Endomorphismes euclidiens et théorème spectral

Vue d'ensemble

Quand la réduction rencontre le produit scalaire, elle produit le plus beau théorème du programme : tout endomorphisme symétrique se diagonalise en base orthonormée — le théorème spectral. Ce chapitre organise les deux familles d'endomorphismes compatibles avec la géométrie euclidienne : les symétriques (adjoint égal à eux-mêmes, diagonalisables sans condition) et les isométries (qui conservent la norme, matrices orthogonales, rotations). Aux concours, c'est un pourvoyeur inépuisable : matrices symétriques réelles, $A^{T} A$ , groupe orthogonal, rotations de l'espace. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Endomorphismes des espaces euclidiens : adjoint d'un endomorphisme, endomorphismes symétriques (autoadjoints), théorème spectral (diagonalisation en base orthonormée) ; isométries vectorielles, groupe orthogonal, matrices orthogonales, déterminant ±1 ; isométries du plan, rotations de l'espace de dimension 3 (axe et angle).

Prérequis

Espaces préhilbertiens : bases orthonormées, projection orthogonale, supplémentaire orthogonal
Réduction : diagonalisabilité, sous-espaces stables, polynôme caractéristique
Isométries vectorielles de sup (plan euclidien)

🎯 Accompagnement Majorant

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1. L'adjoint d'un endomorphisme

Définition 1.1 — Adjoint

Soit $E$ euclidien et $u \in L (E)$ . L'adjoint de $u$ est l'unique endomorphisme $u^{*}$ vérifiant :

\forall (x, y) \in E^{2}, ⟨ u (x), y ⟩ = ⟨ x, u^{*} (y)⟩ .

Dans toute base orthonormée, la matrice de $u^{*}$ est la transposée de celle de $u$ : $Mat (u^{*}) = Mat (u)^{T}$ . Propriétés : $(u^{*})^{*} = u$ , $(u \circ v)^{*} = v^{*} \circ u^{*}$ , $ker u^{*} = (Im u)^{⊥}$ .

Définition 1.2 — Endomorphisme symétrique (autoadjoint)

$u$ est symétrique si $u^{*} = u$ , c'est-à-dire :

\forall (x, y) \in E^{2}, ⟨ u (x), y ⟩ = ⟨ x, u (y)⟩ .

En base orthonormée : matrice symétrique ( $A^{T} = A$ ). Exemples fondamentaux : les projections orthogonales et les symétries orthogonales ; pour toute matrice $A$ , les matrices $A^{T} A$ et $A A^{T}$ .

Proposition 1.3 — Stabilité de l'orthogonal ★ À savoir démontrer

Si $u$ est symétrique et $F$ stable par $u$ , alors $F^{⊥}$ est stable par $u$ .

Démonstration (trois lignes, clé du théorème spectral)

Soit $x \in F^{⊥}$ ; montrons $u (x) \in F^{⊥}$ . Pour tout $y \in F$ :

⟨ u (x), y ⟩ = ⟨ x, u (y)⟩ = 0,

car $u (y) \in F$ (stabilité de $F$ ) et $x ⊥ F$ . Donc $u (x)$ est orthogonal à tout $F$ : $u (x) \in F^{⊥}$ . C'est ce mécanisme qui permettra la récurrence du théorème spectral : chaque fois qu'on isole une direction propre, son orthogonal reste un terrain de jeu stable.

2. Le théorème spectral

Théorème 2.1 — Théorème spectral ★ À savoir démontrer

Tout endomorphisme symétrique d'un espace euclidien est diagonalisable dans une base orthonormée : il existe une base orthonormée de vecteurs propres, et les sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux. Version matricielle : pour toute matrice symétrique réelle $A$ , il existe $P$ orthogonale ( $P^{- 1} = P^{T}$ ) et $D$ diagonale telles que :

A = P D P^{T} .

