Limites de fonctions : Terminale Mathématiques

Vue d'ensemble

Après les suites, la Terminale transpose la notion de limite aux fonctions. La différence est de taille : une suite ne peut « partir » que vers $+ \infty$ , alors qu'une fonction se regarde en $+ \infty$ , en $- \infty$ , et en n'importe quel réel $a$ — parfois même à gauche et à droite de $a$ séparément. C'est ce qui permet de décrire les asymptotes d'une courbe et d'expliquer, enfin, ce que le tableau de variations laissait deviner.

Le chapitre sert de fondation à tout le reste de l'analyse : sans limites, pas de continuité, pas de dérivée en un point, pas de croissance comparée, pas d'intégrale. Il est aussi la principale source de calculs au Bac — et de formes indéterminées, qui sont l'obstacle technique n°1 de l'année.

Au programme Terminale, spécialité Mathématiques (officiel) — Limite finie ou infinie d'une fonction en

+ \infty

, en

- \infty

et en un point ; limites des fonctions de référence ; opérations sur les limites (somme, produit, quotient, composée) ; formes indéterminées ; théorèmes de comparaison et d'encadrement ; asymptote horizontale et asymptote verticale ; limite d'une suite

(f (n))

Prérequis

Limites de suites : formes indéterminées, comparaison, gendarmes (Terminale, chapitre précédent)
Fonctions de référence : carré, cube, inverse, racine carrée, valeur absolue (Seconde et Première)
Fonctions polynômes du second degré, forme factorisée et signe (Première)
Lecture d'un tableau de variations et d'une courbe représentative (Seconde)

🎯 Accompagnement Majorant

Le blocage n'est presque jamais la définition : c'est le calcul de limite. Reconnaître la forme indéterminée, choisir entre factoriser, simplifier ou conjuguer, et le faire vite sous la pression de l'épreuve : cela s'entraîne. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font passer d'une technique hésitante à un réflexe, sur des calculs tirés de vrais sujets.

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1. Limites en plus l'infini et en moins l'infini

Définition 1.1 — Limite finie en plus l'infini

$f$ a pour limite $ℓ$ en $+ \infty$ si tout intervalle ouvert contenant $ℓ$ contient toutes les valeurs $f (x)$ pour $x$ assez grand. On note $x \to + \infty lim f (x) = ℓ$ .

Définition 1.2 — Limite infinie en plus l'infini

$f$ a pour limite $+ \infty$ en $+ \infty$ si tout intervalle de la forme $] A; + \infty [$ contient toutes les valeurs $f (x)$ pour $x$ assez grand : aussi haute que soit la barre $A$ , la courbe finit par passer au-dessus et y rester. Définitions analogues pour $- \infty$ en $+ \infty$ , et pour les limites en $- \infty$ .

Définition 1.3 — Asymptote horizontale

Si $x \to + \infty lim f (x) = ℓ$ , la droite d'équation $y = ℓ$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+ \infty$ . La courbe s'en approche indéfiniment, mais rien n'interdit qu'elle la coupe — parfois même une infinité de fois.

Proposition 1.4 — Limites des fonctions de référence en l'infini

Pour tout entier $n \geq 1$ :

x \to + \infty lim x^{n} = + \infty, x \to + \infty lim x = + \infty, x \to + \infty lim \frac{1}{x ^{n}} = 0.

En $- \infty$ , $x^{n}$ tend vers $+ \infty$ si $n$ est pair, vers $- \infty$ si $n$ est impair — c'est la seule subtilité à mémoriser. Et $x$ n'a pas de limite en $- \infty$ : la fonction n'y est pas définie.

💡 Exemple canonique — la limite d'un polynôme en l'infini.

Soit $f (x) = - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 7$ . L'écriture brute donne « $- \infty + \infty - 7$ » : forme indéterminée. On factorise par le terme de plus haut degré :

f (x) = x^{3} (- 2 + \frac{5}{x} - \frac{7}{x ^{3}}) .

