📘 Fiche de cours · 2e année⚗️ PC🧮 Mathématiques

Espérance, variance, concentration

Les deux nombres qui résument une variable aléatoire et les inégalités qui la contrôlent : espérance (linéarité, transfert, produit de variables indépendantes), variance et formule de König-Huygens V(X) = E(X²) − E(X)², covariance et variance d'une somme, inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, et loi faible des grands nombres (la moyenne empirique converge en probabilité vers l'espérance). Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fiche rédigée par les mentors Majorant — alumni Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

5 définitions4 théorèmes3 démos à savoirMis à jour le 2026-07-12

Vue d'ensemble

Une variable aléatoire, c'est un nuage de valeurs pondérées ; deux nombres suffisent souvent à le résumer : sa moyenne (l'espérance, où se situe le nuage) et sa dispersion (la variance, à quel point il s'étale). Mais le vrai trésor de ce chapitre, ce sont les inégalités de concentration : sans rien connaître de la loi, elles bornent la probabilité qu'une variable s'éloigne de sa moyenne. Elles culminent dans la loi faible des grands nombres, qui justifie enfin pourquoi « la moyenne empirique tend vers l'espérance » — le socle de toute la statistique. Cette fiche donne les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Au programme PC (officiel) — Espérance d'une variable aléatoire discrète, linéarité, théorème de transfert, espérance d'un produit de variables indépendantes. Variance, écart-type, formule de König-Huygens, covariance et variance d'une somme. Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev. Loi faible des grands nombres. (Les fonctions génératrices sont hors programme PC.)

Prérequis

Variables aléatoires discrètes : loi, indépendance, lois usuelles
Séries numériques : convergence absolue (condition d'existence de l'espérance)
Lois usuelles : espérance et variance de la binomiale, géométrique, Poisson

🎯 Accompagnement Majorant

Les inégalités de Markov et Tchebychev te semblent abstraites ? Elles tiennent en trois lignes de démonstration et rapportent gros aux concours. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font manipuler espérance, variance et concentration sur les sujets CCINP et Mines jusqu'à l'aisance.

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1. Espérance : la valeur moyenne

Définition 1.1 — Espérance

Soit $X$ une variable aléatoire discrète à valeurs dans ${x_{i}}$ . Si la série $\sum_{i} x_{i} P (X = x_{i})$ converge absolument, son espérance est $E (X) = i \sum x_{i} P (X = x_{i}) .$ C'est la moyenne des valeurs pondérées par leurs probabilités. La convergence absolue est requise pour que la somme ne dépende pas de l'ordre des termes.

Théorème 1.2 — Linéarité et transfert

Pour toutes variables $X, Y$ admettant une espérance et tous réels $a, b$ : $E (a X + bY) = a E (X) + b E (Y) (lin \overset{e}{ˊ} arit \overset{e}{ˊ}) .$ Théorème de transfert : pour une fonction $g$ , $E (g (X)) = \sum_{i} g (x_{i}) P (X = x_{i})$ (sous réserve de convergence absolue) — inutile de connaître la loi de $g (X)$ . Enfin, si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $E (X Y) = E (X) E (Y)$ .

⚠ Piège — La linéarité n'exige pas l'indépendance ; le produit, si.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

est toujours vrai. En revanche

E (X Y) = E (X) E (Y)

n'est garanti que si

X

Y

sont indépendantes. Confondre les deux est l'erreur classique du chapitre.

2. Variance, écart-type et covariance

Définition 2.1 — Variance et écart-type

La variance de $X$ (lorsque $X^{2}$ admet une espérance) mesure la dispersion autour de la moyenne : $V (X) = E ((X - E (X))^{2}) \geq 0, σ (X) = V (X) (\overset{e}{ˊ} cart-type) .$ Propriété d'échelle : $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ (une translation ne change pas la dispersion).

Théorème 2.2 — Formule de König-Huygens ★ À savoir démontrer

La variance se calcule presque toujours par $V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} .$

Démonstration (développement + linéarité)

Notons $m = E (X)$ , un réel. Par définition et linéarité de l'espérance :

V (X) = E ((X - m)^{2}) = E (X^{2} - 2 m X + m^{2}) = E (X^{2}) - 2 m E (X) + m^{2} .

Or $E (X) = m$ , donc $- 2 m E (X) + m^{2} = - 2 m^{2} + m^{2} = - m^{2}$ . D'où

V (X) = E (X^{2}) - m^{2} = E (X^{2}) - (E (X))^{2} .

