Combinatoire et dénombrement : Terminale Mathématiques

Vue d'ensemble

Dénombrer, c'est compter sans énumérer. Combien de codes à quatre chiffres ? Combien de mains de cinq cartes ? Combien de façons de placer huit personnes autour d'une table ? La combinatoire fournit les quatre outils qui répondent à ces questions, et surtout la grille de lecture qui dit lequel employer.

C'est un chapitre inhabituel : très peu de formules, mais une exigence de rigueur sur la modélisation. La difficulté n'est presque jamais de calculer, elle est de décider si l'ordre compte et si les répétitions sont permises. Ce chapitre alimente aussi directement la loi binomiale, où le coefficient $(k n)$ compte les chemins d'un arbre.

Au programme Terminale, spécialité Mathématiques (officiel) — Principe additif et principe multiplicatif ;

k

-uplets d'un ensemble à

n

éléments ; nombre de parties d'un ensemble à

n

éléments et liens avec les mots binaires, les chemins d'un arbre, les successions d'épreuves de Bernoulli ;

k

-uplets d'éléments distincts, factorielle et permutations ; combinaisons et coefficients binomiaux, avec les formules

(k n) = \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 )}{k !} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

; explicitation pour

k = 0, 1, 2

; symétrie ; relation et triangle de Pascal. Démonstrations exigibles : la relation

\sum_{k = 0}^{n} (k n) = 2^{n}

par dénombrement, et la relation de Pascal (par le calcul et par une méthode combinatoire).

Prérequis

Vocabulaire des ensembles : appartenance, inclusion, réunion, intersection (Seconde)
Arbres de dénombrement et arbres pondérés (Seconde et Première)
Probabilités sur un univers fini équiprobable (Seconde et Première)
Raisonnement par récurrence, pour les propriétés des coefficients binomiaux (Terminale)

🎯 Accompagnement Majorant

En dénombrement, la faute vient toujours du modèle, jamais du calcul. Confondre un tirage successif et un tirage simultané, c'est se tromper d'un facteur $k!$ sans jamais s'en rendre compte. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font poser explicitement les deux questions — ordre ? répétition ? — jusqu'à ce que ce soit un automatisme.

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1. Les deux principes fondamentaux

Définition 1.1 — Cardinal d'un ensemble fini

Le cardinal d'un ensemble fini $A$ , noté $Card (A)$ ou $∣ A ∣$ , est son nombre d'éléments. Dénombrer un ensemble, c'est déterminer son cardinal — sans nécessairement en dresser la liste, ce qui serait impossible dès que les nombres grandissent.

Théorème 1.2 — Principe additif

Si $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{p}$ sont des ensembles finis deux à deux disjoints, alors :

Card (A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{p}) = Card (A_{1}) + Card (A_{2}) + \dots + Card (A_{p}) .

C'est le principe du « ou » : on additionne quand on a le choix entre des cas qui s'excluent. L'hypothèse de disjonction est essentielle — sans elle, on compterait plusieurs fois les éléments communs.

Théorème 1.3 — Principe multiplicatif

Le cardinal d'un produit cartésien est le produit des cardinaux :

Card (A_{1} \times A_{2} \times \dots \times A_{p}) = Card (A_{1}) \times Card (A_{2}) \times \dots \times Card (A_{p}) .

C'est le principe du « et » : on multiplie quand une configuration se construit par une succession de choix, chaque choix ayant un nombre d'options qui ne dépend pas de ce qui précède.

💡 Exemple — additif et multiplicatif dans le même énoncé.

Un code d'accès est constitué soit de $4$ chiffres, soit de $3$ lettres majuscules (alphabet de $26$ lettres). Combien de codes possibles ?

Les codes à chiffres se construisent par $4$ choix successifs parmi $10$ : principe multiplicatif, $1 0^{4} = 10000$ . Les codes à lettres : $2 6^{3} = 17576$ .

Les deux familles sont disjointes (un code est de l'un ou l'autre type), donc le principe additif donne $10000 + 17576 = 27576$ codes possibles.

Définition 1.4 — k-uplet

Un $k$ -uplet (ou $k$ -liste) d'éléments d'un ensemble $E$ est une suite ordonnée de $k$ éléments de $E$ , les répétitions étant autorisées. L'ensemble des $k$ -uplets est noté $E^{k}$ .

