🧮 26 chapitres publiés
Fiches Mathématiques MP
Un parcours de révision par chapitre : commence par les fondamentaux, puis consolide les méthodes et démonstrations avant ton prochain DS ou ta prochaine colle.
Dernière mise à jour du parcours : 2026-07-06
Chapitres à réviser
Étape 1
Groupes
Tout le chapitre structures algébriques (partie groupes) en MP : sous-groupes et leur caractérisation, morphismes et noyaux, le groupe ℤ/nℤ, groupes monogènes et cycliques, ordre d'un élément et théorème de Lagrange. Avec les 5 démonstrations à savoir refaire, les méthodes-type et les pièges relevés par les correcteurs.
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Étape 2
Anneaux, corps et arithmétique
Anneaux, corps et toute l'arithmétique modulaire de MP : idéaux de ℤ et de K[X], inversibles de ℤ/nℤ, théorème chinois et systèmes de congruences, indicatrice et théorème d'Euler, petit théorème de Fermat, structure d'algèbre. Avec les 5 démonstrations à savoir refaire, les méthodes-type (Euclide étendu, congruences) et les pièges signalés par les jurys.
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Étape 3
Compléments d'algèbre linéaire
Les quatre outils qui préparent la réduction en MP : sommes directes de plusieurs sous-espaces et bases adaptées, sous-espaces stables et endomorphismes induits, trace et ses invariances, formes linéaires et hyperplans. Avec les 5 démonstrations à savoir refaire, la méthode-type des sommes directes et les pièges signalés par les correcteurs.
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Étape 4
Éléments propres et polynôme caractéristique
Le premier chapitre de la réduction en MP : valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres, liberté des familles de vecteurs propres et somme directe, polynôme caractéristique (coefficients trace et déterminant, racines), multiplicités et encadrement 1 ≤ dim Eλ ≤ mλ. Avec les 4 démonstrations à savoir refaire, la méthode-type de calcul de χ et les pièges des rapports de jury.
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Étape 5
Diagonalisation et trigonalisation
Le cœur de la réduction en MP : caractérisations de la diagonalisabilité (base propre, somme directe, dimensions), critère complet χ scindé + dim Eλ = mλ, condition suffisante des n valeurs propres distinctes, trigonalisation sur ℂ, endomorphismes nilpotents et indice, calcul des puissances A^k. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
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Étape 6
Polynômes annulateurs et Cayley-Hamilton
Le troisième volet de la réduction en MP : polynômes d'un endomorphisme et polynôme minimal, valeurs propres et racines des annulateurs, lemme de décomposition des noyaux, critère polynomial de diagonalisabilité (annulateur scindé à racines simples), théorème de Cayley-Hamilton et ses applications (inverse, puissances). Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
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Étape 7
Espaces préhilbertiens et projection orthogonale
La géométrie du produit scalaire en MP : Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité, bases orthonormées et procédé de Gram-Schmidt, supplémentaire orthogonal d'un sous-espace de dimension finie, projection orthogonale et théorème de la meilleure approximation (moindres carrés). Avec les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
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Étape 8
Endomorphismes euclidiens et théorème spectral
Le sommet du bloc euclidien en MP : adjoint et endomorphismes symétriques, théorème spectral (diagonalisation en base orthonormée, A = PDPᵀ), le réflexe AᵀA, isométries vectorielles et groupe orthogonal, classification des rotations de l'espace (axe, angle, trace = 1 + 2cos θ). Avec les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
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Étape 9
Topologie des evn : normes, suites, ouverts et fermés
Le premier volet de la topologie en MP : normes et boules, les trois normes usuelles et leur comparaison, suites convergentes et équivalence des normes (contre-exemple xⁿ en dimension infinie), ouverts, fermés, intérieur et adhérence, caractérisations séquentielles et méthode de rédaction. Avec les démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
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Étape 10
Topologie des evn : limites, continuité, applications linéaires continues
Le deuxième volet de la topologie en MP : limites et continuité dans les evn, caractérisation séquentielle, continuité et image réciproque des ouverts/fermés (l'outil roi pour prouver qu'une partie est fermée), applications lipschitziennes, applications linéaires continues, norme subordonnée et continuité automatique en dimension finie. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
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Étape 11
Topologie des evn : compacité, connexité, dimension finie
Le troisième volet de la topologie en MP : parties compactes (Bolzano-Weierstrass), compact ⟹ fermé borné, image continue d'un compact et théorème des bornes atteintes, connexité par arcs et TVI généralisé, théorème de la dimension finie (équivalence des normes, fermé borné = compact, linéaire continue). Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
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Étape 12
Fonctions convexes
La boîte à outils des inégalités en MP : définition de la convexité (corde au-dessus de l'arc), inégalité des pentes, caractérisations par f' croissante et f'' ≥ 0, position de la courbe au-dessus de ses tangentes, inégalité de Jensen et comparaison des moyennes, propriétés analytiques. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
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Étape 13
Compléments sur les séries numériques
La boîte à outils des séries en MP : convergence absolue et semi-convergence, comparaison des séries à termes positifs (équivalents, domination, règle de d'Alembert), comparaison série-intégrale et séries de Riemann, critère spécial des séries alternées (Leibniz) et majoration du reste, produit de Cauchy. Avec les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
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Étape 14
Familles sommables
