📘 Fiche de cours · 2e année📐 MP⚡ Physique

Mécanique du solide

La mécanique des systèmes et du solide en MP : centre de masse et référentiel barycentrique (p⋆ = 0), éléments cinétiques d'un système, théorèmes de König pour le moment cinétique (L_O = OG∧Mv_G + L⋆) et pour l'énergie cinétique (Ec = ½Mv_G² + Ec⋆) démontrés par décomposition sur G, réduction du problème à deux corps au mobile fictif de masse réduite μ = m₁m₂/(m₁+m₂), solide indéformable et champ des vitesses, rotation autour d'un axe fixe (L = Jω, Ec = ½Jω²), roulement sans glissement et non-travail de la réaction de contact. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fiche rédigée par les mentors Majorant — alumni Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

6 définitions4 théorèmes3 démos à savoirMis à jour le 2026-08-01

Vue d'ensemble

En MP, on passe du point matériel aux systèmes de points et au solide indéformable. Deux outils structurent tout le chapitre : le centre de masse avec le référentiel barycentrique, et les théorèmes de König qui décomposent moment cinétique et énergie cinétique en « mouvement d'ensemble + mouvement autour du centre de masse ». On en déduit la réduction du problème à deux corps (mobile réduit) et la mécanique du solide en rotation avec la condition de roulement sans glissement. Cette fiche regroupe les 4 résultats incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire (les deux König + le mobile réduit) et les pièges des rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Systèmes de deux points matériels : centre de masse, référentiel barycentrique, éléments cinétiques (résultante, moment cinétique, énergie cinétique) ; théorèmes de König ; réduction du problème à deux corps au mobile fictif de masse réduite. Solide indéformable : champ des vitesses, moment d'inertie, moment cinétique et énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe, roulement sans glissement, approche énergétique (théorèmes du moment cinétique et de l'énergie appliqués au solide).

Prérequis

Moment cinétique d'un point matériel et théorème du moment cinétique (MPSI)
Solide en rotation autour d'un axe fixe : moment d'inertie, énergie cinétique de rotation (MPSI)
Lois du frottement solide (lois de Coulomb du glissement)
Changements de référentiel et référentiels non galiléens

🎯 Accompagnement Majorant

Les théorèmes de König et le mobile réduit te paraissent formels ? C'est le chapitre où la mécanique du point devient mécanique des systèmes — et où une projection barycentrique mal posée fait tout dérailler. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font manipuler König et la masse réduite sur des cas concrets (Terre-Lune, cylindre qui roule).

Trouver un mentor MP →

1. Système de points, centre de masse et référentiel barycentrique

Définition 1.1 — Centre de masse (centre d'inertie)

Pour un système de points $(M_{i})$ de masses $m_{i}$ , de masse totale $M = \sum_{i} m_{i}$ , le centre de masse $G$ est défini par :

O G = \frac{1}{M} i \sum m_{i} O M_{i}, soit i \sum m_{i} G M_{i} = 0 .

Définition 1.2 — Référentiel barycentrique

R^{⋆}

Le référentiel barycentrique $R^{⋆}$ est le référentiel d'origine $G$ en translation par rapport au référentiel d'étude $R$ (galiléen). Les grandeurs qui y sont évaluées sont notées d'un astérisque. Sa propriété centrale : la résultante cinétique y est nulle, $p^{⋆} = \sum_{i} m_{i} v_{i}^{⋆} = 0$ .

Définition 1.3 — Éléments cinétiques d'un système

Résultante cinétique : $p = \sum_{i} m_{i} v_{i} = M v_{G}$ .
Moment cinétique en $O$ : $L_{O} = \sum_{i} O M_{i} \land m_{i} v_{i}$ .
Énergie cinétique : $E_{c} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2}$ .

Proposition 1.4 — Le moment cinétique barycentrique est intrinsèque

Dans $R^{⋆}$ , comme $p^{⋆} = 0$ , le moment cinétique $L^{⋆}$ ne dépend pas du point où on le calcule : on le note simplement $L^{⋆}$ . C'est ce qui rend les théorèmes de König si commodes.

⚠ Piège dès la définition.

