Primitives et équations différentielles : Terminale

Vue d'ensemble

Jusqu'ici, on te donnait une fonction et tu calculais sa dérivée. Ce chapitre fait le chemin en sens inverse : on te donne une dérivée, tu retrouves la fonction. C'est l'opération de primitivation, et elle change de statut par rapport à la dérivation — il n'existe pas de « formule qui marche à tous les coups », seulement des lectures à l'envers du tableau des dérivées et un œil entraîné.

Cette même idée résout les équations différentielles $y^{'} = a y + b$ , qui modélisent tout ce dont la vitesse d'évolution dépend de l'état : populations, températures, charges électriques, désintégrations. Le chapitre est court, très calculatoire, et tombe presque à chaque session.

Au programme Terminale, spécialité Mathématiques (officiel) — Équation différentielle

y^{'} = f

et notion de primitive d'une fonction continue sur un intervalle ; deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante ; primitives des fonctions de référence

x \mapsto x^{n}

pour

n \in Z

x \mapsto \frac{1}{x}

, exponentielle, sinus, cosinus ; calcul d'une primitive en utilisant ces références et les fonctions de la forme

(v^{'} \circ u) \times u^{'}

; équation

y^{'} = a y

où

a

est un réel, et allure des courbes ; équation

y^{'} = a y + b

, pour laquelle on détermine une solution particulière constante puis toutes les solutions. Démonstrations exigibles : deux primitives diffèrent d'une constante, et la résolution de

y^{'} = a y

Prérequis

Dérivées des fonctions usuelles et dérivée d'une composée (Première et Terminale)
Fonction exponentielle et fonction logarithme népérien (Terminale, chapitres précédents)
Continuité sur un intervalle (Terminale)
Résolution d'équations du premier degré, manipulation des paramètres (Seconde)

🎯 Accompagnement Majorant

Trouver une primitive, ça ne se déduit pas : ça se reconnaît. Les élèves qui bloquent n'ont pas un problème de raisonnement, ils manquent d'heures de vol sur les formes $u^{'} u^{n}$ et $u^{'} e^{u}$ . Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font faire ces reconnaissances en série, jusqu'à ce que la bonne forme te saute aux yeux.

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1. La notion de primitive

Définition 1.1 — Primitive d'une fonction

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ . Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et si :

F^{'} (x) = f (x) pour tout x \in I .

Le vocabulaire dit tout : $F$ est « avant » $f$ , et dériver $F$ redonne $f$ . Pour vérifier une primitive, il suffit donc toujours de la dériver — ce contrôle prend cinq secondes et évite toute erreur.

Théorème 1.2 — Existence des primitives (admis)

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$ .

Ce théorème garantit l'existence, mais ne fournit aucune méthode de calcul : il existe des fonctions continues très simples, comme $x \mapsto e^{- x^{2}}$ , dont aucune primitive ne s'exprime avec les fonctions du programme.

Théorème 1.3 — Deux primitives diffèrent d'une constante ★ À savoir démontrer

Si $F$ et $G$ sont deux primitives d'une même fonction $f$ sur un intervalle $I$ , alors il existe une constante réelle $k$ telle que $G (x) = F (x) + k$ pour tout $x \in I$ .

Démonstration (par la dérivée de la différence)

Posons $H = G - F$ . Cette fonction est dérivable sur $I$ comme différence de fonctions dérivables, et pour tout $x \in I$ :

H^{'} (x) = G^{'} (x) - F^{'} (x) = f (x) - f (x) = 0.

Or une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle y est constante. Il existe donc un réel $k$ tel que $H (x) = k$ pour tout $x \in I$ , c'est-à-dire $G (x) = F (x) + k$ .

L'hypothèse à ne pas perdre : le résultat exige un intervalle. Prends la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ , définie sur $R^{*}$ , qui n'est pas un intervalle : ses primitives sont $ln x + k$ sur $] 0; + \infty [$ , et $ln (- x) + k^{'}$ sur $] - \infty; 0 [$ — attention, $ln x$ n'y existe pas. Rien n'impose $k^{'} = k$ : deux primitives peuvent différer d'une constante sur un morceau et d'une autre sur le second. C'est bien l'intervalle qui fait le théorème.

Corollaire 1.4 — Unicité sous condition initiale

Soit $f$ continue sur $I$ , $x_{0} \in I$ et $y_{0}$ un réel. Il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur $I$ vérifiant $F (x_{0}) = y_{0}$ .

Autrement dit : une infinité de primitives, mais une seule qui passe par un point donné. C'est exactement le rôle de la condition initiale dans les équations différentielles.

