Modèle scalaire des ondes lumineuses

Vue d'ensemble

L'optique de MP abandonne les rayons pour les ondes : la lumière devient une vibration $s (M, t)$ , avec une amplitude, une phase, et bientôt des interférences. Ce premier chapitre installe les quatre outils que TOUTE la suite utilisera : le chemin optique (qui convertit la géométrie en phase), l'éclairement (ce que mesurent réellement les détecteurs — une moyenne quadratique), et le couple temps / longueur de cohérence (qui dira quand les interférences sont visibles). Pas d'interférences encore : uniquement le langage, mais un langage dont chaque mot resservira dans les trois chapitres suivants et aux écrits. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Modèle scalaire des ondes lumineuses : vibration lumineuse, onde monochromatique, amplitude et phase ; chemin optique, retard de phase, surfaces d'onde et théorème de Malus (admis) ; éclairement (intensité), caractère quadratique et moyenne temporelle des détecteurs ; sources réelles : trains d'ondes, largeur spectrale, temps et longueur de cohérence.

Prérequis

Optique géométrique de sup : indice, rayons, principe du retour inverse
Propagation d'un signal (sup) : onde progressive, phase, retard
Valeurs moyennes : $⟨ cos^{2} ⟩ = 1/2$ en régime sinusoïdal

🎯 Accompagnement Majorant

L'optique ondulatoire te paraît un empilement de formules ? Tout le bloc tient sur quatre concepts, et ils s'installent en une séance bien menée. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines posent les fondations de ce chapitre avant que les interférences n'arrivent — c'est maintenant que ça se joue.

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1. La lumière comme vibration scalaire

Définition 1.1 — Vibration lumineuse, onde monochromatique

Dans le modèle scalaire, la lumière en un point $M$ est décrite par une grandeur scalaire $s (M, t)$ (une composante du champ électrique, en pratique). Une onde monochromatique de pulsation $ω$ s'écrit :

s (M, t) = A (M) cos (ω t - φ (M)),

avec $A (M)$ l'amplitude et $φ (M)$ la phase (ou retard de phase) au point $M$ . Fréquences optiques : $ν = ω /2 π \sim 5 \times 1 0^{14} Hz$ (période $T \sim 2 fs$ ).

Définition 1.2 — Onde plane, onde sphérique

Onde plane (source à l'infini) : surfaces d'onde planes, amplitude uniforme, $φ (M) = k \cdot O M$ avec $∥ k ∥ = 2 π / λ$ . Onde sphérique (source ponctuelle $S$ ) : surfaces d'onde sphériques centrées en $S$ , amplitude en $1/ r$ (conservation de l'énergie sur des sphères de surface $4 π r^{2}$ ), phase $φ = k r$ . Loin de la source, une petite portion d'onde sphérique se traite comme une onde plane.

📝 Ce que le modèle scalaire ignore (et quand ça compte). La lumière est une onde vectorielle (champ

E

transverse) : le modèle scalaire ignore la polarisation. Il suffit pour toutes les interférences du programme (ondes de même polarisation), mais la polarisation redeviendra un phénomène à part entière dans le chapitre ondes électromagnétiques. Savoir citer cette limite est une question d'oral.

2. Chemin optique et surfaces d'onde

Définition 2.1 — Chemin optique

Le chemin optique le long d'un rayon lumineux entre $A$ et $B$ est :

(A B) = L_{A B} = \int_{A}^{B} n d ℓ,

où $n$ est l'indice local du milieu. Dans un milieu homogène : $L_{A B} = n \times A B$ . Le chemin optique est la distance que la lumière aurait parcourue dans le vide pendant la même durée : $L_{A B} = c τ_{A B}$ .

Définition 2.2 — Surface d'onde

Une surface d'onde relative à une source $S$ est une surface d'égale phase — de façon équivalente, l'ensemble des points $M$ tels que le chemin optique $(S M)$ soit constant. Théorème de Malus (admis) : les surfaces d'onde sont orthogonales aux rayons lumineux.

Théorème 2.3 — Retard de phase et chemin optique ★ À savoir démontrer

Pour une onde monochromatique de longueur d'onde dans le vide $λ_{0}$ , la phase accumulée entre $A$ et $B$ le long d'un rayon vaut :

φ_{B} - φ_{A} = \frac{2 π}{λ _{0}} L_{A B} .

