Fonctions trigonométriques : Terminale Mathématiques

Vue d'ensemble

Sinus et cosinus, tu les manipules depuis la Première comme des valeurs lues sur le cercle trigonométrique. La Terminale en fait des fonctions à part entière : on les dérive, on dresse leur tableau de variations, on trace leur courbe, et on les étudie comme n'importe quelle autre fonction — à ceci près qu'elles sont périodiques, ce qui change complètement la façon de résoudre une équation.

C'est un chapitre court mais à part : il n'y a rien à démontrer au programme, tout se joue sur deux réflexes — dériver correctement une composée du type $sin (a x + b)$ , et résoudre $cos x = a$ en n'oubliant aucune solution. Les questions du Bac y sont souvent géométriques : maximiser une aire, une distance, un angle.

Au programme Terminale, spécialité Mathématiques (officiel) — Fonctions trigonométriques sinus et cosinus : dérivées, variations, courbes représentatives ; résoudre une équation du type

cos x = a

et une inéquation de la forme

cos x \leq a

sur

[- π; π]

; dans le cadre de la résolution de problème, notamment géométrique, étudier une fonction simple définie à partir de fonctions trigonométriques pour déterminer des variations ou un optimum. Aucune démonstration n'est exigible dans ce bloc ; la fonction tangente n'est mentionnée qu'en approfondissement possible.

Prérequis

Cercle trigonométrique, radians, valeurs remarquables de sinus et cosinus (Première)
Angles associés : $- x$ , $π - x$ , $π + x$ , $\frac{π}{2} - x$ (Première)
Dérivation, dérivée d'une composée et tableau de variations (Terminale, chapitres précédents)
Théorème des valeurs intermédiaires pour l'existence d'une solution (Terminale)

🎯 Accompagnement Majorant

Ici, on ne perd pas de points sur le cours : on en perd sur les solutions oubliées. Une équation trigonométrique a presque toujours deux familles de solutions par période, et la copie moyenne n'en donne qu'une. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font travailler la lecture sur le cercle jusqu'à ce que le compte y soit systématiquement.

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1. Sinus et cosinus comme fonctions

Définition 1.1 — Fonctions sinus et cosinus

À tout réel $x$ on associe le point $M$ du cercle trigonométrique repéré par l'angle de mesure $x$ radians. Le cosinus de $x$ est l'abscisse de $M$ , son sinus en est l'ordonnée. On définit ainsi deux fonctions sur $R$ tout entier, à valeurs dans $[- 1; 1]$ .

L'identité fondamentale en découle immédiatement, par le théorème de Pythagore appliqué au rayon du cercle :

cos^{2} x + sin^{2} x = 1 pour tout r \overset{e}{ˊ} el x .

Définition 1.2 — Fonction périodique

Une fonction $f$ est périodique de période $T$ (avec $T > 0$ ) si, pour tout $x$ , $f (x + T) = f (x)$ . Sinus et cosinus sont périodiques de période $2 π$ : un tour complet du cercle ramène au même point.

Conséquence pratique décisive : il suffit d'étudier ces fonctions sur un intervalle de longueur $2 π$ , puis de translater la courbe de $2 π$ en $2 π$ . C'est ce qui rend l'étude possible malgré un domaine infini.

Définition 1.3 — Parité

La fonction cosinus est paire : $cos (- x) = cos x$ , sa courbe est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. La fonction sinus est impaire : $sin (- x) = - sin x$ , sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Combinée à la périodicité, la parité réduit l'étude à l'intervalle $[0; π]$ : tout le reste s'obtient par symétrie puis translation. C'est l'argument attendu quand un énoncé demande de « justifier qu'on restreint l'étude ».

Proposition 1.4 — Valeurs remarquables

À connaître sans hésiter, dans les deux sens :

$cos 0 = 1$ et $sin 0 = 0$ ;
$cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$ et $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ ;
$cos \frac{π}{4} = sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ ;
$cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ et $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ ;
$cos \frac{π}{2} = 0$ et $sin \frac{π}{2} = 1$ ;
$cos π = - 1$ et $sin π = 0$ .

