Fonction logarithme népérien : Terminale Mathématiques

Vue d'ensemble

Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l'exponentielle : là où l'exponentielle transforme les sommes en produits, le logarithme fait exactement l'inverse. C'est ce qui en fait l'outil de référence pour résoudre une équation dont l'inconnue est en exposant — un seuil de population, un temps de demi-vie, un rang à partir duquel une suite géométrique dépasse une valeur.

Le chapitre est court en contenu mais dense en réflexes : quatre propriétés algébriques, une dérivée, deux croissances comparées, et une vigilance permanente sur l'ensemble de définition, qui est la source n°1 des points perdus au Bac. La fiche traite aussi les usages qui en font un outil : recherche de seuil, échelles logarithmiques et temps de demi-vie, que tu retrouveras tels quels en physique-chimie.

Au programme Terminale, spécialité Mathématiques (officiel) — Fonction logarithme népérien comme réciproque de l'exponentielle ; relation fonctionnelle

ln (ab) = ln a + ln b

; propriétés algébriques (quotient, inverse, puissance, racine) ; dérivée de

ln

, la dérivabilité étant admise ; variations, limites en

0

et en

+ \infty

; courbe représentative et lien avec celle de l'exponentielle ; croissances comparées du logarithme et de

x \mapsto x^{n}

0

et en

+ \infty

; résolution d'équations et d'inéquations ; utilisation des propriétés du logarithme dans le cadre d'une résolution de problème. Démonstrations exigibles : le calcul de la dérivée de

ln

(la dérivabilité étant admise) et la limite en

0

x ln x

Prérequis

Fonction exponentielle : propriétés algébriques, variations, limites (Première et Terminale)
Dérivation, y compris la dérivée d'une composée (Terminale, chapitre précédent)
Continuité, stricte monotonie et théorème des valeurs intermédiaires (Terminale)
Suites géométriques et recherche de seuil (Première et Terminale)

🎯 Accompagnement Majorant

Ce chapitre se perd rarement sur le raisonnement, presque toujours sur le domaine de définition. Résoudre $ln (x - 2) + ln (x + 1) = ln 4$ sans commencer par $x > 2$ , c'est accepter une solution qui n'existe pas. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines t'installent ce réflexe pour qu'il précède le calcul, systématiquement.

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1. Définition et premières propriétés

Définition 1.1 — Logarithme népérien

Pour tout réel $x > 0$ , il existe un unique réel $y$ tel que $e^{y} = x$ . Ce réel est appelé logarithme népérien de $x$ et noté $ln x$ . Autrement dit, pour $x > 0$ et $y \in R$ :

y = ln x ⟺ x = e^{y} .

La fonction $ln$ est définie sur $] 0; + \infty [$ : le logarithme d'un nombre négatif ou nul n'existe pas, puisque l'exponentielle ne prend jamais de valeur négative ou nulle.

📝 Pourquoi ce réel existe et est unique. La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur

R

, avec

lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0

lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty

. Pour tout

x > 0

, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires garantit donc que l'équation

e^{y} = x

admet une unique solution. Le logarithme n'est pas décrété : il est construit par le TVI.

Définition 1.2 — Condition d'existence d'une expression logarithmique

Une expression $ln (u (x))$ n'a de sens que pour les réels $x$ tels que $u (x) > 0$ . L'ensemble de ces réels est la condition d'existence de l'expression ; c'est lui qui définit le domaine de travail de tout exercice où figure un logarithme.

Quand plusieurs logarithmes apparaissent, les conditions se cumulent : pour $ln (x - 2) + ln (x + 1)$ , il faut à la fois $x > 2$ et $x > - 1$ , donc $x > 2$ . Déterminer ce domaine est toujours la première ligne de la copie, avant tout calcul.

Proposition 1.3 — Valeurs et identités de base

$ln 1 = 0$ et $ln e = 1$ ;
$ln (e^{x}) = x$ pour tout réel $x$ ;
$e^{l n x} = x$ pour tout $x > 0$ .

