Référentiels non galiléens : translation

Vue d'ensemble

Toute la mécanique de sup supposait le référentiel galiléen. Or on passe sa vie dans des référentiels qui ne le sont pas : une voiture qui freine, un ascenseur qui démarre, une fusée qui accélère. La mécanique de MP commence par y étendre le principe fondamental de la dynamique, au prix d'une force supplémentaire — la force d'inertie d'entraînement — qui n'est pas une interaction mais un effet du mouvement du référentiel lui-même. Ce chapitre traite le cas de la translation (le plus simple : pas de force de Coriolis) ; la rotation suit au chapitre d'après. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre des points.

Au programme MP (officiel) — Dynamique dans un référentiel non galiléen en translation par rapport à un référentiel galiléen : composition des vitesses et des accélérations (cas de la translation), point coïncidant, force d'inertie d'entraînement, principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non galiléen, poids apparent, exemples (véhicule accéléré, ascenseur, impesanteur).

Prérequis

Cinématique et dynamique du point (sup) : PFD, bilan des forces, projection
Point de vue énergétique (sup) : énergie potentielle, théorème de l'énergie cinétique
Dérivation vectorielle et changement de repère (calcul de base)

🎯 Accompagnement Majorant

Les forces d'inertie te semblent sorties du chapeau ? C'est le chapitre où la mécanique devient subtile — et où les copies se trient. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font refaire les raisonnements de changement de référentiel jusqu'à ce que « qui observe quoi » devienne limpide.

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1. Composition des mouvements en translation

Définition 1.1 — Référentiel en translation

Un référentiel $R^{'}$ (d'origine $O^{'}$ , lié par exemple à un véhicule) est en translation par rapport à un référentiel galiléen $R$ si ses axes gardent une direction fixe par rapport à ceux de $R$ : seul le point $O^{'}$ bouge, sans rotation des axes. La translation est rectiligne, circulaire ou quelconque selon la trajectoire de $O^{'}$ — mais dans tous les cas les axes ne tournent pas.

Définition 1.2 — Point coïncidant

À l'instant $t$ , le point coïncidant de $M$ est le point fixe de $R^{'}$ qui occupe la même position que $M$ à cet instant. La vitesse (resp. l'accélération) d'entraînement de $M$ est la vitesse (resp. l'accélération) de ce point coïncidant dans $R$ .

Définition 1.3 — Vitesse et accélération d'entraînement (translation)

En translation, tous les points fixes de $R^{'}$ ont le même mouvement que $O^{'}$ : la vitesse et l'accélération d'entraînement sont uniformes,

v_{e} = v_{R} (O^{'}), a_{e} = a_{R} (O^{'}),

indépendantes du point $M$ considéré.

Théorème 1.4 — Lois de composition en translation ★ À savoir démontrer

Pour un référentiel $R^{'}$ en translation par rapport à $R$ :

v_{R} (M) = v_{R^{'}} (M) + v_{e}, a_{R} (M) = a_{R^{'}} (M) + a_{e},

avec $v_{e} = v_{R} (O^{'})$ et $a_{e} = a_{R} (O^{'})$ . Il n'y a pas de terme de Coriolis en translation.

Démonstration (dériver la relation de Chasles)

Partons de $O M = O O^{'} + O^{'} M$ et dérivons dans $R$ . Le point clé : comme les axes de $R^{'}$ ne tournent pas, les vecteurs de base $e_{x}^{'}, e_{y}^{'}, e_{z}^{'}$ sont constants dans $R$ . En écrivant $O^{'} M = x^{'} e_{x}^{'} + y^{'} e_{y}^{'} + z^{'} e_{z}^{'}$ :

(\frac{d O ^{'} M}{d t})_{R} = \overset{x}{˙}^{'} e_{x}^{'} + \overset{y}{˙}^{'} e_{y}^{'} + \overset{z}{˙}^{'} e_{z}^{'} = v_{R^{'}} (M),

car les dérivées des vecteurs de base sont nulles — la dérivation dans $R$ et dans $R^{'}$ coïncident pour tout vecteur (c'est LA propriété spécifique de la translation). D'où :

v_{R} (M) = \frac{d O O ^{'}}{d t} + v_{R^{'}} (M) = v_{e} + v_{R^{'}} (M) .

