Interférences à deux ondes

Vue d'ensemble

Deux ondes lumineuses qui se superposent peuvent s'ajouter… ou s'annuler : c'est l'interférence, la signature la plus spectaculaire du caractère ondulatoire de la lumière. Tout le chapitre tient dans une formule — la formule de Fresnel $I = I_{1} + I_{2} + 2 I_{1} I_{2} cos Δ φ$ — et dans un dispositif emblématique, les trous d'Young, dont l'interfrange $i = λ D / a$ est probablement la formule la plus demandée de toute l'optique des concours. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Superposition de deux ondes lumineuses : formule de Fresnel, conditions d'interférence (cohérence), différence de marche, ordre d'interférence, franges brillantes et sombres, contraste ; dispositif des trous d'Young (différence de marche, interfrange) ; influence qualitative de la largeur spectrale et de la taille de la source (brouillage).

Prérequis

Modèle scalaire : chemin optique, phase $2 π L / λ_{0}$ , éclairement quadratique
Longueur de cohérence $ℓ_{c} \approx λ_{0}^{2} /Δ λ$ et trains d'ondes
Trigonométrie : $cos a cos b$ , moyennes de fonctions sinusoïdales

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1. La formule de Fresnel

Définition 1.1 — Ondes cohérentes

Deux ondes sont cohérentes (entre elles) si leur déphasage en un point est constant à l'échelle du temps de réponse du détecteur. En optique, cela impose : même fréquence, et surtout même source primaire (les deux ondes proviennent de la division d'une même onde), avec une différence de chemin inférieure à la longueur de cohérence $ℓ_{c}$ . Deux sources indépendantes sont toujours incohérentes.

Théorème 1.2 — Formule de Fresnel (interférences à deux ondes) ★ À savoir démontrer

Pour deux ondes cohérentes d'éclairements $I_{1}, I_{2}$ et de déphasage $Δ φ (M)$ au point $M$ :

I (M) = I_{1} + I_{2} + 2 I_{1} I_{2} cos (Δ φ (M)) .

Pour deux ondes incohérentes : $I = I_{1} + I_{2}$ (le terme d'interférence disparaît).

Démonstration (développer le carré, moyenner)

Les vibrations s'additionnent : $s = s_{1} + s_{2}$ avec $s_{k} = A_{k} cos (ω t - φ_{k} (M))$ . L'éclairement est :

I = K ⟨(s_{1} + s_{2})^{2} ⟩ = K ⟨ s_{1}^{2} ⟩ + K ⟨ s_{2}^{2} ⟩ + 2 K ⟨ s_{1} s_{2} ⟩ = I_{1} + I_{2} + 2 K ⟨ s_{1} s_{2} ⟩ .

Le terme croisé se calcule avec $cos a cos b = \frac{1}{2} [cos (a - b) + cos (a + b)]$ :

⟨ s_{1} s_{2} ⟩ = A_{1} A_{2} ⟨ cos (ω t - φ_{1}) cos (ω t - φ_{2}) ⟩ = \frac{A _{1} A _{2}}{2} cos (φ_{2} - φ_{1}),

le terme en $cos (2 ω t - φ_{1} - φ_{2})$ étant de moyenne nulle. Avec $I_{k} = K A_{k}^{2} /2$ , on a $K A_{1} A_{2} = 2 I_{1} I_{2}$ , d'où la formule.

Cas incohérent : $Δ φ = φ_{2} - φ_{1}$ saute aléatoirement à chaque train d'ondes ( $\sim τ_{c}$ ) : le détecteur moyenne $cos Δ φ$ à zéro, et il reste $I = I_{1} + I_{2}$ . Toute la condition de cohérence est là.

⚠ Piège — Où est passée l'énergie des franges sombres ? Les interférences ne détruisent pas d'énergie : elles la redistribuent. La moyenne spatiale de

I

sur une frange complète vaut bien

I_{1} + I_{2}

(la moyenne de

cos

est nulle) : ce qui manque aux franges sombres se retrouve dans les brillantes. Question d'oral archi-classique — la réponse tient en une ligne.

2. Différence de marche, ordre et contraste

Définition 2.1 — Différence de marche et déphasage

La différence de marche en $M$ est la différence des chemins optiques depuis la source : $δ (M) = (S M)_{2} - (S M)_{1}$ . Le déphasage associé :

Δ φ (M) = \frac{2 π δ ( M )}{λ _{0}} .

