Raisonnement par récurrence : Terminale Mathématiques

Vue d'ensemble

Le raisonnement par récurrence est le premier outil de démonstration que tu rencontres en Terminale, et c'est aussi celui que les correcteurs du Bac notent le plus mécaniquement : une récurrence bien rédigée rapporte ses points en entier, une récurrence bâclée en perd la moitié même quand le calcul est juste. Le principe tient en une image — une file infinie de dominos : si le premier tombe, et si chaque domino qui tombe fait tomber le suivant, alors tous tombent.

Cette fiche couvre le principe et sa rédaction canonique en quatre temps, les trois familles de récurrences qui reviennent à l'écrit (égalités, inégalités, encadrements d'une suite définie par $u_{n + 1} = f (u_{n})$ ), les variantes (départ à un rang $n_{0}$ , récurrence double), et les 2 démonstrations exigibles du programme qui reposent dessus : l'inégalité de Bernoulli et la limite de $q^{n}$ pour $q > 1$ .

Au programme Terminale, spécialité Mathématiques (officiel) — Principe du raisonnement par récurrence ; démonstration par récurrence de l'inégalité de Bernoulli ; démonstration par récurrence que pour

q > 1

lim q^{n} = + \infty

; utilisation du raisonnement par récurrence pour établir une formule explicite, une monotonie ou un encadrement portant sur une suite définie par récurrence.

Prérequis

Notation d'une suite $(u_{n})$ , terme de rang $n$ , suite définie explicitement ou par récurrence (Première)
Suites arithmétiques et géométriques : formules du terme général (Première)
Manipulation des inégalités : somme, produit par un réel, transitivité (Seconde et Première)
Sens de variation d'une suite : signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ (Première)

🎯 Accompagnement Majorant

Tu comprends le principe des dominos mais tu perds des points à la rédaction ? C'est le cas le plus fréquent en début de Terminale : l'idée est là, la structure ne l'est pas. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font rédiger tes récurrences ligne à ligne, sur tes propres DS, jusqu'à ce que le réflexe soit automatique avant l'épreuve de spécialité.

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1. Le principe de récurrence

Définition 1.1 — Propriété dépendant d'un entier

On appelle propriété dépendant d'un entier naturel un énoncé, noté $P (n)$ , qui pour chaque valeur de $n$ est soit vrai, soit faux. Exemples : $P (n)$ : « $u_{n} = 3 \times 2^{n} - 1$ », ou $P (n)$ : « $0 \leq u_{n} \leq 4$ », ou encore $P (n)$ : « $2^{n} \geq n + 1$ ».

Démontrer une propriété « pour tout $n$ » revient à démontrer une infinité d'énoncés d'un seul coup : c'est précisément ce que rend possible le raisonnement par récurrence.

Définition 1.2 — Initialisation

L'initialisation consiste à vérifier que $P (n_{0})$ est vraie pour le premier rang $n_{0}$ considéré (souvent $n_{0} = 0$ ou $n_{0} = 1$ ). C'est le premier domino que l'on pousse : sans lui, rien ne tombe.

Définition 1.3 — Hérédité

La propriété $P$ est héréditaire à partir du rang $n_{0}$ si, pour tout entier $n \geq n_{0}$ , l'implication suivante est vraie :

P (n) ⟹ P (n + 1) .

Autrement dit : en supposant $P (n)$ vraie pour un entier $n$ fixé quelconque, on parvient à démontrer $P (n + 1)$ . C'est le mécanisme domino-à-domino.

Théorème 1.4 — Principe du raisonnement par récurrence

Soit $P (n)$ une propriété dépendant d'un entier naturel $n$ , et $n_{0}$ un entier naturel. Si :

(Initialisation) $P (n_{0})$ est vraie ;
(Hérédité) pour tout $n \geq n_{0}$ , $P (n) \Rightarrow P (n + 1)$ ;

alors $P (n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_{0}$ .