Moyen mnémotechnique : pour $0, \frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}$ , les sinus valent $\frac{0}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}$ — et les cosinus se lisent dans l'autre sens.

📝 Le radian n'est pas une unité comme une autre. Toutes les formules de dérivation de ce chapitre sont fausses en degrés. C'est précisément parce que l'angle est mesuré en radians que

sin^{'} = cos

: la longueur de l'arc et la mesure de l'angle coïncident, et le taux d'accroissement en

0

vaut exactement

1

. Ne convertis jamais en degrés dans un calcul de dérivée.

2. Dérivées, variations et courbes

Théorème 2.1 — Dérivées de sinus et cosinus (admis)

Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $R$ , et :

sin^{'} = cos, cos^{'} = - sin .

Le signe moins sur la dérivée du cosinus est la source d'erreur numéro un du chapitre. Retiens-le par la courbe : en $0$ , le cosinus est à son maximum, donc sa tangente y est horizontale et il décroît juste après — sa dérivée doit donc être négative sur $] 0; π [$ , ce qui est bien le cas de $- sin$ .

Théorème 2.2 — Le nombre dérivé du sinus en zéro ★ À savoir démontrer

$x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1.$

Démonstration (lecture du taux d'accroissement — non listée parmi les démonstrations exigibles du BO, mais très classique en exercice)

Le quotient $\frac{sin x}{x}$ n'a rien d'un calcul ordinaire : c'est une forme indéterminée « $\frac{0}{0}$ », qu'aucune factorisation ne lève. Il faut le reconnaître pour ce qu'il est.

Écrivons-le en faisant apparaître $sin 0 = 0$ :

\frac{sin x}{x} = \frac{sin x - sin 0}{x - 0} .

C'est exactement le taux d'accroissement de la fonction sinus entre $0$ et $x$ . Or la fonction sinus est dérivable en $0$ , donc ce taux admet une limite quand $x \to 0$ , et cette limite est par définition le nombre dérivé $sin^{'} (0)$ .

Comme $sin^{'} = cos$ , on obtient $sin^{'} (0) = cos 0 = 1$ , d'où le résultat.

Le réflexe à installer : devant une forme $\frac{0}{0}$ où apparaît une fonction de référence évaluée en $0$ , demande-toi si tu n'as pas sous les yeux un taux d'accroissement déguisé. Le même raisonnement donne $lim_{x \to 0} \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1$ et $lim_{x \to 0} \frac{l n ( 1 + x )}{x} = 1$ .

Théorème 2.3 — Dérivée d'une composée trigonométrique ★ À savoir démontrer

Pour $u$ dérivable, et en particulier pour $u (x) = a x + b$ :

(sin u)^{'} = u^{'} cos u, (cos u)^{'} = - u^{'} sin u,

d’o \overset{u}{ˋ} (sin (a x + b))^{'} = a cos (a x + b), (cos (a x + b))^{'} = - a sin (a x + b) .

Démonstration (application de la dérivée d'une composée — non listée au BO, mais indispensable en exercice)

La règle générale de dérivation d'une composée s'écrit $(v \circ u)^{'} = u^{'} \times (v^{'} \circ u)$ .

Avec $v = sin$ , dont la dérivée est $cos$ , on obtient directement $(sin (u (x)))^{'} = u^{'} (x) cos (u (x))$ .

Avec $v = cos$ , dont la dérivée est $- sin$ , il vient $(cos (u (x)))^{'} = u^{'} (x) \times (- sin (u (x))) = - u^{'} (x) sin (u (x))$ .

Le cas $u (x) = a x + b$ donne $u^{'} = a$ , d'où les deux formules encadrées.

Vérification qui ne trompe pas : dérive $sin (2 x)$ et évalue en $0$ . Tu dois trouver $2 cos 0 = 2$ , pas $1$ : la courbe de $sin (2 x)$ est deux fois plus « serrée », donc deux fois plus pentue à l'origine.

