Suites et limites : Terminale Mathématiques

Vue d'ensemble

Les suites sont le premier objet de Terminale où l'on parle d'infini : que devient $u_{n}$ quand $n$ devient très grand ? Ce chapitre transforme cette question intuitive en outils utilisables — définitions de la limite, opérations, théorèmes de comparaison, convergence monotone — et il irrigue tout le reste de l'année : suites géométriques en probabilités, modélisations d'évolution, algorithmes de seuil.

C'est aussi l'un des deux ou trois chapitres présents à chaque session du Bac, généralement sous la forme d'un exercice long : étude d'une suite définie par $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , avec encadrement, monotonie, convergence, puis suite auxiliaire géométrique. La fiche couvre les 2 démonstrations exigibles de ce chapitre — celle de l'inégalité de Bernoulli, dont on se sert ici, est traitée dans la fiche sur le raisonnement par récurrence — et la méthode complète de cet exercice-type.

Au programme Terminale, spécialité Mathématiques (officiel) — Limite finie ou infinie d'une suite ; limites des suites usuelles

n

n^{2}

n

\frac{1}{n}

; opérations sur les limites ; théorèmes de comparaison et théorème d'encadrement (dit « des gendarmes ») ; théorème de la limite monotone (admis) ; toute suite croissante non majorée tend vers

+ \infty

; limite d'une suite géométrique

q^{n}

selon la valeur de

q

; suites minorées, majorées, bornées ; capacité algorithmique : recherche d'un seuil.

Prérequis

Suites arithmétiques et géométriques : terme général, sens de variation, somme des termes (Première)
Raisonnement par récurrence : rédaction en 4 étapes, encadrement d'une suite récurrente (Terminale, chapitre précédent)
Sens de variation d'une fonction et lecture graphique (Première)
Résolution d'inéquations, manipulation des puissances et des racines (Seconde et Première)

🎯 Accompagnement Majorant

L'exercice de suites du Bac se joue sur l'enchaînement, pas sur une astuce. Encadrer, puis prouver la monotonie, puis conclure par convergence monotone : les élèves qui perdent des points connaissent les théorèmes, mais pas l'ordre dans lequel les convoquer. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font dérouler cet enchaînement sur des sujets réels jusqu'à ce qu'il devienne automatique.

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1. Limite finie, limite infinie

Définition 1.1 — Suite convergente

La suite $(u_{n})$ converge vers le réel $ℓ$ si tout intervalle ouvert contenant $ℓ$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note alors $n \to + \infty lim u_{n} = ℓ$ .

Autrement dit : aussi petite que soit la marge que l'on s'autorise autour de $ℓ$ , la suite finit par entrer dans cette marge et n'en ressort plus jamais.

Définition 1.2 — Suite divergeant vers l'infini

$(u_{n})$ tend vers $+ \infty$ si tout intervalle de la forme $] A; + \infty [$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang : quelle que soit la barre $A$ que l'on fixe, la suite finit par la dépasser définitivement. Définition analogue pour $- \infty$ avec $] - \infty; A [$ .

Définition 1.3 — Suite divergente

Une suite est divergente lorsqu'elle ne converge vers aucun réel. Deux cas très différents se cachent derrière ce mot : la suite peut tendre vers $\pm \infty$ (comme $u_{n} = n^{2}$ ), ou n'avoir aucune limite (comme $u_{n} = (- 1)^{n}$ , qui oscille entre $- 1$ et $1$ ).

⚠ Piège #1 du chapitre — « diverge » ne veut pas dire « tend vers l'infini ». Une suite qui tend vers

+ \infty

diverge, mais une suite divergente ne tend pas forcément vers

+ \infty

(- 1)^{n}

en est le contre-exemple de référence, à citer par cœur. Symétriquement, la phrase « la suite admet une limite » sous-entend au Bac une limite finie ou infinie — lis toujours l'énoncé pour savoir dans quel sens il l'emploie.