Définition 2.2 — Ordre d'interférence

L'ordre d'interférence en $M$ est $p (M) = \frac{δ ( M )}{λ _{0}}$ . Franges brillantes : $p$ entier ( $δ = k λ_{0}$ , $k \in Z$ , interférence constructive). Franges sombres : $p$ demi-entier, c'est-à-dire $δ = (k + \frac{1}{2}) λ_{0}$ avec $k$ entier (destructive). Une frange est une ligne d'égale différence de marche (iso- $δ$ ).

Définition 2.3 — Contraste

Le contraste (ou visibilité) des franges est :

C = \frac{I _{ma x} - I _{min}}{I _{ma x} + I _{min}} \in [0, 1] .

$C = 1$ : franges parfaitement noires au minimum ; $C = 0$ : éclairement uniforme, plus de franges (brouillage).

Théorème 2.4 — Contraste de deux ondes cohérentes ★ À savoir démontrer

Pour la formule de Fresnel :

C = \frac{2 I _{1} I _{2}}{I _{1} + I _{2}}, maximal (C = 1) ⟺ I_{1} = I_{2} .

Démonstration (extrema de Fresnel + une inégalité classique)

Le cosinus balaie $[- 1, 1]$ : $I_{ma x} = I_{1} + I_{2} + 2 I_{1} I_{2}$ et $I_{min} = I_{1} + I_{2} - 2 I_{1} I_{2}$ . D'où :

C = \frac{4 I _{1} I _{2}}{2 ( I _{1} + I _{2} )} = \frac{2 I _{1} I _{2}}{I _{1} + I _{2}} .

L'inégalité arithmético-géométrique ( $2 ab \leq a + b$ , égalité ssi $a = b$ ) donne $C \leq 1$ avec égalité si et seulement si $I_{1} = I_{2}$ — les deux voies doivent être équilibrées pour des franges bien noires. Avec $I_{1} = I_{2} = I_{0}$ , la formule de Fresnel prend sa forme fétiche :

I = 2 I_{0} (1 + cos Δ φ) = 4 I_{0} cos^{2} \frac{Δ φ}{2} .

AN utile : un déséquilibre marqué dégrade peu le contraste — $I_{1} = 4 I_{2}$ donne encore $C = 24 / (4 + 1) = 0, 8$ . Les franges sont robustes au déséquilibre, fragiles à l'incohérence.

📐 Méthode-type — Analyser n'importe quel problème d'interférences.

Identifier les deux voies (division du front d'onde ou d'amplitude) et vérifier la cohérence : même source, $δ ≪ ℓ_{c}$ .
Calculer la différence de marche $δ (M)$ — géométrie + chemins optiques (lames : ajouter $(n - 1) e$ ).
Convertir : $Δ φ = 2 π δ / λ_{0}$ , ordre $p = δ / λ_{0}$ , et écrire Fresnel.
Décrire les franges : lieux iso-δ (rectilignes, anneaux…), position des brillantes ( $p$ entier), interfrange, contraste — puis discuter les brouillages éventuels (section 4).

3. Le dispositif des trous d'Young

Définition 3.1 — Dispositif et interfrange

Deux trous (ou fentes) $S_{1}, S_{2}$ distants de $a$ , éclairés par une source ponctuelle monochromatique $S$ équidistante, se comportent comme deux sources cohérentes (division du front d'onde). On observe sur un écran à la distance $D ≫ a$ . L'interfrange $i$ est la distance entre deux franges brillantes consécutives.

Théorème 3.2 — Différence de marche et interfrange d'Young ★ À savoir démontrer

Au point $M$ d'abscisse $x$ sur l'écran (axe parallèle à $S_{1} S_{2}$ ) :

δ (M) = S_{2} M - S_{1} M \approx \frac{a x}{D}, i = \frac{λ _{0} D}{a} .

Les franges sont rectilignes, perpendiculaires à $S_{1} S_{2}$ , équidistantes ; la frange centrale ( $δ = 0$ ) est brillante.

Démonstration (l'astuce de la différence des carrés)

Avec $S_{1} = (- a /2, 0)$ , $S_{2} = (+ a /2, 0)$ et $M = (x, D)$ (coordonnées dans le plan de figure) :

S_{2} M^{2} - S_{1} M^{2} = [(x - \frac{a}{2})^{2} + D^{2}] - [(x + \frac{a}{2})^{2} + D^{2}] = - 2 a x .

(Le signe dépend de l'orientation choisie pour l'axe des $x$ et de la numérotation des trous ; seule compte la valeur $∣2 a x ∣$ , et on oriente en pratique pour avoir $δ = + a x / D$ .)

