Convergence dominée

Vue d'ensemble

Peut-on échanger une limite et une intégrale : $lim_{n} \int f_{n} = \int lim_{n} f_{n}$ ? Peut-on intégrer une série terme à terme : $\int \sum_{n} u_{n} = \sum_{n} \int u_{n}$ ? Pas toujours — mais le programme de MP fournit LE théorème qui donne des conditions suffisantes simples : le théorème de convergence dominée (TCD). Son idée est lumineuse : si les fonctions $f_{n}$ convergent simplement vers $f$ et sont toutes majorées par une même fonction intégrable $φ$ (la dominante), alors on peut passer à la limite sous l'intégrale. Sa version pour les séries, le théorème d'intégration terme à terme, permet de calculer des sommes remarquables (comme $\sum 1/ n^{2} = π^{2} /6$ ). Ces deux résultats — admis mais dont les APPLICATIONS sont à maîtriser parfaitement — sont l'aboutissement de l'analyse de MP. Cette fiche regroupe les 4 théorèmes incontournables, les 2 applications à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Théorèmes de convergence pour l'intégration sur un intervalle quelconque : théorème de convergence dominée (hypothèses de convergence simple et de domination, admis) ; théorème d'intégration terme à terme pour une série de fonctions (admis) ; applications au calcul de limites d'intégrales et de sommes de séries. Les théorèmes sont admis ; leurs applications sont exigibles.

Prérequis

Intégrales généralisées : convergence, fonction intégrable ( $\int ∣ f ∣ < \infty$ )
Suites et séries de fonctions : convergence simple, convergence normale
Développements en série entière (pour les applications aux séries)

🎯 Accompagnement Majorant

Le TCD est LE théorème le plus rentable de l'analyse de spé. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font rédiger l'application « convergence simple + domination » au cordeau — les correcteurs traquent les hypothèses bâclées, et une rédaction propre fait gagner de gros points à l'écrit.

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1. Le théorème de convergence dominée

Définition 1.1 — Convergence simple d'une suite de fonctions

Une suite $(f_{n})$ de fonctions sur un intervalle $I$ converge simplement vers $f$ si, pour CHAQUE $x \in I$ fixé, la suite numérique $(f_{n} (x))$ tend vers $f (x)$ :

\forall x \in I, f_{n} (x) n \to \infty f (x) .

C'est une convergence « point par point », plus faible que la convergence uniforme ou normale. Le TCD n'exige QUE cette convergence simple (plus la domination).

Définition 1.2 — Fonction intégrable

$f$ , continue par morceaux sur $I$ , est intégrable sur $I$ si $\int_{I} ∣ f ∣ < + \infty$ . C'est la notion clé : le TCD produit une fonction limite intégrable et permet de calculer son intégrale comme limite.

Définition 1.3 — Hypothèse de domination

La suite $(f_{n})$ est dominée sur $I$ s'il existe une fonction $φ$ , indépendante de $n$ , continue par morceaux, POSITIVE et intégrable sur $I$ , telle que :

\forall n \in N, \forall x \in I, ∣ f_{n} (x) ∣ \leq φ (x) .

$φ$ est la dominante (ou « chapeau intégrable »). Le point crucial : elle est la MÊME pour tous les $n$ . C'est cette hypothèse qui « contrôle » les intégrales uniformément.

Théorème 1.1 — Théorème de convergence dominée (admis)

Soit $(f_{n})$ une suite de fonctions continues par morceaux sur $I$ , telle que :

(convergence simple) $f_{n} \to f$ simplement sur $I$ , avec $f$ continue par morceaux ;
(domination) il existe $φ \geq 0$ intégrable sur $I$ avec $∣ f_{n} ∣ \leq φ$ pour tout $n$ .

Alors $f$ est intégrable sur $I$ , chaque $f_{n}$ l'est, et :

n \to \infty lim \int_{I} f_{n} (x) d x = \int_{I} f (x) d x = \int_{I} n \to \infty lim f_{n} (x) d x .

On échange limite et intégrale. Ce théorème est admis en MP ; son emploi correct (vérification explicite des deux hypothèses) est en revanche exigible.

Théorème 1.2 — Application : limite d'une intégrale ★ À savoir démontrer

Un calcul emblématique, à savoir refaire de mémoire :

n \to \infty lim \int_{0}^{n} (1 - \frac{t}{n})^{n} d t = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} d t = 1.

Démonstration (TCD avec dominante e^(−t))

Posons $f_{n} (t) = (1 - \frac{t}{n})^{n}$ pour $t \in [0, n]$ , et $f_{n} (t) = 0$ pour $t > n$ (on travaille sur $I = [0, + \infty [$ ).

