Interférences à N ondes et réseaux

Vue d'ensemble

Passer de 2 à $N$ ondes change la nature du phénomène : les franges sinusoïdales d'Young deviennent des pics fins — d'autant plus fins que $N$ est grand — séparés de larges zones sombres. C'est le principe du réseau de diffraction : des milliers de fentes qui n'ajoutent leurs ondes en phase que dans quelques directions précises, données par la formule des réseaux $a (sin θ - sin θ_{0}) = p λ$ . Comme ces directions dépendent de $λ$ , le réseau disperse la lumière : c'est l'instrument de spectroscopie du programme, capable de séparer le doublet du sodium. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MPI (officiel) — Interférences à N ondes cohérentes : superposition de N ondes de déphasages successifs égaux, positions des maxima principaux, influence de N sur la finesse des pics ; réseaux plans par transmission : formule fondamentale des réseaux, ordres, spectroscopie à réseau (dispersion, séparation de raies voisines).

Prérequis

Interférences à deux ondes : formule de Fresnel, différence de marche, ordre
Modèle scalaire : chemin optique, phase $2 π δ / λ_{0}$
Sommes géométriques et notation complexe (sup)

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1. Superposition de N ondes : des pics de plus en plus fins

Définition 1.1 — Le système à N ondes équidistantes en phase

On superpose $N$ ondes cohérentes de même amplitude $A$ , dont les phases sont en progression arithmétique : la $k$ -ième onde est déphasée de $k φ$ par rapport à la première ( $φ$ = déphasage entre deux ondes consécutives, imposé par la géométrie du dispositif). C'est exactement la situation de $N$ fentes régulièrement espacées éclairées par une onde plane.

Théorème 1.2 — Maxima principaux et finesse ★ À savoir démontrer

L'éclairement de la superposition vaut :

I (φ) = I_{0} \frac{sin ^{2} ( N φ /2 )}{sin ^{2} ( φ /2 )},

avec des maxima principaux pour $φ = 2 k π$ (toutes les ondes en phase), d'intensité $N^{2} I_{0}$ , et de demi-largeur $2 π / N$ en $φ$ : les pics sont $N^{2}$ fois plus intenses et $N$ fois plus fins que les franges à deux ondes.

Démonstration (somme géométrique complexe)

En notation complexe, l'amplitude totale est la somme géométrique :

\underline{S} = A k = 0 \sum N - 1 e^{ik φ} = A \frac{1 - e ^{i N φ}}{1 - e ^{i φ}} = A e^{i (N - 1) φ /2} \frac{sin ( N φ /2 )}{sin ( φ /2 )}

(factorisation par l'angle moitié : $1 - e^{i α} = - 2 i e^{i α /2} sin (α /2)$ , pour $φ \neq \equiv 0 [2 π]$ ). L'éclairement $I \propto ∣ \underline{S} ∣^{2}$ donne la formule.

Maxima principaux. Pour $φ = 2 k π$ , toutes les ondes sont en phase : $\underline{S} = N A$ directement, d'où $I = N^{2} I_{0}$ — cohérent avec la limite $sin (N φ /2) / sin (φ /2) \to N$ .

Finesse. Autour de $φ = 0$ , le premier zéro de $sin (N φ /2)$ est atteint en $φ = 2 π / N$ : le pic principal a une demi-largeur $2 π / N$ , qui tend vers 0 quand $N$ croît. Entre deux maxima principaux ne subsistent que $N - 2$ maxima secondaires bien plus faibles (le plus intense plafonne à environ 4,5 % du maximum principal, les autres décroissent encore) : à l'échelle des pics en $N^{2} I_{0}$ , l'écran paraît noir entre les ordres.

Image de Fresnel : $N$ vecteurs bout à bout ; alignés pour $φ = 2 k π$ (longueur $N A$ ), enroulés en polygone fermé dès que $N φ = 2 π$ (somme nulle). Toute la physique du réseau tient dans ce dessin.