Définition 1.4 — Suite majorée, minorée, bornée

$(u_{n})$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_{n} \leq M$ pour tout $n$ ;
elle est minorée s'il existe un réel $m$ tel que $u_{n} \geq m$ pour tout $n$ ;
elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Un majorant n'a rien d'unique : si $M$ majore la suite, tout réel plus grand la majore aussi. En pratique, on cherche un majorant commode, pas le meilleur possible.

Proposition 1.5 — Limites des suites de référence

À connaître sans réfléchir :

n \to + \infty lim n = + \infty, n \to + \infty lim n^{2} = + \infty, n \to + \infty lim n = + \infty,

n \to + \infty lim \frac{1}{n} = 0, n \to + \infty lim \frac{1}{n ^{2}} = 0, n \to + \infty lim \frac{1}{n} = 0.

📝 Une limite ne dit rien des premiers termes. Une suite peut être énorme pendant mille rangs puis converger vers

0

: la limite est une propriété asymptotique. C'est pourquoi toutes les définitions contiennent « à partir d'un certain rang », et pourquoi modifier un nombre fini de termes ne change jamais la limite.

2. Opérations sur les limites et formes indéterminées

Théorème 2.1 — Opérations sur les limites (admis)

Si $u_{n} \to ℓ$ et $v_{n} \to ℓ^{'}$ (limites finies), alors : $u_{n} + v_{n} \to ℓ + ℓ^{'}$ , $u_{n} v_{n} \to ℓ ℓ^{'}$ , et $\frac{u _{n}}{v _{n}} \to \frac{ℓ}{ℓ ^{'}}$ lorsque $ℓ^{'} \neq = 0$ .

Les règles s'étendent aux limites infinies avec les conventions habituelles ( $+ \infty + ℓ = + \infty$ , $+ \infty \times ℓ = + \infty$ si $ℓ > 0$ …), sauf dans quatre situations où aucune conclusion générale n'est possible.

Définition 2.2 — Les quatre formes indéterminées

Les écritures suivantes ne permettent aucune conclusion sans travail supplémentaire :

« \infty - \infty », « 0 \times \infty », « \frac{\infty}{\infty} », « \frac{0}{0} » .

« Indéterminée » ne signifie pas « pas de limite » : cela signifie que la limite dépend du cas, et qu'il faut transformer l'expression pour la lever.

📐 Méthode-type 1 — Lever une forme indéterminée.

Quotient de polynômes en $n$ : factorise le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur, puis simplifie. Exemple : $\frac{3 n ^{2} - n}{2 n ^{2} + 5} = \frac{n ^{2} ( 3 - \frac{1}{n} )}{n ^{2} ( 2 + \frac{5}{n ^{2}} )} \to \frac{3}{2}$ .
Différence de termes infinis : factorise par le terme dominant. Exemple : $n^{2} - n = n^{2} (1 - \frac{1}{n}) \to + \infty$ .
Différence avec une racine : multiplie par la quantité conjuguée. Exemple : $n + 1 - n = \frac{1}{n + 1 + n} \to 0$ .
Rien ne se simplifie : passe aux théorèmes de comparaison (section 3), c'est le signal qu'il faut encadrer plutôt que calculer.

⚠ Piège #2 — écrire une forme indéterminée comme un résultat. «

lim (n^{2} - n) = \infty - \infty = 0

» est doublement faux :

\infty - \infty

n'est pas un nombre, et la limite vaut ici

+ \infty

. Sur la copie, écris explicitement « il s'agit d'une forme indéterminée, on factorise par

n^{2}

» : cette phrase montre au correcteur que tu as identifié l'obstacle, et elle est souvent créditée.

3. Théorèmes de comparaison et théorème des gendarmes

Théorème 3.1 — Comparaison ★ À savoir démontrer

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ telles que $u_{n} \leq v_{n}$ à partir d'un certain rang.

Si $u_{n} \to + \infty$ , alors $v_{n} \to + \infty$ : la plus petite pousse la plus grande.
Si $v_{n} \to - \infty$ , alors $u_{n} \to - \infty$ .