Ces deux dernières égalités traduisent que $ln$ et $exp$ sont réciproques l'une de l'autre. Graphiquement, leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$ .

Théorème 1.4 — Relation fonctionnelle ★ À savoir démontrer

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ :

ln (ab) = ln a + ln b .

Démonstration (à partir de la propriété de l'exponentielle — non listée parmi les démonstrations exigibles du BO, mais classiquement demandée en exercice)

Soient $a > 0$ et $b > 0$ . Les réels $ln a$ et $ln b$ existent, et par définition $e^{l n a} = a$ , $e^{l n b} = b$ . Donc :

ab = e^{l n a} \times e^{l n b} = e^{l n a + l n b},

en utilisant la propriété $e^{u} \times e^{v} = e^{u + v}$ de l'exponentielle.

Ainsi $ab$ s'écrit comme l'exponentielle du réel $ln a + ln b$ . Par définition du logarithme ( $y = ln x ⟺ x = e^{y}$ ), on en déduit :

ln (ab) = ln a + ln b .

Le principe à retenir : toute propriété du logarithme se démontre en la « traduisant » dans le monde de l'exponentielle, où elle devient une propriété connue.

Proposition 1.5 — Les quatre conséquences algébriques

Pour $a > 0$ , $b > 0$ et $n$ entier relatif :

ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b, ln (\frac{1}{b}) = - ln b,

ln (a^{n}) = n ln a, ln (a) = \frac{1}{2} ln a .

La troisième est celle qui sert le plus : c'est elle qui fait « descendre » l'exposant et permet de résoudre les équations où l'inconnue est en puissance.

⚠ Piège #1 du chapitre — inventer des propriétés qui n'existent pas.

ln (a + b)

n'est pas

ln a + ln b

, et

ln (a) \times ln (b)

n'est pas

ln (ab)

. Vérifie sur un cas :

ln (1 + 1) = ln 2 \approx 0, 69

, alors que

ln 1 + ln 1 = 0

. Le logarithme transforme les produits en sommes, jamais les sommes en quoi que ce soit.

2. Dérivée, variations et limites

Théorème 2.1 — Dérivée du logarithme, la dérivabilité étant admise ★ À savoir démontrer

On admet que la fonction $ln$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ . Alors, pour tout $x > 0$ :

(ln x)^{'} = \frac{1}{x} .

Cette dérivée étant strictement positive, la fonction $ln$ est strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ . Pour une composée : $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ , valable là où $u > 0$ .

Démonstration (dérivation de l'identité e puissance ln x égale x — démonstration exigible du programme)

On part de l'identité $e^{l n x} = x$ , valable pour tout $x > 0$ , et on dérive les deux membres.

À gauche, il s'agit d'une composée de la forme $e^{u}$ avec $u (x) = ln x$ , dont la dérivée est $u^{'} (x) e^{u (x)}$ — c'est ici que sert la dérivabilité admise de $ln$ . À droite, la dérivée de $x$ vaut $1$ . D'où :

(ln x)^{'} \times e^{l n x} = 1.

Or $e^{l n x} = x$ , donc $(ln x)^{'} \times x = 1$ . Comme $x > 0$ , on peut diviser par $x$ :

(ln x)^{'} = \frac{1}{x} .

Les deux gestes attendus : dériver une identité (et non une équation à résoudre), et justifier la division finale par $x > 0$ . C'est l'une des deux démonstrations du chapitre explicitement inscrites au programme, avec la limite de $x ln x$ en $0^{+}$ .

Définition 2.2 — Fonction ln u et son domaine

Pour une fonction $u$ définie sur $I$ , la fonction $x \mapsto ln (u (x))$ est définie sur l'ensemble des $x \in I$ tels que $u (x) > 0$ . Sa dérivée y vaut $\frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )}$ , et comme le dénominateur $u (x)$ y est strictement positif, cette dérivée a le signe de $u^{'}$ : $ln u$ varie exactement comme $u$ .

