Calcul intégral : Terminale Mathématiques

Vue d'ensemble

L'intégrale répond à une question ancienne : quelle est l'aire sous une courbe ? La réponse de la Terminale est spectaculaire — cette aire se calcule avec les primitives, c'est-à-dire avec la dérivation prise à l'envers. Ce pont entre deux mondes qui n'ont apparemment rien à voir, l'aire et la tangente, est le résultat le plus profond du programme.

Le chapitre est le dernier de l'analyse, et il réinvestit tout : primitives, exponentielle, logarithme, positivité, encadrements. Au Bac, il apparaît sous deux formes — un calcul d'intégrale par primitive, et une question de majoration ou de valeur moyenne où le calcul exact est impossible.

Au programme Terminale, spécialité Mathématiques (officiel) — Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la courbe ; notation

\int_{a}^{b} f (x) d x

; pour

f

positive croissante sur

[a; b]

, la fonction

x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t

est une primitive de

f

; relation

\int_{a}^{b} f = F (b) - F (a)

; linéarité, positivité, relation de Chasles ; valeur moyenne ; intégration par parties ; calcul approché par la méthode des rectangles.

Prérequis

Primitives : définition, formes composées, primitive sous condition initiale (Terminale, chapitre précédent)
Continuité sur un intervalle et théorème de la limite monotone (Terminale)
Exponentielle, logarithme et leurs dérivées (Terminale)
Aires de figures simples et lecture graphique (Seconde et Première)

🎯 Accompagnement Majorant

L'intégrale ne se joue pas sur le calcul, mais sur ce qu'on en fait. Trouver la primitive est mécanique ; majorer une intégrale qu'on ne sait pas calculer, interpréter une valeur moyenne, encadrer par des rectangles — c'est là que se décident les points. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines travaillent avec toi précisément ces questions-là.

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1. De l'aire à l'intégrale

Définition 1.1 — Intégrale d'une fonction continue positive

Soit $f$ continue et positive sur $[a; b]$ . L'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ , notée $\int_{a}^{b} f (x) d x$ , est l'aire du domaine compris entre la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$ .

Cette aire s'exprime en unités d'aire : une unité d'aire est l'aire du rectangle construit sur les vecteurs unitaires du repère. Si le repère n'est pas normé, il faut convertir — c'est une question classique en début d'exercice.

Définition 1.2 — Variable muette

Dans $\int_{a}^{b} f (x) d x$ , la lettre $x$ est une variable muette : elle disparaît après calcul, et on peut la remplacer par n'importe quelle autre lettre sans changer la valeur :

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (t) d t = \int_{a}^{b} f (u) d u .

Cette liberté n'est pas une coquetterie : elle devient nécessaire dès qu'une borne dépend d'une variable, comme dans $\int_{a}^{x} f (t) d t$ — où $x$ est la borne et $t$ la variable d'intégration, deux rôles qu'on ne peut pas confondre.

Théorème 1.3 — Théorème fondamental de l'analyse ★ À savoir démontrer

Soit $f$ continue et positive croissante sur $[a; b]$ . Alors la fonction $Φ : x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$ est dérivable sur $[a; b]$ et $Φ^{'} = f$ : c'est une primitive de $f$ .

Démonstration dans le cas croissant (encadrement par deux rectangles — démonstration exigible du programme)

Soit $x \in [a; b]$ et $h > 0$ tel que $x + h \leq b$ . Par la relation de Chasles, la différence $Φ (x + h) - Φ (x)$ est l'aire sous la courbe entre $x$ et $x + h$ , c'est-à-dire l'aire d'une « tranche » de largeur $h$ .

Comme $f$ est croissante, sur l'intervalle $[x; x + h]$ elle est comprise entre $f (x)$ et $f (x + h)$ . La tranche contient donc le rectangle de hauteur $f (x)$ et est contenue dans celui de hauteur $f (x + h)$ , tous deux de largeur $h$ :

h f (x) \leq Φ (x + h) - Φ (x) \leq h f (x + h) .