⚠ Piège #1 du chapitre — oublier la constante. Répondre « la primitive de

2 x

est

x^{2}

» est incomplet : ce sont les primitives, et elles s'écrivent

x^{2} + k

avec

k \in R

. L'article défini « la » n'est correct que lorsqu'une condition initiale a fixé

k

. Cette nuance de rédaction est explicitement notée.

2. Calculer une primitive : les formes à reconnaître

Proposition 2.1 — Primitives des fonctions usuelles

Sur un intervalle où chaque expression est définie, et à une constante près :

$f (x) = x^{n}$ , pour $n \in Z$ avec $n \neq = - 1$ : $F (x) = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ — sur un intervalle ne contenant pas $0$ dès que $n \leq - 2$
$f (x) = \frac{1}{x}$ : $F (x) = ln x$ , sur $] 0; + \infty [$
$f (x) = e^{x}$ : $F (x) = e^{x}$
$f (x) = \frac{1}{x}$ : $F (x) = 2 x$ , sur $] 0; + \infty [$ — cas particulier de la forme $\frac{u ^{'}}{u}$ ci-dessous, plutôt qu'une référence du programme
$f (x) = cos x$ : $F (x) = sin x$
$f (x) = sin x$ : $F (x) = - cos x$

Ce tableau n'est que le tableau des dérivées lu de droite à gauche. Si tu le connais dans un sens, tu le connais dans l'autre — à condition de t'entraîner à le lire dans ce sens-là.

Proposition 2.2 — Les formes composées à reconnaître

Le programme les regroupe sous une seule capacité : reconnaître les fonctions de la forme $(v^{'} \circ u) \times u^{'}$ . En pratique, cinq cas couvrent la quasi-totalité des sujets. Pour $u$ dérivable, et à une constante près :

$u^{'} u^{n}$ , pour $n \in Z$ avec $n \neq = - 1$ : primitive $\frac{u ^{n + 1}}{n + 1}$ — avec $u$ ne s'annulant pas si $n \leq - 2$
$\frac{u ^{'}}{u}$ là où $u > 0$ : primitive $ln u$
$u^{'} e^{u}$ : primitive $e^{u}$
$\frac{u ^{'}}{u}$ là où $u > 0$ : primitive $2 u$

La cinquième est le cas $n = - 2$ de la première : $\frac{u ^{'}}{u ^{2}}$ a pour primitive $- \frac{1}{u}$ , là où $u$ ne s'annule pas.

Définition 2.3 — Forme composée reconnaissable

On appelle ici forme composée une expression du type $u^{'} \times g (u)$ , où $g$ est une fonction dont on connaît une primitive $G$ . Sa primitive est alors $G (u)$ : c'est la lecture à l'envers de la dérivée d'une composée.

Toute la difficulté du chapitre tient dans cette reconnaissance : identifier le $u$ , vérifier que son $u^{'}$ est bien présent en facteur (quitte à ajuster un coefficient), et lire la primitive dans le tableau ci-dessus.

📐 Méthode-type 1 — Reconnaître une forme composée.

Repère le $u$ : c'est ce qui est « à l'intérieur » — sous la racine, en exposant de l'exponentielle, au dénominateur, ou élevé à une puissance.
Calcule $u^{'}$ au brouillon, et compare-le à ce qui figure devant, ou au numérateur.
Ajuste le coefficient. Si le facteur présent vaut $λ u^{'}$ , sors $\frac{1}{λ}$ devant : par exemple, pour $x e^{x^{2}}$ , on a $u = x^{2}$ , $u^{'} = 2 x$ , et il manque un facteur $2$ ; on écrit $x e^{x^{2}} = \frac{1}{2} (2 x e^{x^{2}})$ , de primitive $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ .
Vérifie en dérivant. Ce contrôle est immédiat et détecte toute erreur de coefficient.

💡 Exemple — quatre reconnaissances, une par forme.

$f (x) = 2 x (x^{2} + 1)^{3}$ : avec $u = x^{2} + 1$ , $u^{'} = 2 x$ , on est en $u^{'} u^{3}$ , donc $F (x) = \frac{( x ^{2} + 1 ) ^{4}}{4} + k$ .

$g (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ : avec $u = x^{2} + 1 > 0$ , on est en $\frac{u ^{'}}{u}$ , donc $G (x) = ln (x^{2} + 1) + k$ .

$h (x) = 3 e^{3 x - 1}$ : avec $u = 3 x - 1$ , $u^{'} = 3$ , on est en $u^{'} e^{u}$ , donc $H (x) = e^{3 x - 1} + k$ .