Démonstration (le retard temporel converti en phase)

L'onde se propage : la vibration en $B$ reproduit celle de $A$ avec le retard $τ_{A B}$ mis par la lumière pour aller de $A$ à $B$ : $s (B, t) = s (A, t - τ_{A B})$ (à l'atténuation d'amplitude près). Pour une onde monochromatique :

cos (ω (t - τ_{A B}) - φ_{A}) = cos (ω t - (φ_{A} + ω τ_{A B})),

donc $φ_{B} = φ_{A} + ω τ_{A B}$ . Sur chaque tronçon, la lumière avance à $c / n$ : $τ_{A B} = \int \frac{d ℓ}{c / n} = \frac{1}{c} \int n d ℓ = \frac{L _{A B}}{c}$ . D'où :

φ_{B} - φ_{A} = ω \frac{L _{A B}}{c} = \frac{2 π}{λ _{0}} L_{A B} (λ_{0} = \frac{2 π c}{ω}) .

Tout est là : la géométrie (longueurs, indices) se convertit en phase par le facteur $2 π / λ_{0}$ . Les différences de marche des chapitres suivants ne seront que des différences de chemins optiques.

⚠ Piège — λ ou λ₀ ? Dans la formule de la phase, c'est la longueur d'onde dans le vide

λ_{0}

qui intervient, parce que le chemin optique contient déjà l'indice. Dans un milieu d'indice

n

, la longueur d'onde vaut

λ = λ_{0} / n

(la fréquence, elle, ne change JAMAIS au passage d'un milieu à l'autre). Mélanger les deux est l'erreur de calcul la plus fréquente du bloc optique.

💡 Exemple — La lame de verre. Insérer une lame d'épaisseur

e = 10 μ m

d'indice

n = 1, 5

sur un trajet ajoute un chemin optique supplémentaire

δ L = (n - 1) e = 5 μ m

par rapport à l'air, soit un déphasage

Δ φ = 2 π δ L / λ_{0} \approx 2 π \times 9, 1

pour

λ_{0} = 550 nm

— plus de 9 tours de phase pour 10 microns de verre. C'est le principe des lames utilisées dans tous les interféromètres.

📐 Méthode-type — Du montage à la phase (le pipeline de tout le bloc optique).

Identifier le trajet du rayon entre les deux points considérés, tronçon par tronçon (air, verre, lame…), avec l'indice de chacun.
Calculer le chemin optique $L = \sum_{i} n_{i} ℓ_{i}$ (ou $\int n d ℓ$ si l'indice varie) — c'est ici que la lame apporte son $(n - 1) e$ par rapport au trajet dans l'air.
Convertir en phase par le facteur universel : $Δ φ = \frac{2 π}{λ _{0}} L$ — toujours avec la longueur d'onde dans le vide.
Comparer à la cohérence : si le calcul prépare une interférence, vérifier que les écarts de chemin restent petits devant $ℓ_{c}$ (section 4) — sinon la phase calculée ne sera jamais visible.

3. Éclairement : ce que mesure un détecteur

Définition 3.1 — Éclairement (intensité)

L'éclairement en $M$ est la moyenne temporelle du carré de la vibration :

I (M) = K ⟨ s^{2} (M, t) ⟩,

où $K$ est une constante dépendant des unités (souvent prise égale à 2 pour alléger les formules). Tous les détecteurs optiques (œil, capteur CCD, photodiode) sont quadratiques ET lents : leur temps de réponse ( $\geq μ s$ , $\sim 40 ms$ pour l'œil) est immensément long devant la période optique ( $\sim 1 0^{- 15} s$ ) — ils ne voient que la moyenne.

Théorème 3.2 — Éclairement d'une onde monochromatique ★ À savoir démontrer

Pour $s (M, t) = A (M) cos (ω t - φ (M))$ :

I (M) = K \frac{A ^{2} ( M )}{2} — l’ \overset{e}{ˊ} clairement est proportionnel au carr \overset{e}{ˊ} de l’amplitude,

et il ne dépend pas de la phase (une onde seule n'a pas de « relief » de phase visible : il faudra en superposer deux pour le révéler).

Démonstration (moyenne de cos² sur le temps de réponse)

Le détecteur moyenne sur une durée $T_{r} ≫ T = 2 π / ω$ :

⟨ s^{2} ⟩ = A^{2} ⟨ cos^{2} (ω t - φ) ⟩ .

Or $cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$ : la moyenne du terme oscillant $cos (2 ω t - 2 φ)$ sur un grand nombre de périodes est nulle, et il reste $⟨ cos^{2} ⟩ = 1/2$ . D'où $I = K A^{2} /2$ , indépendant de $φ$ et de $t$ .