Conséquence pratique très employée au Bac : pour étudier les variations de $ln (u (x))$ , il suffit d'étudier celles de $u$ — inutile de dériver le logarithme.

Proposition 2.3 — Limites aux bornes

x \to 0^{+} lim ln x = - \infty, x \to + \infty lim ln x = + \infty.

L'axe des ordonnées (droite $x = 0$ ) est donc asymptote verticale à la courbe. Retiens l'allure : la fonction plonge brutalement près de $0$ , puis croît de plus en plus lentement — sans jamais cesser de croître ni atteindre de limite finie.

Proposition 2.4 — Signe et comparaison

Comme $ln$ est strictement croissante et que $ln 1 = 0$ :

$ln x < 0$ pour $0 < x < 1$ , $ln x > 0$ pour $x > 1$ ;
$ln a = ln b ⟺ a = b$ (pour $a, b > 0$ ) ;
$ln a < ln b ⟺ a < b$ (pour $a, b > 0$ ).

Cette dernière équivalence est l'outil qui permet de « retirer les $ln$ » dans une inéquation sans changer le sens — parce que la fonction est croissante.

📐 Méthode-type 1 — Résoudre une équation ou une inéquation avec des logarithmes.

Domaine d'abord. Écris les conditions d'existence : chaque expression sous un $ln$ doit être strictement positive. Résous ce système, et note l'intervalle obtenu — c'est le cadre de tout ce qui suit.
Regroupe en un seul logarithme de chaque côté, avec les propriétés algébriques (produit, quotient, puissance).
Supprime les logarithmes par stricte croissance : $ln A = ln B$ devient $A = B$ , et $ln A < ln B$ devient $A < B$ — le sens est conservé.
Confronte au domaine. Rejette les solutions qui n'y appartiennent pas. C'est l'étape décisive, et celle qui est notée.

💡 Exemple canonique — une solution à rejeter.

Résolvons $ln (x - 2) + ln (x + 1) = ln 4$ .

Domaine : il faut $x - 2 > 0$ et $x + 1 > 0$ , soit $x > 2$ (la seconde condition est alors automatiquement vérifiée).

Regroupement : $ln ((x - 2) (x + 1)) = ln 4$ , d'où par stricte croissance $(x - 2) (x + 1) = 4$ , soit $x^{2} - x - 2 = 4$ , c'est-à-dire $x^{2} - x - 6 = 0$ .

Résolution : le discriminant vaut $1 + 24 = 25$ , les racines sont $x = \frac{1 - 5}{2} = - 2$ et $x = \frac{1 + 5}{2} = 3$ .

Confrontation au domaine : $- 2$ ne vérifie pas $x > 2$ : on la rejette. L'unique solution est $x = 3$ . Sans l'étape 1, on aurait rendu deux solutions dont une n'existe pas — erreur systématiquement sanctionnée.

🎯 Objectif mention

Le domaine de définition avant le calcul : ce seul réflexe vaut plusieurs points par sujet. Il vaut pour les logarithmes, mais aussi pour les racines et les quotients — partout où une expression peut ne pas exister. Nos mentors Majorant traquent cet automatisme dans tes copies jusqu'à ce qu'il devienne le premier geste, pas le dernier.

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3. Croissances comparées

Le logarithme croît vers $+ \infty$ , mais très lentement : plus lentement que n'importe quelle puissance de $x$ . C'est ce que formalisent les croissances comparées, qui permettent de lever des formes indéterminées inaccessibles à l'algèbre.

Théorème 3.1 — Croissance comparée en plus l'infini ★ À savoir démontrer

$x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0.$

Démonstration (changement de variable vers l'exponentielle — non listée parmi les démonstrations exigibles du BO, mais classiquement demandée en exercice)

Posons $X = ln x$ , c'est-à-dire $x = e^{X}$ . Quand $x \to + \infty$ , on a $X \to + \infty$ . Le quotient s'écrit alors :

\frac{ln x}{x} = \frac{X}{e ^{X}} = \frac{1}{\frac{e ^{X}}{X}} .