$p (x) = \frac{1}{( 2 x + 5 ) ^{2}}$ : avec $u = 2 x + 5$ , $u^{'} = 2$ , on écrit $p (x) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{( 2 x + 5 ) ^{2}}$ , donc $P (x) = - \frac{1}{2 ( 2 x + 5 )} + k$ sur tout intervalle ne contenant pas $- \frac{5}{2}$ .

⚠ Piège #2 — inventer une « primitive du produit ». Il n'existe aucune formule donnant la primitive d'un produit à partir des primitives de chaque facteur. Écrire que la primitive de

x e^{x}

serait

\frac{x ^{2}}{2} e^{x}

est faux : dérive pour t'en convaincre. Quand aucune forme n'est reconnue, c'est que l'énoncé fournit une piste ailleurs — souvent une fonction auxiliaire dont on demande de calculer la dérivée à la question précédente.

📝 La question précédente est presque toujours la clé. Quand un sujet demande « montrer que

F^{'} (x) = f (x)

», puis « en déduire une primitive de

f

», la réponse à la seconde question est déjà écrite dans la première. Cette structure en deux temps est le format standard des exercices de primitives au Bac : lis toujours la question précédente avant de chercher.

📐 Méthode-type 2 — Déterminer la primitive vérifiant une condition initiale.

Détermine toutes les primitives, sous la forme $F (x) + k$ .
Écris l'égalité imposée, par exemple $F (x_{0}) + k = y_{0}$ .
Résous cette équation du premier degré en $k$ .
Conclus en donnant la primitive cherchée, avec la valeur de $k$ remplacée — et non laissée en paramètre.

3. Équations différentielles

Définition 3.1 — Équation différentielle du premier ordre

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, reliée à sa dérivée. En Terminale, deux formes sont au programme : $y^{'} = a y$ , où $a$ est un réel quelconque, et $y^{'} = a y + b$ , où $b$ est réel et $a \neq = 0$ :

y^{'} = a y et y^{'} = a y + b .

Résoudre, c'est décrire toutes les fonctions $y$ , dérivables sur $R$ , qui vérifient l'égalité en tout point.

Définition 3.2 — Solution, condition initiale

Une solution de l'équation est une fonction qui vérifie l'égalité en tout point de l'intervalle considéré. Une condition initiale est une contrainte de la forme $y (x_{0}) = y_{0}$ .

Une équation différentielle possède une infinité de solutions ; assortie d'une condition initiale, elle n'en possède plus qu'une. C'est ce couple qui modélise un phénomène : l'équation dit comment la grandeur évolue, la condition initiale dit d'où elle part.

Définition 3.3 — Solution constante, ou état d'équilibre

Une solution constante de $y^{'} = a y + b$ est une fonction constante qui vérifie l'équation. Sa dérivée étant nulle, elle correspond à la valeur $y$ telle que $a y + b = 0$ , soit $y = - \frac{b}{a}$ .

En modélisation, cette valeur porte un nom concret : état d'équilibre du système — la température ambiante d'un refroidissement, la population limite d'un milieu, la tension finale d'un condensateur. C'est vers elle que tend la solution lorsque $a < 0$ .

Théorème 3.4 — Solutions de y prime égale a y ★ À savoir démontrer

Les solutions sur $R$ de $y^{'} = a y$ sont exactement les fonctions $x \mapsto C e^{a x}$ , avec $C \in R$ .

Démonstration (fonction auxiliaire, dans le sens qui compte)

Sens facile. Si $f (x) = C e^{a x}$ , alors $f^{'} (x) = C a e^{a x} = a f (x)$ : chaque fonction de cette forme est bien solution.

Sens réciproque — c'est lui qui demande une idée. Soit $f$ une solution quelconque. Posons $φ (x) = f (x) e^{- a x}$ , fonction dérivable sur $R$ comme produit. Alors :

φ^{'} (x) = f^{'} (x) e^{- a x} + f (x) \times (- a e^{- a x}) = (f^{'} (x) - a f (x)) e^{- a x} .

Or $f$ est solution, donc $f^{'} (x) - a f (x) = 0$ , et par conséquent $φ^{'} (x) = 0$ pour tout $x$ .

Une fonction de dérivée nulle sur $R$ y est constante : il existe $C$ tel que $f (x) e^{- a x} = C$ , c'est-à-dire, en multipliant par $e^{a x}$ (jamais nul) : $f (x) = C e^{a x}$ .

Le geste caractéristique : multiplier par $e^{- a x}$ pour faire apparaître une dérivée nulle. On le retrouve tel quel dans la démonstration que l'exponentielle ne s'annule jamais.

