Fonction exponentielle : Terminale Mathématiques

Vue d'ensemble

L'exponentielle est la fonction qui est sa propre dérivée. Cette propriété, qui semble anodine, en fait l'objet central de toute la Terminale : c'est elle qui décrit tous les phénomènes dont la vitesse de variation est proportionnelle à l'état — croissance d'une population, décroissance radioactive, charge d'un condensateur, refroidissement d'un corps.

Découverte en Première, elle est reprise ici avec les outils qui manquaient alors : les limites, les croissances comparées, la dérivée de $e^{u}$ , et surtout les équations différentielles, dont elle est la solution universelle. Cette fiche couvre l'ensemble, avec les démonstrations à savoir refaire.

Au programme Terminale, spécialité Mathématiques (officiel) — La définition de l'exponentielle, ses propriétés algébriques et ses variations relèvent du programme de Première et sont ici réinvesties. La Terminale y ajoute : limites en

- \infty

et en

+ \infty

; dérivée de la composée

e^{u}

; croissance comparée de

x \mapsto x^{n}

et de

exp

+ \infty

; équations différentielles

y^{'} = a y

puis

y^{'} = a y + b

avec

a \neq = 0

; modélisation de phénomènes d'évolution. Démonstrations exigibles : les limites de l'exponentielle en

+ \infty

et en

- \infty

, la croissance comparée de

x^{n}

et de

exp

+ \infty

, et la résolution de

y^{'} = a y

Prérequis

Fonction exponentielle en Première : définition, propriétés algébriques, courbe (Première)
Dérivation d'une composée et convexité (Terminale, chapitre précédent)
Limites de fonctions et formes indéterminées (Terminale)
Suites géométriques : lien entre $q^{n}$ et l'exponentielle (Première et Terminale)

🎯 Accompagnement Majorant

L'exponentielle est le chapitre le plus rentable de l'année. Elle intervient dans l'exercice d'analyse, dans les équations différentielles, dans la modélisation, et souvent dans le QCM. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font consolider ses réflexes en priorité, parce que chaque heure investie s'y rentabilise sur plusieurs exercices.

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1. Définition et propriétés algébriques

Définition 1.1 — Fonction exponentielle

La fonction exponentielle est l'unique fonction $f$ dérivable sur $R$ vérifiant :

f^{'} = f et f (0) = 1.

On la note $x \mapsto e^{x}$ ou $exp$ . Le nombre $e = exp (1) \approx 2, 718$ est appelé constante de Néper.

Théorème 1.2 — L'exponentielle ne s'annule jamais ★ À savoir démontrer

Pour tout réel $x$ , $e^{x} \neq = 0$ ; plus précisément, $e^{x} > 0$ et $e^{x} \times e^{- x} = 1$ .

Démonstration (fonction auxiliaire constante — non listée parmi les démonstrations exigibles du BO, mais classiquement demandée en exercice)

Posons $φ (x) = e^{x} \times e^{- x}$ . Cette fonction est dérivable sur $R$ comme produit de fonctions dérivables, et :

φ^{'} (x) = e^{x} \times e^{- x} + e^{x} \times (- e^{- x}) = 0.

(On a utilisé $(e^{- x})^{'} = - e^{- x}$ , cas particulier de la dérivée de $e^{u}$ avec $u (x) = - x$ .)

Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle y est constante : donc $φ (x) = φ (0) = e^{0} \times e^{0} = 1$ pour tout $x$ .

Ainsi $e^{x} \times e^{- x} = 1$ . Un produit valant $1$ ne peut avoir de facteur nul : $e^{x} \neq = 0$ pour tout $x$ , et $e^{- x} = \frac{1}{e ^{x}}$ .

Le signe s'en déduit : en utilisant la relation $e^{a + b} = e^{a} e^{b}$ (proposition 1.3 ci-dessous, connue depuis la Première), on écrit $e^{x} = e^{x /2} \times e^{x /2} = (e^{x /2})^{2}$ . C'est un carré, donc positif ; comme il n'est jamais nul, il est strictement positif.