Or la croissance comparée de l'exponentielle donne $X \to + \infty lim \frac{e ^{X}}{X} = + \infty$ .

L'inverse d'une quantité tendant vers $+ \infty$ tend vers $0$ , donc $\frac{ln x}{x} \to 0$ .

La rédaction attendue : annoncer explicitement le changement de variable et le comportement de $X$ , puis nommer la croissance comparée de l'exponentielle. Ce sont les deux éléments que le barème cherche.

Théorème 3.2 — Croissance comparée en zéro ★ À savoir démontrer

$x \to 0^{+} lim x ln x = 0.$

Démonstration (changement de variable x = 1/X — démonstration exigible du programme)

Posons $X = \frac{1}{x}$ . Quand $x \to 0^{+}$ , on a $X \to + \infty$ . Comme $ln (\frac{1}{X}) = - ln X$ , il vient :

x ln x = \frac{1}{X} \times (- ln X) = - \frac{ln X}{X} .

D'après le théorème 3.1, $\frac{ln X}{X} \to 0$ quand $X \to + \infty$ . Donc $x ln x \to 0$ .

Résultat contre-intuitif à retenir : le produit $x ln x$ est de la forme « $0 \times \infty$ », et c'est le facteur $x$ qui l'emporte. Autrement dit, le logarithme part vers $- \infty$ trop lentement pour résister.

📝 Le principe général. Face à une forme indéterminée mêlant

ln x

et une puissance de

x

, la puissance l'emporte toujours. C'est le pendant du résultat sur l'exponentielle, où l'exponentielle l'emporte sur toute puissance. On peut retenir la hiérarchie :

ln x ≪ x^{n} ≪ e^{x}

+ \infty

, pour tout

n \geq 1

⚠ Piège #2 — traiter $\frac{l n x}{x}$ comme une forme indéterminée à factoriser. Aucune factorisation ne fonctionne ici :

ln x

n'est pas un polynôme. La seule voie est d'invoquer la croissance comparée, en la citant par son nom. Tenter de simplifier revient à perdre du temps et à écrire des égalités fausses.

📐 Méthode-type 2 — Déterminer un seuil avec le logarithme.

Pour trouver le plus petit entier $n$ tel que $0, 8^{n} < 0, 01$ :

Applique $ln$ aux deux membres. Les deux sont strictement positifs, donc c'est licite, et le sens de l'inégalité est conservé : $ln (0, 8^{n}) < ln (0, 01)$ .
Fais descendre l'exposant : $n ln (0, 8) < ln (0, 01)$ .
Divise par $ln (0, 8)$ , qui est négatif (car $0, 8 < 1$ ) : l'inégalité change de sens, d'où $n > \frac{ln ( 0 , 01 )}{ln ( 0 , 8 )}$ .
Calcule : $\frac{ln ( 0 , 01 )}{ln ( 0 , 8 )} \approx 20, 6$ . Le plus petit entier convenable est donc $n = 21$ .

⚠ Piège #3 — oublier le changement de sens en divisant par $ln q$ avec $q < 1$ . C'est l'erreur emblématique des exercices de seuil, et elle donne une réponse en «

n <

» au lieu de «

n >

», donc un résultat absurde. Avant de diviser, écris explicitement : «

ln (0, 8) < 0

, donc l'inégalité change de sens ».

4. Le logarithme au travail : échelles et demi-vies

Le logarithme n'est pas qu'un objet d'analyse : c'est l'outil qui rend lisibles les grandeurs qui varient sur plusieurs ordres de grandeur. Tu le retrouveras tel quel en physique-chimie, et les exercices du Bac de maths s'appuient volontiers sur ces contextes.

