Fonctions vectorielles

Vue d'ensemble

Ce chapitre étend le calcul différentiel aux fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie : au lieu d'une fonction $f : I \to R$ , on dérive $f : I \to E$ (typiquement $E = R^{2}$ ou $R^{3}$ ). La bonne nouvelle : tout se ramène aux coordonnées — $f$ est dérivable si et seulement si chacune de ses composantes l'est, et on dérive « composante par composante ». Les règles de calcul (produit scalaire, produit vectoriel, déterminant) généralisent la formule de Leibniz. On applique ensuite ce langage aux arcs paramétrés : une courbe décrite par $t \mapsto M (t)$ , sa tangente (dirigée par le vecteur vitesse $f^{'} (t)$ ) et sa longueur ( $\int ∥ f^{'} (t) ∥ d t$ ). C'est le socle géométrique de la mécanique du point. Cette fiche regroupe les 4 théorèmes incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Dérivation d'une fonction d'une variable réelle à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie ; caractérisation par les fonctions coordonnées ; opérations (combinaison linéaire, application bilinéaire : produit scalaire, produit vectoriel, déterminant) ; fonctions de classe

C^{k}

. Arcs paramétrés : point régulier, tangente en un point régulier ; longueur d'un arc de classe

C^{1}

, abscisse curviligne.

Prérequis

Dérivation des fonctions numériques (Leibniz, composée) — 1re année
Espaces vectoriels normés de dimension finie, équivalence des normes
Produit scalaire, produit vectoriel, déterminant dans ℝ² et ℝ³

🎯 Accompagnement Majorant

Dériver un vecteur, c'est dériver ses coordonnées — mais les règles bilinéaires piègent. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font manipuler produit scalaire, produit vectoriel et longueur d'arc jusqu'à l'automatisme, avec les réflexes de la mécanique du point.

Trouver un mentor MP →

1. Dérivation des fonctions vectorielles

Définition 1.1 — Dérivée d'une fonction vectorielle

Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie, $I$ un intervalle et $f : I \to E$ . On dit que $f$ est dérivable en $t_{0} \in I$ si le taux d'accroissement admet une limite dans $E$ :

f^{'} (t_{0}) = h \to 0 lim \frac{f ( t _{0} + h ) - f ( t _{0} )}{h} \in E .

Ce vecteur $f^{'} (t_{0})$ est la dérivée (ou vecteur dérivé) de $f$ en $t_{0}$ . Si $f$ est dérivable en tout point de $I$ , $f^{'}$ est la fonction dérivée. La notion ne dépend pas de la norme choisie (elles sont toutes équivalentes en dimension finie).

Définition 1.2 — Fonction de classe C^k

$f : I \to E$ est de classe $C^{1}$ si elle est dérivable et si $f^{'}$ est continue. Par récurrence, $f$ est de classe $C^{k}$ ( $k \in N^{*}$ ) si $f$ est dérivable et $f^{'}$ est de classe $C^{k - 1}$ ; elle est de classe $C^{\infty}$ si elle est $C^{k}$ pour tout $k$ . On note $f^{(k)}$ la dérivée $k$ -ième.

Théorème 1.1 — Caractérisation par les fonctions coordonnées ★ À savoir démontrer

Soit $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ , et $f = \sum_{i = 1}^{n} f_{i} e_{i}$ la décomposition de $f$ (les $f_{i} : I \to R$ sont les fonctions coordonnées). Alors :

f d \overset{e}{ˊ} rivable en t_{0} ⟺ \forall i, f_{i} d \overset{e}{ˊ} rivable en t_{0}, et alors f^{'} (t_{0}) = i = 1 \sum n f_{i}^{'} (t_{0}) e_{i} .

Autrement dit : on dérive composante par composante. Idem pour la classe $C^{k}$ . Tout le calcul différentiel vectoriel se ramène au cas scalaire.

Démonstration (linéarité des projections)

Le taux d'accroissement se décompose dans la base : $\frac{f ( t _{0} + h ) - f ( t _{0} )}{h} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{f _{i} ( t _{0} + h ) - f _{i} ( t _{0} )}{h} e_{i}$ .

(⇐) Si chaque $f_{i}$ est dérivable en $t_{0}$ , chaque coordonnée du taux tend vers $f_{i}^{'} (t_{0})$ . Comme la convergence dans un espace de dimension finie équivaut à la convergence coordonnée par coordonnée (base fixée), le taux converge vers $\sum_{i} f_{i}^{'} (t_{0}) e_{i}$ , qui est donc $f^{'} (t_{0})$ .

(⇒) Réciproquement, si $f$ est dérivable, chaque application coordonnée $π_{i} : E \to R$ ( $i$ -ème composante) est linéaire donc continue en dimension finie ; par composition, $f_{i} = π_{i} \circ f$ est dérivable et $f_{i}^{'} (t_{0}) = π_{i} (f^{'} (t_{0}))$ . Les deux sens sont établis.

