Dérivation et convexité : Terminale Mathématiques

Vue d'ensemble

La dérivation, tu la connais depuis la Première : elle donne le sens de variation. La Terminale y ajoute deux choses. D'abord des outils de calcul plus puissants — la dérivée d'une composée, qui ouvre l'accès à $e^{u (x)}$ , $ln (u (x))$ , $u (x)$ . Ensuite une notion entièrement nouvelle, la convexité, qui décrit non plus le sens de variation mais la façon dont la courbe se creuse ou se bombe.

La convexité est la nouveauté conceptuelle de l'année en analyse, et elle est exigible : dérivée seconde, points d'inflexion, position de la courbe par rapport à ses tangentes. Elle apparaît régulièrement au Bac dans des questions courtes mais discriminantes, souvent sous forme de vrai-faux à justifier.

Au programme Terminale, spécialité Mathématiques (officiel) — Dérivée d'une fonction composée

u (a x + b)

puis

u

u^{n}

e^{u}

ln u

; dérivée seconde ; fonction convexe, fonction concave sur un intervalle ; caractérisations par la croissance de

f^{'}

et par le signe de

f^{''}

; position de la courbe par rapport à ses tangentes ; point d'inflexion.

Prérequis

Nombre dérivé, tangente en un point, équation de la tangente (Première)
Dérivées des fonctions usuelles et opérations : somme, produit, quotient (Première)
Lien entre signe de la dérivée et sens de variation (Première)
Limites de fonctions et continuité (Terminale, chapitres précédents)

🎯 Accompagnement Majorant

La convexité est là où se creuse l'écart entre 14 et 18. Elle demande peu de calculs mais une compréhension exacte des trois caractérisations, et les questions de Bac y sont formulées pour piéger l'à-peu-près. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines travaillent avec toi ces questions courtes, celles qui font la différence sur une copie.

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1. Compléments sur la dérivation

Définition 1.1 — Nombre dérivé

$f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement admet une limite finie en $a$ :

f^{'} (a) = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} ou, de fa \overset{c}{¸} on \overset{e}{ˊ} quivalente, f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} .

Ce nombre est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ , dont l'équation est $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ .

Théorème 1.2 — Dérivée d'une fonction composée (admis)

Soit $u$ dérivable sur $I$ et $g$ dérivable sur un intervalle contenant les valeurs de $u$ . Alors $g \circ u$ est dérivable sur $I$ et :

(g (u (x)))^{'} = u^{'} (x) \times g^{'} (u (x)) .

Les quatre cas au programme s'en déduisent immédiatement :

(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}, (u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}, (e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}, (ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u},

Chacune a son domaine de validité, à connaître aussi bien que la formule elle-même :

$(u^{n})^{'}$ : sans condition pour $n$ entier naturel non nul ; il faut $u$ ne s'annulant pas si $n$ est un entier négatif.
$(u)^{'}$ : valable là où $u > 0$ . Attention, là où $u = 0$ la fonction $u$ existe encore, mais la formule ne s'applique plus et la dérivabilité n'est plus garantie — c'est le cas de $x$ en $0$ , qui n'y est pas dérivable.
$(e^{u})^{'}$ : aucune condition, l'exponentielle est définie et dérivable partout.
$(ln u)^{'}$ : valable là où $u > 0$ , ce qui est aussi la condition d'existence de $ln u$ .

📐 Méthode-type 1 — Dériver une composée sans se tromper.

Identifie $u$ : c'est ce qui est « à l'intérieur ». Dans $e^{3 x^{2} - 1}$ , c'est $u (x) = 3 x^{2} - 1$ .
Calcule $u^{'}$ à part, au brouillon : $u^{'} (x) = 6 x$ .
Applique la formule sans toucher à l'intérieur : $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ , soit $6 x e^{3 x^{2} - 1}$ .
Vérifie que l'intérieur n'a pas changé entre l'énoncé et ta réponse : c'est l'erreur la plus fréquente, et elle se repère d'un coup d'œil.

💡 Exemple — trois composées à dériver.

