🧮 40 chapitres publiés
Fiches Mathématiques MPSI
Un parcours de révision par chapitre : commence par les fondamentaux, puis consolide les méthodes et démonstrations avant ton prochain DS ou ta prochaine colle.
Dernière mise à jour du parcours : 2026-05-18
Chapitres à réviser
Étape 1
Nombres réels
Tout ce qu'il faut maîtriser sur \(\mathbb{R}\) en MPSI : axiome de la borne supérieure, caractérisation \(\varepsilon\), propriété d'Archimède, partie entière, densité de \(\mathbb{Q}\) et de \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\), inégalités triangulaires — avec les 5 démonstrations à savoir refaire.
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Étape 2
Suites numériques
Tous les théorèmes incontournables sur les suites numériques en MPSI : convergence, opérations sur les limites, gendarmes, limite monotone, Bolzano-Weierstrass et suites adjacentes — avec les démonstrations qu'il faut absolument savoir refaire.
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Étape 3
Généralités sur les fonctions
La fiche socle pour manipuler proprement les fonctions en MPSI : domaine de définition, image directe et réciproque, parité, périodicité, monotonie, extrémums, composition et théorème de la bijection. Toutes les définitions formelles, les pièges récurrents en copie et la méthode-type pour prouver la bijectivité.
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Étape 4
Limites et continuité
Limites en un point ou à l'infini, opérations, caractérisation séquentielle, continuité, prolongement, TVI, bornes atteintes sur un segment et théorème de Heine. 7 définitions, 12 théorèmes et 4 démonstrations à savoir refaire, avec pièges concours sourcés des rapports de jury.
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Étape 5
Fonctions dérivables
Tout le cours MPSI sur la dérivabilité : nombre dérivé, chain rule, théorème de Rolle, TAF, inégalité des accroissements finis, monotonie via la dérivée, classes Cⁿ, formule de Leibniz, extrema locaux. 4 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges de copie décortiqués.
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Étape 6
Logarithmes, exponentielles et puissances
Logarithme népérien, exponentielle, puissances réelles et croissances comparées en MPSI : définitions, propriété fonctionnelle, dérivées, 7 limites usuelles, équations log/exp et pièges de copie.
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Étape 7
Fonctions circulaires et hyperboliques
Fonctions trigonométriques et hyperboliques en MPSI : définitions, formulaire complet (addition, duplication, linéarisation), réciproques arcsin/arccos/arctan et argsh/argch/argth avec leurs domaines, dérivées, identités hyperboliques et 5 démonstrations à savoir refaire.
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Étape 8
Intégrales définies
Tous les théorèmes incontournables sur l'intégrale d'une fonction continue par morceaux en MPSI : propriétés, théorème de la moyenne, inégalité de Cauchy-Schwarz et sommes de Riemann, avec 4 démos à savoir refaire.
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Étape 9
Calcul des primitives
Toutes les méthodes de calcul de primitives en MPSI : table usuelle, théorème fondamental de l'analyse, IPP, changement de variable, fractions rationnelles, règles de Bioche, polynôme × exp/cos/sin. 3 démos à savoir refaire.
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Étape 10
Comparaisons locales
Tout sur les relations de comparaison locales en MPSI : grand O, petit o, équivalence ~, les 8 équivalents usuels en 0, croissances comparées et les pièges à éviter (somme et composition).
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Étape 11
Formules de Taylor
La fiche complète des formules de Taylor en MPSI : TRI démontrée par IPP itérée, Taylor-Lagrange, Taylor-Young, les 9 DL usuels à connaître par cœur, opérations sur les DL (somme, produit, composition, intégration) et applications (limites, équivalents, position courbe/tangente, extrema). 4 démonstrations à savoir refaire, 5 pièges classiques de correcteur.
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Étape 12
Équations différentielles linéaires
Toute l'équa diff MPSI dans une fiche : ordre 1 (Cauchy, homogène, variation de la constante), ordre 2 à coefficients constants (équation caractéristique, 3 cas du discriminant Δ), principe de superposition, recherche de solution particulière pour second membre exponentiel-polynomial. 6 définitions, 7 théorèmes, 4 démonstrations à savoir refaire.
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Étape 13
Séries numériques
Définitions, séries de référence (géométrique, harmonique, Riemann), critères de comparaison, comparaison série-intégrale, convergence absolue, critère de Leibniz et produit de Cauchy — avec 4 démonstrations à savoir refaire.
