Calculs algébriques

Vue d'ensemble

Le chapitre des calculs algébriques est la boîte à outils transverse de toute la MPSI : sommes $Σ$ , produits $Π$ , coefficients binomiaux, formule du binôme de Newton, factorisations classiques et inégalités fondamentales (Cauchy-Schwarz, AM-GM). Tu vas le réinvestir partout — analyse, algèbre linéaire, probabilités, séries. Cette fiche regroupe les 4 sommes classiques à connaître par cœur, les 9 théorèmes incontournables et les 4 démonstrations à savoir refaire qui tombent en khôlle et en DS.

Au programme MPSI (officiel) — Symboles

Σ

Π

, changements d'indice (translation et symétrie), télescopage, sommes doubles et interversion, sommes classiques (

\sum k

\sum k^{2}

\sum k^{3}

\sum q^{k}

), coefficients binomiaux, formule de Pascal, triangle de Pascal, formule du binôme de Newton, factorisations

a^{n} - b^{n}

a^{n} + b^{n}

(n impair), suites arithmétiques et géométriques, inégalités de Cauchy-Schwarz et arithmético-géométrique.

Prérequis

Récurrence simple sur ℕ (énoncé, initialisation, hérédité, conclusion)
Manipulation de la factorielle $n!$ et des puissances entières
Identités remarquables $(a + b)^{2}$ , $(a - b)^{2}$ , $a^{2} - b^{2}$

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Tu confonds encore $\sum_{k = 1}^{n}$ et $\sum_{k = 0}^{n}$ sur tes copies ? Les calculs algébriques sont le chapitre où l'on perd le plus de points par étourderie en MPSI. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font drillent les changements d'indice et le télescopage en cours particuliers, sur exos type concours.

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1. Sommes Σ et produits Π — notations et règles de manipulation

Définition 1.1 — Symbole somme Σ

Pour des réels $a_{p}, a_{p + 1}, \dots, a_{n}$ avec $p \leq n$ , on note :

k = p \sum n a_{k} = a_{p} + a_{p + 1} + \dots + a_{n} .

L'indice $k$ est muet : on peut le renommer librement ( $\sum_{k = p}^{n} a_{k} = \sum_{i = p}^{n} a_{i} = \sum_{j = p}^{n} a_{j}$ ). Par convention, si $p > n$ , la somme est vide et vaut $0$ .

Définition 1.2 — Symbole produit Π

De même :

k = p \prod n a_{k} = a_{p} \cdot a_{p + 1} \dots a_{n} .

Convention pour un produit vide ( $p > n$ ) : $\prod_{k = p}^{n} a_{k} = 1$ (élément neutre de la multiplication).

Définition 1.3 — Factorielle

Pour $n \in N$ , la factorielle de $n$ est définie par :

n! = k = 1 \prod n k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n,

avec la convention $0! = 1$ (produit vide). Elle satisfait la relation de récurrence fondamentale $(n + 1)! = (n + 1) \cdot n!$ pour tout $n \geq 0$ . Premières valeurs : $1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720$ .

Proposition 1.4 — Règles de calcul sur les sommes

Soient $(a_{k}), (b_{k})$ deux familles et $λ, μ \in R$ . On a :

Linéarité : $k = p \sum n (λ a_{k} + μ b_{k}) = λ k = p \sum n a_{k} + μ k = p \sum n b_{k}$ .
Relation de Chasles : pour $p \leq m \leq n$ , $k = p \sum n a_{k} = k = p \sum m a_{k} + k = m + 1 \sum n a_{k}$ .
Somme d'une constante : $k = p \sum n c = (n - p + 1) c$ (il y a $n - p + 1$ termes).

⚠ Piège #1 — le nombre de termes. Dans

\sum_{k = p}^{n}

, il y a $n - p + 1$ termes, pas

n - p

. Cas classique qui coûte des points :

\sum_{k = 1}^{n} 1 = n

(et non

n - 1

\sum_{k = 0}^{n} 1 = n + 1

. Compte toujours les termes avant de te lancer dans le calcul.

1.1 — Changements d'indice

📐 Méthode-type — Changement d'indice. Deux opérations à maîtriser absolument :

Translation : on pose $j = k + r$ (avec $r$ constant). Quand $k$ varie de $p$ à $n$ , $j$ varie de $p + r$ à $n + r$ . Exemple : $\sum_{k = 0}^{n} a_{k + 1} = \sum_{j = 1}^{n + 1} a_{j}$ .
Symétrie (« retournement ») : on pose $j = n - k$ (ou $j = n + p - k$ ). Les bornes s'inversent. Exemple : $\sum_{k = 0}^{n} a_{k} = \sum_{j = 0}^{n} a_{n - j}$ . C'est la clé pour démontrer $\sum_{k = 1}^{n} k = n (n + 1) /2$ par symétrie inverse.