Théorème 1.2 — Règles de dérivation (opérations bilinéaires) ★ À savoir démontrer

Soient $f, g : I \to E$ dérivables et $λ, μ \in R$ . Alors :

Linéarité : $(λ f + μg)^{'} = λ f^{'} + μ g^{'}$ .
Produit scalaire : $(f \cdot g)^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}$ .
Produit vectoriel (dans $R^{3}$ ) : $(f \land g)^{'} = f^{'} \land g + f \land g^{'}$ (l'ordre compte, le produit vectoriel n'est pas commutatif).
Composée : si $φ : J \to I$ est dérivable, $(f \circ φ)^{'} (t) = φ^{'} (t) f^{'} (φ (t))$ .

Plus généralement, pour toute application bilinéaire $B$ , $\frac{d}{d t} B (f, g) = B (f^{'}, g) + B (f, g^{'})$ . Le déterminant $det (f, g)$ suit la même règle.

Démonstration (dérivée d'un produit scalaire)

Formons le taux d'accroissement de $t \mapsto f (t) \cdot g (t)$ en écrivant l'astuce du terme intercalé :

\frac{f ( t + h ) \cdot g ( t + h ) - f ( t ) \cdot g ( t )}{h} = \to f^{'} (t) \frac{f ( t + h ) - f ( t )}{h} \cdot g (t + h) + f (t) \cdot \to g^{'} (t) \frac{g ( t + h ) - g ( t )}{h} .

Quand $h \to 0$ : $g (t + h) \to g (t)$ (continuité de $g$ , qui est dérivable), et le produit scalaire est continu (bilinéaire en dimension finie). Chaque terme converge, d'où $(f \cdot g)^{'} (t) = f^{'} (t) \cdot g (t) + f (t) \cdot g^{'} (t)$ . Le même argument, avec le produit vectoriel ou le déterminant à la place du produit scalaire, donne les autres formules — l'important est la bilinéarité et sa continuité.

Remarque — Norme d'un vecteur unitaire dérivable. Si

∥ f (t) ∥ =

cste, alors

f \cdot f =

cste, donc en dérivant :

2 f \cdot f^{'} = 0

, c'est-à-dire

f^{'} (t) ⊥ f (t)

. Un vecteur de norme constante a une dérivée qui lui est orthogonale — résultat clé en mécanique (vecteur unitaire tournant, force centripète).

2. Arcs paramétrés et tangente

Définition 2.1 — Arc paramétré

Un arc paramétré de classe $C^{k}$ du plan (ou de l'espace) est une application $f : I \to E$ de classe $C^{k}$ , notée souvent $t \mapsto M (t)$ . Le support (ou trajectoire) est l'ensemble des points ${M (t), t \in I}$ . Le paramètre $t$ s'interprète physiquement comme le temps, et $f^{'} (t)$ comme le vecteur vitesse.

Définition 2.2 — Point régulier, point stationnaire, tangente

Un point de paramètre $t_{0}$ est dit :

régulier si $f^{'} (t_{0}) \neq = 0$ ;
stationnaire (ou singulier) si $f^{'} (t_{0}) = 0$ .

En un point régulier, l'arc admet une tangente : c'est la droite passant par $M (t_{0})$ et dirigée par le vecteur $f^{'} (t_{0})$ . Le support « ressemble » localement à cette droite.

Théorème 2.1 — Tangente en un point régulier

Si $t_{0}$ est un point régulier de l'arc $C^{1}$ $f$ , alors la tangente en $M (t_{0})$ est dirigée par le vecteur vitesse $f^{'} (t_{0})$ . Une équation paramétrique de la tangente est :

T (λ) = M (t_{0}) + λ f^{'} (t_{0}), λ \in R .

En un point stationnaire ( $f^{'} (t_{0}) = 0$ ), l'étude est plus fine : on cherche le premier vecteur dérivé non nul $f^{(p)} (t_{0})$ , qui dirige alors la tangente (hors programme strict, mais utile en pratique et fréquent en oral).

⚠ Piège — Ne pas confondre point stationnaire et point d'arrêt du support. Un point stationnaire (

f^{'} (t_{0}) = 0

) est une propriété du paramétrage, pas du support géométrique. Un même support peut être régulier avec un paramétrage et stationnaire avec un autre. Exemple :

t \mapsto (t^{3}, t^{3})

est stationnaire en

0

(vitesse nulle), pourtant le support est la droite

y = x

, parfaitement lisse.