La somme « sans ordre » en MP : familles sommables de réels positifs (borne sup des sommes finies) et quelconques (sommabilité des modules), lien avec l'absolue convergence, théorème de sommation par paquets et théorème de Fubini discret pour intervertir deux sommations. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
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Étape 15
Suites de fonctions
La charnière de l'analyse en MP : convergence simple et convergence uniforme (norme infinie), continuité de la limite uniforme et théorème de la double limite, interversion limite-intégrale sur un segment, théorème de convergence dominée et dérivation d'une limite de fonctions. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
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Étape 16
Séries de fonctions
L'outil des fonctions-séries en MP : convergence simple, uniforme et normale (∑‖f_n‖∞ < ∞), continuité de la somme, intégration terme à terme sur segment et sur intervalle, dérivation terme à terme (convergence uniforme de la série des dérivées), étude de fonctions définies par une série (zêta). Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
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Étape 17
Séries entières
L'outil roi de l'analyse en MP : rayon et disque de convergence (lemme d'Abel, règle de d'Alembert), convergence normale sur tout compact, somme C∞ dérivable et intégrable terme à terme, unicité des coefficients et série de Taylor, développements en série entière usuels et méthode de l'équation différentielle. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
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Étape 18
Fonctions vectorielles
Le calcul différentiel étendu aux fonctions à valeurs vectorielles : dérivée d'une fonction vectorielle et caractérisation par les coordonnées, règles de dérivation (produit scalaire, produit vectoriel, déterminant), fonctions de classe Cᵏ, arcs paramétrés, point régulier et tangente, longueur d'un arc L = ∫||f'|| et abscisse curviligne, invariance par changement de paramétrage. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
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Étape 19
Intégrales généralisées
L'intégration sur un intervalle quelconque : intégrale généralisée comme limite, nature (convergence/divergence), intégrales de Riemann de référence (∫₁^∞ dt/tᵅ converge ssi α > 1, ∫₀¹ dt/tᵅ ssi α < 1), critères pour fonctions positives (comparaison, négligeabilité, équivalents), fonction intégrable et convergence absolue, semi-convergence (Dirichlet). Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
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Étape 20
Convergence dominée
Les théorèmes de convergence qui couronnent l'analyse de MP : théorème de convergence dominée (convergence simple + domination par une fonction intégrable indépendante de n) pour échanger limite et intégrale, théorème d'intégration terme à terme (hypothèse Σ∫|uₙ| < ∞) pour intervertir somme et intégrale, avec deux applications canoniques (lim ∫₀ⁿ (1−t/n)ⁿ dt = 1 et ∫₀¹ −ln(1−t)/t dt = π²/6). Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
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Étape 21
Intégrales à paramètre
Les fonctions définies par une intégrale f(x) = ∫ g(x,t) dt : théorème de continuité sous le signe intégrale (domination), formule de Leibniz pour dériver sous l'intégrale (domination de ∂ₓg), technique de calcul d'intégrales par dérivation (F(x) = ∫₀¹ (tˣ−1)/ln t dt = ln(x+1)), et la fonction Gamma d'Euler avec son équation fonctionnelle Γ(x+1) = xΓ(x) et Γ(n+1) = n!. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
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Étape 22
Équations différentielles linéaires
Le pont entre algèbre linéaire et analyse : systèmes différentiels linéaires X' = A(t)X + B(t), théorème de Cauchy linéaire (existence-unicité globale sur I tout entier), structure de l'espace des solutions (homogène = espace vectoriel de dimension n, général = espace affine), système fondamental et wronskien, résolution des systèmes à coefficients constants par réduction (modes propres e^(λt)V), équation scalaire d'ordre n. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
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Étape 23
Calcul différentiel
La dérivation des fonctions de plusieurs variables : dérivées partielles et gradient ∇f, fonction de classe C¹ et développement limité à l'ordre 1 (approximation affine locale), règle de la chaîne pour dériver une composée le long d'un arc (∇f·γ'), changements de variables (polaires), recherche d'extrema (point critique ∇f = 0, condition nécessaire du premier ordre, point-selle), théorème de Schwarz. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
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Étape 24
Espaces probabilisés
Le cadre rigoureux des probabilités sur un univers dénombrable : tribu (σ-algèbre) et espace probabilisé (Ω, A, P), axiome de σ-additivité, propriétés de continuité croissante et décroissante, probabilité conditionnelle et indépendance (mutuelle vs deux à deux), système complet d'événements, formule des probabilités totales et formule de Bayes (paradoxe des faux positifs). Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
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Étape 25
Variables aléatoires discrètes
Les variables aléatoires à valeurs dénombrables : définition, loi de probabilité et système complet, indépendance de variables, et les lois usuelles incontournables — binomiale (somme de Bernoulli indépendantes), géométrique (rang du premier succès, propriété d'absence de mémoire), Poisson (événements rares, limite de la binomiale). Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
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Étape 26
Espérance et variance
Les nombres qui résument une loi : espérance E(X) = Σ x P(X=x) et théorème de transfert, variance et écart-type, linéarité de l'espérance (valable sans indépendance) et formule de König-Huygens V(X) = E(X²) − E(X)², covariance, inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev (loi des grands nombres), fonction génératrice G_X(t) = E(t^X) et sommes de variables indépendantes, espérances et variances des lois usuelles. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
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