Référentiels non galiléens : rotation

Vue d'ensemble

Après la translation, la rotation — et deux forces d'inertie au lieu d'une. Dans un référentiel en rotation uniforme apparaissent la force centrifuge (qui expulse vers l'extérieur : essoreuse, virage serré) et la force de Coriolis (qui dévie tout ce qui bouge : cyclones, déviation vers l'est). C'est aussi le chapitre qui explique pourquoi le « poids » n'est pas exactement la gravitation, et pourquoi $g$ dépend de la latitude. Grand classique des écrits (Centrale et Mines adorent les plateaux tournants et les perles sur tige) et des questions d'oral qualitatives. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre des points.

Au programme MP (officiel) — Référentiel en rotation uniforme autour d'un axe fixe : vecteur rotation, vitesse et accélération d'entraînement (point coïncidant en mouvement circulaire), accélération de Coriolis, forces d'inertie d'entraînement (centrifuge) et de Coriolis, caractère non énergétique de la force de Coriolis, champ de pesanteur terrestre (définition du poids, dépendance en latitude), approche documentaire des effets de Coriolis terrestres (déviation vers l'est, cyclones).

Prérequis

Référentiels non galiléens en translation : méthode générale, force d'inertie
Mouvement circulaire (sup) : accélération centripète $- Ω^{2} H M$ , coordonnées cylindriques
Produit vectoriel : calcul et règle des trois doigts

🎯 Accompagnement Majorant

Centrifuge, Coriolis : tu inverses encore les rôles ? Ce chapitre se gagne avec des schémas propres et trois réflexes de produit vectoriel. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font tourner (littéralement) les exemples classiques jusqu'à ce que les directions deviennent évidentes.

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1. Cinématique dans un référentiel en rotation uniforme

Définition 1.1 — Vecteur rotation

Le référentiel $R^{'}$ tourne autour d'un axe fixe $Δ$ de $R$ (galiléen) à la vitesse angulaire constante $Ω$ . Le vecteur rotation $Ω$ est porté par l'axe $Δ$ , orienté par la règle de la main droite, de norme $Ω$ . Tout vecteur $A$ fixe dans $R^{'}$ évolue dans $R$ selon :

(\frac{d A}{d t})_{R} = Ω \land A .

Définition 1.2 — Vitesse et accélération d'entraînement

Le point coïncidant de $M$ (fixe dans $R^{'}$ ) décrit dans $R$ un cercle autour de l'axe, à vitesse angulaire $Ω$ . En notant $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe :

v_{e} = Ω \land O M et a_{e} = - Ω^{2} H M (rotation uniforme),

où $O$ est un point de l'axe. L'accélération d'entraînement est centripète : dirigée de $M$ vers l'axe.

Définition 1.3 — Accélération de Coriolis

Quand $M$ bouge dans $R^{'}$ (vitesse relative $v_{r}$ ), la composition des accélérations fait apparaître un terme croisé, l'accélération de Coriolis :

a_{c} = 2 Ω \land v_{r}, et la composition s’ \overset{e}{ˊ} crit a_{R} (M) = a_{R^{'}} (M) + a_{e} + a_{c} .

Elle est nulle si $M$ est immobile dans $R^{'}$ , ou si $v_{r}$ est parallèle à l'axe de rotation.

Théorème 1.4 — Accélération d'entraînement en rotation uniforme ★ À savoir démontrer

Le point coïncidant étant en mouvement circulaire uniforme de rayon $H M$ et de vitesse angulaire $Ω$ : $a_{e} = - Ω^{2} H M$ , de norme $Ω^{2} H M$ , dirigée vers l'axe.

Démonstration (mouvement circulaire uniforme du point coïncidant)

Le point coïncidant $P$ est fixe dans $R^{'}$ : dans $R$ , il décrit le cercle de centre $H$ et de rayon $ρ = H M$ , à vitesse angulaire $Ω$ constante. En coordonnées polaires dans le plan du cercle : $H P = ρ e_{ρ}$ avec $\dot{θ} = Ω$ .

Résultat de sup sur le mouvement circulaire uniforme :

v_{e} = ρ Ω e_{θ} (soit v_{e} = Ω \land O M), a_{e} = - ρ Ω^{2} e_{ρ} = - Ω^{2} H M .

L'accélération est purement centripète (pas de composante orthoradiale car $Ω$ est constante). Ordre de grandeur terrestre : au niveau de l'équateur, $Ω_{T} = \frac{2 π}{86164 s} \approx 7, 3 \times 1 0^{- 5} rad/s$ et $ρ = R_{T} \approx 6, 4 \times 1 0^{6} m$ , donc $Ω_{T}^{2} R_{T} \approx 3, 4 \times 1 0^{- 2} m/ s^{2}$ — 0,3 % de $g$ .