⚠ Piège — N² et non N. L'intensité au maximum vaut

N^{2} I_{0}

(amplitudes qui s'ajoutent, puis carré), mais l'énergie totale reste

\propto N

: la conservation est assurée par la FINESSE des pics (hauteur

N^{2}

, largeur

1/ N

, aire

\propto N

). Répondre «

N I_{0}

» au maximum, ou s'inquiéter d'une énergie

N^{2}

, sont deux erreurs symétriques que les oraux adorent provoquer.

2. Le réseau et sa formule fondamentale

Définition 2.1 — Réseau plan par transmission

Un réseau est une plaque portant un très grand nombre $N$ de fentes (« traits ») parallèles et équidistantes, séparées du pas $a$ . On le caractérise par sa densité $n = 1/ a$ en traits par millimètre (typiquement 100 à 1000 tr/mm, soit $a$ de 1 à 10 µm). Il est éclairé par une onde plane sous l'incidence $θ_{0}$ et observé à l'infini dans la direction $θ$ (angles orientés, mesurés depuis la normale au réseau).

Théorème 2.2 — Formule fondamentale des réseaux ★ À savoir démontrer

Les directions des maxima principaux (ordre $p \in Z$ ) sont données par :

a (sin θ_{p} - sin θ_{0}) = p λ .

Démonstration (différence de marche entre deux motifs consécutifs)

Entre les ondes issues de deux fentes consécutives (distantes de $a$ ), la différence de marche cumule deux projections : $a sin θ_{0}$ en amont (l'onde incidente atteint une fente avant l'autre) et $a sin θ$ en aval (les rayons émergents parallèles sont recueillis à l'infini) :

δ = a (sin θ - sin θ_{0}),

d'où le déphasage entre voisines $φ = 2 π δ / λ$ . Les maxima principaux du théorème 1.2 exigent $φ = 2 p π$ , c'est-à-dire $δ = p λ$ : c'est la formule. Chaque entier $p$ accessible définit un ordre ; l'ordre 0 ( $θ = θ_{0}$ ) prolonge simplement le faisceau incident, identique pour toutes les longueurs d'onde.

Nombre d'ordres observables : il faut $∣ sin θ_{p} ∣ \leq 1$ , soit $∣ p ∣ \leq a (1 + ∣ sin θ_{0} ∣) / λ$ — toujours un nombre FINI. AN : réseau 500 tr/mm ( $a = 2 μ m$ ), $λ = 600 nm$ , incidence normale : $sin θ_{p} = 0, 3 p$ , donc $p \in {- 3, \dots, 3}$ et $θ_{1} \approx 17, 5°$ , $θ_{2} \approx 36, 9°$ , $θ_{3} \approx 64, 2°$ .

Définition 2.3 — Ordre d'un réseau

L'ordre $p$ numérote les directions de maxima : c'est le nombre entier de longueurs d'onde contenues dans la différence de marche entre deux motifs consécutifs. Les ordres positifs et négatifs encadrent l'ordre 0, symétriquement en incidence normale.

⚠ Piège — Les signes de la formule. Avec des angles ORIENTÉS (même sens de mesure pour

θ

θ_{0}

depuis la normale), la formule est

a (sin θ - sin θ_{0}) = p λ

. Selon les conventions d'orientation des énoncés, un signe peut changer : REFAIRE le petit schéma des deux projections plutôt que réciter — les rapports signalent chaque année des formules plaquées avec les mauvais signes.

3. Le réseau, instrument de spectroscopie

Définition 3.1 — Dispersion

Pour $p \neq = 0$ , la direction $θ_{p} (λ)$ dépend de la longueur d'onde : le réseau disperse la lumière (le rouge est plus dévié que le bleu, contrairement au prisme). Une lumière polychromatique donne, dans chaque ordre $p \neq = 0$ , un spectre — et l'ordre 0 reste blanc.

Définition 3.2 — Pouvoir de résolution

Le pouvoir de résolution d'un instrument spectroscopique est $R = \frac{λ}{Δ λ _{min}}$ , où $Δ λ_{min}$ est le plus petit écart de longueurs d'onde qu'il sépare. Séparer le doublet du sodium ( $Δ λ = 0, 6 nm$ à $589, 3 nm$ ) exige $R \approx 1 0^{3}$ .

