Continuité et TVI : Terminale Mathématiques

Vue d'ensemble

La continuité est la propriété que l'on résume, en Terminale, par « on trace la courbe sans lever le crayon ». Derrière cette image se cache un outil redoutablement efficace : le théorème des valeurs intermédiaires, seul résultat du programme qui affirme l'existence d'une solution à une équation sans jamais la calculer. C'est aussi le seul chapitre où l'on démontre qu'une équation admet exactement une solution, puis où on l'encadre par un algorithme.

Au Bac, ce chapitre apparaît presque toujours de la même façon : une fonction dont on étudie les variations, puis la question « montrer que l'équation $f (x) = k$ admet une unique solution $α$ sur $I$ », suivie d'un encadrement à $1 0^{- 2}$ près par dichotomie ou balayage. La fiche traite cet enchaînement de bout en bout.

Au programme Terminale, spécialité Mathématiques (officiel) — Continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle ; continuité des fonctions usuelles et des fonctions construites par opérations et composition (admise) ; toute fonction dérivable est continue ; théorème des valeurs intermédiaires (admis) ; cas des fonctions strictement monotones ; résolution approchée par balayage ou dichotomie ; convergence d'une suite

u_{n + 1} = f (u_{n})

vers un point fixe de

f

continue.

Prérequis

Limites de fonctions en un réel et en l'infini (Terminale, chapitre précédent)
Dérivation : signe de la dérivée et sens de variation (Première)
Tableau de variations complet, avec limites aux bornes (Première et Terminale)
Suites définies par récurrence et théorème de la limite monotone (Terminale)

🎯 Accompagnement Majorant

« Montrer que l'équation admet une unique solution » : la question qui revient à chaque session. Elle se traite en trois lignes quand on connaît le format attendu, et se solde par un demi-point quand on oublie une hypothèse. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font produire cette rédaction jusqu'à ce qu'elle sorte sans réfléchir, le jour J.

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1. La continuité, en un point et sur un intervalle

Définition 1.1 — Continuité en un point

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$ . La fonction $f$ est continue en $a$ si :

x \to a lim f (x) = f (a) .

Deux conditions se cachent dans cette égalité : la limite doit exister, et elle doit valoir la valeur de la fonction en $a$ — une fonction peut très bien avoir une limite en $a$ sans y être continue, si $f (a)$ a été définie autrement.

Définition 1.2 — Continuité sur un intervalle

$f$ est continue sur l'intervalle $I$ si elle est continue en chaque point de $I$ . Graphiquement, sa courbe se trace « sans lever le crayon » sur tout l'intervalle — image commode, mais qui ne remplace pas la définition par les limites.

Théorème 1.3 — Continuité des fonctions usuelles (admis)

Les fonctions polynômes, la fonction racine carrée (sur $[0; + \infty [$ ), la fonction valeur absolue, les fonctions sinus et cosinus, l'exponentielle (sur $R$ ) et la fonction logarithme népérien (sur $] 0; + \infty [$ ) sont continues sur leur ensemble de définition. Il en va de même de toute fonction obtenue par somme, produit, quotient (là où le dénominateur ne s'annule pas) ou composition de telles fonctions.

En pratique, une phrase suffit sur la copie : « $f$ est continue sur $I$ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas ».

Théorème 1.4 — Toute fonction dérivable est continue ★ À savoir démontrer

Si $f$ est dérivable en $a$ , alors $f$ est continue en $a$ . Par conséquent, une fonction dérivable sur un intervalle y est continue.

Démonstration (par le taux d'accroissement — résultat admis au programme, mais démonstration classiquement demandée en exercice)

Supposons $f$ dérivable en $a$ : le taux d'accroissement $\frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ tend vers le réel $f^{'} (a)$ quand $x \to a$ .

Pour $x \neq = a$ , on peut alors écrire :

f (x) - f (a) = \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} \times (x - a) .

Le premier facteur tend vers $f^{'} (a)$ (un réel), le second vers $0$ . Le produit tend donc vers $f^{'} (a) \times 0 = 0$ , d'où $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ : $f$ est continue en $a$ .