Proposition 1.3 — Propriétés algébriques

Pour tous réels $a$ , $b$ et tout entier relatif $n$ :

e^{a + b} = e^{a} e^{b}, e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}, e^{a - b} = \frac{e ^{a}}{e ^{b}}, (e^{a})^{n} = e^{na} .

L'exponentielle transforme les sommes en produits : c'est l'opération exactement inverse de celle du logarithme, et c'est ce qui explique que les deux fonctions soient réciproques.

Proposition 1.4 — Équations et inéquations

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$e^{a} = e^{b} ⟺ a = b$ ;
$e^{a} < e^{b} ⟺ a < b$ ;
$e^{a} = k$ n'a de solution que si $k > 0$ , et alors $a = ln k$ .

Les deux premières équivalences découlent de la stricte croissance ; la troisième rappelle qu'une équation comme $e^{x} = - 3$ n'a aucune solution.

⚠ Piège #1 du chapitre — chercher les solutions de $e^{x} = 0$ . Il n'y en a pas. Dans une factorisation comme

e^{x} (x^{2} - 4) = 0

, le facteur exponentiel ne peut pas s'annuler : les solutions sont uniquement celles de

x^{2} - 4 = 0

, soit

- 2

2

. Signaler explicitement «

e^{x} > 0

donc ce facteur ne s'annule pas » est ce qu'attend le correcteur, et cela vaut un point à chaque étude de signe.

2. Variations, limites et dérivée de exponentielle de u

Théorème 2.1 — Variations et limites de l'exponentielle ★ À savoir démontrer

Comme $(e^{x})^{'} = e^{x} > 0$ , la fonction exponentielle est strictement croissante sur $R$ . Ses limites aux bornes sont :

x \to - \infty lim e^{x} = 0, x \to + \infty lim e^{x} = + \infty.

L'axe des abscisses est donc asymptote horizontale en $- \infty$ . La fonction est de plus convexe sur $R$ , puisque sa dérivée seconde $e^{x}$ est strictement positive.

Démonstration des deux limites (comparaison, puis passage à l'inverse — démonstration exigible du programme)

En $+ \infty$ . La convexité de l'exponentielle donne l'inégalité $e^{x} \geq x + 1$ pour tout réel $x$ : sa courbe est au-dessus de sa tangente en $0$ , d'équation $y = x + 1$ .

Or $x + 1 \to + \infty$ quand $x \to + \infty$ . Par le théorème de comparaison, $e^{x} \to + \infty$ .

En $- \infty$ . Posons $X = - x$ : quand $x \to - \infty$ , on a $X \to + \infty$ . En utilisant $e^{x} = e^{- X} = \frac{1}{e ^{X}}$ :

x \to - \infty lim e^{x} = X \to + \infty lim \frac{1}{e ^{X}} = 0,

puisque $e^{X} \to + \infty$ d'après le premier point, et que l'inverse d'une quantité tendant vers $+ \infty$ tend vers $0$ .

La structure à retenir : une seule limite se démontre vraiment, celle en $+ \infty$ ; l'autre s'en déduit par le changement de variable $X = - x$ et le passage à l'inverse. C'est un schéma qu'on retrouve dans presque toutes les démonstrations de limites de ce programme.

Définition 2.2 — Fonction exponentielle de u

Pour $u$ dérivable sur $I$ , la fonction $x \mapsto e^{u (x)}$ est définie et dérivable sur $I$ tout entier — l'exponentielle n'impose aucune condition — et :

(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u} .

Comme $e^{u} > 0$ , cette dérivée a le signe de $u^{'}$ : $e^{u}$ varie exactement comme $u$ . C'est un raccourci d'étude très employé au Bac.

💡 Exemple — étude complète d'une fonction avec exponentielle.

Soit $f (x) = x e^{- x}$ sur $R$ . Sa dérivée s'obtient par la règle du produit, avec $(e^{- x})^{'} = - e^{- x}$ :

f^{'} (x) = 1 \times e^{- x} + x \times (- e^{- x}) = (1 - x) e^{- x} .

Comme $e^{- x} > 0$ , le signe de $f^{'}$ est celui de $1 - x$ : la fonction est croissante sur $] - \infty; 1]$ , décroissante sur $[1; + \infty [$ , avec un maximum $f (1) = e^{- 1} = \frac{1}{e} \approx 0, 37$ .

