Rétroaction et ALI

Vue d'ensemble

L'électronique de MP tient en une idée : reboucler la sortie d'un système sur son entrée pour en contrôler le comportement. La rétroaction négative fabrique des amplificateurs stables et précis à partir d'un composant au gain énorme et mal connu — l'amplificateur linéaire intégré (ALI) ; la rétroaction positive fabrique des comparateurs à mémoire et, au chapitre suivant, des oscillateurs. Ce chapitre est un pilier des écrits (Mines, Centrale, CCINP adorent les montages à ALI) et des TP-cours. Cette fiche regroupe les 4 théorèmes incontournables, les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre des points.

Au programme MP (officiel) — Stabilité des systèmes linéaires du premier et du second ordre ; rétroaction, schéma fonctionnel, fonction de transfert en boucle fermée ; ALI : modèle idéal, gain fini du premier ordre, produit gain-bande passante, saturations de la sortie ; montages amplificateur non inverseur, suiveur, comparateur simple et comparateur à hystérésis.

Prérequis

Régime sinusoïdal forcé, impédances complexes et fonctions de transfert (sup)
Filtrage linéaire : diagramme de Bode, fréquence de coupure, bande passante
Circuits linéaires du premier et du second ordre (équations différentielles)

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1. Stabilité des systèmes linéaires

Définition 1.1 — Système linéaire et fonction de transfert

Un système linéaire relie l'entrée $e (t)$ et la sortie $s (t)$ par une équation différentielle linéaire à coefficients constants. En régime sinusoïdal forcé, il est caractérisé par sa fonction de transfert $\underline{H} (j ω) = \frac{s}{e}$ , fraction rationnelle en $j ω$ .

Définition 1.2 — Stabilité

Un système est stable si sa réponse libre (régime transitoire, entrée nulle) tend vers 0 quand $t \to + \infty$ — de façon équivalente, si toute entrée bornée produit une sortie bornée. Un système instable voit sa sortie diverger (en pratique : jusqu'à la saturation du montage).

Théorème 1.3 — Critère de stabilité des systèmes d'ordre 1 et 2 ★ À savoir démontrer

Un système d'ordre 1, $τ \frac{d s}{d t} + s = K e (t)$ , ou d'ordre 2,

a_{2} \frac{d ^{2} s}{d t ^{2}} + a_{1} \frac{d s}{d t} + a_{0} s = b e (t),

est stable si et seulement si tous les coefficients du membre de gauche ( $a_{2}, a_{1}, a_{0}$ ) sont non nuls et de même signe.

Démonstration (racines de l'équation caractéristique)

Ordre 1. La réponse libre de $τ s^{'} + s = 0$ est $s (t) = s_{0} e^{- t / τ}$ : elle tend vers 0 si et seulement si $τ > 0$ , c'est-à-dire si les deux coefficients $τ$ et $1$ sont de même signe.

Ordre 2. Quitte à diviser par $a_{2}$ , l'équation caractéristique est $r^{2} + α r + β = 0$ avec $α = a_{1} / a_{2}$ et $β = a_{0} / a_{2}$ . La réponse libre tend vers 0 si et seulement si les deux racines $r_{1}, r_{2}$ ont une partie réelle strictement négative. Or les relations coefficients-racines donnent $r_{1} + r_{2} = - α$ et $r_{1} r_{2} = β$ .

— Si les racines sont réelles, elles sont toutes deux négatives si et seulement si leur somme est négative ( $α > 0$ ) et leur produit positif ( $β > 0$ ).
— Si elles sont complexes conjuguées, $r_{1, 2} = σ \pm j Ω$ , alors $r_{1} + r_{2} = 2 σ = - α$ : la partie réelle $σ$ est négative si et seulement si $α > 0$ (et $β = σ^{2} + Ω^{2} > 0$ automatiquement).

Dans les deux cas, la stabilité équivaut à $α > 0$ et $β > 0$ , c'est-à-dire $a_{1} / a_{2} > 0$ et $a_{0} / a_{2} > 0$ : tous les coefficients de même signe.