Le point à ne pas rater : il faut multiplier et diviser par $(x - a)$ , ce qui n'est licite que pour $x \neq = a$ — précise-le. Et surtout, la réciproque est fausse : voir le piège ci-dessous.

⚠ Piège #1 du chapitre — continue n'implique pas dérivable. La fonction valeur absolue

x \mapsto ∣ x ∣

est continue en

0

mais n'y est pas dérivable : sa courbe forme un angle, avec une pente

- 1

à gauche et

+ 1

à droite. Le sens de l'implication est donc unique : dérivable

\Rightarrow

continue, jamais l'inverse. Une courbe peut se tracer sans lever le crayon tout en présentant des points anguleux.

💡 Exemple — une fonction définie par morceaux.

Soit $f$ définie par $f (x) = x^{2} + 1$ si $x \leq 2$ et $f (x) = 3 x - 1$ si $x > 2$ . Le seul point à examiner est le raccord en $2$ :

à gauche, $lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 2^{2} + 1 = 5$ , et $f (2) = 5$ ; à droite, $lim_{x \to 2^{+}} f (x) = 3 \times 2 - 1 = 5$ . Les trois valeurs coïncident, donc $f$ est continue en $2$ , et donc sur $R$ .

Le réflexe : pour une fonction définie par morceaux, la continuité ne pose question qu'aux points de raccord. Ailleurs, elle découle du théorème 1.3.

📝 Une fonction discontinue que tu connais déjà. La fonction partie entière, qui associe à

x

le plus grand entier inférieur ou égal à

x

, est discontinue en chaque entier : elle y fait un saut de

1

. C'est le contre-exemple de référence, et le programme s'en sert pour montrer qu'une fonction peut être définie partout sans être continue nulle part sur les entiers.

2. Le théorème des valeurs intermédiaires

Théorème 2.1 — Théorème des valeurs intermédiaires (admis)

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a; b]$ . Pour tout réel $k$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet au moins une solution dans $[a; b]$ .

Intuitivement : une courbe qui va du niveau $f (a)$ au niveau $f (b)$ sans lever le crayon doit bien franchir toutes les altitudes intermédiaires.

Théorème 2.2 — Corollaire du TVI, cas strictement monotone (admis)

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a; b]$ , alors pour tout réel $k$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une unique solution dans $[a; b]$ .

Le théorème s'étend aux intervalles ouverts ou non bornés, en remplaçant $f (a)$ et $f (b)$ par les limites aux bornes. C'est la version utilisée dans la quasi-totalité des exercices du Bac.

📝 D'où vient l'unicité. L'existence vient de la continuité ; l'unicité vient de la stricte monotonie. Si

f

est strictement croissante et que deux réels distincts

x_{1} < x_{2}

vérifiaient

f (x_{1}) = f (x_{2}) = k

, la stricte croissance imposerait

f (x_{1}) < f (x_{2})

: contradiction. Ce raisonnement d'une ligne est parfois demandé explicitement — sache le produire.

📐 Méthode-type 1 — Rédiger « l'équation admet une unique solution ».

La rédaction attendue tient en quatre vérifications, dans cet ordre :

Continuité : « $f$ est continue sur $I$ comme … (somme, quotient, composée) de fonctions continues », ou « $f$ est dérivable donc continue sur $I$ ».
Stricte monotonie : justifiée par le signe strict de $f^{'}$ sur $I$ — pas par une simple lecture de courbe.
Encadrement de $k$ : donne les valeurs (ou les limites) aux bornes de $I$ , et vérifie que $k$ est bien compris entre elles.
Conclusion : « d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f (x) = k$ admet une unique solution $α$ dans $I$ ».

💡 Exemple canonique — une équation du troisième degré.

Montrons que $x^{3} + x - 1 = 0$ admet une unique solution réelle. Posons $f (x) = x^{3} + x - 1$ .

Continuité : $f$ est une fonction polynôme, donc continue sur $R$ .