⚠ Piège — HM part de l'axe, pas du centre de la Terre. Dans

a_{e} = - Ω^{2} H M

, le point

H

est le projeté orthogonal sur l'axe de rotation : à la latitude

λ

, le rayon du cercle décrit est

R_{T} cos λ

, pas

R_{T}

. Oublier le

cos λ

fausse tous les ordres de grandeur terrestres — erreur signalée dans les rapports.

2. Les deux forces d'inertie de la rotation

Théorème 2.1 — PFD dans un référentiel en rotation uniforme ★ À savoir démontrer

Dans $R^{'}$ en rotation uniforme autour d'un axe fixe :

m a_{R^{'}} (M) = \sum F_{vraies} F_{i e} (centrifuge) + m Ω^{2} H M F_{i c} (Coriolis) - 2 m Ω \land v_{r} .

Démonstration (injecter la composition des accélérations)

Dans le référentiel galiléen $R$ : $m a_{R} = \sum F_{vraies}$ . La composition des accélérations en rotation uniforme s'écrit $a_{R} = a_{R^{'}} + a_{e} + a_{c}$ avec $a_{e} = - Ω^{2} H M$ et $a_{c} = 2 Ω \land v_{r}$ . En isolant $m a_{R^{'}}$ :

m a_{R^{'}} = \sum F_{vraies} - m a_{e} - m a_{c} = \sum F_{vraies} + m Ω^{2} H M - 2 m Ω \land v_{r} .

La force d'inertie d'entraînement $+ m Ω^{2} H M$ est centrifuge (opposée à l'accélération centripète du point coïncidant) ; la force de Coriolis $- 2 m Ω \land v_{r}$ n'existe que si le point bouge dans $R^{'}$ .

Définition 2.2 — Force centrifuge (inertie d'entraînement)

$F_{i e} = m Ω^{2} H M$ : radiale, fuyant l'axe, de norme $m Ω^{2} H M$ croissante avec la distance à l'axe. C'est elle qui plaque le linge contre le tambour de l'essoreuse et les passagers contre la portière dans un virage — dans le référentiel tournant.

Définition 2.3 — Force de Coriolis

$F_{i c} = - 2 m Ω \land v_{r}$ : perpendiculaire à la fois à l'axe de rotation et à la vitesse relative. Elle ne dépend pas de la position, seulement de la vitesse — et elle est nulle pour un objet immobile dans $R^{'}$ .

Proposition 2.4 — La force de Coriolis ne travaille jamais

$F_{i c}$ est orthogonale à $v_{r}$ (propriété du produit vectoriel), donc sa puissance dans $R^{'}$ est nulle : $P_{i c} = F_{i c} \cdot v_{r} = 0$ . Elle dévie les trajectoires sans jamais modifier l'énergie cinétique. En revanche la force centrifuge travaille, et dérive (à $Ω$ constant) de l'énergie potentielle centrifuge : $E_{p}^{c f} = - \frac{1}{2} m Ω^{2} H M^{2}$ .

📐 Méthode-type — Problème en référentiel tournant.

Déclarer : « dans $R^{'}$ lié au support tournant, non galiléen, en rotation uniforme $Ω$ autour de l'axe $Δ$ ».
Bilan complet : forces vraies + centrifuge $m Ω^{2} H M$ + Coriolis $- 2 m Ω \land v_{r}$ (barrer Coriolis si l'étude est une statique relative : $v_{r} = 0$ ).
Choisir l'outil : PFD projeté pour une trajectoire ; énergie (potentiel centrifuge inclus, Coriolis ignorable car sans travail) pour les équilibres et leur stabilité.
Contrôles : cas limite $Ω \to 0$ (résultat galiléen), sens physiques (la centrifuge fuit l'axe), homogénéité.

3. Statique terrestre : le poids n'est pas la gravitation

Définition 3.1 — Le poids

Dans le référentiel terrestre (en rotation uniforme à $Ω_{T}$ ), le poids $m g$ d'un corps au repos est par définition la résultante de l'attraction gravitationnelle ET de la force d'inertie d'entraînement :

m g = m G (M) + m Ω_{T}^{2} H M, soit g = G (M) + Ω_{T}^{2} H M .

C'est ce $g$ -là que mesurent le fil à plomb (il s'aligne dessus) et le pèse-personne — pas le champ gravitationnel $G$ seul.