Le réflexe déterminant : factoriser par l'exponentielle avant d'étudier le signe. Une fois $e^{- x}$ mis en facteur, seul reste un polynôme, dont le signe est immédiat.

📐 Méthode-type 1 — Étudier le signe d'une expression contenant une exponentielle.

Factorise par l'exponentielle : elle apparaît presque toujours en facteur commun, quitte à écrire $e^{2 x} = e^{x} \times e^{x}$ .
Annonce que le facteur exponentiel est strictement positif — cette phrase est notée, et c'est elle qui permet de l'écarter.
Étudie le signe du facteur restant, qui est un polynôme ou une expression simple.
Conclus : le signe de l'ensemble est celui de ce facteur.

⚠ Piège #2 — développer au lieu de factoriser. Face à

e^{2 x} - 3 e^{x} + 2

, l'instinct est de développer ; le bon geste est de poser

X = e^{x}

, ce qui donne

X^{2} - 3 X + 2 = 0

, soit

X = 1

X = 2

. On revient ensuite à

x

e^{x} = 1

donne

x = 0

, et

e^{x} = 2

donne

x = ln 2

. N'oublie pas de vérifier que les valeurs de $X$ trouvées sont strictement positives — une racine négative ne fournirait aucune solution.

3. Croissances comparées

L'exponentielle croît plus vite que n'importe quelle puissance de $x$ . Ce fait, intuitif sur une calculatrice, devient un outil de calcul dès qu'on le formule proprement : il lève les formes indéterminées que l'algèbre ne sait pas traiter.

Théorème 3.1 — Croissance comparée en plus l'infini ★ À savoir démontrer

$x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty, et plus g \overset{e}{ˊ} n \overset{e}{ˊ} ralement x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty pour tout entier n \geq 1.$

Démonstration du premier cas (fonction auxiliaire et minoration — démonstration exigible du programme)

Posons $g (x) = e^{x} - \frac{x ^{2}}{2}$ sur $[0; + \infty [$ . Alors $g^{'} (x) = e^{x} - x$ et $g^{''} (x) = e^{x} - 1$ .

Pour $x \geq 0$ , $e^{x} \geq 1$ donc $g^{''} \geq 0$ : $g^{'}$ est croissante sur $[0; + \infty [$ . Comme $g^{'} (0) = e^{0} - 0 = 1 > 0$ , on en déduit $g^{'} (x) > 0$ pour tout $x \geq 0$ , donc $g$ est croissante.

Or $g (0) = 1 > 0$ , donc $g (x) > 0$ pour tout $x \geq 0$ , c'est-à-dire :

e^{x} > \frac{x ^{2}}{2} ⟹ \frac{e ^{x}}{x} > \frac{x}{2} pour x > 0.

Comme $\frac{x}{2} \to + \infty$ , le théorème de comparaison donne $\frac{e ^{x}}{x} \to + \infty$ .

Le principe : on minore l'exponentielle par un polynôme de degré strictement supérieur à celui du dénominateur, puis on conclut par comparaison. C'est la seule technique disponible, l'algèbre étant impuissante ici.

Théorème 3.2 — Croissance comparée en moins l'infini ★ À savoir démontrer

$x \to - \infty lim x e^{x} = 0, et plus g \overset{e}{ˊ} n \overset{e}{ˊ} ralement x \to - \infty lim x^{n} e^{x} = 0.$

Démonstration (changement de variable X = −x — non listée parmi les démonstrations exigibles du BO, mais classiquement demandée en exercice)

Posons $X = - x$ . Quand $x \to - \infty$ , on a $X \to + \infty$ . Alors :

x e^{x} = - X e^{- X} = - \frac{X}{e ^{X}} = - \frac{1}{\frac{e ^{X}}{X}} .

D'après le théorème 3.1, $\frac{e ^{X}}{X} \to + \infty$ quand $X \to + \infty$ . Son inverse tend donc vers $0$ , et par conséquent $x e^{x} \to 0$ .