Quand $x \to + \infty$ : $x^{3} \to + \infty$ et la parenthèse tend vers $- 2$ , donc $f (x) \to - \infty$ . Ce calcul illustre un résultat général : en $\pm \infty$ , un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré. Utilise ce raccourci pour vérifier ton résultat, mais rédige la factorisation : c'est elle qui est notée.

2. Limites en un réel et asymptote verticale

Définition 2.1 — Limite infinie en un réel a

$f$ a pour limite $+ \infty$ en $a$ si tout intervalle $] A; + \infty [$ contient toutes les valeurs $f (x)$ pour $x$ assez proche de $a$ . La droite d'équation $x = a$ est alors asymptote verticale à la courbe.

Définition 2.2 — Limite à gauche, limite à droite

Lorsque le comportement diffère de part et d'autre de $a$ , on distingue la limite à gauche (notée $lim_{x \to a^{-}}$ , pour $x < a$ ) et la limite à droite (notée $lim_{x \to a^{+}}$ , pour $x > a$ ). Exemple de référence :

x \to 0^{-} lim \frac{1}{x} = - \infty, x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty.

📐 Méthode-type 1 — Déterminer une limite en un point où le dénominateur s'annule.

Calcule la limite du numérateur en $a$ : si elle est non nulle, la limite sera infinie.
Calcule la limite du dénominateur : elle vaut $0$ . Tout se joue alors sur son signe.
Détermine ce signe à gauche puis à droite de $a$ , par un tableau de signes : c'est l'étape que les copies sautent, et c'est la seule qui compte vraiment.
Applique la règle des signes du quotient et conclus séparément pour chaque côté. Si les deux limites diffèrent, dis-le : $f$ n'a pas de limite en $a$ , mais la droite $x = a$ est asymptote verticale.

💡 Exemple — les deux côtés d'une asymptote verticale.

Soit $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ et cherchons la limite en $3$ . Le numérateur tend vers $2 \times 3 + 1 = 7 > 0$ . Le dénominateur tend vers $0$ , en étant négatif pour $x < 3$ et positif pour $x > 3$ . Donc :

x \to 3^{-} lim f (x) = - \infty, x \to 3^{+} lim f (x) = + \infty.

La droite $x = 3$ est asymptote verticale à la courbe, que celle-ci longe vers le bas à gauche et vers le haut à droite.

⚠ Piège #1 du chapitre — écrire « $\frac{7}{0} = + \infty$ ». Cette écriture est fausse :

0

n'a pas de signe, et la division par zéro n'existe pas. La formulation correcte parle de limites : « le dénominateur tend vers

0

en restant strictement négatif, donc le quotient tend vers

- \infty

». On note souvent «

0^{-}

» et «

0^{+}

» pour l'exprimer, mais il faut avoir justifié le signe par un tableau.

⚠ Piège #2 — confondre « pas de limite » et « limite infinie ». Pour

f (x) = \frac{1}{x}

0

, la fonction n'a pas de limite (les deux côtés donnent des résultats opposés), alors que pour

g (x) = \frac{1}{x ^{2}}

0

, la limite existe et vaut

+ \infty

des deux côtés. Écrire «

lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty

» sans préciser le côté est compté faux.

3. Opérations sur les limites et formes indéterminées

Théorème 3.1 — Opérations sur les limites (admis)

Les règles de la somme, du produit et du quotient sont identiques à celles vues sur les suites, limites infinies comprises. Elles échouent dans exactement quatre situations :

« \infty - \infty », « 0 \times \infty », « \frac{\infty}{\infty} », « \frac{0}{0} » .

Noter que la forme « $\frac{0}{0}$ », rare sur les suites, devient centrale sur les fonctions : c'est exactement celle du taux d'accroissement, donc de la dérivée.