Démonstration (les deux jalons exigibles : spectre réel, orthogonalité des sous-espaces propres)

Jalon 1 — Les valeurs propres (complexes) d'une symétrique réelle sont réelles. Soit $A X = λ X$ avec $X \in C^{n} ∖ {0}$ . Calculons $\overline{X}^{T} A X$ de deux façons. D'une part $\overline{X}^{T} (A X) = λ \overline{X}^{T} X$ . D'autre part, comme $A$ est réelle symétrique, $\overline{X}^{T} A = (\overline{A X})^{T} = \overline{λ} \overline{X}^{T}$ , d'où $\overline{X}^{T} A X = \overline{λ} \overline{X}^{T} X$ . Or $\overline{X}^{T} X = \sum ∣ x_{i} ∣^{2} > 0$ : donc $λ = \overline{λ}$ , $λ \in R$ . Le polynôme caractéristique, scindé sur $C$ , est donc scindé sur $R$ : $u$ admet au moins une valeur propre réelle.

Jalon 2 — Deux sous-espaces propres distincts sont orthogonaux. Si $u (x) = λ x$ et $u (y) = μ y$ avec $λ \neq = μ$ :

λ ⟨ x, y ⟩ = ⟨ u (x), y ⟩ = ⟨ x, u (y)⟩ = μ ⟨ x, y ⟩,

d'où $(λ - μ) ⟨ x, y ⟩ = 0$ et $⟨ x, y ⟩ = 0$ .

Conclusion (schéma de récurrence). On prend un vecteur propre unitaire $e_{1}$ (jalon 1) ; l'hyperplan ${e_{1}}^{⊥}$ est stable (proposition 1.3, car $Vect (e_{1})$ est stable), et l'endomorphisme induit y est encore symétrique : on itère jusqu'à obtenir une base orthonormée de vecteurs propres. (La rédaction complète de la récurrence est guidée dans les sujets ; les deux jalons, eux, sont exigibles tels quels.)

💡 Le réflexe AᵀA. Pour toute

A \in M_{n, p} (R)

, la matrice

S = A^{T} A

est symétrique (

(A^{T} A)^{T} = A^{T} A

) donc diagonalisable en base orthonormée, et ses valeurs propres sont positives : si

S X = λ X

avec

X \neq = 0

, alors

λ ∥ X ∥^{2} = X^{T} S X = (A X)^{T} (A X) = ∥ A X ∥^{2} \geq 0

. Ce petit calcul (

X^{T} A^{T} A X = ∥ A X ∥^{2}

) ouvre un sujet sur trois — à connaître par cœur.

⚠ Piège — « Symétrique » exige une base ORTHONORMÉE. La matrice d'un endomorphisme symétrique dans une base quelconque n'a aucune raison d'être symétrique — et une matrice symétrique dans une base non orthonormée ne représente pas forcément un endomorphisme symétrique. Le théorème spectral s'applique aux matrices symétriques RÉELLES ; une symétrique complexe peut ne pas être diagonalisable. Trois nuances, trois pièges de jury.

3. Isométries vectorielles et groupe orthogonal

Définition 3.1 — Isométrie vectorielle

$u \in L (E)$ est une isométrie (ou automorphisme orthogonal) si elle conserve la norme : $\forall x, ∥ u (x) ∥ = ∥ x ∥$ . De façon équivalente (polarisation), elle conserve le produit scalaire : $⟨ u (x), u (y)⟩ = ⟨ x, y ⟩$ , ou encore $u^{*} \circ u = id$ . L'ensemble des isométries de $E$ est un groupe : le groupe orthogonal $O (E)$ .

Définition 3.2 — Matrice orthogonale

$A \in M_{n} (R)$ est orthogonale si $A^{T} A = I_{n}$ (soit $A^{- 1} = A^{T}$ ) — c'est-à-dire si ses colonnes forment une base orthonormée de $R^{n}$ . Groupe noté $O (n)$ ; $S O (n) = {A \in O (n), det A = 1}$ est le groupe spécial orthogonal (rotations).