Théorème 3.3 — Pouvoir de résolution d'un réseau ★ À savoir démontrer

Un réseau de $N$ traits éclairés, utilisé à l'ordre $p$ , résout :

R = \frac{λ}{Δ λ _{min}} = ∣ p ∣ N .

Démonstration (critère : le maximum de l'une sur le zéro de l'autre)

Deux raies $λ$ et $λ + Δ λ$ donnent deux systèmes de pics légèrement décalés. Critère de Rayleigh : elles sont tout juste séparées quand le maximum de l'une tombe sur le premier zéro de l'autre.

À l'ordre $p$ , le maximum de $λ$ est en $φ = 2 p π$ ; son premier zéro adjacent est décalé de $2 π / N$ (théorème 1.2). Pour la raie $λ + Δ λ$ observée dans la même direction, le déphasage vaut $φ^{'} = 2 π δ / (λ + Δ λ)$ : à $δ = p λ$ fixée par la géométrie, faire varier $λ$ de $Δ λ$ déplace le pic de

∣Δ φ ∣ = 2 π δ \frac{Δ λ}{λ ^{2}} = 2 π p \frac{Δ λ}{λ} .

Le critère $∣Δ φ ∣ = \frac{2 π}{N}$ donne alors :

2 π p \frac{Δ λ _{min}}{λ} = \frac{2 π}{N} ⟹ \frac{λ}{Δ λ _{min}} = ∣ p ∣ N .

AN — le doublet du sodium au TP : réseau de 500 tr/mm éclairé sur 1 cm : $N = 5000$ traits. Dès l'ordre 1, $R = 5000 ≫ 982$ : le doublet est très confortablement séparé — alors qu'un prisme de TP n'y parvient pas. La finesse en $1/ N$ des pics est TOUTE la valeur ajoutée du réseau.

📐 Méthode-type — Exploiter un réseau en spectroscopie.

Convertir la densité en pas : $a = 1/ n$ (500 tr/mm ⟹ $a = 2 μ m$ ) — l'erreur d'unité mm/µm est le piège n°1.
Écrire la formule des réseaux avec le schéma d'orientation, et recenser les ordres accessibles ( $∣ sin θ ∣ \leq 1$ ).
Pour chaque raie, calculer $θ_{p} (λ)$ ; vérifier d'éventuels chevauchements d'ordres (le rouge de l'ordre 2 peut recouvrir le bleu de l'ordre 3 : $2 λ_{R}$ vs $3 λ_{B}$ ).
Question de séparation : comparer le $R$ requis ( $λ /Δ λ$ ) au $R = pN$ disponible ; conclure sur l'ordre à utiliser.

💡 Exemple — Chevauchement des ordres en lumière blanche. Spectre visible 400–750 nm, incidence normale. L'ordre 2 du rouge (

sin θ = 2 \times 750/ a

en nm) et l'ordre 3 du violet (

3 \times 400 = 1200

nm effectifs vs

2 \times 750 = 1500

) : dès que

3 λ_{min} < 2 λ_{ma x}

(1200 < 1500 ✓), les ordres 2 et 3 se chevauchent partiellement. D'où l'usage de filtres en spectroscopie d'ordre élevé — remarque attendue dans les sujets expérimentaux.

🧑‍🏫 Le réseau au TP et à l'écrit

Goniomètre, minimum de déviation, doublet à séparer : le réseau est un classique d'oral expérimental. Un mentor Majorant te fait dérouler le protocole complet et les questions théoriques associées (ordres, résolution, chevauchements) jusqu'à l'aisance — mesure comprise.

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4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Un chapitre court, des formules simples — et pourtant un festival d'erreurs d'unités et de signes. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Confondre pas et densité de traits. 500 traits/mm ⟹

a = \frac{1}{500} mm = 2 μ m

, pas 500 µm ni 0,5 µm. Toute la suite (ordres, angles) dépend de cette conversion : la faire en tête de copie, avec les unités écrites.