💡 Conséquences numériques. Le terme centrifuge vaut

Ω_{T}^{2} R_{T} cos λ

: maximal à l'équateur (

\approx 3, 4 \times 1 0^{- 2} m/ s^{2}

), nul aux pôles. D'où

g_{p \overset{o}{^} l es} \approx 9, 83 m/ s^{2} > g_{\overset{e}{ˊ} q u a t e u r} \approx 9, 78 m/ s^{2}

(l'aplatissement de la Terre, lui-même dû à la rotation, contribue aussi). Le fil à plomb ne pointe pas exactement vers le centre de la Terre (déviation maximale

\approx 0, 1°

vers 45° de latitude). Ces ordres de grandeur sont des questions de cours d'oral.

⚠ Piège — Ne pas compter la centrifuge deux fois. Si tu utilises

g

(poids), la force centrifuge terrestre est DÉJÀ incluse : le bilan est «

m g

+ autres forces vraies + Coriolis ». Écrire «

m g + m Ω_{T}^{2} H M + \dots

» compte le terme d'entraînement deux fois — erreur relevée par les jurys sur les problèmes de dynamique terrestre.

4. Applications : équilibres tournants et effets de Coriolis

Théorème 4.1 — Perle sur une tige horizontale en rotation ★ À savoir démontrer

Une perle libre de glisser sans frottement sur une tige horizontale tournant à $Ω$ constant obéit, en notant $r$ sa distance à l'axe :

\overset{r}{¨} = Ω^{2} r ⟹ r (t) = A e^{Ω t} + B e^{- Ω t} .

La position centrale $r = 0$ est un équilibre instable : la perle est expulsée exponentiellement (sauf conditions initiales exceptionnelles).

Démonstration (PFD dans le référentiel de la tige)

Dans le référentiel tournant lié à la tige, la perle a un mouvement rectiligne le long de la tige (axe $e_{r}$ ). Bilan des forces : poids et réaction (verticaux et/ou orthogonaux à la tige pour une liaison sans frottement), force centrifuge $m Ω^{2} r e_{r}$ , force de Coriolis $- 2 m Ω \land \overset{r}{˙} e_{r}$ — ce dernier vecteur est orthogonal à la tige (produit vectoriel de deux vecteurs du plan horizontal), donc compensé par la réaction de la tige.

Projection du PFD sur $e_{r}$ :

m \overset{r}{¨} = m Ω^{2} r ⟹ \overset{r}{¨} - Ω^{2} r = 0.

Équation caractéristique $s^{2} = Ω^{2}$ , racines réelles $\pm Ω$ : $r (t) = A e^{Ω t} + B e^{- Ω t}$ . Sauf si $A = 0$ (conditions initiales très particulières), $r (t) \to \infty$ : l'équilibre en $r = 0$ est instable — signature d'une « raideur négative » créée par la centrifuge. Au passage, la composante orthogonale du PFD donne la force que la tige exerce (réaction de Coriolis) : $N = 2 m Ω \overset{r}{˙}$ , souvent demandée en question suivante.

💡 Effets de Coriolis terrestres (approche documentaire au programme). Dans l'hémisphère nord,

F_{i c}

dévie tout mouvement horizontal vers la droite : les masses d'air convergeant vers une dépression s'enroulent dans le sens antihoraire (cyclones) — sens inverse dans l'hémisphère sud. Une chute libre de 100 m subit une déviation vers l'est de l'ordre du centimètre (

\sim 1, 5 cm

à nos latitudes) : l'objet, plus éloigné de l'axe au départ, « va plus vite vers l'est » que le sol qu'il rejoint. Ordres de grandeur à savoir citer ; les calculs complets ne sont pas exigibles.

⚠ Piège — Coriolis est négligeable… sauf quand le temps s'accumule. Avec

Ω_{T} \sim 7 \times 1 0^{- 5} rad/s

, la force de Coriolis est minuscule à l'échelle d'une expérience de laboratoire ordinaire (rapport

2Ω v / g \approx 1, 5 \times 1 0^{- 4}

pour

v \sim 10 m/s

). Elle devient dominante quand la durée du phénomène se compare à la période de rotation : météorologie, pendule de Foucault, tir balistique longue portée. Savoir JUSTIFIER quand on la néglige est une attente explicite des sujets.

🧑‍🏫 Produits vectoriels sans hésitation

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5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Deux forces d'inertie, des produits vectoriels, un référentiel qui tourne : le terrain idéal pour les erreurs de signe et de direction. Best-of des rapports de jury :

⚠ Erreur 1 — Ajouter Coriolis dans une statique relative. Si l'objet est immobile dans le référentiel tournant (

v_{r} = 0

), la force de Coriolis est rigoureusement nulle. L'ajouter « par sécurité » dans un équilibre relatif trahit une incompréhension — et fausse la suite si on lui invente une direction.