En divisant par $h > 0$ :

f (x) \leq \frac{Φ ( x + h ) - Φ ( x )}{h} \leq f (x + h) .

Or $f$ est continue en $x$ , donc $f (x + h) \to f (x)$ quand $h \to 0$ . Les deux bornes de l'encadrement tendent vers $f (x)$ : par le théorème des gendarmes, le taux d'accroissement tend vers $f (x)$ .

(Le cas $h < 0$ se traite de la même façon, en échangeant le rôle des deux bornes.)

Ainsi $Φ$ est dérivable en $x$ avec $Φ^{'} (x) = f (x)$ : $Φ$ est bien une primitive de $f$ .

Ce que dit vraiment ce théorème : l'aire et la tangente sont deux faces d'un même objet. C'est le résultat qui fonde tout le calcul intégral, et le seul endroit du programme où l'on voit pourquoi les primitives calculent des aires.

Théorème 1.4 — Calcul par une primitive (admis dans le cas général)

Si $f$ est continue sur $[a; b]$ et si $F$ est une primitive quelconque de $f$ , alors :

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a), que l’on note [F (x)]_{a}^{b} .

Le choix de la primitive n'a aucune importance : deux primitives diffèrent d'une constante, qui s'élimine dans la soustraction. C'est pourquoi on ne met jamais de $+ k$ dans un calcul d'intégrale.

Définition 1.5 — Extension aux fonctions de signe quelconque

La formule $\int_{a}^{b} f = F (b) - F (a)$ sert de définition lorsque $f$ n'est pas positive, ou lorsque $a > b$ . L'intégrale n'est alors plus une aire, mais une aire algébrique : les portions où $f$ est négative comptent négativement.

Conséquences immédiates : $\int_{a}^{a} f = 0$ , et $\int_{b}^{a} f = - \int_{a}^{b} f$ .

Définition 1.6 — Notation crochet

La notation $[F (x)]_{a}^{b}$ désigne le nombre $F (b) - F (a)$ . Elle sert uniquement à présenter le calcul : on écrit la primitive entre crochets, puis on évalue aux deux bornes, la borne du haut moins celle du bas.

Cette notation ne contient jamais de constante d'intégration, et l'ordre des bornes y est significatif : intervertir $a$ et $b$ change le signe du résultat.

⚠ Piège #1 du chapitre — confondre intégrale et aire. Pour

f (x) = x

sur

[- 1; 1]

, l'intégrale vaut

[\frac{x ^{2}}{2}]_{- 1}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0

, alors que l'aire entre la courbe et l'axe vaut

1

. Quand l'énoncé demande une aire et que la fonction change de signe, il faut découper l'intervalle selon le signe et sommer les valeurs absolues.

2. Propriétés de l'intégrale

Proposition 2.1 — Linéarité

Pour $f$ et $g$ continues sur $[a; b]$ et $λ$ réel :

\int_{a}^{b} (f + g) = \int_{a}^{b} f + \int_{a}^{b} g, \int_{a}^{b} λ f = λ \int_{a}^{b} f .

En revanche, il n'existe aucune formule pour l'intégrale d'un produit ou d'un quotient : c'est exactement la même limitation que pour les primitives.

Proposition 2.2 — Relation de Chasles

Pour $f$ continue et $a$ , $b$ , $c$ quelconques dans l'intervalle :

\int_{a}^{c} f = \int_{a}^{b} f + \int_{b}^{c} f .

Elle vaut quel que soit l'ordre des trois nombres, grâce à la convention $\int_{b}^{a} f = - \int_{a}^{b} f$ . C'est l'outil pour découper selon le signe, ou selon une définition par morceaux.

Théorème 2.3 — Positivité et croissance de l'intégrale ★ À savoir démontrer

Soient $f$ et $g$ continues sur $[a; b]$ avec $a \leq b$ .

Si $f \geq 0$ sur $[a; b]$ , alors $\int_{a}^{b} f \geq 0$ ;
si $f \leq g$ sur $[a; b]$ , alors $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$ .