📝 Pourquoi ce théorème n'est pas démontré. Le principe de récurrence n'est pas une conséquence de résultats plus simples : c'est une propriété fondatrice de l'ensemble

N

, admise au lycée (elle fait partie des axiomes qui définissent les entiers naturels). Aucune question du Bac ne te demandera de le démontrer — en revanche, on te demandera très souvent de l'appliquer impeccablement.

⚠ Piège #1 du chapitre — l'hérédité seule ne prouve rien. Considère

P (n)

: «

3^{n}

est pair ». Si

3^{n}

était pair, alors

3^{n + 1} = 3 \times 3^{n}

serait pair aussi : la propriété est parfaitement héréditaire. Et pourtant elle est fausse à tous les rangs, car

3^{n}

est toujours impair — et de fait l'initialisation échoue, puisque

P (0)

est fausse. Une file de dominos parfaitement alignée ne tombe pas si personne ne pousse le premier : une hérédité sans initialisation vaut zéro point.

⚠ Piège #2 — l'initialisation seule ne prouve rien non plus. Vérifier une propriété pour

n = 0, 1, 2, 3

puis écrire « donc c'est vrai pour tout

n

» n'est pas une démonstration : c'est une conjecture. La propriété «

n^{2} + n + 41

est un nombre premier » est vraie pour

n = 0

jusqu'à

n = 39

… et fausse pour

n = 40

, où l'on obtient

1681 = 4 1^{2}

. Le Bac sanctionne systématiquement ce raccourci.

2. Rédiger une récurrence — la méthode qui rapporte les points

📐 Méthode-type 1 — La rédaction canonique en 4 temps.

Énoncer la propriété. « Pour tout entier $n \geq n_{0}$ , notons $P (n)$ la propriété : … ». Écris-la exactement, avec les indices $n$ et non $n + 1$ . Cette ligne à elle seule vaut souvent un point.
Initialisation. « Pour $n = n_{0}$ : … ». Calcule les deux membres séparément et conclus « donc $P (n_{0})$ est vraie ».
Hérédité. « Soit $n \geq n_{0}$ un entier fixé. Supposons $P (n)$ vraie (hypothèse de récurrence), et montrons $P (n + 1)$ . » Puis tu pars de l'expression au rang $n + 1$ , tu y fais apparaître le rang $n$ , et tu appliques l'hypothèse. Conclus : « donc $P (n + 1)$ est vraie ».
Conclusion. « $P (n_{0})$ est vraie et $P$ est héréditaire à partir du rang $n_{0}$ ; d'après le principe de récurrence, $P (n)$ est vraie pour tout $n \geq n_{0}$ . »

💡 Exemple canonique — la somme des $n$ premiers entiers.

Montrons que pour tout $n \geq 1$ : $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .

Propriété. Pour $n \geq 1$ , $P (n)$ : « $\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ ».

Initialisation. Pour $n = 1$ : le membre de gauche vaut $1$ , le membre de droite vaut $\frac{1 \times 2}{2} = 1$ . Les deux coïncident, donc $P (1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n \geq 1$ fixé, supposons $P (n)$ vraie. Alors :

k = 1 \sum n + 1 k = on fait appara \overset{ı}{ˆ} tre le rang n k = 1 \sum n k + (n + 1) = P (n) \frac{n ( n + 1 )}{2} + (n + 1) = (n + 1) (\frac{n}{2} + 1) = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2} .

C'est exactement $P (n + 1)$ (la formule au rang $n + 1$ s'écrit $\frac{( n + 1 ) ( ( n + 1 ) + 1 )}{2}$ ). Donc $P (n + 1)$ est vraie.

Conclusion. Par récurrence, la formule est vraie pour tout $n \geq 1$ .

📝 Le geste central : « faire apparaître le rang $n$ ». Toute hérédité consiste à écrire la quantité de rang

n + 1

en fonction de celle de rang

n

, pour pouvoir y injecter l'hypothèse. Somme : on isole le dernier terme. Produit : on isole le dernier facteur. Suite récurrente : on écrit

u_{n + 1} = f (u_{n})

. Puissance : on écrit

q^{n + 1} = q \times q^{n}

. Tant que le rang

n

n'apparaît pas, l'hypothèse de récurrence ne sert à rien — et sans elle, ce n'est pas une récurrence.