Démonstration du premier cas (retour à la définition — démonstration exigible du programme)

Soit $A$ un réel quelconque. Il s'agit de montrer que $v_{n} > A$ à partir d'un certain rang.

Comme $u_{n} \to + \infty$ , l'intervalle $] A; + \infty [$ contient tous les termes de $(u_{n})$ à partir d'un certain rang $N_{1}$ : pour tout $n \geq N_{1}$ , $u_{n} > A$ .

Par hypothèse, il existe aussi un rang $N_{0}$ à partir duquel $u_{n} \leq v_{n}$ . Posons $N = max (N_{0}, N_{1})$ . Alors, pour tout $n \geq N$ , les deux propriétés sont vraies simultanément :

v_{n} \geq u_{n} > A .

Ainsi, pour tout réel $A$ , l'intervalle $] A; + \infty [$ contient tous les termes de $(v_{n})$ à partir du rang $N$ : c'est exactement la définition de $v_{n} \to + \infty$ .

Le geste décisif : prendre le maximum des deux rangs. Chaque hypothèse fournit son propre seuil, et il faut se placer au-delà des deux pour pouvoir les utiliser ensemble. Le second cas se traite de la même façon, ou en appliquant le premier aux suites $(- v_{n})$ et $(- u_{n})$ .

Théorème 3.2 — Encadrement, dit « théorème des gendarmes » (admis)

Si $u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n}$ à partir d'un certain rang, et si $(u_{n})$ et $(w_{n})$ convergent vers la même limite $ℓ$ , alors $(v_{n})$ converge également vers $ℓ$ .

💡 Exemple canonique — une suite oscillante mais convergente.

Soit $v_{n} = \frac{sin n}{n}$ pour $n \geq 1$ . Le sinus n'a pas de limite, donc les opérations sur les limites sont inutilisables. En revanche, pour tout $n \geq 1$ :

- 1 \leq sin n \leq 1 ⟹ - \frac{1}{n} \leq \frac{sin n}{n} \leq \frac{1}{n}

(division par $n > 0$ , qui conserve le sens des inégalités). Les deux gendarmes $- \frac{1}{n}$ et $\frac{1}{n}$ tendent vers $0$ , donc $v_{n} \to 0$ . Le réflexe à retenir : dès qu'apparaît un $sin$ , un $cos$ ou un $(- 1)^{n}$ , on encadre, on ne calcule pas.

⚠ Piège #3 — deux gendarmes de limites différentes n'encadrent rien. Si

u_{n} \to 1

w_{n} \to 3

avec

u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n}

, on ne peut rien conclure sur la limite de

(v_{n})

: elle peut converger vers n'importe quelle valeur de l'intervalle, ou même ne pas avoir de limite du tout. Le théorème exige l'égalité des deux limites — c'est son hypothèse la plus souvent oubliée en copie.

4. Suites monotones et convergence

Théorème 4.1 — Théorème de la limite monotone (admis)

Toute suite croissante et majorée converge.
Toute suite décroissante et minorée converge.

Ce théorème est le seul du programme qui garantit l'existence d'une limite sans la donner. C'est précisément ce qui en fait l'outil central de l'exercice-type du Bac : on prouve d'abord que la limite existe, on la calcule ensuite.

⚠ Piège #4 — le majorant n'est pas la limite. Si

(u_{n})

est croissante et majorée par

4

, elle converge vers un réel

ℓ \leq 4

, mais rien ne dit que $ℓ = 4$ . Conclure « donc la limite vaut 4 » est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Pour obtenir

ℓ

, on résout ensuite l'équation de point fixe

ℓ = f (ℓ)

(voir méthode-type 2).

Théorème 4.2 — Toute suite croissante non majorée tend vers plus l'infini ★ À savoir démontrer

Si $(u_{n})$ est croissante et n'est pas majorée, alors $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$ .