Démonstration (par la croissance d'une primitive — non listée parmi les démonstrations exigibles du BO, mais classiquement demandée en exercice)

Positivité. Soit $F$ une primitive de $f$ sur $[a; b]$ . Par définition $F^{'} = f \geq 0$ , donc $F$ est croissante sur $[a; b]$ . Comme $a \leq b$ , il vient $F (a) \leq F (b)$ , c'est-à-dire :

\int_{a}^{b} f = F (b) - F (a) \geq 0.

Croissance. Si $f \leq g$ , appliquons ce qui précède à la fonction $g - f$ , qui est continue et positive sur $[a; b]$ :

\int_{a}^{b} (g - f) \geq 0.

Par linéarité, $\int_{a}^{b} g - \int_{a}^{b} f \geq 0$ , d'où $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$ .

Les deux hypothèses à ne jamais oublier : l'inégalité $f \leq g$ doit être vraie sur tout l'intervalle, et les bornes doivent être dans l'ordre croissant. Avec $a > b$ , toutes les inégalités se retournent.

📐 Méthode-type 1 — Majorer une intégrale qu'on ne sait pas calculer.

Encadre la fonction sur l'intervalle : trouve $m$ et $M$ tels que $m \leq f (x) \leq M$ pour tout $x \in [a; b]$ , typiquement à partir du tableau de variations.
Intègre l'encadrement en citant la croissance de l'intégrale — et vérifie que $a \leq b$ .
Calcule les intégrales des constantes : $\int_{a}^{b} m d x = m (b - a)$ .
Conclus : $m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f \leq M (b - a)$ . C'est la réponse attendue, même sans savoir calculer l'intégrale.

💡 Exemple — encadrer sans calculer.

Encadrons $I = \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x$ , dont aucune primitive ne s'exprime avec les fonctions du programme.

Pour $x \in [0; 1]$ , on a $0 \leq x^{2} \leq 1$ , donc $- 1 \leq - x^{2} \leq 0$ , et par croissance de l'exponentielle :

e^{- 1} \leq e^{- x^{2}} \leq e^{0} = 1.

En intégrant sur $[0; 1]$ , de longueur $1$ : $e^{- 1} \leq I \leq 1$ , soit environ $0, 37 \leq I \leq 1$ . La valeur exacte est $I \approx 0, 747$ : l'encadrement est grossier, mais il est rigoureux et il vaut tous ses points.

Définition 2.4 — Valeur moyenne

La valeur moyenne de $f$ sur $[a; b]$ (avec $a < b$ ) est le réel :

μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x .

Interprétation graphique : c'est la hauteur du rectangle de base $[a; b]$ qui aurait la même aire que le domaine sous la courbe. En physique, c'est exactement la notion de valeur moyenne d'un signal sur une période.

⚠ Piège #2 — oublier de diviser par la longueur de l'intervalle. La valeur moyenne n'est pas l'intégrale : c'est l'intégrale divisée par $b - a$ . Une intégrale valant

6

sur un intervalle de longueur

3

donne une valeur moyenne de

2

. L'oubli de la division est l'erreur la plus fréquente de la section.

🎯 Objectif mention

Les questions qui départagent portent sur l'intégrale qu'on ne calcule pas. Encadrer, majorer, comparer deux intégrales, interpréter une valeur moyenne : ces raisonnements demandent de savoir quel théorème invoquer et dans quel ordre. Nos mentors Majorant t'y entraînent sur les sujets réels des dernières sessions.

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3. Techniques de calcul

📐 Méthode-type 2 — Calculer une intégrale par primitive.

Vérifie la continuité de $f$ sur $[a; b]$ — une phrase suffit, mais elle est attendue.
Cherche une primitive $F$ , en reconnaissant l'une des formes du chapitre précédent ( $u^{'} u^{n}$ , $\frac{u ^{'}}{u}$ , $u^{'} e^{u}$ , $\frac{u ^{'}}{u}$ ).
Écris le crochet $[F (x)]_{a}^{b}$ , sans constante d'intégration.
Calcule $F (b) - F (a)$ en soignant les signes, surtout quand $F (a)$ est négatif.