R^{⋆}

est en translation (éventuellement accélérée) par rapport à

R

, pas en rotation : ses axes gardent une direction fixe. Il n'est en général pas galiléen (

G

peut accélérer), donc y appliquer un théorème dynamique exige en toute rigueur les forces d'inertie — mais les théorèmes de König, eux, sont purement cinématiques et toujours valables.

2. Les deux théorèmes de König

Théorème 2.1 — König pour le moment cinétique ★ À savoir démontrer

Le moment cinétique en un point $O$ fixe de $R$ se décompose en un terme de translation d'ensemble et le moment cinétique barycentrique :

L_{O} = O G \land M v_{G} + L^{⋆} .

Démonstration (décomposition sur le centre de masse)

Écrivons $O M_{i} = O G + G M_{i}$ et $v_{i} = v_{G} + v_{i}^{⋆}$ (composition des vitesses, $R^{⋆}$ étant en translation à la vitesse $v_{G}$ ). Alors :

L_{O} = i \sum (O G + G M_{i}) \land m_{i} (v_{G} + v_{i}^{⋆}) .

On développe en quatre sommes :

L_{O} = O G \land M v_{G} + O G \land (i \sum m_{i} v_{i}^{⋆}) + (i \sum m_{i} G M_{i}) \land v_{G} + i \sum G M_{i} \land m_{i} v_{i}^{⋆} .

Les deux termes croisés s'annulent : $\sum_{i} m_{i} v_{i}^{⋆} = p^{⋆} = 0$ et $\sum_{i} m_{i} G M_{i} = 0$ (définition de $G$ ). Le dernier terme est exactement $L^{⋆}$ . D'où $L_{O} = O G \land M v_{G} + L^{⋆}$ .

Théorème 2.2 — König pour l'énergie cinétique ★ À savoir démontrer

L'énergie cinétique se décompose en énergie de translation du centre de masse et énergie cinétique barycentrique :

E_{c} = \frac{1}{2} M v_{G}^{2} + E_{c}^{⋆} .

Démonstration (développement du carré de la vitesse)

Avec $v_{i} = v_{G} + v_{i}^{⋆}$ :

E_{c} = \frac{1}{2} i \sum m_{i} ∥ v_{G} + v_{i}^{⋆} ∥^{2} = \frac{1}{2} i \sum m_{i} (v_{G}^{2} + 2 v_{G} \cdot v_{i}^{⋆} + v_{i}^{⋆ 2}) .

Terme par terme :

E_{c} = \frac{1}{2} M v_{G}^{2} + v_{G} \cdot (i \sum m_{i} v_{i}^{⋆}) + \frac{1}{2} i \sum m_{i} v_{i}^{⋆ 2} .

Le terme croisé est nul car $\sum_{i} m_{i} v_{i}^{⋆} = 0$ . Il reste $E_{c} = \frac{1}{2} M v_{G}^{2} + E_{c}^{⋆}$ .

📝 Lecture physique. König sépare proprement le mouvement du système en « translation globale de

G

» + « mouvement interne autour de

G

». Pour un solide, le mouvement interne est une rotation :

L^{⋆}

E_{c}^{⋆}

s'exprimeront alors avec le moment d'inertie et la vitesse angulaire.

🧑‍🏫 König, la démo qui rassure le correcteur

Les deux annulations $\sum m_{i} v_{i}^{⋆} = 0$ et $\sum m_{i} G M_{i} = 0$ sont le cœur des démos de König. En une séance, un mentor Majorant alumni de l'X te les fait dérouler jusqu'à l'automatisme — question de cours classique aux oraux Centrale et Mines.

Réserver une séance ciblée →

3. Problème à deux corps et mobile réduit

Définition 3.1 — Masse réduite et mobile fictif

Pour deux corps de masses $m_{1}, m_{2}$ en interaction mutuelle, on introduit la masse réduite :

μ = \frac{m _{1} m _{2}}{m _{1} + m _{2}},

et le vecteur position relative $r = M_{2} M_{1}$ . Le mobile fictif est le point de masse $μ$ repéré par $r$ .

Théorème 3.2 — Réduction du problème à deux corps ★ À savoir démontrer

Pour un système isolé de deux corps en interaction newtonienne mutuelle (force $F_{1 \to 2}$ portée par $r$ ), le mouvement se scinde en deux :

le centre de masse $G$ est en translation rectiligne uniforme ;
le mouvement relatif est celui d'un point fictif de masse $μ$ soumis à la force $F$ , donc un problème à force centrale à un seul corps.