Résultat contre-intuitif à mémoriser : il s'agit d'une forme « $- \infty \times 0$ », et c'est l'exponentielle qui l'emporte. Autrement dit, $e^{x}$ écrase $x$ au voisinage de $- \infty$ , et le produit tend vers $0$ par valeurs négatives.

📝 La hiérarchie à retenir. En

+ \infty

, et pour tout entier

n \geq 1

ln x ≪ x^{n} ≪ e^{x}

. Le logarithme perd toujours, l'exponentielle gagne toujours. Dès qu'une forme indéterminée mêle ces trois familles, la conclusion est donnée par cette hiérarchie — encore faut-il la citer comme justification, et non l'appliquer en silence.

🎯 Objectif mention

Les croissances comparées sont attendues nommément dans la copie. Écrire le bon résultat sans dire « par croissance comparée » coûte la moitié des points de la question. Nos mentors Majorant t'entraînent à produire la justification en même temps que le calcul, pour ne plus jamais laisser un demi-point sur la table.

Préparer l'épreuve de spécialité →

4. Équations différentielles

Définition 4.1 — Évolution exponentielle

Une grandeur suit une évolution exponentielle lorsque sa variation instantanée est proportionnelle à sa valeur : $f^{'} (t) = a f (t)$ . Elle s'écrit alors $f (t) = f (0) e^{a t}$ — croissance si $a > 0$ , décroissance si $a < 0$ .

La signature d'une telle évolution est qu'un même intervalle de temps produit toujours le même facteur multiplicatif : doubler, ou diviser par deux, prend toujours la même durée, quel que soit le point de départ.

Définition 4.2 — Équation différentielle

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, et qui relie cette fonction à ses dérivées. En Terminale, deux formes seulement sont au programme : $y^{'} = a y$ , où $a$ est un réel quelconque, et $y^{'} = a y + b$ , où $b$ est réel et $a \neq = 0$ .

Résoudre une telle équation, c'est déterminer toutes les fonctions qui la vérifient. Il y en a toujours une infinité — d'où l'importance de la condition initiale.

Définition 4.3 — Solution et condition initiale

Une solution d'une équation différentielle est une fonction qui la vérifie en tout point de l'intervalle considéré. Une condition initiale est une contrainte de la forme $y (x_{0}) = y_{0}$ , qui impose la valeur de la solution en un point.

Une équation différentielle admet une infinité de solutions ; ajoutée à une condition initiale, elle n'en admet plus qu'une seule. C'est ce couple « équation plus condition initiale » qui modélise un phénomène concret : l'équation dit comment la grandeur évolue, la condition initiale dit d'où elle part.

Théorème 4.4 — Solutions de y prime égale a y ★ À savoir démontrer

Les solutions sur $R$ de l'équation $y^{'} = a y$ sont exactement les fonctions :

x \mapsto C e^{a x}, C \in R .

Si l'on impose de plus une condition initiale $y (x_{0}) = y_{0}$ , la solution est unique : la constante $C$ est alors entièrement déterminée.

Démonstration (fonction auxiliaire y(x)·e^(−ax) — démonstration exigible du programme)

Sens direct. Si $f (x) = C e^{a x}$ , alors $f^{'} (x) = C a e^{a x} = a f (x)$ : toute fonction de cette forme est solution.

Réciproque — c'est elle qui porte l'idée. Soit $f$ une solution quelconque. Posons $φ (x) = f (x) e^{- a x}$ , dérivable sur $R$ comme produit. Alors :

φ^{'} (x) = f^{'} (x) e^{- a x} - a f (x) e^{- a x} = (f^{'} (x) - a f (x)) e^{- a x} .

Or $f$ est solution, donc $f^{'} (x) - a f (x) = 0$ , et par conséquent $φ^{'} (x) = 0$ pour tout $x$ .

Une fonction de dérivée nulle sur $R$ y est constante : il existe $C$ tel que $f (x) e^{- a x} = C$ . En multipliant par $e^{a x}$ , qui n'est jamais nul, on obtient $f (x) = C e^{a x}$ .

Le geste caractéristique : multiplier par $e^{- a x}$ pour faire apparaître une dérivée nulle. C'est le même que dans la démonstration du théorème 1.2.