En factorisant : $δ = S_{2} M - S_{1} M = \frac{S _{2} M ^{2} - S _{1} M ^{2}}{S _{2} M + S _{1} M}$ . Aux petits angles ( $x, a ≪ D$ ), $S_{1} M + S_{2} M \approx 2 D$ , d'où :

δ \approx \frac{2 a x}{2 D} = \frac{a x}{D} .

Franges brillantes : $δ = p λ_{0}$ , soit $x_{p} = p \frac{λ _{0} D}{a}$ — des positions équidistantes séparées de l'interfrange $i = λ_{0} D / a$ .

AN de référence : $λ_{0} = 600 nm$ , $D = 1 m$ , $a = 1 mm$ : $i = 6 \times 1 0^{- 7} \times 1/1 0^{- 3} = 0, 6 mm$ — des franges fines mais visibles à l'œil. Retenir la sensibilité : $i$ croît avec $λ$ et $D$ , décroît avec $a$ .

💡 Exemple — La lame qui décale les franges. On couvre le trou

S_{1}

d'une lame d'épaisseur

e

, d'indice

n

: la voie 1 s'allonge de

(n - 1) e

, donc

δ (M) = \frac{a x}{D} - (n - 1) e

. La frange centrale (

δ = 0

) se déplace en

x_{0} = \frac{( n - 1 ) e D}{a}

— du côté de la lame. Mesurer ce décalage donne

e

n

: c'est l'exercice d'application n°1 du chapitre, et un vrai montage de TP.

⚠ Piège — L'approximation δ ≈ ax/D a des conditions. Elle suppose

x ≪ D

a ≪ D

(petits angles). Les énoncés qui poussent vers les bords de l'écran (grand

x

) attendent la discussion : l'ordre

p = a x / (λ D)

croît, et le brouillage par cohérence temporelle finit par tuer les franges (

δ > ℓ_{c}

). Utiliser la formule hors de son domaine sans le signaler est relevé par les correcteurs.

4. Pourquoi les franges disparaissent : les deux brouillages

Proposition 4.1 — Brouillage par largeur spectrale (cohérence temporelle)

En lumière non monochromatique, chaque longueur d'onde fabrique son propre système de franges (interfrange $\propto λ$ ) : les systèmes coïncident en $δ = 0$ et se décalent quand $∣ δ ∣$ croît. Les franges restent visibles tant que :

∣ δ ∣ ≲ ℓ_{c} = \frac{λ _{0}^{2}}{Δ λ} .

En lumière blanche ( $ℓ_{c} \sim 1 μ m$ ) : frange centrale blanche, quelques franges irisées, puis « blanc d'ordre supérieur ». Compter le nombre de franges visibles $N \approx ℓ_{c} / λ_{0} = λ_{0} /Δ λ$ est une question type.

Proposition 4.2 — Brouillage par taille de la source (cohérence spatiale)

Une source étendue est une collection de points sources incohérents entre eux : leurs systèmes de franges, décalés les uns par rapport aux autres, s'additionnent en éclairement. Quand le décalage entre systèmes extrêmes atteint une demi-interfrange, le contraste s'annule. Qualitativement : élargir la source augmente la luminosité mais détruit le contraste — le compromis central de tous les montages d'interférences (et la motivation du Michelson, qui le contourne).

💡 Exemple chiffré — Young en lumière blanche. Avec

λ_{0} \approx 550 nm

Δ λ \approx 300 nm

N \approx λ_{0} /Δ λ \approx 2

: on ne voit que la frange centrale blanche et une paire de franges irisées de chaque côté — conforme à l'expérience. Avec une raie de lampe (

Δ λ \sim 1 nm

) :

N \sim 550

franges, l'écran en est couvert. Le simple calcul de

N

diagnostique le montage.

⚠ Piège — Deux brouillages, deux mécanismes, deux remèdes. Le brouillage temporel (spectre large) se combat en filtrant la lumière (monochromateur) ; le brouillage spatial (source étendue) en diaphragmant la source ou en changeant de dispositif. Les confondre — ou invoquer « la cohérence » sans préciser laquelle — est signalé chaque année dans les rapports.

🧑‍🏫 Le diagnostic brouillage en 30 secondes

« Pourquoi ne voit-on plus les franges ? » — la question qui départage les copies. Un mentor Majorant te fait construire la grille de diagnostic (δ vs ℓ_c ? source étendue ? voies déséquilibrées ?) et l'appliquer aux sujets Centrale et CCINP récents, jusqu'au réflexe.