Démonstration (retour à la définition — démonstration exigible au Bac)

Soit $A$ un réel quelconque. Comme $(u_{n})$ n'est pas majorée, $A$ n'est pas un majorant de la suite : il existe donc un rang $N$ tel que $u_{N} > A$ .

Or $(u_{n})$ est croissante, donc pour tout $n \geq N$ on a $u_{n} \geq u_{N}$ , et par transitivité $u_{n} > A$ .

Ainsi, pour tout réel $A$ , l'intervalle $] A; + \infty [$ contient tous les termes de la suite à partir du rang $N$ . C'est exactement la définition de $u_{n} \to + \infty$ .

Les deux gestes attendus : traduire « non majorée » par « il existe un rang où la suite dépasse $A$ » — c'est la négation de la définition d'un majorant — puis utiliser la croissance pour propager ce dépassement à tous les rangs suivants.

Corollaire 4.3 — L'alternative des suites croissantes

Une suite croissante n'a que deux comportements possibles : soit elle est majorée et converge (théorème 4.1), soit elle ne l'est pas et tend vers $+ \infty$ (théorème 4.2). Une suite croissante ne peut donc jamais osciller — c'est ce qui rend la monotonie si précieuse dans un exercice.

📐 Méthode-type 2 — L'exercice-type du Bac sur $u_{n + 1} = f (u_{n})$ .

Conjecturer : calcule $u_{0}, u_{1}, u_{2}$ (souvent demandé en question 1) et observe le comportement — croissance ? bornes ?
Encadrer par récurrence : démontre $a \leq u_{n} \leq b$ pour tout $n$ (chapitre récurrence, en appliquant $f$ à l'encadrement et en citant son sens de variation).
Prouver la monotonie : soit par récurrence sur « $u_{n} \leq u_{n + 1}$ », soit en étudiant le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ , souvent factorisable grâce à l'encadrement de l'étape 2.
Conclure à la convergence : croissante et majorée par $b$ , donc $(u_{n})$ converge vers un réel $ℓ$ — théorème 4.1. Cette phrase doit être écrite telle quelle.
Calculer la limite : comme $u_{n + 1} \to ℓ$ aussi et que $f$ est continue, $ℓ$ vérifie $ℓ = f (ℓ)$ . Résous cette équation, puis élimine les solutions incompatibles avec l'encadrement de l'étape 2.

🎯 Objectif mention

Cet enchaînement en 5 étapes vaut à lui seul plusieurs points à chaque session. Il se travaille sur sujets réels, pas en relisant le cours : c'est en butant sur l'étape 3 d'un vrai exercice qu'on comprend pourquoi l'encadrement de l'étape 2 était nécessaire. Nos mentors Majorant construisent ta progression sujet par sujet, du Bac blanc à l'épreuve.

Préparer l'épreuve de spécialité →

5. Suites géométriques et suites auxiliaires

Théorème 5.1 — Limite de qⁿ pour q strictement supérieur à 1 ★ À savoir démontrer

Si $q > 1$ , alors $n \to + \infty lim q^{n} = + \infty$ .

Démonstration (Bernoulli puis comparaison — démonstration exigible au Bac)

Puisque $q > 1$ , écrivons $q = 1 + a$ avec $a = q - 1 > 0$ . L'inégalité de Bernoulli, démontrée par récurrence, donne pour tout entier $n$ :

q^{n} = (1 + a)^{n} \geq 1 + na .

La suite de terme général $1 + na$ est arithmétique de raison $a > 0$ : elle tend vers $+ \infty$ . Par le théorème de comparaison (théorème 3.1), $q^{n} \to + \infty$ .

Proposition 5.2 — Les quatre comportements de qⁿ

$q > 1$ : $q^{n} \to + \infty$ ;
$q = 1$ : la suite est constante égale à $1$ ;
$- 1 < q < 1$ : $q^{n} \to 0$ ;
$q \leq - 1$ : la suite n'a pas de limite (elle change de signe indéfiniment).