💡 Exemple — trois calculs, trois formes.

$\int_{0}^{1} 2 x e^{x^{2}} d x$ : forme $u^{'} e^{u}$ avec $u = x^{2}$ , donc $[e^{x^{2}}]_{0}^{1} = e - 1$ .

$\int_{1}^{2} \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x$ : forme $\frac{u ^{'}}{u}$ avec $u = x^{2} + 1 > 0$ , donc $[ln (x^{2} + 1)]_{1}^{2} = ln 5 - ln 2 = ln \frac{5}{2}$ .

$\int_{0}^{1} (3 x + 1)^{2} d x$ : forme $u^{'} u^{2}$ à un facteur $3$ près, donc $[\frac{( 3 x + 1 ) ^{3}}{9}]_{0}^{1} = \frac{64}{9} - \frac{1}{9} = \frac{63}{9} = 7$ .

Théorème 3.1 — Intégration par parties ★ À savoir démontrer

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $[a; b]$ , de dérivées continues. Alors :

\int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x .

Démonstration (à partir de la dérivée d'un produit — démonstration exigible du programme)

La dérivée du produit $uv$ s'écrit :

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'} .

La fonction $uv$ est donc une primitive de $u^{'} v + u v^{'}$ , qui est continue sur $[a; b]$ . Par le théorème 1.4 :

\int_{a}^{b} (u^{'} v + u v^{'}) = [u v]_{a}^{b} .

Par linéarité de l'intégrale, le membre de gauche vaut $\int_{a}^{b} u^{'} v + \int_{a}^{b} u v^{'}$ . En isolant la seconde intégrale :

\int_{a}^{b} u v^{'} = [u v]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} v .

La stratégie d'usage : on choisit $u$ de sorte que $u^{'}$ soit plus simple que $u$ — typiquement $u (x) = x$ , dont la dérivée vaut $1$ , ou $u (x) = ln x$ , dont la dérivée est une fraction rationnelle. Le reste devient $v^{'}$ .

💡 Exemple — l'intégration par parties en action.

Calculons $J = \int_{0}^{1} x e^{x} d x$ . Aucune forme composée ne se reconnaît : c'est le signal de l'intégration par parties.

Posons $u (x) = x$ et $v^{'} (x) = e^{x}$ , d'où $u^{'} (x) = 1$ et $v (x) = e^{x}$ . Alors :

J = [x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 1 \times e^{x} d x = (1 \times e - 0) - [e^{x}]_{0}^{1} = e - (e - 1) = 1.

Le choix qui décide de tout : en prenant $u = e^{x}$ et $v^{'} = x$ , on aurait obtenu une intégrale plus compliquée que la première. Le bon réflexe est de dériver le facteur polynomial.

⚠ Piège #3 — perdre un signe dans l'intégration par parties. Le signe moins porte sur toute l'intégrale restante, pas seulement sur son premier terme. Écris systématiquement le crochet et l'intégrale sur deux lignes distinctes avant de calculer : c'est le meilleur rempart contre cette erreur, qui est la plus coûteuse du chapitre.

📝 Le calcul approché par rectangles. Quand aucune primitive n'est disponible, on découpe

[a; b]

n

sous-intervalles de même largeur

\frac{b - a}{n}

et on somme les aires des rectangles construits sur chacun. La somme obtenue tend vers l'intégrale quand

n \to + \infty

, et pour une fonction monotone, les rectangles « à gauche » et « à droite » fournissent un encadrement — exactement le mécanisme de la démonstration du théorème 1.3.

4. Erreurs classiques au Bac (vues par les correcteurs)

Sur le calcul intégral, les rapports de correction de l'épreuve de spécialité mathématiques signalent des erreurs de deux natures : des confusions de définition (aire contre intégrale) et des étourderies de calcul aux bornes. Les deux se corrigent par la rédaction.