Si $Card (E) = n$ , le principe multiplicatif donne immédiatement :

Card (E^{k}) = n^{k} .

C'est le cas du tirage successif avec remise : on note l'ordre, et un élément peut sortir plusieurs fois.

Proposition 1.5 — Nombre de parties d'un ensemble

Un ensemble à $n$ éléments possède exactement $2^{n}$ parties (sous-ensembles).

La raison est un codage : choisir une partie, c'est décider pour chacun des $n$ éléments s'il est dedans ou dehors — soit $n$ choix binaires successifs, donc $2^{n}$ possibilités. C'est aussi le nombre de mots de longueur $n$ sur un alphabet à deux lettres, et le nombre de chemins d'un arbre à $n$ niveaux binaires.

⚠ Piège #1 du chapitre — additionner ce qui n'est pas disjoint. Compter « les nombres à trois chiffres divisibles par

2

ou par

3

» en additionnant les deux effectifs revient à compter deux fois les multiples de

6

. Avant toute addition, vérifie explicitement que les cas s'excluent ; sinon, découpe l'énoncé en cas réellement disjoints.

2. Factorielle, permutations et éléments distincts

Définition 2.1 — Factorielle

Pour un entier $n \geq 1$ , la factorielle de $n$ est le produit des entiers de $1$ à $n$ :

n! = 1 \times 2 \times \dots \times n, et par convention 0! = 1.

La convention $0! = 1$ n'est pas arbitraire : elle rend valables les formules des coefficients binomiaux dans les cas extrêmes, et elle traduit qu'il existe exactement une façon de ne rien ordonner.

Proposition 2.2 — Permutations

Le nombre de façons d'ordonner totalement $n$ éléments distincts — on parle de permutations — vaut $n!$ .

Justification par le principe multiplicatif : $n$ choix pour la première place, $n - 1$ pour la deuxième (l'élément placé n'est plus disponible), et ainsi de suite jusqu'à $1$ seul choix pour la dernière.

Proposition 2.3 — k-uplets d'éléments distincts

Le nombre de $k$ -uplets d'éléments deux à deux distincts d'un ensemble à $n$ éléments (avec $k \leq n$ ) vaut :

n \times (n - 1) \times \dots \times (n - k + 1) = \frac{n !}{( n - k )!} .

C'est le tirage successif sans remise : l'ordre compte, mais un élément ne peut pas sortir deux fois. Compte bien les facteurs : il y en a $k$ , et le dernier est $n - k + 1$ , pas $n - k$ .

💡 Exemple — le podium et le jury.

Douze athlètes participent à une course. Combien de podiums possibles (or, argent, bronze) ? L'ordre compte, sans répétition : $12 \times 11 \times 10 = 1320$ .

Combien de façons de choisir un jury de trois personnes parmi ces douze ? Cette fois l'ordre ne compte pas : la réponse sera $(3 12) = 220$ , soit $1320$ divisé par $3! = 6$ — chaque jury a été compté $6$ fois dans le décompte des podiums.

Ce facteur $k!$ est l'articulation de tout le chapitre : il sépare le monde où l'ordre compte de celui où il ne compte pas.

Définition 2.4 — Les trois types de tirage

Presque tous les énoncés se ramènent à l'un de ces trois modèles, qu'il faut savoir nommer :

Tirage successif avec remise — on tire un élément, on le remet, on recommence. L'ordre compte, les répétitions sont possibles : ce sont les $k$ -uplets.
Tirage successif sans remise — on tire sans remettre. L'ordre compte, pas de répétition : ce sont les $k$ -uplets d'éléments distincts.
Tirage simultané — on prend $k$ éléments d'un coup. Ni ordre ni répétition : ce sont les combinaisons.

Un tirage simultané de $k$ éléments et un tirage successif sans remise de $k$ éléments décrivent les mêmes poignées, mais le second les compte $k!$ fois — une fois par ordre possible. C'est toute la différence entre $\frac{n !}{( n - k )!}$ et $(k n)$ .

⚠ Piège #2 — confondre successif sans remise et simultané. « Tirer trois cartes l'une après l'autre » et « tirer trois cartes d'un coup » ne donnent pas le même nombre de résultats : le premier compte l'ordre, le second non. Le rapport entre les deux est exactement

3!