$f (x) = x^{2} + 1$ : avec $u (x) = x^{2} + 1 > 0$ et $u^{'} (x) = 2 x$ , on obtient $f^{'} (x) = \frac{2 x}{2 x ^{2} + 1} = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ .

$g (x) = (3 x - 2)^{4}$ : avec $u (x) = 3 x - 2$ et $u^{'} (x) = 3$ , on obtient $g^{'} (x) = 4 \times 3 \times (3 x - 2)^{3} = 12 (3 x - 2)^{3}$ .

$h (x) = ln (x^{2} + 3)$ : ici $u (x) = x^{2} + 3$ est strictement positif sur $R$ , ce qui garantit à la fois l'existence de $ln u$ et la validité de la formule. Donc $h^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 3}$ , du signe de $x$ puisque le dénominateur est positif.

⚠ Piège #1 du chapitre — oublier le facteur $u^{'}$ . Écrire

(e^{3 x})^{'} = e^{3 x}

au lieu de

3 e^{3 x}

est l'erreur n°1 de toute la Terminale, et elle contamine ensuite le tableau de variations et l'intégrale. Retiens la formule dans l'ordre «

u^{'}

d'abord » :

u^{'} e^{u}

\frac{u ^{'}}{u}

\frac{u ^{'}}{2 u}

— le

u^{'}

est toujours devant ou au numérateur.

Définition 1.3 — Dérivée seconde

Si $f^{'}$ est elle-même dérivable sur $I$ , sa dérivée est appelée dérivée seconde de $f$ , notée $f^{''}$ . C'est l'objet central de toute l'étude de la convexité : $f^{'}$ décrit la pente, $f^{''}$ décrit comment la pente évolue.

2. Fonctions convexes et fonctions concaves

Définition 2.1 — Fonction convexe, fonction concave

Une fonction $f$ est convexe sur un intervalle $I$ si sa courbe est située au-dessous de chacune de ses cordes sur $I$ : pour deux points quelconques de la courbe, le segment qui les joint passe au-dessus de la courbe. Elle est concave lorsque sa courbe est au-dessus de ses cordes.

Image commode et sans ambiguïté : une fonction convexe « tient l'eau » (creux vers le haut, comme $x \mapsto x^{2}$ ), une fonction concave « la laisse couler » (bombée vers le haut, comme $x \mapsto x$ ).

Théorème 2.2 — Les trois caractérisations de la convexité (admis)

Pour $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ , les propositions suivantes sont équivalentes :

$f$ est convexe sur $I$ ;
$f^{'}$ est croissante sur $I$ ;
$f^{''}$ est positive sur $I$ .

Pour la concavité, on remplace par : $f^{'}$ décroissante, $f^{''}$ négative. C'est la troisième caractérisation qui sert en pratique : on calcule $f^{''}$ et on étudie son signe.

Théorème 2.3 — Position de la courbe par rapport à ses tangentes ★ À savoir démontrer

Si $f$ est deux fois dérivable sur $I$ avec $f^{''}$ positive — autrement dit si $f$ est convexe —, sa courbe est située au-dessus de toutes ses tangentes sur $I$ . Si $f$ est concave, la courbe est au-dessous de toutes ses tangentes.

C'est, avec la formulation « si $f^{''}$ est positive alors la courbe est au-dessus de ses tangentes », l'une des démonstrations explicitement inscrites au programme de Terminale.

Démonstration (étude de la différence courbe moins tangente — démonstration exigible du programme)

Soit $a \in I$ . La tangente en $a$ a pour équation $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ . Étudions la différence entre la courbe et cette tangente :

d (x) = f (x) - [f^{'} (a) (x - a) + f (a)] .

La fonction $d$ est dérivable sur $I$ , et $d^{'} (x) = f^{'} (x) - f^{'} (a)$ .

Or $f$ est convexe, donc $f^{'}$ est croissante sur $I$ . Par conséquent : pour $x \leq a$ , $f^{'} (x) \leq f^{'} (a)$ donc $d^{'} (x) \leq 0$ ; et pour $x \geq a$ , $f^{'} (x) \geq f^{'} (a)$ donc $d^{'} (x) \geq 0$ .