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Étape 14
Rudiments de logique
La logique, grammaire silencieuse de toute la MPSI : connecteurs, tables de vérité, lois de De Morgan, négation des phrases quantifiées et les six grands schémas de raisonnement (direct, contraposée, absurde, analyse-synthèse, disjonction des cas, récurrence). 6 démonstrations à savoir refaire.
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Étape 15
Ensembles
Le langage ensembliste fondateur de toute la MPSI : appartenance, inclusion, opérations (∩, ∪, \, Δ, ∁), lois de De Morgan, ensemble des parties 𝒫(E), produit cartésien et partitions. La méthode-reine du chapitre : la double inclusion, à automatiser dès septembre pour gagner 2-3 points par DS toute l'année.
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Étape 16
Applications
Tout le chapitre Applications du programme MPSI : définitions formelles (départ, arrivée, image directe f(A), image réciproque f⁻¹(B), Id_E, restriction, prolongement), composition et ses propriétés, injection / surjection / bijection avec démonstrations ★ de la composition d'injections, des réciproques partielles, de l'unicité de la réciproque d'une bijection et de sa caractérisation, plus le théorème de la bijection sur ℝ.
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Étape 17
Relations
Relations binaires en MPSI : propriétés (réflexive, symétrique, antisymétrique, transitive), relations d'équivalence et classes-partition, relations d'ordre (total, partiel), maximum vs élément maximal, majorant et borne supérieure. 15 définitions, 3 théorèmes, 3 démonstrations à savoir refaire.
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Étape 18
Calculs algébriques
Toute la boîte à outils calcul algébrique MPSI : sommes Σ et produits Π, télescopage, sommes classiques (k, k², k³, qᵏ), coefficients binomiaux, formule de Pascal, binôme de Newton, factorisation aⁿ−bⁿ, inégalités Cauchy-Schwarz et AM-GM. 5 définitions, 8 théorèmes, 4 démonstrations à savoir refaire.
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Étape 19
Nombres complexes
Tout ce qu'il faut maîtriser sur ℂ en MPSI : conjugué, module, argument, forme exponentielle, formules d'Euler et de Moivre, racines n-ièmes et interprétation géométrique — avec les 4 démonstrations à savoir refaire.
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Étape 20
Arithmétique dans ℤ
Tous les théorèmes d'arithmétique dans ℤ pour la MPSI : algorithme d'Euclide, Bachet-Bézout, Gauss, nombres premiers, congruences et petit théorème de Fermat — avec les 4 démonstrations à savoir refaire.
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Étape 21
Structure de groupe
Tout le chapitre groupes MPSI : LCI, associativité, neutre et symétrique uniques, axiomes (G,⋆), sous-groupes via la caractérisation x⋆y⁻¹∈H, sous-groupe engendré, groupes monogènes et cycliques, ordre, morphismes, noyau et image, isomorphismes.
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Étape 22
Structures d'anneau et de corps
Anneaux et corps en MPSI : axiomes (A,+,×), règles de calcul, diviseurs de zéro, anneau intègre, sous-anneau, idéal, corps Q/R/C/Fp, morphismes — avec démos à savoir refaire.
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Étape 23
Polynômes
Tout le chapitre Polynômes MPSI : structure de 𝕂[X], division euclidienne, polynôme dérivé et formule de Taylor, racines et ordre de multiplicité, théorème de d'Alembert-Gauss, factorisation dans ℂ[X] et ℝ[X], relations coefficients-racines, interpolation de Lagrange.
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Étape 24
Arithmétique dans 𝕂[X]
L'arithmétique de ℤ transposée aux polynômes : division euclidienne, PGCD, algorithme d'Euclide, Bachet-Bézout, théorème de Gauss, polynômes irréductibles, décomposition unique en facteurs irréductibles dans ℝ[X] et ℂ[X], relations coefficients-racines de Viète et fonctions symétriques élémentaires σ_k.
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Étape 25
Fractions rationnelles
Fiche de révision Majorant MPSI sur les fractions rationnelles : corps 𝕂(X), pôles et ordres, décomposition en éléments simples dans ℂ(X) et ℝ(X), méthode de calcul des coefficients (résidu, parité, limite, identification), primitive d'une fraction rationnelle (ln, arctan), applications au télescopage et aux intégrales.
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Étape 26
Structure d'espace vectoriel
La structure de 𝕂-espace vectoriel : axiomes, sous-espaces, somme directe et supplémentaires, combinaisons linéaires, Vect(X), familles libres, génératrices et bases — avec les 4 démonstrations MPSI à savoir refaire.