. Repère les mots de l'énoncé : successivement, l'un après l'autre, podium, code signalent l'ordre ; simultanément, en même temps, une poignée, un comité signalent son absence.

3. Combinaisons et coefficients binomiaux

Définition 3.1 — Combinaison et coefficient binomial

Une combinaison de $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments est une partie à $k$ éléments de cet ensemble : l'ordre n'intervient pas, et les répétitions sont impossibles.

Leur nombre est le coefficient binomial $(k n)$ , qui se lit « $k$ parmi $n$ », et vaut :

(k n) = \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 )}{k !} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} .

La première écriture est celle qu'on utilise pour calculer à la main (elle a exactement $k$ facteurs au numérateur), la seconde pour démontrer.

Proposition 3.2 — Valeurs à connaître par cœur

Pour tout entier $n \geq 2$ :

(0 n) = 1, (1 n) = n, (2 n) = \frac{n ( n - 1 )}{2}, (n n) = 1.

$(0 n) = 1$ parce qu'il existe une seule partie vide ; $(n n) = 1$ parce qu'il existe un seul ensemble tout entier. Ces deux cas sont exactement ceux que la convention $0! = 1$ rend cohérents.

Théorème 3.3 — Symétrie des coefficients binomiaux ★ À savoir démontrer

Pour tous entiers $0 \leq k \leq n$ :

(k n) = (n - k n) .

Démonstration (par le calcul, puis par une méthode combinatoire — non listée au BO, mais immédiate et régulièrement demandée)

Par le calcul. En appliquant la formule factorielle au membre de droite :

(n - k n) = \frac{n !}{( n - k )! ( n - ( n - k ) ) !} = \frac{n !}{( n - k )! k !} = (k n),

puisque le produit $k! (n - k)!$ ne dépend pas de l'ordre de ses deux facteurs.

Par une méthode combinatoire — c'est la démonstration à comprendre. Choisir les $k$ éléments d'une partie, c'est exactement la même chose que choisir les $n - k$ éléments qu'on laisse de côté. À chaque partie à $k$ éléments correspond une et une seule partie complémentaire à $n - k$ éléments : les deux collections ont donc le même nombre d'éléments.

L'intérêt pratique : pour calculer $(18 20)$ , on calcule $(2 20) = 190$ . Toujours ramener $k$ à la plus petite des deux valeurs.

Théorème 3.4 — Relation de Pascal ★ À savoir démontrer

Pour tous entiers $1 \leq k \leq n - 1$ :

(k - 1 n - 1) + (k n - 1) = (k n) .

Démonstration (par une méthode combinatoire, puis par le calcul — démonstration exigible du programme)

Méthode combinatoire. Considérons un ensemble $E$ à $n$ éléments, et distinguons-y un élément particulier, appelons-le $a$ . Les parties à $k$ éléments de $E$ se répartissent en deux familles disjointes :

celles qui contiennent $a$ : il reste à choisir les $k - 1$ autres éléments parmi les $n - 1$ restants, soit $(k - 1 n - 1)$ parties ;
celles qui ne contiennent pas $a$ : il faut choisir les $k$ éléments parmi les $n - 1$ autres, soit $(k n - 1)$ parties.

Par le principe additif, le total vaut $(k - 1 n - 1) + (k n - 1)$ , et c'est par définition $(k n)$ .

Par le calcul. Réduisons au même dénominateur $k! (n - k)!$ :

(k - 1 n - 1) + (k n - 1) = \frac{( n - 1 )!}{( k - 1 )! ( n - k )!} + \frac{( n - 1 )!}{k ! ( n - 1 - k )!} .

On multiplie la première fraction par $\frac{k}{k}$ et la seconde par $\frac{n - k}{n - k}$ , ce qui donne le dénominateur commun $k! (n - k)!$ :

= \frac{k ( n - 1 )! + ( n - k ) ( n - 1 )!}{k ! ( n - k )!} = \frac{( n - 1 )! ( k + n - k )}{k ! ( n - k )!} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} = (k n) .

Laquelle rédiger ? La méthode combinatoire est plus courte et montre le sens ; la méthode calculatoire est plus sûre si tu maîtrises mal les factorielles. Le programme mentionne les deux : sache au moins produire la première.