La fonction $d$ décroît donc jusqu'en $a$ , puis croît : elle atteint son minimum en $a$ . Et ce minimum vaut $d (a) = f (a) - f (a) = 0$ .

Ainsi $d (x) \geq 0$ pour tout $x \in I$ , c'est-à-dire $f (x) \geq f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ : la courbe est au-dessus de sa tangente en $a$ . Comme $a$ était quelconque, c'est vrai pour toutes les tangentes.

Cas concave. Si $f$ est concave, alors $- f$ est convexe : on lui applique ce qui précède, et l'inégalité obtenue se retourne. La courbe de $f$ est donc au-dessous de toutes ses tangentes.

Le schéma à retenir : pour comparer une courbe et une droite, on étudie le signe de leur différence. C'est la méthode de référence au Bac, et elle fonctionne même quand la convexité n'est pas invoquée.

Définition 2.4 — Point d'inflexion

Un point de la courbe est un point d'inflexion si la courbe y traverse sa tangente, c'est-à-dire si $f$ y change de convexité. Pour une fonction deux fois dérivable, cela correspond à un point où $f^{''}$ s'annule en changeant de signe.

⚠ Piège #2 — $f^{''} (a) = 0$ ne suffit pas. Pour

f (x) = x^{4}

, on a

f^{''} (x) = 12 x^{2}

, donc

f^{''} (0) = 0

. Pourtant

0

n'est pas un point d'inflexion :

f^{''}

reste positive de part et d'autre, la fonction est convexe partout. Il faut un changement de signe de

f^{''}

, exactement comme

f^{'} (a) = 0

ne suffit pas à garantir un extremum.

📐 Méthode-type 2 — Étudier la convexité d'une fonction.

Calcule $f^{'}$ , puis $f^{''}$ — en dérivant $f^{'}$ avec le même soin que $f$ .
Étudie le signe de $f^{''}$ , par factorisation ou tableau de signes.
Conclus par intervalles : « $f^{''}$ est positive sur $I_{1}$ , donc $f$ est convexe sur $I_{1}$ ; négative sur $I_{2}$ , donc concave sur $I_{2}$ ».
Repère les points où $f^{''}$ s'annule en changeant de signe : ce sont les points d'inflexion. Donne leurs coordonnées complètes $(a; f (a))$ , pas seulement l'abscisse.

💡 Exemple canonique — la fonction cube.

Soit $f (x) = x^{3}$ . On a $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ et $f^{''} (x) = 6 x$ , du signe de $x$ . Donc :

$f$ est concave sur $] - \infty; 0]$ (où $f^{''} \leq 0$ ) et convexe sur $[0; + \infty [$ (où $f^{''} \geq 0$ ). La dérivée seconde s'annule en $0$ en changeant de signe : l'origine $(0; 0)$ est un point d'inflexion, et la courbe y traverse sa tangente — qui est l'axe des abscisses.

Remarque qui piège beaucoup d'élèves : $f$ est strictement croissante sur $R$ tout entier, alors même qu'elle change de convexité. Variations et convexité sont deux informations indépendantes.

🎯 Objectif mention

Convexe ou croissante ? Les sujets jouent volontairement sur cette confusion. Une fonction peut être décroissante et convexe, croissante et concave, ou changer de convexité sans changer de variation. Nos mentors Majorant te font manipuler ces quatre combinaisons jusqu'à ce que le vrai-faux du Bac devienne une formalité.

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3. Lire la convexité et s'en servir

Définition 3.1 — Position relative de deux courbes

Étant donné deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $I$ , la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$ sur $I$ lorsque $f (x) \geq g (x)$ pour tout $x \in I$ . Étudier une position relative revient donc toujours à étudier le signe de la différence $d (x) = f (x) - g (x)$ , et les points d'intersection des deux courbes sont les solutions de $d (x) = 0$ .

C'est le raisonnement de référence pour ce type de question — l'autre voie étant d'invoquer la convexité et le théorème 2.3. Dans les deux cas, une lecture graphique peut orienter, elle ne démontre jamais.