Théorème 3.3 — Propriétés des isométries ★ À savoir démontrer

Le déterminant d'une isométrie vaut $\pm 1$ (directes : $+ 1$ , indirectes : $- 1$ ).
Les seules valeurs propres réelles possibles sont $\pm 1$ .
Une isométrie conserve l'orthogonalité, transforme toute base orthonormée en base orthonormée — et réciproquement, un endomorphisme qui envoie une base orthonormée sur une base orthonormée est une isométrie.

Démonstration (déterminant et valeurs propres)

Déterminant. De $A^{T} A = I_{n}$ : $det (A^{T}) det (A) = (det A)^{2} = 1$ , donc $det A = \pm 1$ . Attention, la réciproque est fausse : $det A = 1$ ne rend pas $A$ orthogonale (contre-exemple : $(20 0 1/2)$ ).

Valeurs propres réelles. Si $u (x) = λ x$ avec $x \neq = 0$ : $∥ u (x) ∥ = ∣ λ ∣ ∥ x ∥ = ∥ x ∥$ , donc $∣ λ ∣ = 1$ : $λ = \pm 1$ . (Sur $C$ , les valeurs propres sont de module 1 — $e^{\pm i θ}$ pour les rotations planes.)

Bases orthonormées. $u$ conserve le produit scalaire donc envoie toute famille orthonormée sur une famille orthonormée. Réciproquement, si $u$ envoie une base orthonormée $(e_{i})$ sur une base orthonormée, alors pour $x = \sum x_{i} e_{i}$ : $∥ u (x) ∥^{2} = ∥ \sum x_{i} u (e_{i}) ∥^{2} = \sum x_{i}^{2} = ∥ x ∥^{2}$ (Pythagore dans les deux bases).

⚠ Piège — Colonnes orthonormées, pas seulement orthogonales. « Matrice orthogonale » exige des colonnes orthogonales ET unitaires :

diag (2, 3)

a des colonnes orthogonales sans être orthogonale. Vérifier

A^{T} A = I_{n}

contrôle les deux d'un coup — et c'est le test à faire AVANT toute identification de rotation.

Définition 3.4 — Isométries directes et indirectes

Une isométrie est directe si son déterminant vaut $+ 1$ (elle conserve l'orientation — on parle de rotation), indirecte s'il vaut $- 1$ (elle la renverse — réflexions et leurs composées). Les isométries directes forment le sous-groupe $S O (E)$ (matriciellement $S O (n)$ ), noyau du morphisme déterminant $O (E) \to {\pm 1}$ .

📝 Symétrique vs orthogonale : le tableau mental. Symétrique (

A^{T} = A

) : diagonalisable en b.o.n., valeurs propres réelles quelconques. Orthogonale (

A^{T} A = I

) : PAS diagonalisable sur

R

en général (rotations !), valeurs propres de module 1. Une matrice à la fois symétrique et orthogonale vérifie

A^{2} = I

: c'est une symétrie orthogonale. Les deux familles ne se recouvrent que là.

4. Classification : le plan et l'espace

Proposition 4.1 — Isométries du plan (rappel structuré)

Dans le plan euclidien orienté : $S O (2)$ est formé des rotations $R_{θ} = (cos θ sin θ - sin θ cos θ)$ (déterminant 1, pas de valeur propre réelle sauf $θ \equiv 0, π$ ) ; les isométries indirectes (déterminant $- 1$ ) sont les réflexions (symétries orthogonales par rapport à une droite), diagonalisables de spectre ${1, - 1}$ .

Théorème 4.2 — Rotations de l'espace (dimension 3) ★ À savoir démontrer

Toute isométrie directe $u \in S O (E)$ ( $dim E = 3$ , $u \neq = id$ ) est une rotation : il existe un axe $D = Vect (a)$ (droite des vecteurs invariants) et un angle $θ$ tels que, dans une base orthonormée directe adaptée $(a /∥ a ∥, e_{2}, e_{3})$ :

Mat (u) = 100 0 cos θ sin θ 0 - sin θ cos θ, avec tr (u) = 1 + 2 cos θ .