Vérifie toujours après le changement : (1) les nouvelles bornes, (2) la nouvelle expression du terme général, (3) le nombre de termes (qui doit être identique).

1.2 — Télescopage

Définition 1.5 — Somme télescopique

Une somme $\sum_{k = p}^{n} c_{k}$ est dite télescopique s'il existe une famille $(a_{k})$ telle que pour tout $k$ , $c_{k} = a_{k + 1} - a_{k}$ . On peut alors calculer la somme de manière exacte (cf. Proposition 1.6). Le réflexe consiste à repérer ou à fabriquer par décomposition (éléments simples, identité algébrique) une écriture de $c_{k}$ sous la forme $a_{k + 1} - a_{k}$ .

Proposition 1.6 — Calcul d'une somme télescopique

Pour toute famille $(a_{k})$ :

k = p \sum n (a_{k + 1} - a_{k}) = a_{n + 1} - a_{p} .

C'est la technique de calcul exact : tout terme intermédiaire $a_{k}$ apparaît une fois avec le signe $+$ et une fois avec le signe $-$ , et ne reste que le premier et le dernier.

💡 Exemple canonique — Somme harmonique partielle décomposée. Pour calculer

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k ( k + 1 )}

, on décompose

\frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}

(éléments simples) :

S_{n} = k = 1 \sum n (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1} .

Réflexe : dès que tu vois une fraction du type

\frac{1}{k ( k + a )}

, pense décomposition

+

télescopage.

2. Sommes classiques (à connaître par cœur)

Théorème 2.1 — Somme des entiers, des carrés, des cubes ★ À savoir démontrer

Pour tout $n \in N^{*}$ :

k = 1 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2}, k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}, k = 1 \sum n k^{3} = (\frac{n ( n + 1 )}{2})^{2} .

Démonstration de

\sum k = n (n + 1) /2

— méthode de Gauss (symétrie inverse)

Notons $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k = 1 + 2 + \dots + n$ . Posons le changement d'indice $j = n + 1 - k$ : quand $k$ varie de $1$ à $n$ , $j$ varie de $n$ à $1$ . D'où :

S_{n} = k = 1 \sum n k = j = 1 \sum n (n + 1 - j) = (n + 1) n - j = 1 \sum n j = n (n + 1) - S_{n} .

On obtient $2 S_{n} = n (n + 1)$ , soit $S_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ . On peut aussi démontrer l'identité par récurrence sur $n$ ; la preuve par symétrie est plus élégante et illustre le réflexe « changement d'indice » du chapitre.

Les formules pour $\sum k^{2}$ et $\sum k^{3}$ se prouvent par récurrence sur $n$ (initialisation triviale ; hérédité par calcul direct), ou en télescopant les identités $(k + 1)^{3} - k^{3} = 3 k^{2} + 3 k + 1$ et $(k + 1)^{4} - k^{4} = 4 k^{3} + 6 k^{2} + 4 k + 1$ .

Théorème 2.2 — Somme géométrique ★ À savoir démontrer

Pour tout $q \in R$ avec $q \neq = 1$ et tout $n \in N$ :

k = 0 \sum n q^{k} = 1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} .

Si $q = 1$ , la somme vaut simplement $n + 1$ .

Démonstration par télescopage

Notons $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} q^{k}$ . L'idée est de faire apparaître une somme télescopique :

(1 - q) S_{n} = k = 0 \sum n q^{k} - k = 0 \sum n q^{k + 1} = k = 0 \sum n q^{k} - j = 1 \sum n + 1 q^{j} = q^{0} - q^{n + 1} = 1 - q^{n + 1},

en effectuant le changement d'indice $j = k + 1$ dans la seconde somme et en utilisant la relation de Chasles (les termes de $k = 1$ à $n$ se compensent). Comme $q \neq = 1$ , on divise par $1 - q$ et on obtient $S_{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ .

📝 Variantes utiles. En reprenant la formule géométrique avec d'autres bornes :

\sum_{k = p}^{n} q^{k} = q^{p} \cdot \frac{1 - q ^{n - p + 1}}{1 - q}

. Pour une série géométrique convergente (

∣ q ∣ < 1

) :

\sum_{k = 0}^{+ \infty} q^{k} = \frac{1}{1 - q}

(cf. chapitre Séries numériques).