En dérivant une seconde fois, le même argument donne $a_{R} (M) = a_{e} + a_{R^{'}} (M)$ : aucun terme croisé n'apparaît. (En rotation, les vecteurs de base tournent et leur dérivation fera naître les termes d'entraînement centrifuge et de Coriolis — chapitre suivant.)

⚠ Piège — Translation circulaire ≠ rotation. Une nacelle de grande roue est en translation circulaire : sa trajectoire est un cercle mais ses axes ne tournent pas (le plancher reste horizontal). Il n'y a donc PAS de force de Coriolis dans la nacelle, et

a_{e}

est simplement l'accélération du centre de la nacelle. Confondre « trajectoire circulaire de

O^{'}

» et « référentiel en rotation » est une erreur classique de copie.

2. Le PFD dans un référentiel en translation

Définition 2.1 — Force d'inertie d'entraînement

Dans un référentiel $R^{'}$ en translation d'accélération $a_{e}$ , on appelle force d'inertie d'entraînement le terme :

F_{i e} = - m a_{e} .

Ce n'est pas une interaction (aucun corps ne l'exerce, elle n'a pas de réaction) : c'est un terme correctif traduisant le caractère non galiléen de $R^{'}$ . Elle est opposée à l'accélération du référentiel — d'où la sensation d'être « plaqué au siège » quand la voiture accélère.

Théorème 2.2 — PFD en référentiel non galiléen (translation) ★ À savoir démontrer

Dans $R^{'}$ en translation par rapport à un référentiel galiléen, le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

m a_{R^{'}} (M) = \sum F_{vraies} + F_{i e} = \sum F_{vraies} - m a_{e} .

Démonstration (deux lignes depuis le référentiel galiléen)

Dans le référentiel galiléen $R$ , le PFD s'applique tel quel : $m a_{R} (M) = \sum F_{vraies}$ . La loi de composition des accélérations (théorème 1.4) donne $a_{R} = a_{R^{'}} + a_{e}$ , donc :

m (a_{R^{'}} + a_{e}) = \sum F_{vraies} ⟹ m a_{R^{'}} = \sum F_{vraies} - m a_{e} .

Tout se passe comme si, dans $R^{'}$ , une force supplémentaire $- m a_{e}$ s'ajoutait au bilan. Cas particulier rassurant : si la translation est rectiligne uniforme ( $a_{e} = 0$ ), la force d'inertie disparaît et $R^{'}$ est lui-même galiléen — on retrouve le principe de relativité galiléenne de sup.

📝 Énergie potentielle de la force d'inertie. Si

a_{e}

est constante (translation rectiligne uniformément accélérée), la force

F_{i e} = - m a_{e}

est uniforme, donc conservative, exactement comme le poids : elle dérive de l'énergie potentielle

E_{p}^{i e} = m a_{e} \cdot O^{'} M

(au choix d'une constante près). Les théorèmes énergétiques s'appliquent alors dans

R^{'}

en ajoutant cette énergie potentielle au bilan — très utile pour les oscillateurs embarqués.

📐 Méthode-type — Résoudre un problème en référentiel non galiléen.

Choisir et déclarer le référentiel d'étude : « on travaille dans le référentiel $R^{'}$ lié au véhicule, en translation d'accélération $a_{e}$ par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen ».
Bilan des forces : les forces vraies (poids, tension, réaction, frottements…) PLUS la force d'inertie $- m a_{e}$ — et rien d'autre en translation (pas de Coriolis).
Écrire le PFD dans $R^{'}$ et projeter sur des axes liés à $R^{'}$ (c'est tout l'intérêt : l'équilibre relatif y est simple, $a_{R^{'}} = 0$ ).
Interpréter : poids apparent, inclinaison d'équilibre, condition de décollement… et vérifier le cas limite $a_{e} \to 0$ (on doit retrouver le résultat galiléen).