⚠ Piège #3 — « Supposons que $P (n)$ soit vraie pour tout $n$ ». Formulation fausse et lourdement sanctionnée : si tu supposes la propriété vraie pour tout

n

, tu supposes exactement ce que tu veux démontrer. La formule correcte est : « Soit $n \geq n_{0}$ un entier fixé quelconque. Supposons $P (n)$ vraie. » L'hypothèse porte sur un rang, pas sur tous.

3. Récurrences sur des inégalités

Les récurrences portant sur une inégalité sont les plus fréquentes au Bac, et les plus piégeuses : contrairement aux égalités, on ne peut pas « calculer jusqu'au résultat », il faut majorer ou minorer en gardant le contrôle du sens de l'inégalité.

Théorème 3.1 — Inégalité de Bernoulli ★ À savoir démontrer

Pour tout réel $a \geq 0$ et tout entier naturel $n$ :

(1 + a)^{n} \geq 1 + na .

Démonstration (récurrence sur n, à savoir refaire par cœur)

Soit $a \geq 0$ fixé. Pour $n \in N$ , notons $P (n)$ la propriété : « $(1 + a)^{n} \geq 1 + na$ ».

Initialisation. Pour $n = 0$ : $(1 + a)^{0} = 1$ et $1 + 0 \times a = 1$ . On a bien $1 \geq 1$ , donc $P (0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n \in N$ fixé, supposons $P (n)$ vraie. Comme $a \geq 0$ , le facteur $1 + a$ est strictement positif : multiplier les deux membres de $(1 + a)^{n} \geq 1 + na$ par $1 + a$ conserve donc le sens de l'inégalité :

(1 + a)^{n + 1} = (1 + a)^{n} (1 + a) \geq (1 + na) (1 + a) = 1 + na + a + n a^{2} .

Or $n a^{2} \geq 0$ , donc $1 + na + a + n a^{2} \geq 1 + (n + 1) a$ . Par transitivité : $(1 + a)^{n + 1} \geq 1 + (n + 1) a$ , c'est-à-dire $P (n + 1)$ .

Conclusion. Par récurrence, $(1 + a)^{n} \geq 1 + na$ pour tout $n \in N$ .

Les deux points où l'on perd des points : ne pas justifier que $1 + a > 0$ avant de multiplier, et « oublier » le terme $n a^{2}$ au lieu de dire explicitement qu'il est positif donc qu'on peut le supprimer en minorant.

⚠ Piège #4 — multiplier une inégalité sans connaître le signe du facteur. De

u_{n} \leq 4

on ne déduit

k u_{n} \leq 4 k

que si

k

est positif ; si

k < 0

, l'inégalité change de sens. Dans toute hérédité qui multiplie, la première phrase doit être une justification de signe. C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre, parce qu'elle invalide toute la suite du raisonnement.

💡 Exemple — encadrer une suite définie par récurrence.

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3$ . Montrons que pour tout $n$ , $1 \leq u_{n} \leq 3$ .

Initialisation. $u_{0} = 1$ et $1 \leq 1 \leq 3$ : $P (0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n$ fixé, supposons $1 \leq u_{n} \leq 3$ . Alors $2 \leq 2 u_{n} \leq 6$ , puis $5 \leq 2 u_{n} + 3 \leq 9$ . La fonction racine carrée étant croissante sur $[0; + \infty [$ , on peut l'appliquer aux trois membres :

5 \leq 2 u_{n} + 3 \leq 9, c’est- \overset{a}{ˋ} -dire 5 \leq u_{n + 1} \leq 3.

Comme $5 \geq 1$ , on en déduit $1 \leq u_{n + 1} \leq 3$ , soit $P (n + 1)$ . Conclusion par récurrence : $1 \leq u_{n} \leq 3$ pour tout $n$ .