2.1 — Sommes doubles et interversion

Proposition 2.3 — Interversion des sommes (cas rectangulaire)

Pour toute famille $(a_{i, j})$ avec $(i, j) \in {1, \dots, n} \times {1, \dots, m}$ :

i = 1 \sum n j = 1 \sum m a_{i, j} = j = 1 \sum m i = 1 \sum n a_{i, j} .

L'ordre de sommation est libre quand les bornes sont indépendantes. Cas dégénéré utile : si $a_{i, j} = b_{i} \cdot c_{j}$ (variables séparées), alors la somme double se factorise en $(\sum_{i} b_{i}) (\sum_{j} c_{j})$ .

Proposition 2.4 — Interversion (cas triangulaire)

Quand les bornes dépendent l'une de l'autre :

i = 1 \sum n j = 1 \sum i a_{i, j} = j = 1 \sum n i = j \sum n a_{i, j} .

Le domaine de sommation est le triangle ${(i, j) : 1 \leq j \leq i \leq n}$ . On peut le parcourir par lignes (en fixant $i$ ) ou par colonnes (en fixant $j$ ). Le réflexe : dessiner le triangle pour vérifier que les bornes correspondent au même ensemble.

⚠ Piège classique — bornes en interversion triangulaire. Beaucoup d'élèves écrivent

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{i} = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{j}

: c'est faux. La bonne formule est

\sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = j}^{n}

— l'indice extérieur passe en intérieur et les bornes changent. Vérifie systématiquement avec un petit dessin sur le carré

n \times n

3. Coefficients binomiaux et formule du binôme

Définition 3.1 — Coefficient binomial

Pour $n, k \in N$ avec $0 \leq k \leq n$ , le coefficient binomial $(k n)$ (lu « $k$ parmi $n$ ») est défini par :

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} .

Par convention, $(k n) = 0$ si $k < 0$ ou $k > n$ . Interprétation combinatoire : $(k n)$ est le nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments.

Proposition 3.2 — Propriétés élémentaires

Symétrie : $(k n) = (n - k n)$ .
Cas particuliers : $(0 n) = (n n) = 1$ , $(1 n) = (n - 1 n) = n$ .
Formule du capitaine : $k (k n) = n (k - 1 n - 1)$ pour $k \geq 1$ .

Théorème 3.3 — Formule de Pascal ★ À savoir démontrer

Pour tous $n, k \in N$ avec $1 \leq k \leq n$ :

(k - 1 n) + (k n) = (k n + 1) .

Démonstration par calcul direct des factorielles

On part du membre de gauche en mettant au même dénominateur :

(k - 1 n) + (k n) = \frac{n !}{( k - 1 )! ( n - k + 1 )!} + \frac{n !}{k ! ( n - k )!} .

Pour réunir, on multiplie le premier terme par $k / k$ et le second par $(n - k + 1) / (n - k + 1)$ afin d'obtenir le dénominateur commun $k! (n - k + 1)!$ :

(k - 1 n) + (k n) = \frac{k \cdot n ! + ( n - k + 1 ) \cdot n !}{k ! ( n - k + 1 )!} = \frac{( k + n - k + 1 ) n !}{k ! ( n - k + 1 )!} = \frac{( n + 1 )!}{k ! ( n + 1 - k )!} = (k n + 1) .

Preuve combinatoire alternative : pour choisir $k$ éléments parmi $n + 1$ , soit on inclut le $(n + 1)$ -ième élément (et il reste $k - 1$ parmi $n$ à choisir, d'où $(k - 1 n)$ ), soit on l'exclut (et il faut choisir $k$ parmi $n$ , d'où $(k n)$ ). La somme $(k - 1 n) + (k n)$ compte donc bien le total $(k n + 1)$ .

📝 Triangle de Pascal. La formule de Pascal permet de calculer les coefficients binomiaux de proche en proche en disposant les

(k n)

en triangle : chaque coefficient est la somme des deux situés au-dessus de lui. Les premières lignes sont

1

;

11

;

121

;

1331

;

14641

;

15101051

Théorème 3.4 — Formule du binôme de Newton ★ À savoir démontrer

Pour tous $a, b \in R$ (ou plus généralement dans un anneau commutatif) et tout $n \in N$ :

(a + b)^{n} = k = 0 \sum n (k n) a^{k} b^{n - k} .