3. Poids apparent et gravité apparente

Définition 3.1 — Gravité apparente

Dans un référentiel en translation d'accélération $a_{e}$ , le poids et la force d'inertie se regroupent en un poids apparent $m g_{a pp}$ , avec :

g_{a pp} = g - a_{e} .

Tout se passe comme si la gravité avait changé de norme et de direction : un fil à plomb s'aligne sur $g_{a pp}$ , une surface libre de liquide s'y met perpendiculaire.

Théorème 3.2 — Pendule dans un véhicule accéléré ★ À savoir démontrer

Dans un véhicule en translation horizontale d'accélération constante $a_{e}$ , un pendule s'immobilise (équilibre relatif) en faisant avec la verticale l'angle $θ_{\overset{e}{ˊ} q}$ tel que :

tan θ_{\overset{e}{ˊ} q} = \frac{a _{e}}{g},

et sa tension vaut $T = m g^{2} + a_{e}^{2} = m g_{a pp}$ .

Démonstration (équilibre relatif dans le véhicule)

Dans le référentiel du véhicule, le point matériel est soumis au poids $m g$ (vertical descendant), à la tension $T$ (le long du fil) et à la force d'inertie $- m a_{e}$ (horizontale, opposée à l'accélération). À l'équilibre relatif, $a_{R^{'}} = 0$ :

T + m g - m a_{e} = 0 .

La tension est donc opposée à $m (g - a_{e}) = m g_{a pp}$ : le fil s'aligne sur la gravité apparente. En projetant (axe $x$ horizontal vers l'avant, axe $z$ vertical) : $T sin θ = m a_{e}$ et $T cos θ = m g$ . Le quotient donne $tan θ_{\overset{e}{ˊ} q} = a_{e} / g$ , et la somme des carrés $T = m g^{2} + a_{e}^{2}$ .

Contrôles : $a_{e} = 0 \Rightarrow θ = 0$ (pendule vertical) ; freinage ( $a_{e}$ vers l'arrière) ⟹ le pendule part vers l'avant — cohérent avec l'expérience du passager. Ordre de grandeur : $a_{e} = 2, 5 m/ s^{2}$ (voiture qui accélère franchement) donne $θ \approx 14°$ .

💡 Exemple 1 — L'ascenseur et le pèse-personne. Dans un ascenseur d'accélération

a_{e} = a e_{z}

(vers le haut), une personne sur un pèse-personne est à l'équilibre relatif :

N + m g - m a_{e} = 0

, d'où

N = m (g + a)

. Le pèse-personne (qui mesure

N

) indique un poids augmenté au démarrage vers le haut, diminué au freinage — et

N = m (g - a)

s'annule pour

a = g

: chute libre.

💡 Exemple 2 — L'impesanteur. Dans un référentiel en chute libre (station spatiale, avion zéro-g),

a_{e} = g

, donc

g_{a pp} = g - a_{e} = 0

: le poids apparent est nul. Les objets « flottent » non pas parce que la gravité a disparu (à 400 km d'altitude,

g \approx 0, 9 g_{0}

!), mais parce que le référentiel tombe avec eux. Réponse attendue à la question piège « pourquoi les astronautes flottent-ils ? ».

⚠ Piège — Le poids apparent est ce que mesure le support, pas une nouvelle gravitation.

g_{a pp}

dépend du référentiel choisi : il ne modifie ni la masse ni le champ gravitationnel réel. Écris toujours « dans le référentiel de l'ascenseur » avant de parler de poids apparent — sans cette précision, l'expression n'a pas de sens et les correcteurs le relèvent.

🧑‍🏫 Les référentiels au clair

Tu hésites encore entre « qui accélère » et « qui observe » ? Une séance de schémas commentés avec un mentor Majorant (véhicule, ascenseur, chute libre, grande roue) et la logique des référentiels se met en place définitivement — juste avant d'attaquer la rotation, où tout se corse.

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4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

La mécanique non galiléenne est un terrain à contresens — les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale) épinglent chaque année les mêmes confusions de référentiel.