Conséquence capitale pour la suite : quand on superposera deux ondes, $⟨(s_{1} + s_{2})^{2} ⟩ = ⟨ s_{1}^{2} ⟩ + ⟨ s_{2}^{2} ⟩ + 2 ⟨ s_{1} s_{2} ⟩$ — tout le chapitre interférences vivra dans le terme croisé $⟨ s_{1} s_{2} ⟩$ , qui, lui, dépendra des phases.

⚠ Piège — On n'additionne JAMAIS les éclairements de deux ondes cohérentes. Ce sont les vibrations qui s'additionnent (

s = s_{1} + s_{2}

), pas les intensités.

I \neq = I_{1} + I_{2}

dès que le terme croisé survit — c'est précisément le phénomène d'interférence. Écrire

I = I_{1} + I_{2}

sans justifier l'incohérence des sources est une erreur de fond signalée dans tous les rapports.

4. Sources réelles : trains d'ondes et cohérence

Définition 4.1 — Trains d'ondes, temps et longueur de cohérence

Une source réelle n'émet pas une sinusoïde infinie mais des trains d'ondes : des bouffées quasi sinusoïdales de durée limitée $τ_{c}$ (le temps de cohérence), dont la phase se réinitialise aléatoirement d'un train à l'autre. La longueur de cohérence est la longueur d'un train :

ℓ_{c} = c τ_{c} .

Deux ondes issues de la même source ne pourront interférer que si leur décalage de chemin reste inférieur à $ℓ_{c}$ (même train d'ondes) — c'est le rôle que jouera cette grandeur dans tous les chapitres suivants.

Théorème 4.2 — Longueur de cohérence et largeur spectrale ★ À savoir démontrer

Une source de largeur spectrale $Δ ν$ (en fréquence) ou $Δ λ$ (en longueur d'onde) a pour temps et longueur de cohérence :

τ_{c} \approx \frac{1}{Δ ν}, ℓ_{c} = c τ_{c} \approx \frac{λ _{0}^{2}}{Δ λ} .

Démonstration (durée finie ⟺ spectre élargi, puis conversion)

Relation $τ_{c} Δ ν \approx 1$ . C'est la relation temps-fréquence universelle des signaux (vue avec l'analyse de Fourier en sup) : un signal de durée $τ_{c}$ a un spectre de largeur $Δ ν \approx 1/ τ_{c}$ — une sinusoïde tronquée n'est plus monochromatique. Inversement, deux composantes spectrales écartées de $Δ ν$ se déphasent notablement au bout de $\approx 1/Δ ν$ : la vibration perd la mémoire de sa phase.

Conversion en longueurs d'onde. De $ν = c / λ$ , on tire par différentiation $∣Δ ν ∣ = \frac{c}{λ _{0}^{2}} Δ λ$ . D'où :

ℓ_{c} = c τ_{c} \approx \frac{c}{Δ ν} = \frac{λ _{0}^{2}}{Δ λ} .

Les trois ordres de grandeur à connaître par cœur : laser He-Ne ( $λ_{0} = 633 nm$ , $Δ λ \sim 1 pm$ ) : $ℓ_{c} \approx (633 \times 1 0^{- 9})^{2} /1 0^{- 12} \approx 0, 4 m$ ; raie d'une lampe spectrale ( $Δ λ \sim 1 nm$ ) : $ℓ_{c} \sim 0, 3 mm$ ; lumière blanche ( $λ_{0} \approx 550 nm$ , $Δ λ \approx 300 nm$ ) : $ℓ_{c} \approx 1 μ m$ — quelques longueurs d'onde à peine.

💡 Pourquoi ces ordres de grandeur pilotent tout le bloc optique. Avec un laser (

ℓ_{c} \sim

dizaines de cm), on verra des interférences même pour de grandes différences de marche ; avec une lampe blanche (

ℓ_{c} \sim 1 μ m

), seules quelques franges autour du contact optique survivront (Michelson en lumière blanche : teintes de Newton). Retenir ces trois chiffres, c'est pouvoir prédire la visibilité des franges dans n'importe quel montage — question systématique des écrits.

⚠ Piège — Deux sources indépendantes n'interfèrent jamais. Même « identiques », deux lasers distincts ont des phases qui se réinitialisent indépendamment : le terme croisé se moyenne à zéro en un temps

\sim τ_{c}

, invisible pour tout détecteur. D'où LA règle des chapitres suivants : pour interférer, les deux ondes doivent provenir de la même source, divisée (par le front d'onde ou par l'amplitude).

🧑‍🏫 Les ordres de grandeur en réflexe

fs, THz, pm, µm : l'optique jongle avec des puissances de dix inhabituelles. Un mentor Majorant te fait manipuler les conversions (fréquence-longueur d'onde, largeur spectrale-cohérence) jusqu'à ce que les ordres de grandeur sortent sans calculatrice — exactement ce que testent les oraux.