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Étape 27
Espaces vectoriels de dimension finie
Toutes les bases d'un même espace ont le même cardinal : c'est la dimension. Fiche MPSI complète avec théorème de la dimension, base extraite, base incomplète, formule de Grassmann dim(F+G) = dim(F)+dim(G)-dim(F∩G), supplémentaires en dim finie et rang d'une famille. 4 démos à savoir refaire, 5 pièges de copie.
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Étape 28
Applications linéaires
Tout sur les applications linéaires en MPSI : définitions (f linéaire, endomorphisme, automorphisme, GL(E)), opérations sur L(E,F), noyau et image comme sev, théorème du rang avec démonstration complète, équivalence injective/surjective/bijective en dimension finie, projecteurs (p∘p=p) et symétries (s∘s=Id). 4 démos étoilées, 5 pièges de copie.
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Étape 29
Espaces affines
Espace affine, repère, vecteur AB, sous-espace affine et direction, parallélisme, barycentre et associativité, isobarycentre, applications affines (translations, projections, symétries) — la fiche complète MPSI avec démos détaillées.
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Étape 30
Calcul matriciel
Le calcul matriciel est le langage opératoire de l'algèbre linéaire. Cette fiche regroupe les théorèmes incontournables (associativité, non-commutativité, transposée, trace, inverse), les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font basculer un DS — à commencer par la non-commutativité.
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Étape 31
Matrices et applications linéaires
Matrice d'une AL, isomorphisme L(E,F) ≃ 𝕄_(n,p)(𝕂), composition et produit matriciel, matrices de passage, formules de changement de base pour vecteur (X=PX') et pour endomorphisme (A'=P⁻¹AP), matrices semblables, rang d'une matrice et invariance par opérations élémentaires.
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Étape 32
Systèmes linéaires
Système linéaire AX = B en MPSI : interprétation par l'application linéaire fA, structure « solution particulière + noyau », théorème de Rouché-Fontené, méthode du pivot de Gauss et systèmes de Cramer. 9 définitions, 7 théorèmes, 4 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges classiques de copie.
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Étape 33
Déterminants
Déterminants en MPSI : développement de Laplace, propriétés (multilinéarité, alternance, det(AB)=det(A)·det(B)), critère d'inversibilité det(A)≠0, comatrice et formule de l'inverse, méthode-type pivot de Gauss, 4 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges classiques en copie.
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Étape 34
Espaces préhilbertiens réels
Tout le chapitre Espaces préhilbertiens réels MPSI condensé : produit scalaire (bilinéaire symétrique défini positif), norme et inégalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité, théorème de Pythagore, familles orthonormées, procédé de Gram-Schmidt, supplémentaire orthogonal et projection.
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Étape 35
Isométries vectorielles
Tout pour maîtriser les isométries vectorielles en MPSI : triple équivalence (norme, produit scalaire, base orthonormée), matrices orthogonales O_n(ℝ) et SO_n(ℝ), classification des isométries du plan (rotation, réflexion) et de l'espace ℝ³ (rotation, antirotation), avec 3 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges classiques de copie.
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Étape 36
Dénombrement
Tout le dénombrement MPSI condensé : cardinal d'un ensemble fini, formule du crible, p-listes, arrangements A(n,p), combinaisons C(n,k), formule de Pascal, binôme de Newton, applications et injections — avec 4 démonstrations clés à savoir refaire.
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Étape 37
Espaces probabilisés finis
Tout le cours MPSI sur les espaces probabilisés finis : univers Ω, événements, axiomes de probabilité, formule du crible, équiprobabilité et application au dénombrement, indépendance — avec 4 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges classiques.
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Étape 38
Probabilités conditionnelles
La fiche MPSI Majorant sur les probabilités conditionnelles : définition de P(A|B), formules des probabilités composées, totales et de Bayes, indépendance de deux événements, indépendance mutuelle vs 2 à 2 (contre-exemple de Bernstein), arbres de probabilités et exemples canoniques (test diagnostic médical, tirages sans remise).
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Étape 39
Variables aléatoires
Variables aléatoires finies en MPSI : définition (X : Ω → ℝ), loi, fonction de répartition, lois usuelles (certaine, uniforme, Bernoulli, binomiale), couples (loi conjointe et marginales), indépendance, loi de Y=f(X) et de X+Y. 4 démos à savoir refaire.
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Étape 40
Espérance et variance
Toutes les propriétés de E(X) et V(X) en MPSI : linéarité de l'espérance, formule de Köenig-Huygens, espérances et variances des lois usuelles (Bernoulli, binomiale, uniforme), inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev, covariance et variance d'une somme. 4 démos à savoir refaire au cordeau.
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