Théorème 3.2 — Limite d'une fonction composée (admis)

Soient $f$ et $g$ deux fonctions, $a$ , $b$ , $c$ désignant des réels ou $\pm \infty$ . Si $x \to a lim f (x) = b$ et $X \to b lim g (X) = c$ , alors $x \to a lim g (f (x)) = c$ .

En pratique, on pose $X = f (x)$ , on annonce « quand $x \to a$ , $X \to b$ », puis on conclut sur $g$ . Cette rédaction en deux temps est ce que le correcteur attend.

📐 Méthode-type 2 — Les quatre techniques de levée.

Polynôme ou quotient de polynômes en l'infini : factorise par le terme de plus haut degré, en haut et en bas, puis simplifie. C'est la technique qui couvre l'immense majorité des cas.
Quotient en un point qui annule les deux termes (forme $\frac{0}{0}$ ) : factorise par $(x - a)$ au numérateur et au dénominateur, puis simplifie. La valeur interdite disparaît, et la limite se lit par substitution.
Différence faisant intervenir une racine : multiplie par la quantité conjuguée, ce qui transforme $A - B$ en $\frac{A - B}{A + B}$ .
Rien ne se simplifie : encadre (section 4). C'est le signal des fonctions avec $sin$ , $cos$ ou partie entière.

💡 Exemple — les trois techniques sur trois calculs.

a) $x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} - x + 1}{x ^{2} + 4}$ : forme $\frac{\infty}{\infty}$ . On factorise par $x^{2}$ : $\frac{x ^{2} ( 3 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} )}{x ^{2} ( 1 + \frac{4}{x ^{2}} )} \to \frac{3}{1} = 3$ . La droite $y = 3$ est asymptote horizontale.

b) $x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ : forme $\frac{0}{0}$ . On factorise : $\frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x + 2$ pour $x \neq = 2$ , donc la limite vaut $4$ .

c) $x \to + \infty lim (x^{2} + x - x)$ : forme $\infty - \infty$ . Avec la quantité conjuguée :

x^{2} + x - x = \frac{( x ^{2} + x ) - x ^{2}}{x ^{2} + x + x} = \frac{x}{x ^{2} + x + x} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} + 1} x \to + \infty \frac{1}{2},

où l'on a factorisé par $x > 0$ en haut et en bas à la dernière étape. Résultat contre-intuitif et très classique au Bac : l'écart entre $x^{2} + x$ et $x$ ne tend ni vers $0$ ni vers l'infini, mais vers $\frac{1}{2}$ .

⚠ Piège #3 — simplifier $x^{2}$ en $x$ . On a

x^{2} = ∣ x ∣

, donc

x^{2} = x

seulement si

x \geq 0

. En

- \infty

, la factorisation d'une racine change de signe :

x^{2} + x = ∣ x ∣ 1 + \frac{1}{x} = - x 1 + \frac{1}{x}

. Oublier cette valeur absolue est l'erreur la plus coûteuse des calculs avec racines.

🎯 Objectif mention

Un calcul de limite raté fait tomber toute la question qui suit. Asymptote, tableau de variations, étude de signe : tout s'enchaîne à partir des limites, et une erreur de signe au départ se propage jusqu'au bout de l'exercice. Nos mentors Majorant t'entraînent à sécuriser cette première étape avant d'attaquer le reste.

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4. Théorèmes de comparaison et d'encadrement

Quand aucune technique algébrique ne fonctionne — typiquement en présence de $sin$ ou $cos$ —, on renonce à calculer et on encadre. Les deux théorèmes qui suivent sont admis par le programme, mais leur démonstration tombe régulièrement en exercice : elle se ramène à la définition par intervalles, et il faut savoir la conduire.

Théorème 4.1 — Comparaison en plus l'infini ★ À savoir démontrer

Soient $f$ et $g$ telles que $f (x) \leq g (x)$ pour $x$ assez grand. Si $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ , alors $x \to + \infty lim g (x) = + \infty$ .