⚠ Piège — Ce critère est limité à l'ordre 2. « Tous les coefficients de même signe » est nécessaire mais pas suffisant à partir de l'ordre 3. Ne généralise jamais ce critère au-delà de l'ordre 2 dans une copie — c'est exactement le genre d'extrapolation que les rapports de jury épinglent.

📝 Lecture sur la fonction de transfert. Les racines de l'équation caractéristique sont les pôles de

\underline{H}

(zéros du dénominateur, en remplaçant

j ω

par

r

). Système stable

⟺

tous les pôles à partie réelle strictement négative. C'est la formulation qu'utilisent les sujets de concours pour discuter la stabilité d'un montage bouclé.

2. Rétroaction et fonction de transfert en boucle fermée

Définition 2.1 — Schéma fonctionnel d'un système bouclé

Un système à rétroaction se représente par un schéma fonctionnel à trois blocs : une chaîne directe de fonction de transfert $\underline{A}$ , une chaîne de retour $\underline{β}$ qui prélève la sortie, et un comparateur qui forme le signal d'erreur $\underline{ε} = \underline{e} - \underline{β} \underline{s}$ (rétroaction négative quand l'erreur est une différence).

Théorème 2.2 — Fonction de transfert en boucle fermée ★ À savoir démontrer

Pour une boucle à rétroaction négative de chaîne directe $\underline{A}$ et de retour $\underline{β}$ :

\underline{H}_{B F} = \frac{s}{e} = \frac{A}{1 + A β} .

Démonstration (3 lignes, à savoir refaire les yeux fermés)

La chaîne directe donne $\underline{s} = \underline{A} \underline{ε}$ , et le comparateur $\underline{ε} = \underline{e} - \underline{β} \underline{s}$ . En combinant :

\underline{s} = \underline{A} (\underline{e} - \underline{β} \underline{s}) ⟹ \underline{s} (1 + \underline{A} \underline{β}) = \underline{A} \underline{e} ⟹ \underline{H}_{B F} = \frac{A}{1 + A β} .

📝 La propriété-miracle de la boucle. Si le gain de boucle est grand,

∣ \underline{A} \underline{β} ∣ ≫ 1

, alors

\underline{H}_{B F} \approx \frac{1}{β}

: le comportement du montage ne dépend plus que de la chaîne de retour (des résistances, précises et stables), et plus du tout du gain

\underline{A}

(énorme mais mal connu et dispersé d'un composant à l'autre). C'est la raison d'être de la rétroaction négative — et l'argument qualitatif à replacer dans toute question « quel est l'intérêt du bouclage ? ».

💡 Exemple — Ce que la boucle échange. Un ALI de gain statique

A_{0} = 1 0^{5}

et de bande passante

f_{0} = 10 Hz

rebouclé avec

β = 1/100

donne un amplificateur de gain

\approx 100

et de bande passante

\approx 10 kHz

: on a troqué du gain contre de la bande passante (cf. théorème 4.2). La rétroaction négative améliore aussi la linéarité et rend le gain insensible aux dispersions de fabrication.

3. L'ALI : modèles et régimes de fonctionnement

Définition 3.1 — Amplificateur linéaire intégré (ALI)

L'ALI (ou amplificateur opérationnel) est un composant actif (alimenté en $\pm V_{cc}$ , alimentation non représentée sur les schémas) possédant deux entrées — non inverseuse $v_{+}$ et inverseuse $v_{-}$ — et une sortie $v_{s}$ . Il amplifie la tension différentielle $ε = v_{+} - v_{-}$ .

Définition 3.2 — Modèle de l'ALI idéal

Dans le modèle idéal :

courants d'entrée nuls : $i_{+} = i_{-} = 0$ (impédance d'entrée infinie) ;
gain différentiel infini : $A_{0} \to \infty$ ;
résistance de sortie nulle ;
sortie bornée par les saturations : $- V_{s a t} \leq v_{s} \leq + V_{s a t}$ (avec $V_{s a t} \approx V_{cc}$ , typiquement 15 V).