⚠ Erreur 2 — Se tromper de point de référence dans HM. La centrifuge est

m Ω^{2} H M

avec

H

sur l'axe, à la même hauteur que

M

. Prendre le centre

O

de la Terre (ou l'origine du repère) change la direction ET la norme — cf. le facteur

cos λ

en dynamique terrestre.

⚠ Erreur 3 — Erreur de signe ou d'ordre dans −2mΩ ∧ v. Le signe « moins » ET l'ordre du produit vectoriel comptent :

- 2 m Ω \land v_{r} = + 2 m v_{r} \land Ω

. Un dessin avec la règle des trois doigts vaut mieux qu'un calcul de tête — et le sens obtenu doit être cohérent avec « déviation vers la droite dans l'hémisphère nord ».

⚠ Erreur 4 — Faire travailler la force de Coriolis.

F_{i c} ⊥ v_{r}

: puissance nulle, toujours. Dans un bilan énergétique en référentiel tournant, seuls le potentiel centrifuge et les forces vraies interviennent. Une énergie « fournie par Coriolis » est un non-sens sanctionné.

⚠ Erreur 5 — Confondre poids et gravitation. Le poids inclut par définition le terme centrifuge terrestre. Conséquences :

g

varie avec la latitude, le fil à plomb ne vise pas le centre de la Terre, et on ne rajoute jamais la centrifuge terrestre à

m g

. La définition précise du poids est une question de cours récurrente à l'oral.

6. Pour aller plus loin

La rotation irrigue le reste de la mécanique de MP et au-delà :

Champs de force centrale et champs newtoniens — le référentiel géocentrique n'est pas rigoureusement galiléen : le terme différentiel d'entraînement dû à la Lune et au Soleil est le terme de marée.
Frottement solide — les problèmes de plateau tournant (objet posé, condition de glissement $m Ω^{2} r \leq μ m g$ ) combinent centrifuge et lois de Coulomb : c'est le sujet type de la mécanique MP.
Physique des ondes — le pendule de Foucault (précession du plan d'oscillation en $Ω_{T} sin λ$ ) est la manifestation la plus célèbre de Coriolis ; en approche documentaire au programme.
Culture ingénieur et climat — gyroscopes, centrifugeuses, anticyclones et courants marins : la force de Coriolis structure la circulation atmosphérique et océanique mondiale.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir le vecteur rotation et la relation de dérivation d'un vecteur fixe du référentiel tournant ?
Sais-tu démontrer v_e = Ω ∧ OM et a_e = −Ω²·HM via le mouvement circulaire du point coïncidant ?
Connais-tu l'ordre de grandeur Ω_T ≈ 7,3×10⁻⁵ rad/s et Ω_T²R_T ≈ 3,4×10⁻² m/s² ?
Sais-tu écrire l'accélération de Coriolis 2Ω ∧ v_r et dire quand elle s'annule ?
Sais-tu démontrer le PFD en rotation uniforme avec ses deux forces d'inertie ?
Sais-tu justifier que la force de Coriolis ne travaille jamais, et l'énergie potentielle centrifuge −½mΩ²HM² ?
Sais-tu dérouler la méthode-type (déclarer, bilan, PFD ou énergie, contrôles Ω → 0) ?
Sais-tu définir le poids (gravitation + centrifuge) et expliquer la variation de g avec la latitude ?
Sais-tu pourquoi on ne rajoute JAMAIS la centrifuge terrestre à mg ?
Sais-tu traiter la perle sur tige tournante (r̈ = Ω²r, instabilité exponentielle, réaction de Coriolis) ?
Sais-tu expliquer qualitativement la déviation vers la droite (hémisphère nord), les cyclones et la déviation vers l'est ?
Sais-tu justifier quand la force de Coriolis est négligeable et quand elle ne l'est plus ?

Démonstrations à savoir refaire

Accélération d'entraînement −Ω²·HM — mouvement circulaire uniforme du point coïncidant
PFD en rotation uniforme — composition des accélérations injectée dans le PFD galiléen
Perle sur tige tournante — r̈ = Ω²r, solutions exponentielles, instabilité

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Cinématique dans un référentiel en rotation uniforme

2. Les deux forces d'inertie de la rotation

3. Statique terrestre : le poids n'est pas la gravitation

4. Applications : équilibres tournants et effets de Coriolis

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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