Proposition 2.4 — Variations sur une période

Sur $[- π; π]$ , on lit les variations directement sur le signe de la dérivée :

Cosinus : $cos^{'} = - sin$ est positive sur $[- π; 0]$ et négative sur $[0; π]$ . Le cosinus croît de $- 1$ à $1$ , puis décroît de $1$ à $- 1$ : maximum $1$ en $0$ .
Sinus : $sin^{'} = cos$ est négative sur $[- π; - \frac{π}{2}]$ , positive sur $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ , négative sur $[\frac{π}{2}; π]$ . Le sinus a donc un minimum $- 1$ en $- \frac{π}{2}$ et un maximum $1$ en $\frac{π}{2}$ .

Les deux courbes portent un nom : ce sont des sinusoïdes, translatées l'une de l'autre de $\frac{π}{2}$ , puisque $cos x = sin (x + \frac{π}{2})$ .

Définition 2.5 — Sinusoïde, amplitude et pulsation

Une fonction de la forme $t \mapsto A cos (ω t + φ)$ , avec $A > 0$ et $ω > 0$ , s'appelle une sinusoïde. Le réel $A$ en est l'amplitude (la fonction varie entre $- A$ et $A$ ), $ω$ la pulsation, et $φ$ la phase à l'origine.

Sa période vaut $T = \frac{2 π}{ω}$ : plus $ω$ est grand, plus les oscillations sont resserrées. C'est exactement l'écriture des signaux périodiques que tu rencontres en physique-chimie — tension alternative, onde sonore, oscillateur.

⚠ Piège #1 du chapitre — perdre le signe moins.

(cos (3 x))^{'} = - 3 sin (3 x)

: il y a deux facteurs à ne pas oublier, le coefficient

3

et le signe moins. Une dérivée fausse ici donne un tableau de variations inversé, et l'exercice entier bascule. Prends l'habitude de vérifier ton signe sur une valeur simple, comme

x = 0

3. Résoudre équations et inéquations

Définition 3.1 — Résoudre sur un intervalle donné

Une équation trigonométrique a en général une infinité de solutions, à cause de la périodicité. L'énoncé précise donc toujours un intervalle de recherche — le plus souvent $[- π; π]$ ou $[0; 2 π]$ .

Lire cet intervalle avant de commencer fait partie de la résolution : les solutions à donner sont celles, et seulement celles, qui s'y trouvent.

📐 Méthode-type 1 — Résoudre $cos x = a$ sur $[- π; π]$ .

Vérifie que $a \in [- 1; 1]$ . Sinon, il n'y a aucune solution — et le dire rapporte le point.
Trouve une solution évidente $α$ parmi les valeurs remarquables, ou avec la calculatrice en radians.
Ajoute la solution symétrique. Comme le cosinus est pair, si $α$ est solution, $- α$ l'est aussi. Sur le cercle, ce sont les deux points de même abscisse, symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
Conclus : l'ensemble des solutions sur $[- π; π]$ est ${- α; α}$ — réduit à un seul élément si $α = 0$ ou $α = π$ .

💡 Exemple — une équation, puis une inéquation.

Équation. Résolvons $cos x = \frac{1}{2}$ sur $[- π; π]$ . La valeur remarquable donne $α = \frac{π}{3}$ . Par parité, $- \frac{π}{3}$ est aussi solution. L'ensemble des solutions est donc ${- \frac{π}{3}; \frac{π}{3}}$ .

Inéquation. Résolvons maintenant $cos x \leq \frac{1}{2}$ sur le même intervalle. Sur $[- π; π]$ , le cosinus croît puis décroît, et vaut $\frac{1}{2}$ exactement en $\pm \frac{π}{3}$ . Il est donc inférieur à $\frac{1}{2}$ de part et d'autre, c'est-à-dire :

S = [- π; - \frac{π}{3}] \cup [\frac{π}{3}; π] .

Le réflexe : une inéquation trigonométrique se lit sur le cercle ou sur la courbe, jamais par manipulation algébrique. Repère d'abord les solutions de l'équation, puis regarde de quel côté l'inégalité est vérifiée.

⚠ Piège #2 — ne donner qu'une solution sur deux. C'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre. La calculatrice ne renvoie qu'une valeur ; l'autre s'obtient par symétrie. Pour

cos x = a

, la seconde est

- α

; pour

sin x = a

, c'est

π - α

, et non

- α

. Confondre les deux règles revient à donner une réponse fausse tout en ayant l'air d'avoir la méthode.