📝 Le triangle de Pascal. La relation précédente permet de construire, ligne par ligne, le tableau des

(k n)

: chaque terme est la somme des deux termes situés juste au-dessus. Les cinq premières lignes sont

1

;

11

;

121

;

1331

;

14641

. C'est le moyen le plus rapide d'obtenir des coefficients pour de petites valeurs de

n

, sans aucune factorielle.

Théorème 3.5 — Somme des coefficients binomiaux ★ À savoir démontrer

Pour tout entier naturel $n$ :

k = 0 \sum n (k n) = 2^{n} .

Démonstration par dénombrement (double comptage — démonstration exigible du programme)

L'idée est de compter deux fois le même ensemble, de deux façons différentes : les deux résultats sont alors nécessairement égaux. L'ensemble en question est celui de toutes les parties d'un ensemble $E$ à $n$ éléments.

Premier comptage. D'après la proposition 1.5, $E$ possède $2^{n}$ parties — une partie se construit par $n$ choix binaires « dedans ou dehors ».

Second comptage. Classons ces parties selon leur nombre d'éléments. Pour chaque $k$ allant de $0$ à $n$ , il y a exactement $(k n)$ parties à $k$ éléments. Ces familles sont deux à deux disjointes (une partie a un nombre d'éléments et un seul) et leur réunion est l'ensemble de toutes les parties. Le principe additif donne donc un total de $\sum_{k = 0}^{n} (k n)$ .

Les deux comptages portent sur le même ensemble, d'où l'égalité annoncée.

Vérification sur $n = 4$ : la ligne du triangle de Pascal donne $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^{4}$ .

🎯 Objectif mention

Le double comptage est le raisonnement le plus élégant du programme — et le moins travaillé. Compter un même ensemble de deux façons pour en déduire une égalité : une fois le mécanisme compris, il éclaire aussi la loi binomiale et les probabilités. Nos mentors Majorant prennent le temps de l'installer, parce qu'il rapporte bien au-delà de ce chapitre.

Préparer l'épreuve de spécialité →

4. Choisir le bon modèle

📐 Méthode-type 1 — Les deux questions qui décident de tout.

L'ordre compte-t-il ? Autrement dit : deux tirages contenant les mêmes éléments dans un ordre différent sont-ils considérés comme distincts ?
Les répétitions sont-elles possibles ? Un même élément peut-il apparaître plusieurs fois ?
Croise les deux réponses pour identifier le modèle :
- ordre oui, répétition oui → $k$ -uplets, $n^{k}$ ;
- ordre oui, répétition non → $k$ -uplets distincts, $\frac{n !}{( n - k )!}$ ;
- ordre non, répétition non → combinaisons, $(k n)$ ;
- ordre non, répétition oui → hors programme de Terminale.
Écris la phrase justificative sur la copie : « il s'agit d'un tirage simultané, donc l'ordre n'intervient pas ». C'est elle qui est notée, autant que le résultat.

💡 Exemple — les quatre modèles sur une même urne.

Une urne contient $10$ jetons numérotés. On en tire $3$ .

Successivement avec remise (ordre, répétition) : $1 0^{3} = 1000$ résultats.
Successivement sans remise (ordre, pas de répétition) : $10 \times 9 \times 8 = 720$ .
Simultanément (ni ordre ni répétition) : $(3 10) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 !} = \frac{720}{6} = 120$ .

Le passage de $720$ à $120$ est la division par $3!$ : chaque poignée de trois jetons correspond à $6$ ordres de tirage différents.

⚠ Piège #3 — appliquer une formule sans avoir posé le modèle. Un résultat juste obtenu sans justification vaut la moitié des points ; un résultat faux précédé du bon raisonnement en vaut souvent davantage. Commence toujours par nommer le modèle, puis applique la formule correspondante.

⚠ Piège #4 — oublier le cas complémentaire. « Au moins un » se compte presque toujours par le complémentaire : le nombre de tirages contenant au moins un jeton rouge vaut le total moins ceux qui n'en contiennent aucun. Attaquer de front un « au moins un » conduit à des sommes interminables et à des doubles comptages.