Démonstration (l'axe existe : 1 est valeur propre)

1 est valeur propre. Le polynôme caractéristique de $u$ est réel de degré 3 : il possède une racine réelle, nécessairement $\pm 1$ (théorème 3.3). Montrons que $+ 1$ convient. Calculons :

det (u - id) = det (u - u u^{*}) = det (u) det (id - u^{*}) = det ((id - u)^{T}) = (- 1)^{3} det (u - id),

en utilisant $det u = 1$ et $det (M^{T}) = det M$ . Donc $2 det (u - id) = 0$ : $det (u - id) = 0$ , et $1$ est valeur propre — il existe un vecteur invariant $a \neq = 0$ .

Réduction sur l'orthogonal. La droite $D = Vect (a)$ est stable, donc le plan $D^{⊥}$ aussi (une isométrie conserve l'orthogonalité et $u (D) = D$ ). L'endomorphisme induit sur $D^{⊥}$ est une isométrie du plan, de déterminant $det (u) /1 = 1$ : c'est une rotation plane $R_{θ}$ . D'où la forme matricielle, et la trace (invariant de similitude) vaut $1 + 2 cos θ$ dans TOUTE base.

📐 Méthode-type — Identifier une rotation de l'espace donnée par sa matrice A.

Vérifier $A \in S O (3)$ : colonnes orthonormées ( $A^{T} A = I$ ) et $det A = 1$ .
Axe : résoudre $A X = X$ (noyau de $A - I$ ) — droite dirigée par un vecteur $a$ , à normaliser.
Angle (cosinus) : $tr (A) = 1 + 2 cos θ$ donne $cos θ$ .
Angle (signe) : orienter l'axe par $a$ , prendre $x ⊥ a$ et examiner le signe du produit mixte $det (x, u (x), a)$ — positif pour $sin θ > 0$ . (Alternative : la partie antisymétrique de $A$ porte $sin θ$ .)

💡 Exemple express.

A = 010001100

(permutation circulaire des vecteurs de base) : colonnes orthonormées ✓,

det A = 1

✓. Axe :

A X = X

donne

x = y = z

, soit

a = (1, 1, 1)

. Trace :

0 = 1 + 2 cos θ

, donc

cos θ = - \frac{1}{2}

θ = \pm \frac{2 π}{3}

— la rotation d'un tiers de tour autour de la grande diagonale du cube. Classique absolu des oraux.

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Axe, cosinus, signe de l'angle : la routine doit être infaillible. Un mentor Majorant te fait identifier une dizaine de rotations de sujets réels (permutations, matrices à coefficients ±1/2…) jusqu'à dérouler la méthode en cinq minutes, signe compris.

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5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Le vocabulaire euclidien est piégeux — florilège des rapports (X-ENS, Mines-Ponts, Centrale, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Utiliser Mat(u*) = Mat(u)ᵀ dans une base non orthonormée. La formule de transposition exige une base ORTHONORMÉE. Même exigence pour lire la symétrie d'un endomorphisme sur sa matrice. En base quelconque, tout est faux — et les sujets qui imposent une base bizarre testent précisément cela.

⚠ Erreur 2 — Appliquer le théorème spectral à une matrice non symétrique (ou complexe). Le théorème spectral concerne les symétriques RÉELLES. Ni les matrices réelles quelconques, ni les symétriques complexes (contre-exemple classique :

(1 i i - 1)

, non diagonalisable). Vérifier — et écrire — « symétrique réelle » avant d'invoquer le théorème.

⚠ Erreur 3 — Confondre P⁻¹ et Pᵀ hors du cadre orthogonal.