💡 Exemple — Tangente à la cycloïde. Soit

M (t) = (t - sin t, 1 - cos t)

(cycloïde, trajectoire d'un point d'une roue qui roule). Alors

f^{'} (t) = (1 - cos t, sin t)

. Pour

t \in / 2 π Z

, le point est régulier et la tangente est dirigée par

(1 - cos t, sin t)

. Aux points

t = 2 k π

f^{'} (2 k π) = (0, 0)

— points stationnaires, ce sont les rebroussements de la cycloïde (là où la roue touche le sol). L'étude de la tangente y demande les dérivées supérieures.

3. Longueur d'un arc et abscisse curviligne

Définition 3.1 — Longueur d'un arc, abscisse curviligne

Soit $f : [a, b] \to E$ un arc de classe $C^{1}$ . Sa longueur est :

L = \int_{a}^{b} ∥ f^{'} (t) ∥ d t .

L'abscisse curviligne à partir de $t_{0}$ est la fonction $s (t) = \int_{t_{0}}^{t} ∥ f^{'} (u) ∥ d u$ : elle mesure la longueur parcourue le long de l'arc. On a $\frac{d s}{d t} = ∥ f^{'} (t) ∥$ (vitesse scalaire, ou « célérité »). Sur un arc régulier, $s$ est strictement croissante : c'est un bon paramétrage (dit normal si $∥ f^{'} ∥ = 1$ ).

Théorème 3.1 — Invariance de la longueur par changement de paramétrage ★ À savoir démontrer

La longueur d'un arc ne dépend PAS du paramétrage $C^{1}$ choisi (à condition qu'il décrive le même support une seule fois). Si $φ : [α, β] \to [a, b]$ est un $C^{1}$ -difféomorphisme croissant et $g = f \circ φ$ , alors :

\int_{α}^{β} ∥ g^{'} (u) ∥ d u = \int_{a}^{b} ∥ f^{'} (t) ∥ d t .

La longueur est une grandeur géométrique, intrinsèque au support — ce qui justifie qu'on parle de « la » longueur d'une courbe.

Démonstration (changement de variable)

Par la règle de dérivation d'une composée, $g^{'} (u) = φ^{'} (u) f^{'} (φ (u))$ . Comme $φ$ est croissante, $φ^{'} (u) \geq 0$ , donc $∥ g^{'} (u) ∥ = φ^{'} (u) ∥ f^{'} (φ (u)) ∥$ . Alors :

\int_{α}^{β} ∥ g^{'} (u) ∥ d u = \int_{α}^{β} ∥ f^{'} (φ (u)) ∥ φ^{'} (u) d u .

Le changement de variable $t = φ (u)$ (avec $d t = φ^{'} (u) d u$ , et les bornes $φ (α) = a$ , $φ (β) = b$ ) donne exactement $\int_{a}^{b} ∥ f^{'} (t) ∥ d t$ . La longueur est bien invariante. (Pour $φ$ décroissante, on obtient le même résultat en inversant les bornes et le signe.)

📐 Méthode-type — Calculer la longueur d'un arc.

Paramétrer : écrire $M (t) = (x (t), y (t))$ (ou avec $z (t)$ dans l'espace) sur l'intervalle voulu.
Vitesse : calculer $f^{'} (t) = (x^{'} (t), y^{'} (t))$ , puis la norme $∥ f^{'} (t) ∥ = x^{'} (t)^{2} + y^{'} (t)^{2}$ .
Simplifier sous la racine : c'est l'étape clé — souvent une identité trigonométrique ( $cos^{2} + sin^{2} = 1$ ) ou un carré parfait fait disparaître la racine.
Intégrer : $L = \int_{a}^{b} ∥ f^{'} (t) ∥ d t$ . Vérifier l'homogénéité et le signe (une longueur est positive).

💡 Exemple — Longueur d'une arche de cycloïde. Avec

f^{'} (t) = (1 - cos t, sin t)

, on a

∥ f^{'} (t) ∥^{2} = (1 - cos t)^{2} + sin^{2} t = 2 - 2 cos t = 4 sin^{2} (t /2)

. Donc

∥ f^{'} (t) ∥ = 2 ∣ sin (t /2) ∣ = 2 sin (t /2)

sur

[0, 2 π]

. La longueur d'une arche est

L = \int_{0}^{2 π} 2 sin (t /2) d t = [- 4 cos (t /2)]_{0}^{2 π} = - 4 (- 1) + 4 = 8

. Une arche de cycloïde mesure exactement

8

fois le rayon de la roue — résultat célèbre.

🧑‍🏫 Le calcul de longueur au point

La longueur d'arc, c'est 90 % de simplification sous la racine. Un mentor Majorant te fait travailler les identités qui font tomber la racine (cardioïde, astroïde, chaînette) — le réflexe qui débloque tous les calculs de longueur au concours.

Réserver une séance ciblée →

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Le calcul différentiel vectoriel est mécanique mais piège sur les règles bilinéaires et la géométrie. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Commuter le produit vectoriel dans sa dérivée.