📝 Le lien avec la loi binomiale. Dans une succession de

n

épreuves de Bernoulli, un chemin de l'arbre est un mot de longueur

n

sur l'alphabet

{succ \overset{e}{ˋ} s; \overset{e}{ˊ} chec}

: il y en a

2^{n}

. Parmi eux, ceux qui comportent exactement

k

succès sont au nombre de

(k n)

— il suffit de choisir à quels rangs se produisent les succès. C'est exactement d'où vient le coefficient binomial dans la formule de la loi binomiale.

5. Erreurs classiques au Bac (vues par les correcteurs)

Les rapports de correction de l'épreuve de spécialité mathématiques sont unanimes sur ce chapitre : les erreurs portent sur la modélisation, presque jamais sur le calcul. En voici les cinq formes les plus fréquentes.

⚠ Erreur 1 — Confondre ordre et absence d'ordre. C'est l'erreur dominante, et elle se solde par un facteur

k!

. Relis l'énoncé en cherchant les mots « successivement » et « simultanément », et écris ta conclusion sur le modèle avant de calculer quoi que ce soit.

⚠ Erreur 2 — Additionner des cas qui se recoupent. Le principe additif exige des ensembles deux à deux disjoints. Quand les cas se chevauchent, il faut soit les redécouper, soit retrancher l'intersection — mais surtout ne pas additionner naïvement.

⚠ Erreur 3 — Se tromper de nombre de facteurs. Dans

(k n) = \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 )}{k !}

, le numérateur compte exactement

k

facteurs. Pour

(3 12)

, c'est

12 \times 11 \times 10

, pas

12 \times 11 \times 10 \times 9

. Compte-les avant de diviser.

⚠ Erreur 4 — Traiter « au moins un » de front. Le complémentaire est presque toujours plus court et moins risqué. Écris explicitement « on passe par l'événement contraire », puis retranche du total.

⚠ Erreur 5 — Donner un résultat sans justifier le modèle. Une phrase suffit : « tirage simultané de

3

jetons parmi

10

, donc

(3 10)

». Sans elle, le correcteur ne peut pas distinguer un raisonnement juste d'une formule appliquée au hasard.

6. Pour aller plus loin

La combinatoire est le socle sur lequel repose toute la partie probabilités du programme.

Loi binomiale — le coefficient $(k n)$ y compte les chemins de l'arbre menant à $k$ succès : ce chapitre en fournit la justification.
Probabilités conditionnelles — dans un univers équiprobable, calculer une probabilité revient à dénombrer deux ensembles.
Sommes de variables aléatoires — les propriétés de symétrie des coefficients binomiaux éclairent celles de la loi binomiale.
Algorithmique — la génération de la liste des $(k n)$ par la relation de Pascal est un exemple d'algorithme mentionné au programme.
Après le Bac — en prépa, on ajoute la formule du binôme de Newton, les combinaisons avec répétition, les dérangements et le principe d'inclusion-exclusion.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'un DS ou de l'épreuve de spécialité, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu énoncer le principe additif avec son hypothèse de disjonction ?
Sais-tu énoncer le principe multiplicatif et reconnaître une succession de choix ?
Sais-tu pourquoi un ensemble à $n$ éléments a $2^{n}$ parties ?
Connais-tu la définition de $n!$ et la convention $0! = 1$ ?
Sais-tu compter les $k$ -uplets d'éléments distincts, et vérifier le nombre de facteurs ?
Sais-tu écrire $(k n)$ sous ses deux formes, et dire laquelle sert à calculer ?
Connais-tu $(0 n)$ , $(1 n)$ , $(2 n)$ et $(n n)$ ?
Sais-tu démontrer la symétrie $(k n) = (n - k n)$ par le complémentaire ?
Sais-tu démontrer la relation de Pascal par une méthode combinatoire ?
Sais-tu démontrer que $\sum_{k = 0}^{n} (k n) = 2^{n}$ par double comptage ?
Sais-tu poser les deux questions — ordre ? répétition ? — et en déduire le modèle ?
Sais-tu traiter un « au moins un » par l'événement contraire ?

Démonstrations à savoir refaire

Symétrie des coefficients binomiaux — passer au complémentaire, ou simplifier la formule factorielle
Relation de Pascal — séparer les parties selon qu'elles contiennent un élément distingué
Somme des coefficients binomiaux — compter les parties de deux façons

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2. Factorielle, permutations et éléments distincts

3. Combinaisons et coefficients binomiaux

4. Choisir le bon modèle

5. Erreurs classiques au Bac (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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