Théorème 4.5 — Solutions de y prime égale a y plus b (admis)

Les solutions sur $R$ de $y^{'} = a y + b$ (avec $a \neq = 0$ ) sont les fonctions :

x \mapsto C e^{a x} - \frac{b}{a}, C \in R .

Le terme constant $- \frac{b}{a}$ est la solution particulière constante : c'est l'unique valeur $y$ telle que $y^{'} = 0$ , donc $a y + b = 0$ . On la retrouve en résolvant cette équation du premier degré, sans rien apprendre par cœur.

📐 Méthode-type 2 — Résoudre une équation différentielle avec condition initiale.

Identifie $a$ et $b$ en ramenant l'équation à la forme $y^{'} = a y + b$ . Attention aux écritures déguisées : $2 y^{'} + 6 y = 4$ se réécrit $y^{'} = - 3 y + 2$ , donc $a = - 3$ et $b = 2$ .
Écris la solution générale $y (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a}$ , en gardant $C$ comme paramètre.
Utilise la condition initiale pour déterminer $C$ : remplace $x$ par $x_{0}$ , résous l'équation du premier degré en $C$ .
Écris la solution finale avec la valeur de $C$ , et vérifie-la en la dérivant : c'est un contrôle rapide qui évite les erreurs de signe.

💡 Exemple — un refroidissement, de l'équation à la réponse.

La température d'un objet suit $T^{'} = - 0, 05 (T - 20)$ , avec $T (0) = 90$ (en degrés, $t$ en minutes). Développons : $T^{'} = - 0, 05 T + 1$ , donc $a = - 0, 05$ et $b = 1$ .

Solution générale : $T (t) = C e^{- 0, 05 t} - \frac{1}{- 0 , 05} = C e^{- 0, 05 t} + 20$ .

Condition initiale : $T (0) = C + 20 = 90$ , d'où $C = 70$ . Donc $T (t) = 70 e^{- 0, 05 t} + 20$ .

Interprétation : comme $e^{- 0, 05 t} \to 0$ , la température tend vers $20$ degrés — la température ambiante. Le modèle décrit bien un refroidissement, et la constante $20$ est exactement la solution particulière constante du théorème 4.5.

⚠ Piège #3 — se tromper de signe sur la solution particulière. La solution constante est

- \frac{b}{a}

, pas

\frac{b}{a}

. Le plus sûr est de ne pas la mémoriser : cherche la solution constante en posant

y^{'} = 0

, ce qui donne

a y + b = 0

donc

y = - \frac{b}{a}

. Une équation du premier degré résolue en deux secondes vaut mieux qu'une formule mal retenue.

⚠ Piège #4 — oublier de mettre l'équation sous forme normalisée. Dans

3 y^{'} = 6 y - 9

, on ne peut pas lire

a = 6

: il faut d'abord diviser par

3

, ce qui donne

y^{'} = 2 y - 3

, donc

a = 2

b = - 3

. Le coefficient de

y^{'}

doit valoir

1

avant toute identification.

5. Erreurs classiques au Bac (vues par les correcteurs)

Sur l'exponentielle, les rapports de correction de l'épreuve de spécialité mathématiques relèvent moins des incompréhensions que des automatismes manquants. Les cinq suivants reviennent chaque année.

⚠ Erreur 1 — Oublier $u^{'}$ dans la dérivée de $e^{u}$ .

(e^{- 3 x})^{'} = - 3 e^{- 3 x}

. L'omission fausse le signe de la dérivée, donc le tableau de variations et tout ce qui en découle. C'est l'erreur la plus répandue de tout le programme d'analyse.

⚠ Erreur 2 — Chercher à annuler une exponentielle.

e^{x} > 0

pour tout

x

: dans une étude de signe, ce facteur se met en facteur puis s'écarte, avec la phrase justificative. Résoudre «

e^{x} = 0

» et trouver une solution est une faute de cours immédiate.

⚠ Erreur 3 — Appliquer les règles de limites sans voir la croissance comparée.