Théorème 3.5 — Solutions de y prime égale a y plus b

Pour $a \neq = 0$ , les solutions sur $R$ de $y^{'} = a y + b$ sont les fonctions :

x \mapsto C e^{a x} - \frac{b}{a}, C \in R .

La constante $- \frac{b}{a}$ est la solution particulière constante : c'est l'unique valeur $y$ telle que $y^{'} = 0$ , donc telle que $a y + b = 0$ . Ne l'apprends pas par cœur — retrouve-la en résolvant cette équation du premier degré, tu ne te tromperas jamais de signe.

Proposition 3.6 — Le principe de la solution particulière

Ce principe dépasse le cas constant, et le programme le mentionne explicitement. Soit l'équation $y^{'} = a y + f$ , où $f$ est une fonction donnée. Si l'énoncé fournit une solution particulière $y_{p}$ , alors les solutions de l'équation sont exactement les fonctions :

y = y_{p} + C e^{a x}, C \in R .

Autrement dit : une solution particulière, plus toutes les solutions de l'équation $y^{'} = a y$ associée. La raison tient en une ligne : si $y$ et $y_{p}$ sont deux solutions, leur différence $z = y - y_{p}$ vérifie $z^{'} = (a y + f) - (a y_{p} + f) = a z$ , donc $z$ est solution de $y^{'} = a z$ , et vaut $C e^{a x}$ d'après le théorème 3.4.

Le cas $y^{'} = a y + b$ du théorème 3.5 en est le cas particulier où la solution particulière est la constante $- \frac{b}{a}$ .

Théorème 3.7 — Unicité sous condition initiale

Pour tout couple de réels $(x_{0}; y_{0})$ , l'équation $y^{'} = a y + b$ admet une unique solution vérifiant $y (x_{0}) = y_{0}$ .

C'est ce qui rend ces équations utiles en modélisation : l'équation décrit la loi d'évolution, la condition initiale fixe l'état de départ, et le couple détermine entièrement l'avenir du système.

🎯 Objectif mention

L'exercice d'équation différentielle est le plus prévisible du sujet. Identifier $a$ et $b$ , écrire la solution générale, exploiter la condition initiale, interpréter la limite : quatre gestes, toujours les mêmes. Nos mentors Majorant te font dérouler ce schéma sur les sujets des dernières sessions jusqu'à ce qu'il devienne mécanique.

Préparer l'épreuve de spécialité →

📐 Méthode-type 3 — Résoudre un problème de modélisation.

Normalise l'équation : le coefficient de $y^{'}$ doit valoir $1$ . Ainsi $4 y^{'} + 8 y = 12$ devient $y^{'} = - 2 y + 3$ , donc $a = - 2$ et $b = 3$ .
Écris la solution générale $y (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a}$ .
Exploite la condition initiale pour déterminer $C$ .
Interprète : si $a < 0$ , alors $e^{a x} \to 0$ et la solution tend vers $- \frac{b}{a}$ — c'est l'état d'équilibre du système, presque toujours demandé en dernière question.

💡 Exemple — une population qui se stabilise.

Une population $P$ (en milliers) vérifie $P^{'} = 0, 3 P - 6$ avec $P (0) = 10$ . Ici $a = 0, 3$ et $b = - 6$ .

Solution générale : $P (t) = C e^{0, 3 t} - \frac{- 6}{0 , 3} = C e^{0, 3 t} + 20$ .

Condition initiale : $P (0) = C + 20 = 10$ , donc $C = - 10$ et $P (t) = - 10 e^{0, 3 t} + 20$ .

Interprétation : ici $a > 0$ , donc $e^{0, 3 t} \to + \infty$ et $P (t) \to - \infty$ : le modèle prévoit l'extinction de la population. On peut même déterminer quand elle s'éteint, en résolvant $P (t) = 0$ , soit $e^{0, 3 t} = 2$ , donc $t = \frac{ln 2}{0 , 3} \approx 2, 31$ . Un modèle n'est valable que tant que ses conclusions ont un sens : au-delà de cette date, il ne décrit plus rien.

⚠ Piège #3 — lire $a$ et $b$ sans normaliser. Dans

2 y^{'} = 6 y + 8

, on ne peut pas lire

a = 6

: il faut d'abord diviser par

2

, ce qui donne

y^{'} = 3 y + 4

, donc

a = 3

b = 4

. Cette division oubliée fausse toute la suite, condition initiale comprise.

⚠ Piège #4 — conclure sur la limite sans regarder le signe de $a$ . La solution tend vers

- \frac{b}{a}

uniquement si

a < 0

. Si

a > 0

, le terme

C e^{a x}

diverge, et la limite est

\pm \infty

selon le signe de

C

. Regarde le signe de

a

avant d'annoncer un état d'équilibre.