Le geste à retenir : pour appliquer une fonction à un encadrement, il faut citer son sens de variation. Avec une fonction décroissante, l'encadrement se retourne — et l'oublier fait perdre tout l'exercice.

4. Récurrence et limite d'une suite géométrique

La récurrence n'est pas seulement un outil de calcul : c'est elle qui permet d'établir le résultat le plus utilisé de toute l'année sur les suites, le comportement de $q^{n}$ .

Théorème 4.1 — Limite de qⁿ pour q strictement supérieur à 1 ★ À savoir démontrer

Si $q > 1$ , alors $n \to + \infty lim q^{n} = + \infty$ .

Démonstration (Bernoulli puis comparaison — démonstration exigible au Bac)

Comme $q > 1$ , on peut écrire $q = 1 + a$ avec $a = q - 1 > 0$ . L'inégalité de Bernoulli (théorème 3.1) donne, pour tout $n \in N$ :

q^{n} = (1 + a)^{n} \geq 1 + na .

Or $a > 0$ , donc la suite de terme général $1 + na$ est une suite arithmétique de raison strictement positive : elle tend vers $+ \infty$ . Par le théorème de comparaison (si $v_{n} \leq u_{n}$ et $v_{n} \to + \infty$ , alors $u_{n} \to + \infty$ ), on conclut :

n \to + \infty lim q^{n} = + \infty.

Rédaction attendue : la mention explicite de la substitution $q = 1 + a$ avec $a > 0$ , puis le nom du théorème de comparaison. Sans ces deux éléments, la démonstration est jugée incomplète.

Corollaire 4.2 — Les quatre cas de la suite géométrique

$q > 1$ : $q^{n} \to + \infty$ (théorème 4.1) ;
$q = 1$ : $q^{n} = 1$ pour tout $n$ , la suite est constante ;
$- 1 < q < 1$ : $q^{n} \to 0$ ;
$q \leq - 1$ : la suite n'a pas de limite (elle oscille en changeant de signe).

Ce tableau est à connaître par cœur : il sert dans presque tous les exercices de suites, de probabilités (temps d'attente) et de modélisation économique du Bac.

🎯 Objectif mention

La démonstration de la limite de $q^{n}$ tombe régulièrement au Bac — et elle se prépare. Les démonstrations exigibles du programme sont une dizaine ; les savoir refaire de mémoire, c'est se garantir des points quel que soit le sujet. Nos mentors Majorant balaient cette liste avec toi, une démo à la fois, et te font rédiger jusqu'au niveau attendu par les correcteurs.

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5. Variantes du raisonnement

Définition 5.1 — Récurrence à partir d'un rang n₀

Rien n'oblige à démarrer à $n = 0$ . Si la propriété n'est vraie qu'à partir d'un certain rang $n_{0}$ , on initialise en $n_{0}$ et on démontre l'hérédité pour $n \geq n_{0}$ : la conclusion porte alors sur les entiers $n \geq n_{0}$ , et sur eux seulement.

💡 Exemple — une propriété qui décroche en cours de route.

Regarde $2^{n} \geq n^{2}$ rang par rang : vraie pour $n = 0$ ( $1 \geq 0$ ), $n = 1$ ( $2 \geq 1$ ) et $n = 2$ ( $4 \geq 4$ ), puis fausse pour $n = 3$ ( $8 < 9$ ), et de nouveau vraie pour tout $n \geq 4$ .

Regarde bien où se situe le problème. L'hérédité, elle, s'établit dès $n = 3$ : de $2^{n} \geq n^{2}$ on tire $2^{n + 1} \geq 2 n^{2}$ , et $2 n^{2} \geq (n + 1)^{2}$ dès que $n \geq 3$ . Ce qui bloque, c'est que $P (3)$ est fausse : impossible d'initialiser au rang $3$ . On initialise donc au premier rang où la propriété redevient vraie, $n_{0} = 4$ ( $2^{4} = 16 \geq 16$ ), et l'on conclut « pour tout $n \geq 4$ ». Écrire « pour tout $n$ » serait une erreur de portée, sanctionnée même si le calcul d'hérédité est parfait.