Démonstration (combinaison des deux PFD)

Notons $F = F_{2 \to 1}$ la force exercée sur $M_{1}$ ; par la 3ᵉ loi de Newton, $M_{2}$ subit $- F$ . Le système étant isolé (pas de force extérieure), le PFD sur chaque corps donne :

m_{1} a_{1} = F, m_{2} a_{2} = - F .

Centre de masse : en sommant, $m_{1} a_{1} + m_{2} a_{2} = 0$ , soit $M a_{G} = 0$ : $G$ a un mouvement rectiligne uniforme.

Mouvement relatif : divisons chaque équation par la masse et soustrayons, avec $r = M_{2} M_{1}$ donc $a_{rel} = a_{1} - a_{2}$ :

a_{1} - a_{2} = \frac{F}{m _{1}} - \frac{- F}{m _{2}} = F (\frac{1}{m _{1}} + \frac{1}{m _{2}}) = \frac{F}{μ} .

D'où $μ a_{rel} = F (r)$ : le mouvement relatif est celui d'un point de masse $μ$ dans le champ de force $F$ . On est ramené à un problème à un corps (résolu par les outils des forces centrales : loi des aires, énergie, trajectoires de Kepler).

💡 Exemple — Système Terre-Lune. Avec

m_{Lune} \approx 7, 3 \times 1 0^{22} kg

m_{Terre} \approx 6, 0 \times 1 0^{24} kg

, la masse réduite

μ \approx m_{Lune} \times (1 - m_{Lune} / M) \approx 7, 2 \times 1 0^{22} kg

est très proche de

m_{Lune}

: le corps léger « tourne » quasiment autour du lourd. Quand

m_{2} ≫ m_{1}

μ \to m_{1}

G

est presque confondu avec

M_{2}

— c'est l'approximation « astre fixe » usuelle.

4. Solide indéformable, rotation et roulement sans glissement

Définition 4.1 — Solide indéformable et champ des vitesses

Un solide indéformable est un système où les distances entre points restent constantes. Son champ des vitesses est celui d'un mouvement rigide : pour deux points $A, B$ du solide de vecteur rotation instantané $Ω$ ,

v_{B} = v_{A} + Ω \land A B .

Proposition 4.2 — Éléments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe fixe

Pour un solide en rotation à la vitesse angulaire $ω$ autour d'un axe fixe $Δ$ de moment d'inertie $J_{Δ}$ :

L_{Δ} = J_{Δ} ω, E_{c} = \frac{1}{2} J_{Δ} ω^{2} .

Le théorème du moment cinétique scalaire s'écrit $J_{Δ} \overset{ω}{˙} = M_{Δ}$ (somme des moments des forces par rapport à l'axe).

Définition 4.3 — Roulement sans glissement (RSG)

Il y a roulement sans glissement d'un solide sur un support au point de contact $I$ si la vitesse de glissement est nulle : la vitesse du point $I$ appartenant au solide est égale à celle du point de contact du support,

v_{I \in solide} = v_{I \in support} (= 0 si le support est fixe) .

Théorème 4.4 — La réaction de contact ne travaille pas en RSG

En roulement sans glissement sur un support fixe, la puissance de la réaction de contact (composantes normale et tangentielle) est nulle :

P_{contact} = R \cdot v_{I \in solide} = 0.

Conséquence majeure : dans un bilan énergétique, le frottement de RSG ne dissipe pas — l'énergie mécanique peut se conserver, contrairement au glissement. C'est le point qui distingue radicalement RSG et glissement.

📐 Méthode-type — Solide en RSG sur un plan incliné.

Paramétrer : une seule coordonnée suffit (ex. position $x$ de $G$ ), reliée à l'angle par la condition de RSG $v_{G} = R ω$ .
Choisir le théorème : théorème de l'énergie cinétique (la réaction de RSG ne travaille pas → équation directe) ou théorème du moment cinétique au point de contact (élimine la réaction inconnue).
Écrire König : $E_{c} = \frac{1}{2} M v_{G}^{2} + \frac{1}{2} J_{G} ω^{2}$ , puis injecter $ω = v_{G} / R$ .
Résoudre : obtenir l'accélération $\overset{x}{¨}$ , constante, indépendante de la masse pour un solide homogène donné.
Vérifier la non-glissance : contrôler a posteriori que $∣ T ∣ \leq f ∣ N ∣$ (loi de Coulomb), sinon l'hypothèse RSG tombe.