🎯 Objectif mention

Une résolution trigonométrique se vérifie en dix secondes sur le cercle. Place tes solutions, regarde si tu en as oublié, contrôle qu'elles sont bien dans l'intervalle demandé. Nos mentors Majorant installent ce contrôle final comme un réflexe — c'est le meilleur rapport temps investi sur points gagnés de tout le programme.

Préparer l'épreuve de spécialité →

4. Étudier une fonction trigonométrique

📐 Méthode-type 2 — Étude complète d'une fonction trigonométrique.

Réduis l'intervalle d'étude en invoquant la périodicité, puis éventuellement la parité. Écris-le explicitement : « $f$ est $2 π$ -périodique, on l'étudie donc sur $[- π; π]$ ».
Dérive en soignant les composées et le signe du cosinus.
Factorise la dérivée — c'est presque toujours possible, et c'est la clé de l'étude du signe. Les identités $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ et $sin (2 x) = 2 sin x cos x$ servent souvent à cette factorisation.
Étudie le signe de chaque facteur sur l'intervalle réduit, en résolvant des équations du type $cos x = a$ .
Dresse le tableau et conclus sur l'optimum demandé, en revenant au problème concret s'il s'agissait d'une aire ou d'une distance.

💡 Exemple — maximiser une aire.

Soit $f (x) = sin x (1 + cos x)$ sur $[0; π]$ — une expression qui apparaît naturellement dans les problèmes d'aire de triangle inscrit. Cherchons son maximum.

Dérivée. Par la règle du produit :

f^{'} (x) = cos x (1 + cos x) + sin x \times (- sin x) = cos x + cos^{2} x - sin^{2} x .

Avec $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ , cela devient $f^{'} (x) = 2 cos^{2} x + cos x - 1$ .

Signe. Posons $X = cos x$ : le trinôme $2 X^{2} + X - 1$ a pour discriminant $1 + 8 = 9$ , donc pour racines $X = \frac{- 1 - 3}{4} = - 1$ et $X = \frac{- 1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$ . Il se factorise en $(X + 1) (2 X - 1)$ .

Sur $[0; π]$ , le facteur $cos x + 1$ est positif (nul seulement en $π$ ), donc $f^{'}$ a le signe de $2 cos x - 1$ , positif tant que $cos x > \frac{1}{2}$ , c'est-à-dire sur $[0; \frac{π}{3} [$ , puis négatif.

Conclusion. $f$ croît sur $[0; \frac{π}{3}]$ puis décroît : elle atteint son maximum en $x = \frac{π}{3}$ , et ce maximum vaut $f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2} \times (1 + \frac{1}{2}) = \frac{3 3}{4} \approx 1, 30$ .

⚠ Piège #3 — oublier de revenir de $X$ à $x$ . Après avoir posé

X = cos x

et trouvé

X = \frac{1}{2}

, la réponse n'est pas «

x = \frac{1}{2}

» mais

x = \pm \frac{π}{3}

(restreint à l'intervalle d'étude). Et la valeur

X = - 1

doit être discutée : elle correspond à

x = π

, qui appartient bien à l'intervalle ici.

📝 Une primitive gratuite. Les dérivées de sinus et cosinus se lisent aussi à l'envers : une primitive de

cos

est

sin

, et une primitive de

sin

est

- cos

— encore ce signe moins. Pour les composées : une primitive de

cos (a x + b)

est

\frac{1}{a} sin (a x + b)

, et une primitive de

sin (a x + b)

est

- \frac{1}{a} cos (a x + b)

. Ces formules servent dès le chapitre suivant, en calcul intégral.

5. Erreurs classiques au Bac (vues par les correcteurs)

Sur ce chapitre, les rapports de correction de l'épreuve de spécialité mathématiques signalent des erreurs très concentrées : le signe de la dérivée du cosinus, et le décompte des solutions. Elles se corrigent toutes par un dessin de cercle en marge.