Définition 3.3 — Modèle réel du premier ordre (gain fini)

Plus réaliste, l'ALI se comporte comme un passe-bas du premier ordre de gain différentiel :

\underline{A} (j ω) = \frac{A _{0}}{1 + j \frac{ω}{ω _{0}}}, A_{0} \sim 1 0^{5}, f_{0} = \frac{ω _{0}}{2 π} \sim 10 Hz .

La sortie est en outre limitée en amplitude ( $\pm V_{s a t}$ ) et en vitesse de balayage (slew rate) : $\frac{d v _{s}}{d t}$ ne peut dépasser quelques $V/ μ s$ — d'où des sorties « triangularisées » à haute fréquence.

Proposition 3.4 — Les deux régimes de fonctionnement

Régime linéaire (possible seulement si la rétroaction est négative, c'est-à-dire ramenée sur l'entrée $v_{-}$ ) : la sortie n'est pas saturée et, dans la limite du gain infini, $ε = v_{+} - v_{-} = 0$ , soit $v_{+} = v_{-}$ .
Régime saturé (rétroaction positive, absence de rétroaction, ou sortie en butée) : $v_{s} = + V_{s a t}$ si $ε > 0$ , $v_{s} = - V_{s a t}$ si $ε < 0$ . La règle $v_{+} = v_{-}$ ne s'applique PAS.

⚠ Piège n°1 du chapitre — Écrire $v_{+} = v_{-}$ sans justification. Cette égalité n'est légitime que si (1) le montage possède une rétroaction négative et (2) on suppose le fonctionnement linéaire (sortie non saturée). La phrase attendue en copie : « la rétroaction sur l'entrée inverseuse permet un fonctionnement linéaire ; l'ALI étant idéal,

ε = 0

donc

v_{+} = v_{-}

». Sans cette justification, les correcteurs comptent la question fausse — c'est écrit noir sur blanc dans les rapports.

📐 Méthode-type — Analyser n'importe quel montage à ALI.

Identifier la boucle. La sortie est-elle reliée à $v_{-}$ (rétroaction négative → régime linéaire possible), à $v_{+}$ (rétroaction positive → régime saturé, basculements), ou à rien (comparateur → saturé) ?
En régime linéaire : écrire $i_{+} = i_{-} = 0$ , puis $v_{+} = v_{-}$ , puis traduire par un pont diviseur ou une loi des nœuds ; en déduire $v_{s}$ en fonction de $v_{e}$ .
En régime saturé : partir de $v_{s} = \pm V_{s a t}$ , calculer $ε = v_{+} - v_{-}$ et chercher les conditions de basculement ( $ε$ change de signe).
Vérifier la cohérence : en linéaire, contrôler $∣ v_{s} ∣ < V_{s a t}$ a posteriori ; sinon, le montage sature réellement et il faut reprendre au point 3.

4. Montages en régime linéaire

Proposition 4.1 — Suiveur et amplificateur non inverseur

Suiveur (sortie directement rebouclée sur $v_{-}$ , entrée sur $v_{+}$ ) : $v_{s} = v_{e}$ . Son intérêt n'est pas le gain mais l'adaptation d'impédance : il ne prélève aucun courant à la source ( $i_{+} = 0$ ) tout en pouvant débiter en sortie — il « isole » deux étages d'un montage.

Amplificateur non inverseur (retour sur $v_{-}$ par un pont diviseur $R_{1}, R_{2}$ ) : le pont donne $v_{-} = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}} v_{s}$ , et $v_{+} = v_{e}$ , d'où :

v_{s} = (1 + \frac{R _{2}}{R _{1}}) v_{e} soit un gain G_{0} = 1 + \frac{R _{2}}{R _{1}} = \frac{1}{β}, β = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}} .

Théorème 4.2 — Produit gain × bande passante constant ★ À savoir démontrer

Pour l'amplificateur non inverseur réalisé avec un ALI de gain réel $\underline{A} (j ω) = \frac{A _{0}}{1 + j ω / ω _{0}}$ , la fonction de transfert en boucle fermée est encore un passe-bas du premier ordre, de gain statique $G$ et de fréquence de coupure $f_{c}$ vérifiant :

G \times f_{c} = A_{0} \times f_{0} = constante (produit gain-bande de l’ALI) .