Démonstration (retour à la définition — admise au programme, mais demandée en exercice)

Soit $A$ un réel quelconque. Il s'agit de montrer que $g (x) > A$ pour $x$ assez grand.

Comme $f (x) \to + \infty$ , l'intervalle $] A; + \infty [$ contient toutes les valeurs $f (x)$ pour $x$ assez grand : il existe donc un réel $x_{1}$ tel que $f (x) > A$ dès que $x > x_{1}$ .

Par hypothèse, il existe aussi un réel $x_{0}$ à partir duquel $f (x) \leq g (x)$ . Alors, pour tout $x > max (x_{0}, x_{1})$ , on a $g (x) \geq f (x) > A$ .

Ainsi, pour tout réel $A$ , $] A; + \infty [$ contient toutes les valeurs $g (x)$ pour $x$ assez grand : $g (x) \to + \infty$ .

Le geste attendu : prendre le maximum des deux seuils. C'est le même mécanisme que pour les suites, où l'on prend $max (N_{0}, N_{1})$ .

Théorème 4.2 — Encadrement, dit « théorème des gendarmes » ★ À savoir démontrer

Si $u (x) \leq f (x) \leq v (x)$ pour $x$ assez grand et si $u$ et $v$ ont la même limite finie $ℓ$ en $+ \infty$ , alors $f$ a pour limite $ℓ$ en $+ \infty$ .

Démonstration (encadrement des deux gendarmes dans le même intervalle)

Soit $I$ un intervalle ouvert contenant $ℓ$ . Il s'agit de montrer que $f (x)$ appartient à $I$ pour $x$ assez grand.

Comme $u (x) \to ℓ$ , il existe $x_{1}$ tel que $u (x) \in I$ dès que $x > x_{1}$ . De même, comme $v (x) \to ℓ$ , il existe $x_{2}$ tel que $v (x) \in I$ dès que $x > x_{2}$ . Notons enfin $x_{0}$ un réel à partir duquel l'encadrement $u (x) \leq f (x) \leq v (x)$ est valable.

Pour $x > max (x_{0}, x_{1}, x_{2})$ , le réel $f (x)$ est compris entre deux éléments de l'intervalle $I$ ; comme $I$ est un intervalle, il contient tout réel situé entre deux de ses éléments, donc $f (x) \in I$ .

Ainsi tout intervalle ouvert contenant $ℓ$ contient $f (x)$ pour $x$ assez grand : $f (x) \to ℓ$ .

Le point technique : c'est la convexité de l'intervalle qui fait tout le travail — un intervalle ne « saute » aucune valeur intermédiaire.

💡 Exemple — une fonction oscillante amortie.

Soit $f (x) = \frac{cos x}{x}$ pour $x > 0$ . Le cosinus n'a pas de limite en $+ \infty$ , donc les opérations sont inutilisables. Mais pour tout $x > 0$ :

- \frac{1}{x} \leq \frac{cos x}{x} \leq \frac{1}{x},

et les deux bornes tendent vers $0$ . Par le théorème des gendarmes, $f (x) \to 0$ : l'axe des abscisses est asymptote horizontale, la courbe l'enroulant en oscillant.

📝 Du continu au discret. Si

x \to + \infty lim f (x) = ℓ

, alors la suite définie par

u_{n} = f (n)

converge vers

ℓ

: il suffit de ne regarder que les valeurs entières de

x

. La réciproque est fausse : la fonction

f (x) = sin (π x)

donne

u_{n} = sin (π n) = 0

pour tout entier

n

, donc

u_{n} \to 0

, alors que

f

n'a aucune limite en

+ \infty

. Une suite ne voit que les entiers, et rate tout ce qui se passe entre eux.

5. Erreurs classiques au Bac (vues par les correcteurs)

Sur les limites, les rapports de correction de l'épreuve de spécialité mathématiques signalent des erreurs très stéréotypées. Les connaître, c'est déjà les éviter.