Stricte monotonie : $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1 > 0$ pour tout réel $x$ (somme d'un carré positif et de $1$ ), donc $f$ est strictement croissante sur $R$ .

Bornes : $lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$ et $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ , donc $0$ est bien compris entre les deux limites.

Conclusion : d'après le corollaire du TVI, l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α$ dans $R$ . Comme $f (0) = - 1 < 0$ et $f (1) = 1 > 0$ , on a de plus $α \in] 0; 1 [$ .

⚠ Piège #2 — invoquer le TVI sans vérifier la continuité. Le théorème est faux sans elle : la fonction partie entière passe de

0

1

sur

[0; 1]

sans jamais valoir

0, 5

. Sur la copie, la phrase de continuité n'est pas une formalité de style : c'est l'hypothèse qui fait fonctionner le théorème, et son absence est explicitement sanctionnée.

⚠ Piège #3 — confondre monotonie et stricte monotonie. Une fonction croissante au sens large peut être constante sur tout un sous-intervalle : l'équation

f (x) = k

y aurait alors une infinité de solutions. Pour conclure à l'unicité, il faut la stricte monotonie, donc

f^{'} > 0

(ou

f^{'} < 0

) sauf éventuellement en des points isolés.

🎯 Objectif mention

Le TVI est un point presque garanti — à condition de rédiger les quatre vérifications. Les correcteurs suivent une grille : continuité, stricte monotonie, encadrement, conclusion. Nos mentors Majorant relisent tes rédactions ligne à ligne et te montrent exactement où la grille attribue, ou retire, les points.

Préparer l'épreuve de spécialité →

3. Encadrer la solution : balayage et dichotomie

Le TVI prouve qu'une solution $α$ existe, mais ne la donne pas. La suite de l'exercice consiste presque toujours à l'encadrer à une précision demandée, par un algorithme que tu dois savoir décrire et faire tourner.

Définition 3.1 — Méthode par balayage

On parcourt l'intervalle par pas réguliers ( $0, 1$ puis $0, 01$ …) en testant le signe de $f$ : dès que le signe change entre deux valeurs consécutives, $α$ est encadrée entre elles. On recommence avec un pas dix fois plus petit pour gagner une décimale.

Définition 3.2 — Méthode par dichotomie

On part d'un intervalle $[a; b]$ contenant $α$ , on calcule le milieu $m = \frac{a + b}{2}$ , et l'on garde la moitié dans laquelle $f$ change de signe. La longueur de l'intervalle est divisée par $2$ à chaque étape : après $n$ étapes, elle vaut $\frac{b - a}{2 ^{n}}$ .

📐 Méthode-type 2 — Faire tourner une dichotomie à la main.

Vérifie que $f (a)$ et $f (b)$ sont de signes contraires : c'est ce qui garantit la présence de $α$ dans $[a; b]$ .
Calcule $m = \frac{a + b}{2}$ , puis le signe de $f (m)$ .
Si $f (m)$ est du même signe que $f (a)$ , remplace $a$ par $m$ ; sinon, remplace $b$ par $m$ .
Répète jusqu'à ce que $b - a$ soit inférieur à la précision demandée.
Conclus par un encadrement, en respectant la précision : « $0, 68 < α < 0, 69$ » pour une précision de $1 0^{- 2}$ .

💡 Exemple — deux étapes de dichotomie sur $x^{3} + x - 1 = 0$ .

On sait que $α \in] 0; 1 [$ avec $f (0) = - 1 < 0$ et $f (1) = 1 > 0$ .

Étape 1 : $m = 0, 5$ , et $f (0, 5) = 0, 125 + 0, 5 - 1 = - 0, 375 < 0$ . Même signe que $f (0)$ , donc $α \in] 0, 5; 1 [$ .

Étape 2 : $m = 0, 75$ , et $f (0, 75) = 0, 421875 + 0, 75 - 1 = 0, 171875 > 0$ . Signe opposé à $f (0, 5)$ , donc $α \in] 0, 5; 0, 75 [$ .

Deux étapes ont divisé l'incertitude par $4$ . En poursuivant, on obtient $α \approx 0, 68$ .