Démonstration par récurrence sur n

Notons $P (n)$ la propriété « $(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) a^{k} b^{n - k}$ ».

Initialisation ( $n = 0$ ) : $(a + b)^{0} = 1$ , et $\sum_{k = 0}^{0} (k 0) a^{k} b^{- k}$ se réduit à $(0 0) a^{0} b^{0} = 1$ . OK.

Hérédité : supposons $P (n)$ vraie pour un certain $n \geq 0$ . Alors :

(a + b)^{n + 1} = (a + b) (a + b)^{n} = (a + b) k = 0 \sum n (k n) a^{k} b^{n - k} .

On développe :

(a + b)^{n + 1} = k = 0 \sum n (k n) a^{k + 1} b^{n - k} + k = 0 \sum n (k n) a^{k} b^{n - k + 1} .

Dans la première somme, on pose le changement d'indice $j = k + 1$ (donc $k = j - 1$ , $j$ varie de $1$ à $n + 1$ ) ; dans la seconde, on garde $j = k$ (qui varie de $0$ à $n$ ) :

(a + b)^{n + 1} = j = 1 \sum n + 1 (j - 1 n) a^{j} b^{n + 1 - j} + j = 0 \sum n (j n) a^{j} b^{n + 1 - j} .

On isole les termes extrêmes ( $j = 0$ et $j = n + 1$ ) et on regroupe les termes pour $1 \leq j \leq n$ :

(a + b)^{n + 1} = a^{n + 1} + j = 1 \sum n [(j - 1 n) + (j n)] a^{j} b^{n + 1 - j} + b^{n + 1} .

Par la formule de Pascal (Théorème 3.3), $(j - 1 n) + (j n) = (j n + 1)$ . En remarquant que $a^{n + 1} = (n + 1 n + 1) a^{n + 1} b^{0}$ et $b^{n + 1} = (0 n + 1) a^{0} b^{n + 1}$ , on intègre ces termes dans la somme et on obtient :

(a + b)^{n + 1} = j = 0 \sum n + 1 (j n + 1) a^{j} b^{n + 1 - j},

ce qui est exactement $P (n + 1)$ . La récurrence est terminée.

🧑‍🏫 Verrouille le binôme avec un mentor

La récurrence du binôme tombe à chaque rentrée en khôlle de MPSI. Si tu bloques sur le changement d'indice ou le recollage par Pascal, une séance ciblée avec un mentor Majorant alumni de l'X suffit pour la dérouler les yeux fermés — et l'enchaîner avec ses applications (identités combinatoires, sommes alternées).

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3.1 — Identités combinatoires essentielles

Proposition 3.5 — Sommes de coefficients binomiaux

Conséquences directes du binôme appliqué à $(1 + 1)^{n}$ et $(1 - 1)^{n}$ :

$k = 0 \sum n (k n) = 2^{n}$ (nombre total de parties d'un ensemble à $n$ éléments).
$k = 0 \sum n (- 1)^{k} (k n) = 0$ pour $n \geq 1$ (autant de parties de cardinal pair que de cardinal impair).
Identité de Vandermonde : $k = 0 \sum r (k m) (r - k n) = (r m + n)$ .

💡 Exemple — Application au binôme. Pour calculer

\sum_{k = 0}^{n} k (k n)

, on utilise la formule du capitaine

k (k n) = n (k - 1 n - 1)

k = 0 \sum n k (k n) = n k = 1 \sum n (k - 1 n - 1) = n j = 0 \sum n - 1 (j n - 1) = n \cdot 2^{n - 1} .

Réflexe à retenir : un

k

« gênant » devant un

(k n)

s'absorbe par la formule du capitaine.

4. Suites arithmétiques et géométriques (rappel calcul)

Proposition 4.1 — Suite arithmétique

$(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ si $u_{n + 1} = u_{n} + r$ . Alors $u_{n} = u_{0} + n r$ et la somme des termes consécutifs vaut :

k = 0 \sum n u_{k} = (n + 1) \cdot \frac{u _{0} + u _{n}}{2} = (nombre de termes) \times \frac{premier + dernier}{2} .

Proposition 4.2 — Suite géométrique

$(u_{n})$ est géométrique de raison $q$ si $u_{n + 1} = q u_{n}$ . Alors $u_{n} = u_{0} \cdot q^{n}$ et, si $q \neq = 1$ :

k = 0 \sum n u_{k} = u_{0} \cdot \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} .

Si $q = 1$ , la somme vaut simplement $(n + 1) u_{0}$ .