⚠ Erreur 1 — Substituer directement dans une forme indéterminée. Remplacer

x

par

+ \infty

« pour voir » aboutit à

\infty - \infty

\frac{\infty}{\infty}

, qui ne sont pas des nombres. Le réflexe attendu : nommer la forme indéterminée, puis annoncer la technique employée avant de calculer.

⚠ Erreur 2 — Oublier le signe du dénominateur en un point. Une limite en un réel où le dénominateur s'annule exige une étude de signe à gauche et à droite. Répondre «

+ \infty

» sans distinguer les deux côtés est faux dans la moitié des cas — et le correcteur cherche précisément le tableau de signes.

⚠ Erreur 3 — Écrire $x^{2} = x$ en moins l'infini. C'est

∣ x ∣

, donc

- x

quand

x < 0

. Cette erreur inverse le signe du résultat final et fait perdre l'ensemble de la question.

⚠ Erreur 4 — Confondre asymptote horizontale et verticale. Une limite finie en l'infini donne une asymptote horizontale (

y = ℓ

) ; une limite infinie en un réel donne une asymptote verticale (

x = a

). L'inversion est fréquente et coûte le point de l'interprétation graphique, qui est presque toujours demandée.

⚠ Erreur 5 — Croire qu'une courbe ne peut pas couper son asymptote. Rien ne l'interdit :

f (x) = \frac{s i n x}{x}

coupe son asymptote

y = 0

une infinité de fois. « Asymptote » signifie que l'écart tend vers

0

, pas que la courbe reste d'un seul côté.

6. Pour aller plus loin

Les limites de fonctions ne sont pas une fin en soi : c'est l'outil qui rend possibles tous les chapitres d'analyse qui suivent.

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires — la continuité en $a$ se définit exactement par $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ .
Dérivation — le nombre dérivé est une limite de taux d'accroissement, c'est-à-dire une forme $\frac{0}{0}$ que l'on lève.
Exponentielle et logarithme — les croissances comparées sont des limites de quotients où l'algèbre ne suffit plus.
Calcul intégral — les intégrales sur un intervalle non borné, hors programme au lycée, se définissent comme limites d'intégrales.
Après le Bac — en prépa, la définition par intervalles est remplacée par la définition avec $ε$ et $δ$ , et les théorèmes admis ici sont démontrés.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'un DS ou de l'épreuve de spécialité, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir une limite finie et une limite infinie en $+ \infty$ ?
Sais-tu relier une limite finie en l'infini à une asymptote horizontale ?
Sais-tu relier une limite infinie en un réel à une asymptote verticale ?
Connais-tu les limites de $x^{n}$ en $- \infty$ selon la parité de $n$ ?
Sais-tu déterminer la limite d'un polynôme en factorisant son terme de plus haut degré ?
Sais-tu mener l'étude de signe du dénominateur à gauche et à droite d'une valeur interdite ?
Sais-tu lever une forme $\frac{0}{0}$ par factorisation de $(x - a)$ ?
Sais-tu utiliser la quantité conjuguée sur $x^{2} + x - x$ et retrouver $\frac{1}{2}$ ?
Sais-tu que $x^{2} = ∣ x ∣$ , et ce que cela change en $- \infty$ ?
Sais-tu rédiger une limite de fonction composée en posant $X = f (x)$ ?
Sais-tu démontrer le théorème de comparaison en revenant à la définition ?
Sais-tu traiter $\frac{c o s x}{x}$ par encadrement ?

Démonstrations à savoir refaire

Théorème de comparaison en $+ \infty$ — deux seuils, puis $max (x_{0}, x_{1})$
Théorème des gendarmes — trois seuils, puis convexité de l'intervalle

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Limites de fonctions

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Limites en plus l'infini et en moins l'infini

2. Limites en un réel et asymptote verticale

3. Opérations sur les limites et formes indéterminées

4. Théorèmes de comparaison et d'encadrement

5. Erreurs classiques au Bac (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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