⚠ Erreur 2 — Oublier le terme d'incidence sin θ₀. En incidence oblique, la différence de marche cumule les DEUX projections. Omettre

sin θ_{0}

(ou lui donner le mauvais signe) décale tous les ordres — et les sujets choisissent précisément l'incidence oblique pour tester ce point.

⚠ Erreur 3 — Croire que le nombre d'ordres est infini.

∣ sin θ ∣ \leq 1

borne

∣ p ∣ \leq a (1 + ∣ sin θ_{0} ∣) / λ

: quelques ordres seulement pour un réseau fin. Annoncer l'ordre 5 d'un réseau à 1000 tr/mm en lumière visible est impossible : il faudrait

sin θ = 5 λ / a \geq 5 \times 0, 4 = 2 > 1

. Ne jamais rendre un ordre sans ce contrôle.

⚠ Erreur 4 — Attribuer la dispersion au matériau. Le réseau disperse par INTERFÉRENCE (géométrie), pas par variation d'indice : le rouge y est PLUS dévié que le bleu — l'inverse du prisme. Confondre les deux sens de dispersion est une erreur de compréhension relevée aux oraux.

⚠ Erreur 5 — R = pN sans préciser N.

N

est le nombre de traits ÉCLAIRÉS (largeur du faisceau ÷ pas), pas le nombre total de traits gravés. Diaphragmer le faisceau dégrade la résolution — question subtile que les sujets expérimentaux posent régulièrement.

5. Pour aller plus loin

Le bloc optique se referme sur les réseaux — qui ouvrent partout ailleurs :

Physique des ondes — la somme des N exponentielles resurgit dans les ondes stationnaires et les modes propres ; les « pics fins » sont un phénomène universel de superposition cohérente.
Physique quantique — la diffraction des électrons par un cristal (réseau tridimensionnel) valide l'hypothèse de de Broglie : même formule, autre onde.
TP et oraux — goniomètre + réseau : mesure de longueurs d'onde au minimum de déviation, séparation du doublet du sodium ; protocole à savoir raconter.
Culture — spectroscopie astronomique (composition des étoiles, décalage vers le rouge), CD/DVD comme réseaux par réflexion, réseaux de Bragg dans les fibres : l'instrument le plus productif de l'histoire de la physique.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu poser le problème des N ondes en progression arithmétique de phase ?
Sais-tu calculer la somme géométrique et en déduire I(φ) = I₀·sin²(Nφ/2)/sin²(φ/2) ?
Sais-tu situer les maxima principaux (φ = 2kπ), leur intensité N²I₀ et leur demi-largeur 2π/N ?
Sais-tu réconcilier hauteur N² et conservation de l'énergie (finesse 1/N) ?
Sais-tu dessiner la construction de Fresnel (vecteurs alignés / polygone fermé) ?
Sais-tu démontrer δ = a(sin θ − sin θ₀) par les deux projections, et la formule des réseaux ?
Sais-tu convertir traits/mm en pas, et borner le nombre d'ordres par |sin θ| ≤ 1 ?
Sais-tu pourquoi l'ordre 0 est blanc et les ordres p ≠ 0 dispersés (rouge plus dévié) ?
Sais-tu repérer un chevauchement d'ordres (3λ_min vs 2λ_max) ?
Sais-tu démontrer R = pN par le critère de Rayleigh (maximum sur premier zéro) ?
Sais-tu vérifier que N = 5000 traits éclairés séparent le doublet du sodium dès l'ordre 1 ?
Sais-tu que N est le nombre de traits ÉCLAIRÉS, et l'effet d'un diaphragme sur R ?

Démonstrations à savoir refaire

Superposition de N ondes — somme géométrique, angle moitié, maxima N²I₀ et largeur 2π/N
Formule des réseaux — deux projections a·sin θ, condition δ = pλ, ordres accessibles
Pouvoir de résolution R = pN — critère de Rayleigh, décalage de phase en p·Δλ/λ

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Superposition de N ondes : des pics de plus en plus fins

2. Le réseau et sa formule fondamentale

3. Le réseau, instrument de spectroscopie

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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