Proposition 3.2 — Ce que chaque objet permet de lire

Le signe de $f^{'}$ donne les variations de $f$ ;
le signe de $f^{''}$ donne les variations de $f^{'}$ , donc la convexité de $f$ ;
les annulations de $f^{'}$ avec changement de signe donnent les extremums ;
les annulations de $f^{''}$ avec changement de signe donnent les points d'inflexion.

Une lecture graphique fréquente au Bac : sur la courbe de $f^{'}$ , un point d'inflexion de $f$ correspond à un extremum de $f^{'}$ — puisque c'est là que la pente cesse de croître pour décroître, ou l'inverse.

Théorème 3.3 — Convexité de l'exponentielle et inégalité de référence ★ À savoir démontrer

La fonction exponentielle est convexe sur $R$ , et pour tout réel $x$ : $e^{x} \geq x + 1$ , avec égalité uniquement en $x = 0$ .

Démonstration (dérivée seconde, puis étude de la différence)

Convexité. La fonction exponentielle est deux fois dérivable sur $R$ avec $(e^{x})^{''} = e^{x}$ . Or l'exponentielle est strictement positive sur $R$ , donc $f^{''} > 0$ : la fonction est convexe sur $R$ d'après le théorème 2.2.

Inégalité. La tangente à la courbe au point d'abscisse $0$ a pour équation $y = f^{'} (0) (x - 0) + f (0) = x + 1$ , puisque $f^{'} (0) = e^{0} = 1$ et $f (0) = 1$ . Comme la fonction est convexe, sa courbe est au-dessus de cette tangente (théorème 2.3), d'où $e^{x} \geq x + 1$ pour tout réel $x$ .

Cas d'égalité. Posons $g (x) = e^{x} - x - 1$ , de dérivée $g^{'} (x) = e^{x} - 1$ , qui s'annule uniquement en $0$ en changeant de signe : $g$ est strictement décroissante avant $0$ et strictement croissante après. Son minimum, nul, n'est donc atteint qu'en $x = 0$ : l'inégalité est stricte partout ailleurs.

Pourquoi cette inégalité compte : elle sert à établir les croissances comparées, à majorer des restes dans des calculs de limites, et elle revient chaque année sous une forme ou une autre.

📝 Une inégalité jumelle pour le logarithme. En appliquant le même schéma à

h (x) = ln x - x + 1

sur

] 0; + \infty [

, on obtient

ln x \leq x - 1

: la courbe du logarithme est au-dessous de sa tangente en

1

, ce qui traduit sa concavité. Les deux inégalités

e^{x} \geq x + 1

ln x \leq x - 1

sont les deux faces d'un même fait, et se déduisent l'une de l'autre par passage à la réciproque.

⚠ Piège #3 — confondre « $f^{'}$ croissante » et « $f$ croissante ».

f

convexe signifie que

f^{'}

est croissante, ce qui n'implique rien sur les variations de

f

elle-même : la fonction

x \mapsto e^{- x}

est convexe (

f^{''} = e^{- x} > 0

) tout en étant strictement décroissante. Lis toujours deux fois l'objet dont on parle :

f

, ou sa dérivée.

⚠ Piège #4 — lire une convexité sur la courbe de $f^{'}$ comme si c'était celle de $f$ . Quand l'énoncé fournit la courbe de

f^{'}

(situation classique), la convexité de

f

se lit sur les variations de la courbe affichée, pas sur sa forme :

f

est convexe là où la courbe de

f^{'}

monte. Repère bien, dans l'énoncé, quelle fonction est tracée avant de répondre.

4. Erreurs classiques au Bac (vues par les correcteurs)

Sur ce chapitre, les rapports de correction de l'épreuve de spécialité mathématiques distinguent deux familles d'erreurs : les erreurs de calcul sur les composées, et les confusions de vocabulaire sur la convexité. Les secondes coûtent plus cher, parce qu'elles portent sur des questions de raisonnement.