\frac{e ^{x}}{x}

+ \infty

est une forme

\frac{\infty}{\infty}

qu'aucune factorisation ne lève. La justification attendue est nommément « par croissance comparée » ; sans elle, le résultat juste n'est crédité qu'à moitié.

⚠ Erreur 4 — Confondre $e^{2 x}$ et $2 e^{x}$ , ou $e^{x + y}$ et $e^{x} + e^{y}$ .

e^{2 x} = (e^{x})^{2}

, et

e^{x + y} = e^{x} e^{y}

. L'exponentielle transforme les sommes en produits, et jamais l'inverse. Vérifie sur

x = y = 0

en cas de doute :

e^{0} = 1

, alors que

e^{0} + e^{0} = 2

⚠ Erreur 5 — Donner la solution générale en oubliant la condition initiale. Quand l'énoncé fournit

y (0)

, la réponse attendue est une fonction, pas une famille. Terminer sur «

y = C e^{a x} - \frac{b}{a}

» alors que

C

est déterminable coûte systématiquement les points de la question.

6. Pour aller plus loin

L'exponentielle irrigue tout le programme, en mathématiques comme en physique-chimie.

Fonction logarithme népérien — sa réciproque : toute équation $e^{x} = k$ se résout par un logarithme, et inversement.
Primitives et calcul intégral — $e^{u}$ est la primitive de $u^{'} e^{u}$ ; c'est l'une des rares primitives que tu retrouveras systématiquement.
Physique-chimie — décroissance radioactive, charge d'un condensateur dans un circuit RC, cinétique d'ordre 1 : ce sont les mêmes équations différentielles, avec un autre vocabulaire.
Loi binomiale et probabilités — les modèles de temps d'attente reposent sur des décroissances exponentielles.
Après le Bac — en prépa, l'exponentielle est prolongée aux nombres complexes ( $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ ) et aux matrices, et devient l'outil central des systèmes différentiels.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'un DS ou de l'épreuve de spécialité, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir l'exponentielle par $f^{'} = f$ et $f (0) = 1$ ?
Sais-tu démontrer que $e^{x}$ ne s'annule jamais, avec la fonction auxiliaire $e^{x} e^{- x}$ ?
Sais-tu justifier que $e^{x} > 0$ , et t'en servir dans une étude de signe ?
Connais-tu les quatre propriétés algébriques, et sais-tu les distinguer de formules fausses ?
Sais-tu démontrer les limites de l'exponentielle en $+ \infty$ puis en $- \infty$ ?
Sais-tu dériver $e^{u}$ sans oublier $u^{'}$ , et dire pourquoi $e^{u}$ varie comme $u$ ?
Sais-tu résoudre $e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 = 0$ en posant $X = e^{x}$ ?
Sais-tu démontrer que $\frac{e ^{x}}{x} \to + \infty$ en minorant par $\frac{x ^{2}}{2}$ ?
Sais-tu démontrer que $x e^{x} \to 0$ en $- \infty$ ?
Connais-tu la hiérarchie $ln x ≪ x^{n} ≪ e^{x}$ , et sais-tu qu'il faut la citer ?
Sais-tu démontrer que les solutions de $y^{'} = a y$ sont les $C e^{a x}$ ?
Sais-tu déterminer la constante $C$ à partir d'une condition initiale ?

Démonstrations à savoir refaire

Limites de l'exponentielle en $\pm \infty$ — comparaison avec $x + 1$ , puis passage à l'inverse
Solutions de $y^{'} = a y$ — poser $φ (x) = f (x) e^{- a x}$ et montrer $φ^{'} = 0$
L'exponentielle ne s'annule jamais — dériver $φ (x) = e^{x} e^{- x}$ , constater $φ^{'} = 0$ , conclure $φ = 1$
Croissance comparée $\frac{e ^{x}}{x} \to + \infty$ — minorer $e^{x}$ par $\frac{x ^{2}}{2}$ , puis comparaison
Limite de $x e^{x}$ en $- \infty$ — poser $X = - x$ et se ramener au théorème précédent

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Fonction exponentielle

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Définition et propriétés algébriques

2. Variations, limites et dérivée de exponentielle de u

3. Croissances comparées

4. Équations différentielles

5. Erreurs classiques au Bac (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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