Cas particulier à ne pas confondre : $q = - 1$ donne la suite $(- 1)^{n}$ , qui vaut alternativement $1$ et $- 1$ — elle est bornée, mais sans limite.

📐 Méthode-type 3 — La suite auxiliaire géométrique.

Quand l'énoncé introduit une suite auxiliaire $v_{n} = u_{n} - c$ et demande de montrer qu'elle est géométrique, le schéma est toujours le même :

Calcule $v_{n + 1}$ en remplaçant $u_{n + 1}$ par son expression en fonction de $u_{n}$ .
Fais apparaître $v_{n} = u_{n} - c$ par factorisation : tu obtiens $v_{n + 1} = q v_{n}$ .
Conclus : $(v_{n})$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $v_{0}$ , donc $v_{n} = v_{0} q^{n}$ .
Reviens à $(u_{n})$ : $u_{n} = v_{n} + c = v_{0} q^{n} + c$ — c'est la forme explicite. (Si l'énoncé pose une auxiliaire d'une autre forme, par exemple $v_{n} = \frac{1}{u _{n} - c}$ , inverse la relation correspondante : ici $u_{n} = c + \frac{1}{v _{n}}$ .)
Conclus sur la limite avec la proposition 5.2 : si $∣ q ∣ < 1$ , alors $u_{n} \to c$ .

💡 Exemple — un modèle d'évolution typique du Bac.

Soit $u_{0} = 10$ et $u_{n + 1} = 0, 8 u_{n} + 30$ . Posons $v_{n} = u_{n} - 150$ . Alors :

v_{n + 1} = u_{n + 1} - 150 = 0, 8 u_{n} + 30 - 150 = 0, 8 u_{n} - 120 = 0, 8 (u_{n} - 150) = 0, 8 v_{n} .

$(v_{n})$ est donc géométrique de raison $0, 8$ , avec $v_{0} = - 140$ . D'où $v_{n} = - 140 \times 0, 8^{n}$ et $u_{n} = 150 - 140 \times 0, 8^{n}$ . Comme $- 1 < 0, 8 < 1$ , on a $0, 8^{n} \to 0$ , donc $u_{n} \to 150$ . Le nombre $150$ est exactement le point fixe de $f (x) = 0, 8 x + 30$ — le « niveau d'équilibre » du modèle.

📐 Méthode-type 4 — La recherche de seuil (algorithmique).

Pour déterminer le plus petit rang $n$ tel que $u_{n}$ dépasse une valeur $S$ , on écrit une boucle « tant que » :

Initialiser $n = 0$ et $u = u_{0}$ .
Tant que $u \leq S$ : remplacer $u$ par $f (u)$ , puis incrémenter $n$ de $1$ .
À la sortie de la boucle, $n$ est le seuil cherché.

La boucle ne se termine que si la suite dépasse effectivement $S$ : le justifier (croissance non majorée, ou limite infinie) fait partie de la réponse attendue.

6. Erreurs classiques au Bac (vues par les correcteurs)

Les rapports de correction de l'épreuve de spécialité mathématiques reviennent chaque année sur les mêmes points de fragilité dans l'exercice de suites. Toutes ces erreurs coûtent des points alors même que l'élève « sait faire » : ce sont des erreurs de rigueur, pas de calcul.

⚠ Erreur 1 — Confondre le majorant et la limite. «

(u_{n})

est croissante et majorée par 4, donc

lim u_{n} = 4

» : non. Elle converge vers un réel

ℓ \leq 4

, que l'on détermine ensuite en résolvant

ℓ = f (ℓ)

. C'est l'erreur n°1 du chapitre, et elle est signalée session après session.

⚠ Erreur 2 — Appliquer les gendarmes avec deux limites différentes. Le théorème d'encadrement exige que les deux suites encadrantes convergent vers la même limite. Un encadrement entre une suite qui tend vers

0

et une autre qui tend vers

2

ne permet aucune conclusion : il faut alors reprendre les majorations.