💡 Exemple — Cylindre homogène qui roule. Pour un cylindre plein (

J_{G} = \frac{1}{2} M R^{2}

) lâché sur un plan incliné d'angle

α

en RSG, le théorème de l'énergie donne

\overset{x}{¨} = \frac{g sin α}{1 + J _{G} / ( M R ^{2} )} = \frac{2}{3} g sin α

: plus lent qu'un point qui glisse sans frottement (

g sin α

), car une part de l'énergie part dans la rotation.

⚠ Piège — « RSG » ne veut pas dire « sans frottement ». Le roulement sans glissement requiert un frottement statique (sinon le solide glisse). Ce frottement ne travaille pas, mais il exerce bien une force tangentielle non nulle : c'est elle qui met le solide en rotation. Confondre « ne travaille pas » et « est nul » est l'erreur classique.

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs reviennent chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves de mécanique des systèmes et du solide. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Oublier un terme de König.

E_{c} = \frac{1}{2} M v_{G}^{2}

SEUL est faux dès qu'il y a rotation : il manque

E_{c}^{⋆} = \frac{1}{2} J_{G} ω^{2}

. De même

L_{O} = O G \land M v_{G}

oublie

L^{⋆}

. Écris toujours les deux termes.

⚠ Erreur 2 — Traiter $R^{⋆}$ comme galiléen. Le référentiel barycentrique n'est galiléen que si

G

est en translation rectiligne uniforme (système isolé). Sinon, appliquer un PFD dans

R^{⋆}

sans force d'inertie d'entraînement est une faute. Les théorèmes de König, eux, restent toujours valables (ils sont cinématiques).

⚠ Erreur 3 — Confondre masse réduite et masse totale. Le mouvement relatif fait intervenir

μ = m_{1} m_{2} / (m_{1} + m_{2})

, pas

M = m_{1} + m_{2}

. L'énergie cinétique barycentrique d'un système à deux corps est

E_{c}^{⋆} = \frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}

, pas

\frac{1}{2} M v_{rel}^{2}

⚠ Erreur 4 — Croire que le frottement de RSG dissipe de l'énergie. En roulement sans glissement, la réaction ne travaille pas : l'énergie mécanique se conserve (s'il n'y a pas d'autre force non conservative). Appliquer un « bilan avec pertes par frottement » est faux — c'est seulement en cas de glissement que la puissance du frottement est

- f ∣ N ∣ v_{gliss} < 0

⚠ Erreur 5 — Écrire la condition de RSG comme une égalité de positions. Le RSG est une condition sur les vitesses (

v_{I \in solide} = 0

), qui se traduit par

v_{G} = R ω

. L'intégrer en

x = R θ

n'est légitime qu'avec un choix cohérent des origines et n'est pas la définition — beaucoup d'élèves posent la relation de position sans justifier la relation de vitesse.

6. Pour aller plus loin

La mécanique du solide et des systèmes irrigue toute la suite de la mécanique et de la physique :

Forces centrales et mouvement de Kepler — la réduction au mobile fictif ramène le problème à deux corps aux trajectoires coniques déjà étudiées.
Référentiels non galiléens — dès que $R^{⋆}$ accélère, les forces d'inertie entrent en jeu dans les bilans dynamiques internes.
Oscillateurs et petits mouvements — pendule pesant, cylindre oscillant : linéarisation autour de l'équilibre à partir du bilan énergétique du solide.
Physique statistique — l'énergie cinétique barycentrique (rotation, vibration) alimente les degrés de liberté et l'équipartition.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir le centre de masse $G$ et le référentiel barycentrique $R^{⋆}$ ?
Sais-tu que $p^{⋆} = 0$ et pourquoi $L^{⋆}$ est indépendant du point ?
Sais-tu démontrer le théorème de König pour le moment cinétique ?
Sais-tu démontrer le théorème de König pour l'énergie cinétique ?
Sais-tu identifier les deux annulations $\sum m_{i} v_{i}^{⋆} = 0$ et $\sum m_{i} G M_{i} = 0$ ?
Sais-tu définir la masse réduite $μ = m_{1} m_{2} / (m_{1} + m_{2})$ et le mobile fictif ?
Sais-tu démontrer la réduction du problème à deux corps ( $G$ uniforme + $μ a_{rel} = F$ ) ?
Sais-tu que $L_{Δ} = J_{Δ} ω$ et $E_{c} = \frac{1}{2} J_{Δ} ω^{2}$ pour une rotation d'axe fixe ?
Sais-tu écrire la condition de RSG sur les vitesses et en déduire $v_{G} = R ω$ ?
Sais-tu pourquoi la réaction de RSG ne travaille pas — et que ce n'est pas « sans frottement » ?
Sais-tu retrouver $\overset{x}{¨} = \frac{2}{3} g sin α$ pour un cylindre plein qui roule ?