Convergence simple : pour $t \geq 0$ fixé, dès que $n > t$ , $f_{n} (t) = e^{n l n (1 - t / n)}$ . Or $n ln (1 - t / n) = n (- \frac{t}{n} + o (1/ n)) \to - t$ , donc $f_{n} (t) \to e^{- t}$ .

Domination : l'inégalité de convexité $ln (1 - u) \leq - u$ (pour $u < 1$ ) donne, pour $t \in [0, n]$ , $n ln (1 - t / n) \leq n \cdot (- t / n) = - t$ , donc $0 \leq f_{n} (t) \leq e^{- t}$ . La fonction $φ (t) = e^{- t}$ est positive, intégrable sur $[0, + \infty [$ et indépendante de $n$ . Les hypothèses du TCD sont réunies, d'où $\int_{0}^{+ \infty} f_{n} \to \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} d t = 1$ . CQFD.

2. Intégration terme à terme

Définition 2.1 — Série de fonctions, somme

Étant donné une suite $(u_{n})$ de fonctions sur $I$ , la série de fonctions $\sum u_{n}$ a pour somme $S (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n} (x)$ là où elle converge. On cherche à intervertir somme et intégrale : $\int_{I} S = \sum_{n} \int_{I} u_{n}$ .

Définition 2.2 — Hypothèse d'intégration terme à terme

La condition suffisante clé porte sur la série des intégrales des VALEURS ABSOLUES :

n = 0 \sum + \infty \int_{I} ∣ u_{n} (x) ∣ d x converge (est finie) .

C'est l'analogue « série » de la domination : on contrôle la somme des « masses » de chaque terme. Chaque $u_{n}$ doit être continue par morceaux et intégrable sur $I$ .

Théorème 2.1 — Intégration terme à terme (admis)

Soit $(u_{n})$ une suite de fonctions continues par morceaux et intégrables sur $I$ , telle que $\sum u_{n}$ converge simplement vers $S$ continue par morceaux, et $\sum_{n} \int_{I} ∣ u_{n} ∣ < + \infty$ . Alors $S$ est intégrable sur $I$ et :

\int_{I} (n = 0 \sum + \infty u_{n}) d x = n = 0 \sum + \infty \int_{I} u_{n} d x .

On intègre la somme terme à terme. Comme le TCD, ce théorème est admis ; la vérification de $\sum \int ∣ u_{n} ∣ < \infty$ est le point à ne jamais escamoter.

Théorème 2.2 — Application : une somme remarquable ★ À savoir démontrer

L'intégration terme à terme donne une valeur célèbre :

\int_{0}^{1} \frac{- ln ( 1 - t )}{t} d t = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6} .

Démonstration (développement en série et intégration terme à terme)

Pour $t \in [0, 1 [$ , on a $- ln (1 - t) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{t ^{n}}{n}$ (série entière du logarithme), donc $\frac{- ln ( 1 - t )}{t} = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{t ^{n - 1}}{n}$ , somme de fonctions $u_{n} (t) = \frac{t ^{n - 1}}{n} \geq 0$ sur $[0, 1 [$ .

Hypothèse : $\int_{0}^{1} ∣ u_{n} (t) ∣ d t = \int_{0}^{1} \frac{t ^{n - 1}}{n} d t = \frac{1}{n} [\frac{t ^{n}}{n}]_{0}^{1} = \frac{1}{n ^{2}}$ , et $\sum_{n} \frac{1}{n ^{2}} < + \infty$ (série de Riemann, $α = 2 > 1$ ). L'hypothèse d'intégration terme à terme est vérifiée.

Conclusion : $\int_{0}^{1} \frac{- ln ( 1 - t )}{t} d t = n = 1 \sum + \infty \int_{0}^{1} \frac{t ^{n - 1}}{n} d t = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}$ (valeur de $ζ (2)$ , admise ici). CQFD.

📐 Méthode-type — Appliquer le TCD ou l'intégration terme à terme.

Identifier la structure : limite d'une suite d'intégrales → TCD ; intégrale d'une série (ou somme via intégrale) → intégration terme à terme.
Convergence simple : calculer la limite simple $f (x) = lim f_{n} (x)$ (ou la somme $S$ ) pour chaque $x$ fixé.
Domination / hypothèse de série : EXHIBER une dominante $φ$ intégrable indépendante de $n$ (TCD), ou vérifier $\sum \int ∣ u_{n} ∣ < \infty$ (séries). C'est l'étape que les correcteurs scrutent.
Conclure : annoncer le théorème, échanger limite/somme et intégrale, puis calculer.