Définition 4.1 — Logarithme décimal (hors programme de spé maths, utilisé en physique-chimie)

Le logarithme décimal d'un réel $x > 0$ est défini par :

lo g x = \frac{ln x}{ln 10} .

Il vérifie les mêmes propriétés algébriques que $ln$ , avec en prime $lo g 10 = 1$ , $lo g 100 = 2$ , et plus généralement $lo g (1 0^{n}) = n$ : il compte les puissances de dix, c'est-à-dire le nombre de chiffres d'un entier, à une unité près.

Définition 4.2 — Échelle logarithmique (hors programme de spé maths, utilisée en physique-chimie)

Une grandeur est mesurée sur une échelle logarithmique lorsque c'est le logarithme de la mesure physique, et non la mesure elle-même, qui est reporté sur l'axe. Ajouter $1$ sur l'échelle revient alors à multiplier la grandeur par un facteur constant.

Trois exemples que tu croises en physique-chimie : le $pH = - lo g ([H_{3} O^{+}])$ (une unité de pH en moins, c'est dix fois plus d'ions), le niveau sonore en décibels, et la magnitude d'un séisme.

Définition 4.3 — Temps de demi-vie

Pour une grandeur qui décroît de façon exponentielle, $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ avec $λ > 0$ , le temps de demi-vie $t_{1/2}$ est la durée au bout de laquelle la grandeur a été divisée par deux.

Il se calcule directement par le logarithme : $N (t_{1/2}) = \frac{N _{0}}{2}$ équivaut à $e^{- λ t_{1/2}} = \frac{1}{2}$ , soit $- λ t_{1/2} = ln \frac{1}{2} = - ln 2$ , d'où :

t_{1/2} = \frac{ln 2}{λ} .

Remarque essentielle : ce temps ne dépend pas de $N_{0}$ . C'est la signature d'une décroissance exponentielle, et c'est presque toujours la question qui suit dans un exercice de modélisation.

💡 Exemple — de la demi-vie au taux de décroissance.

Le carbone 14 a une demi-vie d'environ $5730$ ans. Son coefficient $λ$ vaut donc $λ = \frac{ln 2}{5730} \approx 1, 21 \times 1 0^{- 4}$ par an.

Pour savoir au bout de combien de temps il ne reste que $10 %$ du carbone initial, on résout $e^{- λ t} = 0, 1$ , soit $- λ t = ln (0, 1)$ , donc $t = \frac{- ln ( 0 , 1 )}{λ} = \frac{ln 10}{λ} \approx 19000$ ans. C'est exactement le principe de la datation au carbone 14.

⚠ Piège #4 — confondre $ln$ et $lo g$ dans une application. Le pH utilise le logarithme décimal, pas le népérien : écrire

pH = - ln ([H_{3} O^{+}])

donne un résultat faux d'un facteur

ln 10 \approx 2, 30

. Lis la notation de l'énoncé avant de calculer, et rappelle-toi que

lo g x = \frac{l n x}{l n 10}

permet de passer de l'un à l'autre.

5. Erreurs classiques au Bac (vues par les correcteurs)

Sur le logarithme, les rapports de correction de l'épreuve de spécialité mathématiques signalent des erreurs peu variées mais très répandues. Elles ont toutes la même origine : manipuler le symbole $ln$ sans se demander si l'expression existe.

⚠ Erreur 1 — Résoudre sans déterminer le domaine. Toute équation ou inéquation avec un logarithme commence par les conditions d'existence. Une solution non conforme au domaine doit être explicitement rejetée, et le rejet doit être écrit — pas simplement sous-entendu par son absence dans la conclusion.

⚠ Erreur 2 — Écrire $ln (a + b) = ln a + ln b$ . Faux. Aucune propriété ne simplifie le logarithme d'une somme. Le réflexe correct, quand une somme apparaît sous un

ln

, est de chercher à la factoriser pour en faire un produit.