📝 Connexion. Les suites arithmétiques et géométriques sont les briques élémentaires : toute autre suite usuelle de MPSI (arithmético-géométrique, récurrence linéaire d'ordre 2) se ramène à elles par un changement de variable approprié. Voir la fiche Suites numériques pour le détail.

5. Factorisations classiques et inégalités fondamentales

Théorème 5.1 — Factorisation de

a^{n} - b^{n}

Pour tous $a, b \in R$ et tout $n \in N^{*}$ :

a^{n} - b^{n} = (a - b) k = 0 \sum n - 1 a^{n - 1 - k} b^{k} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + a b^{n - 2} + b^{n - 1}) .

Cas particulier ( $b = 1$ ) : $a^{n} - 1 = (a - 1) (a^{n - 1} + a^{n - 2} + \dots + a + 1)$ , qui n'est rien d'autre que la somme géométrique du Théorème 2.2 multipliée par $a - 1$ .

Théorème 5.2 — Factorisation de

a^{n} + b^{n}

pour n impair

Pour $n \in N^{*}$ impair :

a^{n} + b^{n} = (a + b) k = 0 \sum n - 1 (- 1)^{k} a^{n - 1 - k} b^{k} = (a + b) (a^{n - 1} - a^{n - 2} b + \dots + b^{n - 1}) .

Attention : pas de factorisation analogue pour $n$ pair (dans $R$ ). Pour $n$ pair, $a^{n} + b^{n}$ n'est pas factorisable par $a + b$ (essaye avec $a^{2} + b^{2}$ ).

⚠ Piège — la parité de n compte. Beaucoup d'élèves écrivent

a^{4} + b^{4} = (a + b) (\dots)

en pensant que la formule pour

n

impair se généralise. C'est faux :

a^{4} + b^{4}

ne se factorise pas par

a + b

dans

R

(test rapide :

a = 1, b = 1

donne

2

, or

(a + b) = 2

divise bien, mais

a = 1, b = - 1

donne

2

alors que

(a + b) = 0

— incompatible). Réflexe : vérifier la parité de

n

avant d'utiliser le Théorème 5.2.

5.1 — Inégalités classiques

Théorème 5.3 — Inégalité de Cauchy-Schwarz (cas fini)

Pour tous réels $a_{1}, \dots, a_{n}$ et $b_{1}, \dots, b_{n}$ :

(k = 1 \sum n a_{k} b_{k})^{2} \leq (k = 1 \sum n a_{k}^{2}) (k = 1 \sum n b_{k}^{2}) .

L'égalité a lieu si et seulement si les familles $(a_{k})$ et $(b_{k})$ sont proportionnelles ( $\exists λ, \forall k, b_{k} = λ a_{k}$ , ou l'une est nulle).

Théorème 5.4 — Inégalité arithmético-géométrique (AM-GM)

Pour tous réels positifs $a_{1}, \dots, a_{n} \geq 0$ :

n a_{1} a_{2} \dots a_{n} \leq \frac{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n}}{n} .

L'égalité a lieu si et seulement si $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n}$ . Cas particulier très utile ( $n = 2$ ) : $ab \leq \frac{a + b}{2}$ pour $a, b \geq 0$ .

📝 Statut programme. Cauchy-Schwarz et AM-GM sont au programme MPSI dans le cadre des produits scalaires et des inégalités usuelles. Tu rencontreras Cauchy-Schwarz sous une forme générale (espaces préhilbertiens) en seconde période — la version finie présentée ici en est le cas particulier dans

R^{n}

muni du produit scalaire canonique.

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves comportant des calculs algébriques. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Oubli de la condition $q \neq = 1$ dans la somme géométrique. Écrire

\sum_{k = 0}^{n} q^{k} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}

sans préciser que

q \neq = 1

est sanctionné : la formule est indéterminée

(0/0)

q = 1

. Toujours écrire « si

q \neq = 1

, … ; sinon

q = 1

et la somme vaut

n + 1

».

⚠ Erreur 2 — Mauvais changement d'indice (décalage des bornes). Quand on pose

j = k + 1

dans

\sum_{k = 0}^{n}

, les bornes deviennent

j = 1

j = n + 1

— pas

j = 0

j = n + 1

. Vérifie toujours : le nombre de termes doit être conservé. C'est l'erreur n°1 de la démo du binôme.

⚠ Erreur 3 — Confondre interversion rectangulaire et triangulaire. Pour

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{i} a_{i, j}

, beaucoup écrivent «

= \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{j} a_{i, j}

». C'est faux : la bonne formule est

\sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = j}^{n} a_{i, j}

. Dessine le triangle pour t'en convaincre.