⚠ Erreur 1 — Confondre l'intégrale et l'aire quand la fonction change de signe. L'intégrale est une aire algébrique. Si l'énoncé demande une aire, découpe selon le signe de

f

et additionne les valeurs absolues. Une réponse d'aire négative est immédiatement fausse, et se repère d'un coup d'œil.

⚠ Erreur 2 — Ajouter la constante d'intégration dans un crochet. Dans

[F (x)]_{a}^{b}

, aucune constante : elle s'éliminerait de toute façon dans la soustraction. Le

+ k

appartient au chapitre des primitives, pas à celui des intégrales.

⚠ Erreur 3 — Intégrer une inégalité avec les bornes en désordre. La croissance de l'intégrale exige

a \leq b

. Avec des bornes inversées, l'inégalité se retourne. Vérifie l'ordre des bornes avant d'écrire la conclusion : c'est une vérification d'une seconde qui sauve la question.

⚠ Erreur 4 — Inventer l'intégrale d'un produit.

\int f g \neq = (\int f) (\int g)

. Quand un produit apparaît, il faut reconnaître une forme composée, ou faire une intégration par parties — jamais séparer les facteurs.

⚠ Erreur 5 — Oublier de diviser par $b - a$ dans la valeur moyenne. Cette division fait partie de la définition. Une « valeur moyenne » qui sort de l'intervalle des valeurs prises par la fonction doit t'alerter : elle est nécessairement comprise entre le minimum et le maximum de

f

5. Pour aller plus loin

Le calcul intégral clôt l'analyse de Terminale, mais il ouvre plus qu'il ne ferme.

Primitives — tout calcul d'intégrale est d'abord une recherche de primitive : les deux chapitres ne se séparent pas.
Sommes de variables aléatoires — la valeur moyenne d'une fonction est l'analogue continu de l'espérance d'une variable aléatoire.
Physique-chimie — travail d'une force, quantité d'électricité, énergie dissipée : chaque grandeur cumulée dans le temps est une intégrale.
Méthode des rectangles — le lien avec l'algorithmique est direct, et la convergence de la somme vers l'intégrale est un grand classique de question ouverte.
Après le Bac — en prépa, l'intégrale est construite par les sommes de Riemann, étendue aux fonctions de signe quelconque et aux intervalles non bornés, puis aux fonctions de plusieurs variables.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'un DS ou de l'épreuve de spécialité, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir l'intégrale d'une fonction continue positive comme une aire ?
Sais-tu ce qu'est une unité d'aire, et pourquoi il faut parfois convertir ?
Sais-tu démontrer que $x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$ est une primitive de $f$ ?
Sais-tu pourquoi le choix de la primitive n'affecte pas $F (b) - F (a)$ ?
Sais-tu qu'une intégrale nulle ne signifie pas une aire nulle, et donner l'exemple ?
Connais-tu la linéarité, la relation de Chasles et leurs limites ?
Sais-tu démontrer la positivité de l'intégrale à partir de la croissance d'une primitive ?
Sais-tu encadrer une intégrale non calculable, comme $\int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x$ ?
Sais-tu définir la valeur moyenne et l'interpréter graphiquement ?
Sais-tu démontrer la formule d'intégration par parties ?
Sais-tu choisir $u$ et $v^{'}$ pour que l'intégrale restante soit plus simple ?
Sais-tu calculer $\int_{0}^{1} x e^{x} d x$ et retrouver $1$ ?

Démonstrations à savoir refaire

Théorème fondamental de l'analyse — encadrer la tranche d'aire par deux rectangles, diviser par $h$ , conclure par les gendarmes
Positivité et croissance de l'intégrale — une primitive de $f \geq 0$ est croissante
Intégration par parties — intégrer l'identité $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$

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Vue d'ensemble

Prérequis

1. De l'aire à l'intégrale

2. Propriétés de l'intégrale

3. Techniques de calcul

4. Erreurs classiques au Bac (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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