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5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

L'optique des interférences est un enchaînement standardisé — les rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) relèvent toujours les mêmes ruptures de chaîne :

⚠ Erreur 1 — Additionner les éclairements de deux voies cohérentes. On additionne les VIBRATIONS, puis on moyenne le carré : c'est la formule de Fresnel, pas

I_{1} + I_{2}

. Réciproquement, pour deux points d'une source étendue (incohérents), on additionne bien les éclairements. Choisir le bon régime — et le justifier — est l'essence du chapitre.

⚠ Erreur 2 — Perdre un facteur 2π ou λ₀ entre δ, Δφ et p. Le trio

Δ φ = 2 π δ / λ_{0}

p = δ / λ_{0}

doit sortir sans hésitation. Brillante ⟺

δ = k λ_{0}

(

k

entier, ordre

p = k

) ; sombre ⟺

δ = (k + \frac{1}{2}) λ_{0}

(

k

entier, ordre demi-entier). Les demi-entiers baladeurs sont la première cause d'erreurs en cascade.

⚠ Erreur 3 — Se tromper de sens pour le déplacement des franges avec une lame. La lame ALLONGE le chemin optique de sa voie : pour rétablir

δ = 0

, la frange centrale se déplace DU CÔTÉ de la lame. Un dessin des deux chemins vaut mieux qu'une règle mal mémorisée — et le sens est systématiquement demandé.

⚠ Erreur 4 — Confondre interfrange et ordre.

i = λ_{0} D / a

est une DISTANCE sur l'écran ;

p = δ / λ_{0}

est un NOMBRE. « L'interfrange augmente avec l'ordre » n'a aucun sens — les franges d'Young sont équidistantes. Cette confusion, relevée dans les rapports, trahit un cours mal assimilé.

⚠ Erreur 5 — Oublier la condition de cohérence dans la conclusion. Tout calcul de franges suppose

δ ≪ ℓ_{c}

et une source suffisamment ponctuelle. Un résultat final (nombre de franges, visibilité) doit confronter

δ

ℓ_{c}

— sans cette confrontation, la réponse est incomplète aux yeux des correcteurs.

6. Pour aller plus loin

Young est le prototype ; les deux chapitres suivants industrialisent l'idée :

Interféromètre de Michelson — division d'amplitude au lieu du front d'onde : source large utilisable (franges localisées), teintes de Newton en lumière blanche, mesures au nanomètre.
Interférences à N ondes et réseaux — N voies au lieu de 2 : les franges deviennent des pics fins, et l'interférence devient un instrument de spectroscopie.
Physique des ondes — battements, ondes stationnaires : la même formule de superposition dans le domaine temporel ou mécanique.
Culture — interférométrie astronomique, LIGO (détection des ondes gravitationnelles par interféromètre géant) : la différence de marche s'y mesure à $1 0^{- 19} m$ .

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir la cohérence de deux ondes et pourquoi elle exige une source commune ?
Sais-tu démontrer la formule de Fresnel (développement du carré, terme croisé) ?
Sais-tu justifier I = I₁ + I₂ pour deux ondes incohérentes (moyenne du cos à zéro) ?
Sais-tu répondre en une ligne à « où va l'énergie des franges sombres » ?
Connais-tu le trio δ, Δφ = 2πδ/λ₀, p = δ/λ₀ et les conditions brillante/sombre ?
Sais-tu démontrer C = 2√(I₁I₂)/(I₁+I₂) et le cas optimal I₁ = I₂ ?
Sais-tu retrouver la forme 4I₀cos²(Δφ/2) pour deux voies équilibrées ?
Sais-tu démontrer δ ≈ ax/D par la différence des carrés, et i = λ₀D/a ?
Sais-tu traiter la lame sur une voie (nouveau δ, déplacement CÔTÉ lame) ?
Sais-tu estimer le nombre de franges visibles N ≈ λ₀/Δλ et l'appliquer à la lumière blanche ?
Sais-tu distinguer les deux brouillages (temporel/spatial) et leurs remèdes ?
Sais-tu conclure chaque exercice en confrontant δ à ℓ_c ?

Démonstrations à savoir refaire

Formule de Fresnel — carré de la somme, terme croisé, cas incohérent
Contraste — extrema de Fresnel + inégalité arithmético-géométrique
Trous d'Young — différence des carrés, δ ≈ ax/D, interfrange λ₀D/a

Vue d'ensemble

Prérequis

1. La formule de Fresnel

2. Différence de marche, ordre et contraste

3. Le dispositif des trous d'Young

4. Pourquoi les franges disparaissent : les deux brouillages

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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