(f \land g)^{'} = f^{'} \land g + f \land g^{'}

: l'ORDRE des facteurs est impératif, car

f \land g = - g \land f

. Écrire

g^{'} \land f

au lieu de

f^{'} \land g

inverse un signe. La formule du produit scalaire, elle, est symétrique (pas de piège d'ordre).

⚠ Erreur 2 — Oublier ||f'|| et intégrer une seule coordonnée. La longueur est

\int ∥ f^{'} (t) ∥ d t = \int x^{'2} + y^{'2} d t

, PAS

\int x^{'} (t) d t

(qui ne donnerait que la variation de l'abscisse). La racine de la somme des carrés est essentielle : c'est le théorème de Pythagore infinitésimal.

⚠ Erreur 3 — Retirer la valeur absolue à mauvais escient.

∥ f^{'} (t) ∥ = \dots

est TOUJOURS

\geq 0

. En simplifiant, par exemple

4 sin^{2} (t /2) = 2∣ sin (t /2) ∣

: ne pas oublier la valeur absolue, puis la lever correctement selon le signe de

sin (t /2)

sur l'intervalle. Une racine mal levée donne une longueur négative ou fausse.

⚠ Erreur 4 — Confondre point régulier du support et du paramétrage. La régularité (

f^{'} \neq = 0

) dépend du paramétrage. Un point stationnaire n'est pas forcément un point anguleux du support. Toujours préciser « point stationnaire du paramétrage » et étudier les dérivées supérieures pour conclure sur la géométrie.

⚠ Erreur 5 — Croire que dériver la norme = norme de la dérivée.

\frac{d}{d t} ∥ f (t) ∥ \neq = ∥ f^{'} (t) ∥

en général ! La bonne formule (là où

f \neq = 0

) est

\frac{d}{d t} ∥ f ∥ = \frac{f \cdot f ^{'}}{∥ f ∥}

(dériver

∥ f ∥^{2} = f \cdot f

). C'est la vitesse scalaire de variation de la distance à l'origine, différente de la célérité

∥ f^{'} ∥

5. Pour aller plus loin

Le calcul vectoriel et les arcs paramétrés irriguent toute la physique et la géométrie :

Mécanique du point — vitesse $v = f^{'}$ , accélération $a = f^{''}$ , moment cinétique : la cinématique EST du calcul vectoriel.
Repère de Frenet et courbure — le vecteur tangent unitaire, la normale, la courbure (approfondissement PC/PSI et géométrie différentielle).
Intégrales curvilignes — circulation d'un champ le long d'un arc, en analyse vectorielle et électromagnétisme.
Équations différentielles — les trajectoires solutions de systèmes différentiels sont des arcs paramétrés (portraits de phase).

🚀 Stage intensif Majorant

Le calcul vectoriel est le pont entre les maths et la mécanique. Nos stages intensifs vacances (1 semaine, 25h) consolident dérivation vectorielle, arcs et cinématique avec exos type concours — encadrés par des alumni X-ENS, Centrale et Mines.

Voir les stages MP →

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir la dérivée d'une fonction vectorielle (limite du taux) ?
Sais-tu que l'on dérive composante par composante dans une base ?
Sais-tu le démontrer (linéarité des projections, dimension finie) ?
Sais-tu les règles de dérivation : produit scalaire, produit vectoriel, déterminant ?
Sais-tu démontrer (f·g)' = f'·g + f·g' (terme intercalé) ?
Sais-tu que l'ordre compte dans (f ∧ g)' à cause de l'anticommutativité ?
Sais-tu que ||f|| constante ⟹ f' ⊥ f ?
Sais-tu distinguer point régulier (f' ≠ 0) et stationnaire (f' = 0) ?
Sais-tu qu'en un point régulier la tangente est dirigée par f'(t₀) ?
Sais-tu écrire la longueur L = ∫ ||f'(t)|| dt et l'abscisse curviligne ?
Sais-tu démontrer l'invariance de la longueur par changement de paramétrage ?
Sais-tu simplifier sous la racine (cycloïde : arche de longueur 8) ?

Démonstrations à savoir refaire

Dérivation composante par composante — linéarité des projections, dimension finie
Dérivée d'un produit scalaire — terme intercalé, continuité bilinéaire
Invariance de la longueur — changement de variable t = φ(u)

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Dérivation des fonctions vectorielles

2. Arcs paramétrés et tangente

3. Longueur d'un arc et abscisse curviligne

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

Fiches associées

Groupes

Anneaux, corps et arithmétique

Compléments d'algèbre linéaire

Éléments propres et polynôme caractéristique

Diagonalisation et trigonalisation

Polynômes annulateurs et Cayley-Hamilton

Tu veux aller plus loin sur ce chapitre ?