On a utilisé que $m$ et $m^{2}$ sont des constantes ( $E (m) = m$ , $E (m^{2}) = m^{2}$ ) et la linéarité. Cette forme est la plus commode en calcul : on obtient $E (X)$ et $E (X^{2})$ , puis on soustrait. Au passage, $V (X) \geq 0$ donne $E (X^{2}) \geq E (X)^{2}$ (un cas de l'inégalité de Cauchy-Schwarz).

Définition 2.3 — Covariance et variance d'une somme

La covariance de $X$ et $Y$ est $Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$ . Elle intervient dans la variance d'une somme : $V (X + Y) = V (X) + V (Y) + 2 Cov (X, Y) .$ Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $Cov (X, Y) = 0$ et donc $V (X + Y) = V (X) + V (Y)$ : la variance est additive pour des variables indépendantes.

⚠ Piège — Covariance nulle n'implique pas indépendance. L'indépendance entraîne

Cov = 0

, mais la réciproque est fausse : deux variables peuvent être décorrélées sans être indépendantes. Ne jamais conclure à l'indépendance à partir d'une covariance nulle.

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3. Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev

Définition 3.1 — Inégalité de Markov

Pour une variable aléatoire positive $X \geq 0$ admettant une espérance, et pour tout $a > 0$ : $P (X \geq a) \leq \frac{E ( X )}{a} .$ Une variable positive ne peut pas être « souvent grande » si sa moyenne est petite.

Théorème 3.2 — Inégalité de Bienaymé-Tchebychev ★ À savoir démontrer

Si $X$ admet une variance, alors pour tout $ε > 0$ : $P (∣ X - E (X) ∣ \geq ε) \leq \frac{V ( X )}{ε ^{2}} .$ La probabilité de s'écarter de la moyenne de plus de $ε$ est bornée par la dispersion, quelle que soit la loi.

Démonstration (Markov appliquée à l'écart au carré)

Posons $Y = (X - E (X))^{2}$ . C'est une variable positive, d'espérance $E (Y) = E ((X - E (X))^{2}) = V (X)$ . Appliquons l'inégalité de Markov à $Y$ avec le seuil $a = ε^{2} > 0$ :

P (Y \geq ε^{2}) \leq \frac{E ( Y )}{ε ^{2}} = \frac{V ( X )}{ε ^{2}} .

Il reste à traduire l'événement. Comme le carré est croissant sur les positifs,

Y \geq ε^{2} ⟺ (X - E (X))^{2} \geq ε^{2} ⟺ ∣ X - E (X) ∣ \geq ε .

Les deux événements sont identiques, donc de même probabilité : $P (∣ X - E (X) ∣ \geq ε) \leq V (X) / ε^{2}$ . CQFD. Retenir le schéma : Bienaymé-Tchebychev = Markov sur l'écart quadratique.

💡 Exemple — Une borne universelle. Pour toute variable de variance finie, la probabilité de s'éloigner de la moyenne de plus de

2 σ

est au plus

V (X) / (2 σ)^{2} = 1/4

; de plus de

3 σ

, au plus

1/9

. Ces bornes sont grossières (une gaussienne fait bien mieux) mais valables sans hypothèse sur la loi — c'est toute leur force.

4. La loi faible des grands nombres

Définition 4.1 — Moyenne empirique

Pour $n$ variables $X_{1}, \dots, X_{n}$ , la moyenne empirique est $M_{n} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} X_{k}$ . C'est elle qui, en pratique, estime une espérance inconnue à partir d'observations.

Théorème 4.2 — Loi faible des grands nombres ★ À savoir démontrer

Soient $X_{1}, \dots, X_{n}$ des variables indépendantes, de même loi, d'espérance $m$ et de variance $σ^{2}$ . Alors, pour tout $ε > 0$ , $P (∣ M_{n} - m ∣ \geq ε) \leq \frac{σ ^{2}}{n ε ^{2}} n \to \infty 0.$ La moyenne empirique converge en probabilité vers l'espérance : c'est la justification rigoureuse de « la fréquence tend vers la probabilité ».

Démonstration (espérance et variance de M_n, puis Tchebychev)

Espérance de $M_{n}$ . Par linéarité,

E (M_{n}) = \frac{1}{n} k = 1 \sum n E (X_{k}) = \frac{1}{n} \cdot n m = m .

Variance de $M_{n}$ . Les $X_{k}$ sont indépendantes, donc la variance est additive, et $V (a X) = a^{2} V (X)$ :

V (M_{n}) = \frac{1}{n ^{2}} k = 1 \sum n V (X_{k}) = \frac{1}{n ^{2}} \cdot n σ^{2} = \frac{σ ^{2}}{n} .

Concentration. Appliquons Bienaymé-Tchebychev à $M_{n}$ (d'espérance $m$ , de variance $σ^{2} / n$ ) :

P (∣ M_{n} - m ∣ \geq ε) \leq \frac{V ( M _{n} )}{ε ^{2}} = \frac{σ ^{2}}{n ε ^{2}} .