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5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Chapitre de fondations : les erreurs commises ici se propagent dans tout le bloc optique. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Confondre λ et λ₀ dans les formules de phase. La phase s'écrit

2 π L / λ_{0}

avec le chemin OPTIQUE (indice inclus) et la longueur d'onde dans le VIDE. Compter l'indice deux fois (ou zéro fois) décale toutes les franges du problème.

⚠ Erreur 2 — Croire que la fréquence change avec le milieu. Au passage air → verre :

ν

invariante,

v = c / n

λ = λ_{0} / n

diminuent. La couleur perçue ne change pas dans l'eau ! Question de cours d'oral récurrente.

⚠ Erreur 3 — Additionner les intensités d'ondes cohérentes. On additionne les vibrations, on moyenne ensuite le carré.

I = I_{1} + I_{2}

n'est valable QUE pour des ondes incohérentes (sources indépendantes, ou différence de marche ≫ ℓ_c) — et il faut le dire.

⚠ Erreur 4 — Oublier le facteur ½ de la moyenne quadratique.

⟨ cos^{2} ⟩ = 1/2

: l'éclairement d'une onde d'amplitude

A

vaut

K A^{2} /2

, pas

K A^{2}

. L'erreur se voit dès que l'on compare des éclairements (contrastes, rapports) — les correcteurs la traquent.

⚠ Erreur 5 — Donner une longueur de cohérence sans la relier au montage.

ℓ_{c}

n'est pas un chiffre décoratif : la question implicite est toujours « la différence de marche du montage est-elle petite devant

ℓ_{c}

? ». Un calcul de

ℓ_{c}

doit se conclure par cette comparaison — sinon la question n'est pas traitée.

6. Pour aller plus loin

Ce chapitre est la boîte à outils ; les trois suivants sont les chantiers :

Interférences à deux ondes — la différence de marche est une différence de chemins optiques ; la formule de Fresnel vit dans le terme croisé $⟨ s_{1} s_{2} ⟩$ ; la cohérence décide de la visibilité.
Interféromètre de Michelson — division d'amplitude, contact optique, teintes en lumière blanche : tout se lit avec $ℓ_{c}$ .
Réseaux et interférences à N ondes — la phase $2 π L / λ_{0}$ entre motifs consécutifs pilote la formule des réseaux.
Ondes électromagnétiques — le modèle scalaire retrouvera son origine vectorielle : $s$ est une composante de $E$ , l'éclairement est le flux du vecteur de Poynting, et la polarisation complète le tableau.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu écrire une onde monochromatique s = A·cos(ωt − φ) et situer les fréquences optiques (~5×10¹⁴ Hz) ?
Sais-tu décrire ondes planes et sphériques (surfaces d'onde, amplitude en 1/r) ?
Sais-tu citer la limite du modèle scalaire (polarisation ignorée) ?
Sais-tu définir le chemin optique ∫n·dℓ et son interprétation c×temps de parcours ?
Sais-tu démontrer φ_B − φ_A = 2πL/λ₀ à partir du retard temporel ?
Sais-tu énoncer le théorème de Malus et définir une surface d'onde ?
Sais-tu calculer le supplément de chemin optique (n−1)e d'une lame ?
Sais-tu démontrer I = KA²/2 (détecteur quadratique lent, moyenne de cos²) ?
Sais-tu pourquoi la phase d'une onde SEULE est invisible, et où vivront les interférences (terme croisé) ?
Sais-tu définir trains d'ondes, temps et longueur de cohérence, et démontrer ℓ_c ≈ λ₀²/Δλ ?
Connais-tu les trois ℓ_c de référence (laser ~0,4 m ; lampe spectrale ~0,3 mm ; lumière blanche ~1 µm) ?
Sais-tu expliquer pourquoi deux sources indépendantes n'interfèrent jamais ?

Démonstrations à savoir refaire

Phase et chemin optique — s(B,t) = s(A, t − τ), puis ωτ = 2πL/λ₀
Éclairement d'une onde monochromatique — moyenne de cos² = ½ sur le temps de réponse
Longueur de cohérence — τ_c·Δν ≈ 1 puis conversion λ₀²/Δλ, trois ordres de grandeur

Vue d'ensemble

Prérequis

1. La lumière comme vibration scalaire

2. Chemin optique et surfaces d'onde

3. Éclairement : ce que mesure un détecteur

4. Sources réelles : trains d'ondes et cohérence

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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