⚠ Erreur 4 — Récurrence du binôme sans poser $P (n)$ clairement. Le correcteur attend une rédaction en 3 temps : (1) énoncé de

P (n)

, (2) initialisation, (3) hérédité avec utilisation explicite de la formule de Pascal. Sauter l'énoncé de

P (n)

ou ne pas mentionner Pascal coûte 0,5 à 1 point.

⚠ Erreur 5 — Factoriser $a^{n} + b^{n}$ pour $n$ pair.

a^{4} + b^{4}

a^{6} + b^{6}

… ne se factorisent pas par

a + b

dans

R

. La formule

a^{n} + b^{n} = (a + b) (\dots)

n'est valable que pour

n

impair. Sanction immédiate aux concours si tu l'utilises sans vérifier la parité.

7. Pour aller plus loin

Les calculs algébriques sont l'infrastructure de tout le reste du programme. Les chapitres qui les réinvestissent directement :

Suites numériques — sommes de termes consécutifs, suites arithmético-géométriques, récurrences linéaires d'ordre 2 (cf. fiche dédiée).
Séries numériques — la série est par construction la limite d'une somme $\sum_{k = 0}^{n} a_{k}$ . Les séries géométriques convergent ssi $∣ q ∣ < 1$ , de somme $1/ (1 - q)$ .
Polynômes — la formule du binôme se généralise (et se prouve directement par Pascal sur les coefficients) ; factorisations $a^{n} - b^{n}$ sur $R [X]$ et $C [X]$ .
Probabilités — les coefficients binomiaux apparaissent dans la loi binomiale ; les identités combinatoires fournissent les calculs d'espérance et de variance.
Algèbre linéaire — Cauchy-Schwarz devient l'inégalité fondamentale des produits scalaires ; le télescopage sert dans les calculs de déterminants et de sommes de séries entières.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu compter le nombre de termes d'une somme $\sum_{k = p}^{n}$ (réponse : $n - p + 1$ ) ?
Sais-tu effectuer un changement d'indice par translation et par symétrie sans erreur de bornes ?
Sais-tu reconnaître et calculer une somme télescopique $\sum (a_{k + 1} - a_{k})$ ?
Connais-tu par cœur $\sum_{k = 1}^{n} k$ , $\sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ , $\sum_{k = 1}^{n} k^{3}$ , $\sum_{k = 0}^{n} q^{k}$ (avec la condition $q \neq = 1$ ) ?
Sais-tu démontrer $\sum_{k = 1}^{n} k = n (n + 1) /2$ par la méthode de Gauss (symétrie inverse) ?
Sais-tu démontrer la formule géométrique par télescopage $(1 - q) S_{n}$ ?
Sais-tu intervertir une somme double, et reconnaître le cas rectangulaire du cas triangulaire ?
Sais-tu démontrer la formule de Pascal $(k - 1 n) + (k n) = (k n + 1)$ par calcul direct ?
Sais-tu démontrer la formule du binôme de Newton par récurrence sur $n$ (en utilisant Pascal) ?
Sais-tu calculer $\sum_{k = 0}^{n} (k n)$ et $\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (k n)$ ?
Sais-tu factoriser $a^{n} - b^{n}$ en toute généralité — et sais-tu pour quelles valeurs de $n$ $a^{n} + b^{n}$ se factorise par $a + b$ ?
Sais-tu énoncer Cauchy-Schwarz et AM-GM avec leur cas d'égalité ?

Démonstrations à savoir refaire

Somme $\sum k = n (n + 1) /2$ — méthode de Gauss par symétrie inverse $j = n + 1 - k$
Somme géométrique $\sum q^{k}$ — télescopage en multipliant par $1 - q$
Formule de Pascal — calcul direct par mise au dénominateur commun $k! (n - k + 1)!$
Formule du binôme de Newton — récurrence sur $n$ avec changement d'indice et Pascal

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Sommes Σ et produits Π — notations et règles de manipulation

1.1 — Changements d'indice

1.2 — Télescopage

2. Sommes classiques (à connaître par cœur)

2.1 — Sommes doubles et interversion

3. Coefficients binomiaux et formule du binôme

3.1 — Identités combinatoires essentielles

4. Suites arithmétiques et géométriques (rappel calcul)

5. Factorisations classiques et inégalités fondamentales

5.1 — Inégalités classiques

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

7. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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Suites numériques

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