⚠ Erreur 3 — Passer à la limite dans une inégalité stricte. De

u_{n} < 4

pour tout

n

, on déduit

ℓ \leq 4

et non

ℓ < 4

: le passage à la limite transforme les inégalités strictes en inégalités larges. Contre-exemple à garder en tête :

u_{n} = 4 - \frac{1}{n} < 4

pour tout

n \geq 1

, et pourtant

ℓ = 4

⚠ Erreur 4 — Écrire une forme indéterminée comme un résultat de calcul.

\frac{\infty}{\infty}

\infty - \infty

0 \times \infty

\frac{0}{0}

ne sont pas des valeurs. Nomme la forme indéterminée, puis annonce la transformation (factorisation par le terme dominant, quantité conjuguée, encadrement) : c'est la méthode qui est notée.

⚠ Erreur 5 — Oublier de vérifier les hypothèses avant de citer un théorème. Convergence monotone : il faut la monotonie et la borne, toutes deux démontrées, pas seulement observées à la calculatrice. Une conjecture lue sur un tableau de valeurs ne remplace jamais une récurrence — les correcteurs distinguent explicitement les deux.

7. Pour aller plus loin

Les suites ne sont pas un chapitre parmi d'autres : c'est le langage dans lequel s'écrit toute la notion de limite, que tu vas retrouver partout.

Limites de fonctions — les définitions et les théorèmes (opérations, comparaison, gendarmes) sont les mêmes, transposés du discret au continu.
Fonction exponentielle et logarithme — les croissances comparées se lisent d'abord sur des suites, et $e^{n}$ , $ln n$ fournissent les exemples de référence.
Calcul intégral — une intégrale se définit comme limite de sommes d'aires de rectangles : une suite, encore.
Concentration et loi des grands nombres — la moyenne d'un échantillon de taille $n$ est une suite dont on étudie la convergence.
Après le Bac — en prépa, la définition avec quantificateurs (« pour tout $ε > 0$ , il existe $N$ … ») remplace celle par intervalles, et les théorèmes admis ici sont démontrés.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'un DS ou de l'épreuve de spécialité, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu dire ce que signifie « $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ » en termes d'intervalles ?
Sais-tu donner une suite divergente qui ne tend pas vers l'infini ?
Connais-tu par cœur les limites de $n$ , $n^{2}$ , $n$ et de leurs inverses ?
Sais-tu citer les quatre formes indéterminées et les reconnaître dans un calcul ?
Sais-tu lever une forme indéterminée par factorisation du terme dominant ?
Sais-tu démontrer le théorème de comparaison en prenant le maximum des deux rangs ?
Sais-tu énoncer le théorème des gendarmes avec son hypothèse d'égalité des limites ?
Sais-tu traiter $\frac{s i n n}{n}$ par encadrement ?
Sais-tu énoncer le théorème de la limite monotone — et expliquer pourquoi le majorant n'est pas la limite ?
Sais-tu démontrer que toute suite croissante non majorée tend vers $+ \infty$ ?
Sais-tu démontrer que $q^{n} \to + \infty$ lorsque $q > 1$ ?
Sais-tu dérouler les 5 étapes de l'exercice-type sur $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , jusqu'à $ℓ = f (ℓ)$ ?

Démonstrations à savoir refaire

Divergence d'une suite minorée par une suite divergeant vers $+ \infty$ — deux seuils, puis $max (N_{0}, N_{1})$
Toute suite croissante non majorée tend vers $+ \infty$ — nier « majorée », puis propager par croissance
Limite de $q^{n}$ pour $q > 1$ — poser $q = 1 + a$ , appliquer Bernoulli, conclure par comparaison

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Suites et limites

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Limite finie, limite infinie

2. Opérations sur les limites et formes indéterminées

3. Théorèmes de comparaison et théorème des gendarmes

4. Suites monotones et convergence

5. Suites géométriques et suites auxiliaires

6. Erreurs classiques au Bac (vues par les correcteurs)

7. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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