Annales CCINP en PC

Mathématiques 1 — PC · 2026

Trois exercices indépendants. Exercice 1 : réduction de matrices par blocs — Partie I étudie $M=\begin{pmatrix}A&A\\A&A\end{pmatrix}$ (diagonalisation via $P^{-1}MP=D$, polynôme caractéristique $\chi_M(\lambda)=\lambda^n\cdot 2^n\cdot\chi_A(\lambda/2)$, équivalence diagonalisabilité de $M$ et de $A$) ; Partie II étudie $M=\begin{pmatrix}A&A\\O_n&A\end{pmatrix}$ (formule $M^k$, polynôme évalué en $M$, CNS de diagonalisabilité : $A=O_n$). Exercice 2 : loi géométrique et loi binomiale négative — somme $S_n$ de $n$ variables géométriques indépendantes, DSE de la fonction génératrice, équivalent $\mathbb{E}(V_n)\sim\ln(n)/(-\ln q)$. Exercice 3 : équation fonctionnelle $f'(x)=f(\lambda x)$ pour $|\lambda|<1$ — étude des solutions entières, unicité à constante, $\dim S_\lambda=1$ via la formule de Taylor avec reste intégral.