Le majorant tend vers $0$ quand $n \to \infty$ (à $ε$ fixé) : la probabilité d'un écart supérieur à $ε$ devient arbitrairement petite. C'est la convergence en probabilité $M_{n} \to m$ . Idée-clé : la variance de la moyenne décroît en $1/ n$ , ce qui « concentre » $M_{n}$ autour de $m$ .

📐 Méthode-type — Majorer une probabilité de grand écart.

Identifier la variable et ses moments : calculer $E$ et $V$ (König-Huygens, additivité si somme de variables indépendantes).
Choisir l'inégalité : variable positive et seuil ⟹ Markov ; écart à la moyenne ⟹ Bienaymé-Tchebychev.
Appliquer proprement (bien poser $ε$ ou $a$ ), puis passer à la limite $n \to \infty$ pour une moyenne empirique.
Interpréter : convergence en probabilité, taille d'échantillon nécessaire pour une précision donnée ( $n ≳ σ^{2} / (ε^{2} δ)$ ).

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale) signalent régulièrement ces fautes.

⚠ Erreur 1 — Oublier la convergence absolue. L'espérance n'existe que si

\sum ∣ x_{i} ∣ P (X = x_{i})

converge. Écrire

E (X)

sans vérifier cette condition (ex. loi à queue lourde) est une faute : la variable peut ne pas admettre d'espérance.

⚠ Erreur 2 — Appliquer $E (X Y) = E (X) E (Y)$ sans indépendance. Cette factorisation exige l'indépendance. Sans elle, il faut passer par la covariance. Même remède pour

V (X + Y)

: garder le terme

2 Cov (X, Y)

, sauf si les variables sont indépendantes (il est alors nul).

⚠ Erreur 3 — Appliquer Markov à une variable non positive. L'inégalité de Markov suppose

X \geq 0

. Pour un écart

∣ X - E (X) ∣

, on passe au carré (variable positive) : c'est exactement la démonstration de Bienaymé-Tchebychev.

⚠ Erreur 4 — Déduire l'indépendance d'une covariance nulle.

Cov (X, Y) = 0

signifie « non corrélées », pas « indépendantes ». La réciproque de « indépendantes ⟹ décorrélées » est fausse.

⚠ Erreur 5 — Confondre convergence en probabilité et convergence sûre. La loi faible affirme

P (∣ M_{n} - m ∣ \geq ε) \to 0

, pas que

M_{n}

tend vers

m

pour chaque tirage. La convergence presque sûre (loi forte) est hors programme : ne pas la revendiquer.

6. Pour aller plus loin

Espérance, variance et concentration irriguent les probabilités et la physique :

Statistique et estimation — la moyenne empirique est un estimateur convergent ; intervalles de confiance, taille d'échantillon.
Théorème central limite (culture) — la loi faible dit « $M_{n} \to m$ » ; le TCL précise la vitesse ( $n$ ) et la loi limite gaussienne.
Physique statistique — fluctuations relatives en $1/ N$ , négligeables à l'échelle macroscopique : c'est la même décroissance de la variance.
Marches aléatoires et bruit — variance additive des incréments indépendants, étalement en $n$ .

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir l'espérance et la condition d'existence (convergence absolue) ?
Sais-tu utiliser la linéarité et le théorème de transfert E(g(X)) ?
Sais-tu que E(XY) = E(X)E(Y) exige l'indépendance, mais pas E(X+Y) = E(X)+E(Y) ?
Sais-tu définir variance et écart-type, et l'effet V(aX+b) = a²V(X) ?
Sais-tu démontrer la formule de König-Huygens V(X) = E(X²) − E(X)² ?
Sais-tu que V(X+Y) = V(X)+V(Y) pour des variables indépendantes ?
Sais-tu que covariance nulle n'implique pas indépendance ?
Sais-tu énoncer l'inégalité de Markov (variable positive) ?
Sais-tu démontrer Bienaymé-Tchebychev à partir de Markov (écart au carré) ?
Sais-tu que ces bornes sont universelles (2σ → 1/4, 3σ → 1/9) ?
Sais-tu démontrer la loi faible des grands nombres (E et V de M_n, puis Tchebychev) ?
Sais-tu que la variance de la moyenne décroît en 1/n, d'où la concentration ?

Démonstrations à savoir refaire

Formule de König-Huygens — développement de E((X−m)²) et linéarité
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev — Markov appliquée à (X−E(X))²
Loi faible des grands nombres — E(M_n)=m, V(M_n)=σ²/n, puis Tchebychev

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