4. Erreurs classiques au Bac (vues par les correcteurs)

Sur ce chapitre, les rapports de correction de l'épreuve de spécialité mathématiques signalent surtout des erreurs de coefficient et de rédaction : les élèves reconnaissent la forme, mais l'ajustent mal, ou concluent trop vite.

⚠ Erreur 1 — Le coefficient oublié dans une forme composée. Une primitive de

e^{3 x}

est

\frac{1}{3} e^{3 x}

, pas

e^{3 x}

. Le contrôle est immédiat : dérive ta réponse, tu dois retrouver exactement la fonction de départ. Ce réflexe de vérification élimine la quasi-totalité des erreurs de cette catégorie.

⚠ Erreur 2 — La constante absente. Les primitives forment une famille :

F (x) + k

. L'oubli du

+ k

est sanctionné quand la question demande « les primitives », et il empêche mécaniquement de traiter la condition initiale à la question suivante.

⚠ Erreur 3 — Inventer une primitive de produit ou de quotient. Aucune formule ne donne la primitive d'un produit à partir des facteurs. Si tu n'as pas reconnu l'une des formes du programme, c'est que l'énoncé attend une autre voie — relis la question précédente plutôt que d'inventer.

⚠ Erreur 4 — Se tromper de signe sur $- \frac{b}{a}$ . Retrouve la solution constante en posant

y^{'} = 0

: l'équation

a y + b = 0

donne

y = - \frac{b}{a}

sans risque d'erreur. C'est plus rapide et plus sûr que de réciter la formule.

⚠ Erreur 5 — Rendre la solution générale alors qu'une condition initiale est donnée. Si l'énoncé fournit

y (0)

, la réponse attendue est une fonction unique. Laisser

C

en paramètre revient à ne pas avoir répondu à la question posée.

5. Pour aller plus loin

Ce chapitre est charnière : il ferme le calcul différentiel et ouvre le calcul intégral.

Calcul intégral — le lien est direct : $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ , où $F$ est n'importe quelle primitive de $f$ . Sans primitive, pas d'intégrale calculable.
Fonction exponentielle — les équations différentielles en sont l'application majeure, et réciproquement l'exponentielle en est la solution universelle.
Physique-chimie — circuit RC, décroissance radioactive, cinétique d'ordre 1, refroidissement : ce sont exactement les équations de cette fiche, avec d'autres lettres.
Suites récurrentes — la version discrète de $y^{'} = a y + b$ est la suite arithmético-géométrique $u_{n + 1} = q u_{n} + c$ : on y cherche de même le point fixe (ici $\frac{c}{1 - q}$ ), puis on s'y ramène par une suite auxiliaire géométrique.
Après le Bac — en prépa, on résout $y^{'} + a (x) y = b (x)$ à coefficients variables, par variation de la constante, puis les équations du second ordre.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'un DS ou de l'épreuve de spécialité, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir une primitive, et vérifier une primitive en la dérivant ?
Sais-tu énoncer le théorème d'existence, et dire ce qu'il ne donne pas ?
Sais-tu démontrer que deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante ?
Sais-tu pourquoi ce résultat exige un intervalle ?
Connais-tu les primitives des six fonctions usuelles du tableau ?
Sais-tu reconnaître les formes $u^{'} u^{n}$ , $\frac{u ^{'}}{u}$ , $u^{'} e^{u}$ et $\frac{u ^{'}}{u}$ ?
Sais-tu ajuster le coefficient quand il manque un facteur, comme pour $x e^{x^{2}}$ ?
Sais-tu déterminer la primitive vérifiant une condition initiale ?
Sais-tu démontrer que les solutions de $y^{'} = a y$ sont les $C e^{a x}$ ?
Sais-tu retrouver la solution constante de $y^{'} = a y + b$ en posant $y^{'} = 0$ ?
Sais-tu normaliser une équation avant d'identifier $a$ et $b$ ?
Sais-tu interpréter la limite d'une solution selon le signe de $a$ ?

Démonstrations à savoir refaire

Deux primitives diffèrent d'une constante — dériver $H = G - F$ , conclure par « dérivée nulle sur un intervalle »
Solutions de $y^{'} = a y$ — poser $φ (x) = f (x) e^{- a x}$ , montrer $φ^{'} = 0$

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Primitives et équations différentielles

Vue d'ensemble

Prérequis

1. La notion de primitive

2. Calculer une primitive : les formes à reconnaître

3. Équations différentielles

4. Erreurs classiques au Bac (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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