⚠ Erreur 1 — Écrire $cos^{'} = sin$ . C'est

- sin

. Cette omission inverse tout le tableau de variations et fait perdre l'ensemble de l'étude de fonction, alors que la suite du raisonnement est souvent correcte. Contrôle par la courbe : le cosinus décroît juste après

0

⚠ Erreur 2 — Oublier une famille de solutions. Pour

cos x = a

, il y a deux solutions par période (sauf cas limites) ; pour

sin x = a

également, mais elles s'obtiennent différemment (

α

π - α

). Place systématiquement tes solutions sur un cercle avant de conclure.

⚠ Erreur 3 — Donner des solutions hors de l'intervalle demandé. Si l'énoncé demande

[- π; π]

, une solution valant

\frac{5 π}{3}

doit être ramenée dans l'intervalle (ici

- \frac{π}{3}

) ou écartée. Une réponse hors intervalle est comptée fausse même si elle vérifie l'équation.

⚠ Erreur 4 — Travailler en degrés. Les formules de dérivation ne valent qu'en radians, et la calculatrice doit être réglée en conséquence. Un résultat en degrés dans un calcul de dérivée est immédiatement faux, sans rattrapage possible.

⚠ Erreur 5 — Ne pas justifier la restriction de l'intervalle d'étude. Quand tu réduis l'étude à

[0; π]

, écris pourquoi : périodicité

2 π

, puis parité. Sans cette phrase, l'étude ne porte que sur une partie du domaine et la conclusion n'est pas valable partout.

6. Pour aller plus loin

Les fonctions trigonométriques sont le langage naturel de tout ce qui oscille.

Calcul intégral — les primitives de $cos$ et $sin$ donnent les intégrales des fonctions périodiques, et la valeur moyenne d'une sinusoïde sur une période vaut $0$ .
Suites et limites — les suites du type $\frac{s i n n}{n}$ se traitent par encadrement, la fonction sinus n'ayant pas de limite en $+ \infty$ .
Physique-chimie — ondes mécaniques, tension alternative, oscillateur : toute grandeur périodique s'écrit $A cos (ω t + φ)$ , dont la dérivée est exactement celle de cette fiche.
Géométrie dans l'espace — le produit scalaire fait intervenir le cosinus de l'angle entre deux vecteurs.
Après le Bac — en prépa, on ajoute la fonction tangente, les formules d'addition et de duplication, les fonctions réciproques arcsin et arccos, et l'écriture $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ , qui unifie trigonométrie et exponentielle.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'un DS ou de l'épreuve de spécialité, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir sinus et cosinus à partir du cercle trigonométrique ?
Connais-tu l'identité $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ et son origine ?
Sais-tu ce que la périodicité et la parité permettent de réduire dans une étude ?
Connais-tu les valeurs remarquables sur $[0; π]$ sans les chercher ?
Sais-tu que $cos^{'} = - sin$ , et sais-tu vérifier ce signe sur la courbe ?
Sais-tu démontrer que $\frac{s i n x}{x} \to 1$ en reconnaissant un taux d'accroissement ?
Sais-tu dériver $sin (a x + b)$ et $cos (a x + b)$ sans perdre $a$ ni le signe ?
Sais-tu dresser le tableau de variations du sinus et du cosinus sur $[- π; π]$ ?
Sais-tu résoudre $cos x = a$ en donnant les deux solutions ?
Sais-tu résoudre une inéquation $cos x \leq a$ par lecture sur le cercle ?
Sais-tu factoriser une dérivée trigonométrique en posant $X = cos x$ ?
Connais-tu les primitives de $cos (a x + b)$ et $sin (a x + b)$ ?

Démonstrations à savoir refaire

Limite de $\frac{s i n x}{x}$ en $0$ — y reconnaître le taux d'accroissement du sinus en $0$
Dérivées de $sin (a x + b)$ et $cos (a x + b)$ — appliquer la dérivée d'une composée

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Fonctions trigonométriques

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Sinus et cosinus comme fonctions

2. Dérivées, variations et courbes

3. Résoudre équations et inéquations

4. Étudier une fonction trigonométrique

5. Erreurs classiques au Bac (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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