⚠ Erreur 1 — Mettre la force d'inertie dans le référentiel galiléen. La force d'inertie n'existe QUE dans le référentiel non galiléen. Si tu travailles dans le référentiel terrestre (supposé galiléen), le bilan ne contient que les forces vraies. Compter

- m a_{e}

des deux côtés (ou dans les deux référentiels) est LE contresens du chapitre.

⚠ Erreur 2 — Ne pas déclarer le référentiel d'étude. Toute résolution doit commencer par « dans le référentiel

R^{'}

lié à …, non galiléen car en translation accélérée ». Sans cette phrase, le correcteur ne peut pas valider ton bilan des forces — les rapports le disent explicitement.

⚠ Erreur 3 — Ajouter une force de Coriolis en translation. La force de Coriolis n'apparaît qu'en rotation (elle vient de la dérivation des vecteurs de base tournants). En translation — même circulaire ! — elle est rigoureusement absente. La parachuter « par prudence » est compté faux.

⚠ Erreur 4 — Se tromper de sens sur la force d'inertie.

F_{i e} = - m a_{e}

est opposée à l'accélération du référentiel, pas à sa vitesse. Dans un train qui freine (accélération vers l'arrière), la force d'inertie pousse vers l'avant. Vérifie toujours avec ton expérience de passager — c'est le contrôle physique le plus fiable.

⚠ Erreur 5 — Traiter la force d'inertie comme une interaction. Pas de « réaction » à une force d'inertie (la troisième loi de Newton ne s'y applique pas), pas de « corps qui l'exerce ». La qualifier de « force exercée par le véhicule » est un contresens conceptuel sanctionné, notamment à l'oral.

5. Pour aller plus loin

La translation est l'échauffement ; l'essentiel du programme non galiléen est devant :

Référentiels en rotation — les vecteurs de base tournent : apparition de la force centrifuge et de la force de Coriolis, dynamique terrestre (déviation vers l'est, marées, pendule de Foucault en approche documentaire).
Champs de force centrale et référentiel géocentrique — le terme des marées est exactement une force d'inertie d'entraînement différentielle.
Oscillateurs embarqués — pendule ou masse-ressort dans un véhicule accéléré : l'énergie potentielle d'inertie de ce chapitre rend ces exercices expéditifs.
Culture physique — le principe d'équivalence (impesanteur = chute libre) est le point de départ de la relativité générale : l'exemple 2 est historiquement « l'idée la plus heureuse de la vie » d'Einstein.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir un référentiel en translation (axes de direction fixe) et pourquoi une translation circulaire n'est pas une rotation ?
Sais-tu définir le point coïncidant et les grandeurs d'entraînement ?
Sais-tu démontrer les lois de composition des vitesses et des accélérations en translation ?
Sais-tu expliquer pourquoi il n'y a aucun terme de Coriolis en translation ?
Sais-tu démontrer le PFD en référentiel non galiléen et la forme de la force d'inertie −m·a_e ?
Sais-tu retrouver que la force d'inertie est conservative quand a_e est constante, et son énergie potentielle ?
Sais-tu dérouler la méthode-type (déclarer le référentiel, bilan complet, PFD, cas limite) ?
Sais-tu démontrer l'angle d'équilibre tan θ = a_e/g du pendule embarqué et la tension m·g_app ?
Sais-tu définir la gravité apparente g_app = g − a_e et ce qu'elle gouverne (fil à plomb, surface libre) ?
Sais-tu traiter l'ascenseur (poids apparent m(g ± a)) et le cas de la chute libre ?
Sais-tu expliquer correctement l'impesanteur en orbite (le référentiel tombe, la gravité ne disparaît pas) ?
Sais-tu dire pourquoi une force d'inertie n'a ni réaction ni corps qui l'exerce ?

Démonstrations à savoir refaire

Lois de composition en translation — dériver Chasles avec des vecteurs de base constants
PFD en référentiel non galiléen — injecter la composition des accélérations dans le PFD galiléen
Pendule dans un véhicule accéléré — équilibre relatif, projections, tan θ = a_e/g

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Composition des mouvements en translation

2. Le PFD dans un référentiel en translation

3. Poids apparent et gravité apparente

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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