{1}$ et $S^{'} = lim S_{N}^{'} = \sum f_{n}^{'}$ .

Point crucial : c'est la convergence uniforme de la série des DÉRIVÉES $\sum f_{n}^{'}$ qui compte, PAS celle de $\sum f_{n}$ . La convergence simple de $\sum f_{n}$ en un point suffit à « caler » la constante d'intégration.

⚠ Piège — Dériver ∑f_n ne se réduit PAS à vérifier la convergence de ∑f_n. On peut avoir une série

\sum f_{n}

qui converge parfaitement (même normalement) sans que la série des dérivées

\sum f_{n}^{'}

converge — pensez à des termes oscillant de plus en plus vite. La dérivation terme à terme exige d'étudier une AUTRE série,

\sum f_{n}^{'}

, et sa convergence uniforme. Ne jamais dériver « parce que

\sum f_{n}

converge bien ».

📐 Méthode-type — Étudier une série de fonctions.

Convergence normale ? Majorer $∣ f_{n} (x) ∣ \leq a_{n}$ (indépendant de $x$ ) avec $\sum a_{n} < \infty$ . Si oui, tout est acquis (continuité, intégration terme à terme sur segment).
Si pas normale globalement : chercher la convergence normale (ou uniforme) sur des SOUS-INTERVALLES / tout segment / tout compact — souvent suffisant pour la continuité (propriété locale).
Continuité / intégration : appliquer les théorèmes (uniforme sur segment, normale sur intervalle) après avoir vérifié les hypothèses.
Dérivation : vérifier la convergence uniforme de la série des DÉRIVÉES $\sum f_{n}^{'}$ (le point délicat), plus la convergence simple de $\sum f_{n}$ en un point.

💡 Exemple — La fonction zêta. Pour

x > 1

ζ (x) = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ^{x}}

. La série converge normalement sur tout

[a, + \infty [

(

a > 1

) :

\frac{1}{n ^{x}} \leq \frac{1}{n ^{a}}

\sum \frac{1}{n ^{a}} < \infty

. Donc

ζ

est CONTINUE sur

] 1, + \infty [

. Pour la dériver :

\frac{d}{d x} \frac{1}{n ^{x}} = - \frac{l n n}{n ^{x}}

, et

\sum \frac{l n n}{n ^{x}}

converge normalement sur

[a, + \infty [

— donc

ζ

est

C^{1}

(et même

C^{\infty}

) avec

ζ^{'} (x) = - \sum \frac{l n n}{n ^{x}}

. Étude type des fonctions définies par une série.

🧑‍🏫 Les fonctions-séries maîtrisées

Régularité d'une fonction définie par une série : le grand classique d'écrit. Un mentor Majorant te fait étudier continuité, dérivabilité et limites aux bords de fonctions-séries (zêta, séries entières) avec la justification d'hypothèse que les correcteurs exigent — jusqu'à l'aisance complète.

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4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Les séries de fonctions cumulent les hypothèses des suites et les subtilités de la convergence normale. Relevé des rapports (X-ENS, Mines-Ponts, Centrale, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Majorer sans que la borne soit indépendante de x. La convergence normale exige

∣ f_{n} (x) ∣ \leq a_{n}

pour TOUT

x

, avec

\sum a_{n}

convergente. Une majoration ponctuelle (dépendant de

x

) ne prouve pas la normale. Prendre le sup sur

x

AVANT de sommer sur

n

⚠ Erreur 2 — Intégrer ou dériver terme à terme sans justification.

\int \sum = \sum \int

exige uniforme (sur segment) ou normale ;

(\sum f_{n})^{'} = \sum f_{n}^{'}

exige la convergence uniforme de

\sum f_{n}^{'}

. Écrire ces égalités sans énoncer le théorème et vérifier l'hypothèse est la faute n°1.

⚠ Erreur 3 — Croire que la convergence normale de ∑f_n donne la dérivation. La dérivation demande la convergence uniforme de la série des DÉRIVÉES

\sum f_{n}^{'}

, pas de

\sum f_{n}

. Ce sont deux séries différentes : vérifier l'uniformité au bon niveau.

⚠ Erreur 4 — Utiliser l'intégration sur segment pour un intervalle non borné. L'uniforme sur un segment suppose la longueur finie. Sur

[0, + \infty [

, passer à la convergence normale (

\sum \int ∣ f_{n} ∣ < \infty

) ou à la domination. Vérifier la nature de l'intervalle avant d'intégrer.

⚠ Erreur 5 — Conclure à la continuité globale à partir d'une convergence normale LOCALE. La continuité étant LOCALE, la convergence normale (ou uniforme) sur tout segment / tout compact suffit à la continuité sur l'ouvert — inutile d'exiger la normale globale. Mais pour l'intégration sur l'intervalle entier, il faut bien la normale globale (ou domination). Adapter l'hypothèse à la conclusion visée.

5. Pour aller plus loin

Les séries de fonctions débouchent sur les grands objets de l'analyse de spé :

Séries entières — cas particulier $f_{n} (x) = a_{n} x^{n}$ : convergence normale sur tout compact du disque ouvert, dérivation et intégration terme à terme automatiques, développement des fonctions usuelles.
Séries de Fourier — développement d'une fonction périodique en série trigonométrique ; convergence en moyenne quadratique (approche du programme).
Intégrales à paramètre — continuité et dérivation sous le signe somme/intégrale : mêmes théorèmes, version continue.
Fonctions spéciales — zêta, fonctions définies par des séries : leur régularité s'établit exactement par les théorèmes de cette fiche.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir convergence simple et uniforme d'une série (via les sommes partielles / le reste) ?
Sais-tu définir la convergence normale par ∑‖f_n‖∞ < ∞ ?
Sais-tu démontrer normale ⟹ uniforme (majoration du reste par le reste des normes) ?
Sais-tu pourquoi la borne de la normale doit être indépendante de x ?
Sais-tu démontrer la continuité de la somme (via les sommes partielles continues) ?
Sais-tu intégrer terme à terme sur un segment (uniforme) et sur un intervalle (normale) ?
Sais-tu retrouver ln(1−x) = −∑ xᵏ/k par intégration terme à terme ?
Sais-tu démontrer la dérivation terme à terme (via les suites, uniforme des dérivées) ?
Sais-tu que la dérivation exige l'uniformité de ∑f_n' (pas de ∑f_n) ?
Sais-tu dérouler la méthode (normale d'abord, puis sous-intervalles, puis dérivées) ?
Sais-tu étudier zêta (continuité et C¹ par convergence normale sur [a, +∞[) ?
Sais-tu adapter l'hypothèse (locale pour la continuité, globale pour l'intégration) ?

Démonstrations à savoir refaire

Normale ⟹ uniforme — majoration du reste par le reste de la série des normes
Continuité de la somme — sommes partielles continues + limite uniforme
Dérivation terme à terme — théorème de dérivation des suites appliqué à (S_N)

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Les trois modes de convergence

2. Continuité et intégration terme à terme

3. Dérivation terme à terme

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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