⚠ Erreur 3 — Dériver $ln (u (x))$ en $\frac{1}{u ( x )}$ . La dérivée est

\frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )}

. L'oubli de

u^{'}

fausse le signe de la dérivée, donc tout le tableau de variations. Ce piège est le même que celui de l'exponentielle composée.

⚠ Erreur 4 — Diviser par $ln q$ sans regarder son signe. Pour

0 < q < 1

ln q

est strictement négatif : l'inégalité se retourne. Beaucoup de copies concluent «

n < 20, 6

donc

n = 20

» et perdent l'ensemble de la question.

⚠ Erreur 5 — Tenter de lever $\frac{l n x}{x}$ sans nommer la croissance comparée. Un résultat juste sans justification ne vaut que la moitié des points. La phrase attendue est explicite : « par croissance comparée,

lim_{x \to + \infty} \frac{l n x}{x} = 0

».

6. Pour aller plus loin

Le logarithme est un outil de résolution autant qu'une fonction : il réapparaît dans presque tous les autres chapitres.

Suites géométriques — toute recherche de seuil se résout par un logarithme, et confirme le résultat trouvé par balayage algorithmique.
Primitives — $ln ∣ u ∣$ est la primitive de $\frac{u ^{'}}{u}$ : la seule primitive de $\frac{1}{x}$ que tu connaîtras au lycée.
Équations différentielles — la résolution de $y^{'} = a y$ repose sur le couple exponentielle-logarithme.
Convexité — la concavité du logarithme donne l'inégalité $ln x \leq x - 1$ , symétrique de $e^{x} \geq x + 1$ .
Après le Bac — en prépa, le logarithme est défini comme la primitive de $\frac{1}{x}$ qui s'annule en $1$ , et l'exponentielle en devient la réciproque : la construction est retournée.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'un DS ou de l'épreuve de spécialité, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu énoncer l'équivalence $y = ln x ⟺ x = e^{y}$ , avec ses conditions sur $x$ et $y$ ?
Sais-tu expliquer pourquoi $ln$ est définie seulement sur $] 0; + \infty [$ ?
Sais-tu justifier l'existence du logarithme par le théorème des valeurs intermédiaires ?
Sais-tu démontrer la relation $ln (ab) = ln a + ln b$ ?
Connais-tu les quatre propriétés algébriques (quotient, inverse, puissance, racine) ?
Sais-tu que $ln (a + b)$ ne se simplifie pas, et sais-tu le vérifier sur un exemple ?
Sais-tu démontrer que $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ en dérivant l'identité $e^{l n x} = x$ ?
Sais-tu résoudre une équation logarithmique en commençant par le domaine, puis rejeter explicitement les solutions qui n'y appartiennent pas ?
Sais-tu retrouver la formule du temps de demi-vie, et dire pourquoi elle ne dépend pas de la valeur initiale ?
Sais-tu démontrer que $\frac{l n x}{x} \to 0$ par changement de variable ?
Sais-tu démontrer que $x ln x \to 0$ en $0^{+}$ ?
Sais-tu résoudre un seuil $q^{n} < ε$ en retournant l'inégalité quand $ln q < 0$ ?

Démonstrations à savoir refaire

Calcul de la dérivée de $ln$ — dériver l'identité $e^{l n x} = x$ , puis diviser par $x > 0$
Relation fonctionnelle $ln (ab) = ln a + ln b$ — passer par $e^{l n a} \times e^{l n b}$
Croissance comparée $\frac{l n x}{x} \to 0$ — poser $X = ln x$ , puis inverse de $\frac{e ^{X}}{X}$
Limite de $x ln x$ en $0^{+}$ — poser $X = \frac{1}{x}$ , puis se ramener au théorème précédent

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Fonction logarithme népérien

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Définition et premières propriétés

2. Dérivée, variations et limites

3. Croissances comparées

4. Le logarithme au travail : échelles et demi-vies

5. Erreurs classiques au Bac (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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