⚠ Piège #4 — donner $α$ au lieu de l'encadrer. Écrire «

α = 0, 68

» est faux :

α

est irrationnelle, la calculatrice n'en donne qu'une valeur approchée. La réponse attendue est un encadrement (

0, 68 < α < 0, 69

) ou une valeur approchée annoncée comme telle (

α \approx 0, 68

1 0^{- 2}

près).

4. Continuité et suites définies par récurrence

Définition 4.1 — Point fixe d'une fonction

Un réel $ℓ$ est un point fixe de $f$ s'il vérifie $f (ℓ) = ℓ$ : la fonction le laisse inchangé. Graphiquement, les points fixes sont les abscisses des points d'intersection de la courbe de $f$ avec la droite d'équation $y = x$ — d'où l'importance de cette droite dans les constructions « en escalier » d'une suite récurrente.

Théorème 4.2 — Limite d'une suite récurrente et point fixe ★ À savoir démontrer

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ , et $(u_{n})$ une suite d'éléments de $I$ définie par $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . Si $(u_{n})$ converge vers un réel $ℓ \in I$ , alors $ℓ$ vérifie $ℓ = f (ℓ)$ .

Démonstration (passage à la limite — résultat admis au programme, mais démonstration classiquement demandée en exercice)

Supposons $u_{n} \to ℓ$ avec $ℓ \in I$ . La suite $(u_{n + 1})$ est la suite $(u_{n})$ décalée d'un rang : elle a donc la même limite $ℓ$ .

Par ailleurs, $f$ est continue en $ℓ$ , donc $f (u_{n}) \to f (ℓ)$ puisque $u_{n} \to ℓ$ .

Or $u_{n + 1} = f (u_{n})$ pour tout $n$ : les deux suites sont égales, donc leurs limites le sont aussi. D'où $ℓ = f (ℓ)$ .

Ce qui est vraiment démontré : la limite, si elle existe, est nécessairement un point fixe. Ce théorème ne prouve jamais la convergence — celle-ci s'obtient à part, par convergence monotone.

📐 Méthode-type 3 — Déterminer la limite d'une suite récurrente.

Démontre que $(u_{n})$ converge (encadrement + monotonie, puis convergence monotone).
Justifie que $f$ est continue sur l'intervalle où vivent tous les termes.
Résous l'équation de point fixe $ℓ = f (ℓ)$ .
Élimine les solutions incompatibles avec l'encadrement obtenu à l'étape 1 : c'est l'étape que les copies oublient, alors qu'elle porte souvent le point de conclusion.

💡 Exemple — la suite $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3$ .

Avec $u_{0} = 1$ , on démontre (chapitre récurrence) que $1 \leq u_{n} \leq 3$ pour tout $n$ , et que la suite est croissante. Croissante et majorée par $3$ , elle converge donc vers un réel $ℓ \in [1; 3]$ .

La fonction $f (x) = 2 x + 3$ est continue sur $[1; 3]$ , donc $ℓ$ vérifie $ℓ = 2 ℓ + 3$ . En élevant au carré (les deux membres sont positifs) : $ℓ^{2} = 2 ℓ + 3$ , soit $ℓ^{2} - 2 ℓ - 3 = 0$ , dont les solutions sont $ℓ = 3$ et $ℓ = - 1$ .

Or $ℓ \in [1; 3]$ , ce qui élimine $- 1$ . Donc $ℓ = 3$ .

⚠ Piège #5 — résoudre le point fixe sans avoir prouvé la convergence. L'équation

ℓ = f (ℓ)

n'a de sens que si la limite existe. Une suite peut parfaitement diverger alors que

f

possède un point fixe : le calcul donnerait alors une valeur qui n'est la limite de rien. L'ordre des étapes n'est pas négociable — convergence d'abord, point fixe ensuite.

5. Erreurs classiques au Bac (vues par les correcteurs)

Les rapports de correction de l'épreuve de spécialité mathématiques sont, sur ce chapitre, d'une remarquable constance : les points perdus le sont presque toujours sur les hypothèses, jamais sur l'idée.