Démonstration (boucle fermée sur le modèle d'ordre 1)

La formule de la boucle (théorème 2.2) avec retour résistif $β$ réel donne :

\underline{H}_{B F} = \frac{A}{1 + β A} = \frac{\frac{A _{0}}{1 + j ω / ω _{0}}}{1 + \frac{β A _{0}}{1 + j ω / ω _{0}}} = \frac{A _{0}}{1 + β A _{0} + j ω / ω _{0}} .

En divisant numérateur et dénominateur par $1 + β A_{0}$ :

\underline{H}_{B F} = \frac{G}{1 + j \frac{ω}{ω _{c}}}, G = \frac{A _{0}}{1 + β A _{0}}, ω_{c} = (1 + β A_{0}) ω_{0} .

C'est bien un passe-bas d'ordre 1, et le produit gain-bande vaut :

G \times f_{c} = \frac{A _{0}}{1 + β A _{0}} \times (1 + β A_{0}) f_{0} = A_{0} f_{0} .

Il est indépendant de $β$ : diminuer le gain (en bouclant plus fort) élargit d'autant la bande passante. Pour $β A_{0} ≫ 1$ , on retrouve $G \approx 1/ β = 1 + R_{2} / R_{1}$ .

💡 Exemple numérique (à savoir refaire). ALI de produit gain-bande

A_{0} f_{0} = 1 0^{6} Hz

. Monté en non inverseur de gain 100 : bande passante

f_{c} = 1 0^{6} /100 = 10 kHz

. Monté en suiveur (

G = 1

) :

f_{c} = 1 MHz

. Pour amplifier un signal audio (20 kHz) d'un facteur 1000, un seul étage ne suffit pas (

f_{c} = 1 kHz

seulement) : on cascade par exemple deux étages de gain

\approx 32

, chacun de bande passante

\approx 31 kHz

📝 L'intégrateur. En remplaçant la résistance de retour par un condensateur (entrée sur

v_{-}

à travers

R

v_{+}

à la masse), la loi des nœuds en

v_{-}

(potentiel nul, « masse virtuelle ») donne

\frac{v _{e}}{R} = - C \frac{d v _{s}}{d t}

, soit :

v_{s} (t) = - \frac{1}{R C} \int v_{e} (t) d t .

Montage utilisé pour fabriquer des rampes et des oscillateurs — mais attention, il intègre aussi les défauts (offset), d'où une dérive lente de la sortie en pratique.

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5. Montages en régime saturé : comparateurs

Proposition 5.1 — Comparateur simple

Sans aucune rétroaction, l'ALI compare ses deux entrées : $v_{s} = + V_{s a t}$ si $v_{+} > v_{-}$ , et $v_{s} = - V_{s a t}$ si $v_{+} < v_{-}$ . Avec une référence $v_{-} = V_{r e f}$ , la sortie bascule à chaque franchissement de $V_{r e f}$ par le signal d'entrée — mais un signal bruité autour du seuil fait basculer la sortie de façon erratique, d'où l'intérêt de l'hystérésis.

Théorème 5.2 — Comparateur à hystérésis (trigger de Schmitt) ★ À savoir démontrer

Dans le montage à rétroaction positive (sortie rebouclée sur $v_{+}$ par un pont $R_{1}, R_{2}$ , entrée $v_{e}$ sur $v_{-}$ ), la sortie ne peut prendre que les valeurs $\pm V_{s a t}$ et bascule pour deux seuils différents :

v_{e} croissant : basculement \overset{a}{ˋ} + β V_{s a t}, v_{e} d \overset{e}{ˊ} croissant : basculement \overset{a}{ˋ} - β V_{s a t}, β = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}} .

Le cycle $(v_{e}, v_{s})$ parcouru est un cycle d'hystérésis : la sortie dépend de l'histoire du signal, le montage a une mémoire.

Démonstration (analyse des basculements)

La rétroaction étant positive, le régime est saturé : $v_{s} = \pm V_{s a t}$ . Le pont diviseur (aucun courant n'entrant dans $v_{+}$ ) impose $v_{+} = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}} v_{s} = β v_{s}$ , et $v_{-} = v_{e}$ .