Démonstrations à savoir refaire

König (moment cinétique) — décomposition $O M_{i} = O G + G M_{i}$ , annulation des termes croisés
König (énergie cinétique) — carré de $v_{G} + v_{i}^{⋆}$ , terme croisé nul
Réduction à deux corps — somme des PFD ( $G$ uniforme) + différence ( $μ a_{rel} = F$ )

Fiches associées

📐 MP·Physique

Rétroaction et ALI

Toute l'électronique du début de MP : stabilité des systèmes d'ordre 1 et 2, rétroaction et fonction de transfert en boucle fermée, ALI idéal et modèle du premier ordre, montages suiveur, non inverseur, comparateurs simple et à hystérésis. Avec les 4 démonstrations à savoir refaire, la méthode-type d'analyse d'un montage et les pièges relevés par les correcteurs.

📐 MP·Physique

Oscillateurs électroniques

Les deux familles d'oscillateurs au programme de MP : l'oscillateur quasi-sinusoïdal (critère de Barkhausen, pont de Wien, démarrage sur le bruit et stabilisation par les non-linéarités) et l'oscillateur à relaxation (trigger + intégrateur, créneaux et triangles, période). Avec les 3 démonstrations à savoir refaire, la méthode-type d'étude d'une boucle et les pièges des rapports de jury.

📐 MP·Physique

Référentiels non galiléens : translation

La dynamique dans un référentiel en translation accélérée : lois de composition des vitesses et accélérations, force d'inertie d'entraînement −m·ae, PFD en référentiel non galiléen, gravité apparente, pendule embarqué, ascenseur et impesanteur. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire, la méthode-type de résolution et les pièges des rapports de jury.

📐 MP·Physique

Référentiels non galiléens : rotation

La dynamique dans un référentiel en rotation uniforme : vecteur rotation, accélérations d'entraînement et de Coriolis, forces d'inertie centrifuge et de Coriolis, définition du poids et variation de g avec la latitude, perle sur tige tournante, cyclones et déviation vers l'est. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

📐 MP·Physique

Lois du frottement solide

Les lois de Coulomb du frottement solide en MP : réactions normale et tangentielle, vitesse de glissement, régimes d'adhérence et de glissement, cône de frottement, méthode hypothèse-vérification, angle limite du plan incliné, palet lancé et plateau tournant, aspects énergétiques. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

📐 MP·Physique

Modèle scalaire des ondes lumineuses

Les fondations de l'optique ondulatoire de MP : vibration scalaire et ondes monochromatiques, chemin optique et retard de phase 2πL/λ₀, théorème de Malus, éclairement et détecteurs quadratiques, trains d'ondes, temps et longueur de cohérence (laser, lampe spectrale, lumière blanche). Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Tu veux aller plus loin sur ce chapitre ?

Nos mentors alumni de Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris t'accompagnent en cours particuliers — démonstrations détaillées, exos type concours, oraux blancs.

Trouver un mentor →

Mécanique du solide

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Système de points, centre de masse et référentiel barycentrique

2. Les deux théorèmes de König

3. Problème à deux corps et mobile réduit

4. Solide indéformable, rotation et roulement sans glissement

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

Débloque la fiche complète

Fiches associées

Rétroaction et ALI

Oscillateurs électroniques

Référentiels non galiléens : translation

Référentiels non galiléens : rotation

Lois du frottement solide

Modèle scalaire des ondes lumineuses

Tu veux aller plus loin sur ce chapitre ?