⚠ Erreur 1 — Citer le TVI sans énoncer ses hypothèses. « D'après le TVI, il existe une solution » ne vaut rien sans la continuité et, pour l'unicité, la stricte monotonie. Chaque hypothèse doit être écrite et justifiée : c'est littéralement ce que la grille de correction cherche.

⚠ Erreur 2 — Oublier de vérifier que $k$ est bien compris entre les bornes. Le théorème ne s'applique qu'aux valeurs

k

situées entre

f (a)

f (b)

(ou entre les limites). Sur un intervalle où

f

varie de

2

5

, l'équation

f (x) = 1

n'a aucune raison d'avoir une solution.

⚠ Erreur 3 — Déduire la dérivabilité de la continuité. L'implication ne va que dans un sens.

x \mapsto ∣ x ∣

x \mapsto x

(en

0

) sont continues sans être dérivables. Écrire «

f

est continue donc dérivable » est une faute de cours lourdement sanctionnée.

⚠ Erreur 4 — Conclure « $α = 0, 68$ » après une dichotomie. Un algorithme d'approximation produit un encadrement. Donner une égalité, ou une valeur avec plus de décimales que la précision atteinte, est compté faux.

⚠ Erreur 5 — Passer à la limite dans $u_{n + 1} = f (u_{n})$ sans justifier la continuité. C'est la continuité de

f

qui autorise à écrire

f (u_{n}) \to f (ℓ)

. Sans elle, rien ne garantit que la limite soit un point fixe — et la phrase «

f

est continue sur

I

» doit apparaître avant le calcul.

6. Pour aller plus loin

La continuité est l'hypothèse silencieuse de presque tous les théorèmes d'analyse que tu vas croiser ensuite.

Fonction logarithme népérien — son existence repose sur le TVI appliqué à l'exponentielle, strictement croissante et continue.
Primitives et calcul intégral — toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives : c'est le théorème fondamental de l'analyse.
Équations différentielles — les solutions y sont recherchées parmi les fonctions dérivables, donc continues.
Suites récurrentes — le passage à la limite via le point fixe est l'aboutissement de tous les exercices longs sur les suites.
Après le Bac — en prépa, on démontre le TVI à partir de la propriété de la borne supérieure, et on découvre qu'une fonction continue sur un segment y est bornée et atteint ses bornes.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'un DS ou de l'épreuve de spécialité, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir la continuité en un point à l'aide d'une limite ?
Sais-tu justifier en une phrase la continuité d'une fonction construite par opérations ?
Sais-tu démontrer que toute fonction dérivable est continue ?
Connais-tu un contre-exemple à la réciproque, et sais-tu dire pourquoi il fonctionne ?
Sais-tu étudier la continuité d'une fonction définie par morceaux en son point de raccord ?
Sais-tu énoncer le théorème des valeurs intermédiaires avec toutes ses hypothèses ?
Sais-tu ce que la stricte monotonie ajoute au théorème, et pourquoi ?
Sais-tu rédiger les 4 étapes de « l'équation admet une unique solution » ?
Sais-tu appliquer le théorème sur un intervalle non borné, avec des limites aux bornes ?
Sais-tu faire tourner deux étapes de dichotomie et conclure par un encadrement ?
Sais-tu démontrer que la limite d'une suite récurrente est un point fixe de $f$ ?
Sais-tu pourquoi il faut prouver la convergence avant de résoudre $ℓ = f (ℓ)$ ?

Démonstrations à savoir refaire

Toute fonction dérivable est continue — écrire $f (x) - f (a)$ comme taux d'accroissement multiplié par $(x - a)$
La limite d'une suite récurrente est un point fixe — $(u_{n + 1})$ a la même limite, puis continuité de $f$

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Continuité et TVI

Vue d'ensemble

Prérequis

1. La continuité, en un point et sur un intervalle

2. Le théorème des valeurs intermédiaires

3. Encadrer la solution : balayage et dichotomie

4. Continuité et suites définies par récurrence

5. Erreurs classiques au Bac (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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