Définition 5.2 — Récurrence double

Lorsque le terme $u_{n + 2}$ dépend de $u_{n + 1}$ et de $u_{n}$ (par exemple $u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_{n}$ ), l'hypothèse doit porter sur deux rangs consécutifs : on initialise en $n_{0}$ et $n_{0} + 1$ , puis on démontre « $P (n)$ et $P (n + 1)$ $\Rightarrow$ $P (n + 2)$ ».

📝 Récurrence forte (hors programme Terminale, utile en prépa). On peut aussi supposer

P (k)

vraie pour tous les rangs

k

compris entre

n_{0}

n

, et en déduire

P (n + 1)

: c'est la récurrence forte, indispensable en arithmétique (décomposition en facteurs premiers) et omniprésente en CPGE. En Terminale, la récurrence double suffit à tous les exercices du programme — mais savoir que cette variante existe évite de rester bloqué devant une suite dont le terme général dépend de tous les précédents.

📐 Méthode-type 2 — Démontrer la monotonie d'une suite définie par $u_{n + 1} = f (u_{n})$ .

Calcule $u_{0}$ et $u_{1}$ , et compare-les : ce signe détermine la monotonie conjecturée.
Pose $P (n)$ : « $u_{n} \leq u_{n + 1}$ » (cas croissant) — et non « la suite est croissante », qui n'est pas une propriété d'un rang.
Initialise : $u_{0} \leq u_{1}$ , vérifié à l'étape 1.
Hérédité : suppose $u_{n} \leq u_{n + 1}$ et applique $f$ aux deux membres. Si $f$ est croissante sur l'intervalle où vit la suite — ce qu'il faut avoir justifié —, on obtient $f (u_{n}) \leq f (u_{n + 1})$ , c'est-à-dire $u_{n + 1} \leq u_{n + 2}$ .
Conclus, puis combine avec l'encadrement obtenu par ailleurs : une suite croissante et majorée converge (théorème de la limite monotone, chapitre Suites).

⚠ Piège #5 — appliquer une fonction décroissante sans retourner l'inégalité. Si

f

est décroissante,

u_{n} \leq u_{n + 1}

donne

f (u_{n}) \geq f (u_{n + 1})

, soit

u_{n + 1} \geq u_{n + 2}

: la propriété n'est pas héréditaire sous cette forme, et la suite n'est en général pas monotone (elle alterne, sauf si

u_{0}

est déjà le point fixe de

f

, auquel cas la suite est constante). Vérifie toujours le sens de variation de

f

avant de lancer la récurrence — sinon tu démontres laborieusement quelque chose de faux.

6. Erreurs classiques au Bac (vues par les correcteurs)

Les rapports de correction de l'épreuve de spécialité mathématiques signalent chaque année les mêmes défaillances sur la récurrence. Elles ne portent presque jamais sur le calcul : elles portent sur la structure de la démonstration, qui est précisément ce qui est évalué. Les voici, dans l'ordre de fréquence.

⚠ Erreur 1 — L'initialisation escamotée. Écrire « pour

n = 0

, c'est évident » ne rapporte rien. Le correcteur attend le calcul des deux membres et la phrase de conclusion « donc

P (0)

est vraie ». C'est la ligne la plus rapide de tout l'exercice et la plus souvent perdue.

⚠ Erreur 2 — L'hypothèse de récurrence jamais utilisée. Si le calcul d'hérédité aboutit sans avoir jamais invoqué

P (n)

, c'est le signe qu'il ne s'agit pas d'une récurrence : soit la propriété se démontre directement, soit le raisonnement est faux. Signale explicitement l'endroit où tu appliques l'hypothèse (« d'après l'hypothèse de récurrence ») : c'est le point que le correcteur cherche des yeux.