A = P D P^{T}

n'est licite que si

P

est ORTHOGONALE (colonnes orthonormées — il faut NORMALISER les vecteurs propres !). Avec des vecteurs propres non normalisés, c'est

A = P D P^{- 1}

P^{- 1} \neq = P^{T}

. Oubli de normalisation = erreur la plus fréquente du chapitre selon les rapports.

⚠ Erreur 4 — Croire qu'une isométrie est diagonalisable. Une rotation plane d'angle

θ \neq = 0, π

n'a AUCUNE valeur propre réelle, donc n'est pas diagonalisable sur

R

— et une rotation de l'espace ne l'est pas davantage (son plan orthogonal à l'axe tourne). Seules les symétries orthogonales cumulent « isométrie » et « diagonalisable ».

⚠ Erreur 5 — Donner un angle de rotation sans orienter l'axe. Le signe de

θ

n'a de sens qu'après avoir choisi une orientation de l'axe (changer

a

- a

change

θ

- θ

). La trace ne donne que

cos θ

: conclure «

θ = 2 π /3

» sans préciser l'orientation ni examiner le signe est incomplet — sanctionné aux oraux comme aux écrits.

6. Pour aller plus loin

Le bloc euclidien se referme ici — sur des ouvertures nombreuses :

Topologie des evn — $O (n)$ est compact (fermé borné de $M_{n} (R)$ ) : LE exemple de partie compacte des sujets ; la décomposition polaire $A = QS$ mêle isométries et symétriques positives.
Calcul différentiel et optimisation — extrema de formes quadratiques sur la sphère : les valeurs propres extrêmes d'une symétrique sont les extrema de $⟨ A x, x ⟩$ sous $∥ x ∥ = 1$ (quotient de Rayleigh).
Probabilités et statistiques — matrices de covariance : symétriques positives, diagonalisées en axes principaux (l'ACP des data-scientists est un théorème spectral appliqué).
Physique — tenseur d'inertie, axes principaux, modes propres de vibration : le théorème spectral est partout où la physique est quadratique.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir l'adjoint et sa matrice (transposée EN BASE ORTHONORMÉE) ?
Connais-tu les exemples d'endomorphismes symétriques (projections et symétries orthogonales, AᵀA) ?
Sais-tu démontrer que l'orthogonal d'un stable est stable pour un symétrique ?
Sais-tu démontrer que les valeurs propres d'une symétrique réelle sont réelles (calcul avec X̄ᵀ) ?
Sais-tu démontrer l'orthogonalité de deux sous-espaces propres distincts ?
Sais-tu énoncer le théorème spectral sous ses deux formes (endomorphisme, A = PDPᵀ) ?
Sais-tu montrer que AᵀA est symétrique à valeurs propres positives (‖AX‖²) ?
Sais-tu définir isométrie et matrice orthogonale (colonnes orthonormées), et démontrer det = ±1, vp réelles = ±1 ?
Sais-tu distinguer symétrique et orthogonale (diagonalisable vs pas, spectres) ?
Sais-tu démontrer que 1 est valeur propre de toute rotation de dimension 3 ?
Sais-tu dérouler la méthode axe / cos θ par la trace / signe par le produit mixte ?
Sais-tu traiter l'exemple de la permutation circulaire (axe (1,1,1), θ = ±2π/3) ?

Démonstrations à savoir refaire

Stabilité de l'orthogonal — ⟨u(x), y⟩ = ⟨x, u(y)⟩ = 0 en trois lignes
Théorème spectral (jalons) — spectre réel via X̄ᵀAX, orthogonalité des sous-espaces propres, récurrence
Propriétés des isométries — det = ±1, valeurs propres ±1, bases orthonormées
Rotations de l'espace — det(u − id) = 0 par manipulation de déterminants, réduction sur l'orthogonal

Vue d'ensemble

Prérequis

1. L'adjoint d'un endomorphisme

2. Le théorème spectral

3. Isométries vectorielles et groupe orthogonal

4. Classification : le plan et l'espace

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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