💡 Exemple — Une limite immédiate par domination. Calculons

lim_{n \to \infty} \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- x}}{1 + n x ^{2}} d x

. Posons

f_{n} (x) = \frac{e ^{- x}}{1 + n x ^{2}}

, qu'on intègre sur

I =] 0, + \infty [

. Convergence simple : pour

x > 0

fixé,

f_{n} (x) \to 0

(le dénominateur

1 + n x^{2} \to + \infty

) ; la limite simple sur

I

est la fonction nulle (la valeur en

x = 0

, point isolé, n'intervient pas dans l'intégrale). Domination :

0 \leq f_{n} (x) \leq e^{- x}

(car

1 + n x^{2} \geq 1

), avec

e^{- x}

intégrable et indépendante de

n

. Par TCD, la limite vaut

\int_{0}^{+ \infty} 0 d x = 0

🧑‍🏫 La rédaction du TCD au point

Le TCD rapporte gros — à condition de rédiger les hypothèses proprement. Un mentor Majorant te fait exhiber LA bonne dominante et écrire l'application au format attendu (les correcteurs sanctionnent la domination « oubliée ») — jusqu'à en faire un automatisme.

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3. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Le TCD est le théorème le plus utilisé — et le plus mal rédigé. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Une dominante qui dépend de n. La dominante

φ

doit être INDÉPENDANTE de

n

. Écrire

∣ f_{n} ∣ \leq φ_{n}

avec un

φ_{n}

qui varie ne prouve RIEN : c'est l'erreur n°1. La difficulté du TCD est justement de trouver UNE fonction intégrable qui majore TOUS les

f_{n}

simultanément.

⚠ Erreur 2 — Oublier de vérifier l'intégrabilité de la dominante.

φ

doit être INTÉGRABLE sur

I

. Majorer par une fonction non intégrable (ex. une constante sur un intervalle infini, ou

1/ x

au voisinage de

0

) rend le TCD inapplicable. Toujours conclure «

φ

est intégrable sur

I

» explicitement.

⚠ Erreur 3 — Confondre convergence simple et convergence uniforme. Le TCD n'exige QUE la convergence simple — c'est sa force. Ne pas perdre de temps à établir une convergence uniforme (souvent fausse !) : la domination remplace avantageusement l'uniformité. Beaucoup de candidats se compliquent la vie inutilement.

⚠ Erreur 4 — Intégrer terme à terme sans vérifier Σ∫|uₙ| < ∞. L'interversion

\int \sum = \sum \int

n'est PAS automatique. La condition

\sum_{n} \int_{I} ∣ u_{n} ∣ < \infty

(avec valeurs absolues !) est indispensable. La convergence simple de la série ne suffit pas : il existe des séries où l'interversion est fausse.

⚠ Erreur 5 — Échanger limite et intégrale sans justification. Écrire

lim_{n} \int f_{n} = \int lim_{n} f_{n}

« parce que ça semble marcher » est une faute grave : sans domination, c'est faux en général (bosse glissante

f_{n} = n 1_{[0, 1/ n]}

, dont l'intégrale vaut

1

alors que la limite simple est

0

). TOUJOURS invoquer et vérifier le TCD.

4. Pour aller plus loin

Le TCD est la clef de voûte de l'analyse de spé et au-delà :

Intégrales à paramètre — continuité et dérivation sous le signe $\int$ se démontrent PAR le TCD (domination de $\partial_{x} f$ ).
Fonction Gamma — $Γ (x) = \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t$ : sa régularité et ses propriétés reposent sur ces théorèmes.
Transformées intégrales — Laplace, Fourier : leur théorie utilise massivement la convergence dominée.
Intégrale de Lebesgue — en L3, le TCD devient le théorème central d'une théorie de l'intégration plus puissante.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir la convergence simple d'une suite de fonctions ?
Sais-tu énoncer le théorème de convergence dominée (deux hypothèses) ?
Sais-tu que la dominante φ doit être intégrable ET indépendante de n ?
Sais-tu que le TCD n'exige que la convergence simple (pas l'uniforme) ?
Sais-tu démontrer lim ∫₀ⁿ (1−t/n)ⁿ dt = 1 (dominante e^(−t)) ?
Connais-tu l'inégalité ln(1−u) ≤ −u qui donne la domination ?
Sais-tu énoncer le théorème d'intégration terme à terme ?
Sais-tu que l'hypothèse est Σ ∫|uₙ| < ∞ (avec valeurs absolues) ?
Sais-tu démontrer ∫₀¹ −ln(1−t)/t dt = Σ 1/n² = π²/6 ?
Sais-tu exhiber une dominante et rédiger une application proprement ?
Connais-tu le contre-exemple de la bosse glissante (fₙ = n·1_[0,1/n]) ?
Sais-tu quand utiliser le TCD plutôt que l'intégration terme à terme ?

Démonstrations à savoir refaire

Limite d'intégrale par TCD — (1−t/n)ⁿ, dominante e^(−t), inégalité de convexité
Somme π²/6 par intégration terme à terme — série du logarithme, Σ 1/n²

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Le théorème de convergence dominée

2. Intégration terme à terme

3. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

4. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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