⚠ Erreur 3 — Confondre le rang $n$ fixé et la variable muette. Formulations sanctionnées : « supposons que

P (n)

soit vraie pour tout

n

», « soit

n

tel que

P (n)

soit vraie » (qui suppose l'existence d'un tel rang au lieu de le fixer arbitrairement). La formule attendue est : « Soit

n \geq n_{0}

fixé. Supposons

P (n)

vraie. »

⚠ Erreur 4 — Partir de ce qu'on veut démontrer. Écrire

u_{n + 1} \leq 3

en première ligne de l'hérédité, puis « transformer » jusqu'à tomber sur une inégalité vraie, est un raisonnement à l'envers. Il n'est valide que si toutes les étapes sont des équivalences, ce qui n'est presque jamais le cas avec des carrés, des racines ou des multiplications. Pars toujours du membre de rang

n + 1

et avance vers la conclusion.

⚠ Erreur 5 — La conclusion oubliée. Terminer sur « donc

P (n + 1)

est vraie » sans la phrase finale (« d'après le principe de récurrence,

P (n)

est vraie pour tout

n \geq n_{0}

») coûte un point sur presque tous les barèmes. Et n'oublie pas d'y préciser à partir de quel rang : la portée de la conclusion fait partie du résultat.

7. Pour aller plus loin

La récurrence n'est pas un chapitre isolé : c'est l'outil transversal que tu vas réutiliser toute l'année, dans les trois blocs du programme.

Suites et limites — encadrer une suite, prouver sa monotonie, puis conclure par le théorème de la limite monotone : la première moitié du raisonnement est presque toujours une récurrence.
Fonction exponentielle — la propriété $e^{n x} = (e^{x})^{n}$ pour $n \in N$ se démontre par récurrence, et l'inégalité $e^{x} \geq 1 + x$ prolonge l'esprit de Bernoulli au continu.
Loi binomiale — la formule du binôme de Newton et les propriétés des coefficients binomiaux reposent sur des récurrences (relation de Pascal).
Concentration et loi des grands nombres — les majorations du type Bienaymé-Tchebychev s'appuient sur le même contrôle du sens des inégalités.
Après le Bac — en CPGE, la récurrence forte et la récurrence sur plusieurs variables deviennent quotidiennes : maîtriser la rédaction dès la Terminale est un vrai capital d'avance.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'un DS ou de l'épreuve de spécialité, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu énoncer le principe de récurrence avec ses deux hypothèses, initialisation et hérédité ?
Sais-tu donner une propriété héréditaire qui est pourtant fausse à tous les rangs ?
Sais-tu écrire les 4 étapes de la rédaction canonique sans en oublier la conclusion ?
Sais-tu formuler correctement l'hypothèse de récurrence (« soit $n$ fixé, supposons $P (n)$ ») ?
Sais-tu « faire apparaître le rang $n$ » dans une somme, un produit, une puissance ?
Sais-tu démontrer l'inégalité de Bernoulli, en justifiant que $1 + a > 0$ avant de multiplier ?
Sais-tu démontrer que $q^{n} \to + \infty$ pour $q > 1$ , en citant le théorème de comparaison ?
Connais-tu les quatre cas de limite d'une suite géométrique selon la valeur de $q$ ?
Sais-tu appliquer une fonction à un encadrement en citant son sens de variation ?
Sais-tu initialiser à un rang $n_{0} \neq = 0$ et énoncer la conclusion avec la bonne portée ?
Sais-tu ce qu'est une récurrence double et quand elle est nécessaire ?
Sais-tu démontrer la monotonie d'une suite définie par $u_{n + 1} = f (u_{n})$ en 5 étapes ?

Démonstrations à savoir refaire

Inégalité de Bernoulli — récurrence, multiplication par $1 + a > 0$ , puis on néglige $n a^{2} \geq 0$
Limite de $q^{n}$ pour $q > 1$ — poser $q = 1 + a$ , appliquer Bernoulli, conclure par comparaison

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Raisonnement par récurrence

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Le principe de récurrence

2. Rédiger une récurrence — la méthode qui rapporte les points

3. Récurrences sur des inégalités

4. Récurrence et limite d'une suite géométrique

5. Variantes du raisonnement

6. Erreurs classiques au Bac (vues par les correcteurs)

7. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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