⚠ Erreur 1 — Oublier $u^{'}$ dans la dérivée d'une composée.

(e^{- 2 x})^{'} = - 2 e^{- 2 x}

, et non

e^{- 2 x}

. Cette omission fausse le signe de la dérivée, donc le tableau de variations, donc toutes les questions suivantes. Prends l'habitude d'écrire

u

u^{'}

au brouillon avant d'appliquer la formule.

⚠ Erreur 2 — Conclure à un point d'inflexion dès que $f^{''}$ s'annule. Il faut un changement de signe. Le contre-exemple

f (x) = x^{4}

0

est à connaître, et à citer : c'est exactement ce que le correcteur attend en justification.

⚠ Erreur 3 — Confondre convexité et croissance. «

f^{''} > 0

donc

f

est croissante » est faux :

f^{''} > 0

signifie que

f^{'}

est croissante. Les variations de

f

se lisent sur le signe de

f^{'}

, et sur lui seul.

⚠ Erreur 4 — Donner un point d'inflexion par sa seule abscisse. Un point de la courbe a deux coordonnées. La réponse attendue est

(a; f (a))

, ce qui suppose de calculer

f (a)

— étape régulièrement oubliée alors qu'elle est immédiate.

⚠ Erreur 5 — Affirmer une position de courbe sans étudier la différence. Pour prouver que la courbe est au-dessus d'une droite, l'argument attendu est l'étude du signe de la différence

f (x) - (a x + b)

, ou l'invocation explicite de la convexité et du théorème 2.3. Une lecture graphique ne démontre rien et n'est jamais créditée comme justification.

5. Pour aller plus loin

Dérivation et convexité sont des outils que tu vas réemployer dans presque tous les exercices d'analyse de l'année.

Fonction exponentielle et logarithme — leurs propriétés de convexité fournissent les inégalités qui servent aux croissances comparées.
Primitives et équations différentielles — reconnaître une dérivée de composée, c'est exactement savoir trouver une primitive.
Calcul intégral — la convexité donne des encadrements d'intégrales par des trapèzes, et justifie le sens des inégalités obtenues.
Suites récurrentes — la position de la courbe par rapport à la droite $y = x$ gouverne le comportement en escalier de la suite.
Après le Bac — en prépa, la convexité se définit par une inégalité sur les barycentres et débouche sur les inégalités de Jensen et arithmético-géométrique.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'un DS ou de l'épreuve de spécialité, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu écrire le nombre dérivé comme limite du taux d'accroissement, sous ses deux formes ?
Sais-tu donner l'équation de la tangente en un point sans la chercher dans le formulaire ?
Connais-tu par cœur les dérivées de $u^{n}$ , $u$ , $e^{u}$ et $ln u$ ?
Sais-tu dériver $e^{3 x^{2} - 1}$ sans oublier le facteur $u^{'}$ ?
Sais-tu définir une fonction convexe par la position de sa courbe et de ses cordes ?
Sais-tu énoncer les trois caractérisations équivalentes de la convexité ?
Sais-tu démontrer que $e^{x} \geq x + 1$ , et dire où l'inégalité est une égalité ?
Sais-tu pourquoi la courbe d'une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes ?
Sais-tu définir un point d'inflexion, et dire pourquoi $f^{''} (a) = 0$ ne suffit pas ?
Connais-tu le contre-exemple $x \mapsto x^{4}$ en $0$ ?
Sais-tu donner une fonction décroissante et convexe ?
Sais-tu lire la convexité de $f$ sur la courbe de $f^{'}$ ?

Démonstrations à savoir refaire

Position de la courbe par rapport à sa tangente — étudier $d (x) = f (x) - [f^{'} (a) (x - a) + f (a)]$ , dont $f^{'}$ croissante rend le minimum nul en $a$
Convexité de l'exponentielle et $e^{x} \geq x + 1$ — signe de $f^{''}$ , puis tangente en $0$

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Dérivation et convexité

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Compléments sur la dérivation

2. Fonctions convexes et fonctions concaves

3. Lire la convexité et s'en servir

4. Erreurs classiques au Bac (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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