Supposons $v_{s} = + V_{s a t}$ : alors $v_{+} = + β V_{s a t}$ , et cet état persiste tant que $ε = v_{+} - v_{-} = β V_{s a t} - v_{e} > 0$ , c'est-à-dire tant que $v_{e} < β V_{s a t}$ . Quand $v_{e}$ franchit $+ β V_{s a t}$ en croissant, $ε$ devient négatif : la sortie bascule à $- V_{s a t}$ .

Une fois $v_{s} = - V_{s a t}$ : le seuil devient $v_{+} = - β V_{s a t}$ . L'état persiste tant que $v_{e} > - β V_{s a t}$ , et la sortie ne rebascule à $+ V_{s a t}$ que lorsque $v_{e}$ redescend sous $- β V_{s a t}$ .

Les deux seuils $\pm β V_{s a t}$ sont distincts : entre eux, l'état de la sortie dépend de l'histoire — c'est l'hystérésis. La largeur du cycle vaut $2 β V_{s a t}$ ; elle immunise le comparateur contre un bruit d'amplitude inférieure à cette largeur.

⚠ Piège — Rétroaction positive ≠ régime linéaire. Un élève qui écrit

v_{+} = v_{-}

sur un trigger de Schmitt perd toute la question : l'état

ε = 0

existe mathématiquement mais il est instable (toute fluctuation est amplifiée et rebouclée en phase), donc jamais observé. Rétroaction sur

v_{+}

= saturation et basculements, point final.

💡 Exemple — Pourquoi l'hystérésis « nettoie » un signal bruité. Signal lent + bruit de 0,5 V d'amplitude autour d'un seuil unique : le comparateur simple bascule des dizaines de fois à chaque passage. Avec

V_{s a t} = 15 V

β = 1/10

, les seuils sont à

\pm 1, 5 V

: le cycle de largeur 3 V absorbe le bruit, un seul basculement par franchissement. C'est le montage anti-rebond universel (capteurs, horloges, CAN à venir dans le chapitre échantillonnage).

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Les montages à ALI figurent presque chaque année aux écrits (CCINP, Mines-Ponts, Centrale) et les rapports de jury reviennent inlassablement sur les mêmes fautes. Chacune coûte entre 0,5 et 2 points.

⚠ Erreur 1 — Écrire $v_{+} = v_{-}$ sans avoir identifié une rétroaction négative. C'est LA faute signalée dans tous les rapports. La justification attendue tient en une phrase : rétroaction sur l'entrée inverseuse → fonctionnement linéaire possible → ALI idéal →

ε = 0

. Sur un montage à rétroaction positive, cette égalité est simplement fausse.

⚠ Erreur 2 — Oublier $i_{+} = i_{-} = 0$ dans la loi des nœuds. Le pont diviseur qui donne

v_{-}

n'est un pont diviseur QUE parce qu'aucun courant n'entre dans l'ALI. Si tu écris une loi des nœuds en

v_{-}

, commence par « les courants d'entrée de l'ALI idéal étant nuls… » — sinon le correcteur ne peut pas savoir si ton équation est juste par hasard.

⚠ Erreur 3 — Confondre saturation en tension et limitation en vitesse (slew rate). La saturation écrête la sortie à

\pm V_{s a t}

(créneaux aplatis) ; le slew rate limite la pente de

v_{s} (t)

(sinusoïde transformée en triangle à haute fréquence). Deux phénomènes, deux signatures graphiques différentes — les sujets expérimentaux demandent de les distinguer sur un oscillogramme.

⚠ Erreur 4 — Donner un cycle d'hystérésis sans sens de parcours. Le graphe

(v_{e}, v_{s})

du trigger doit porter des flèches : montée → basculement à

+ β V_{s a t}

, descente → basculement à

- β V_{s a t}

. Un cycle sans flèches (ou parcouru dans le mauvais sens) est compté faux.

⚠ Erreur 5 — Conclure « le montage est stable » parce que la sortie est bornée par $V_{s a t}$ . La saturation borne physiquement la sortie, mais la stabilité se juge sur le modèle linéaire (pôles / coefficients de l'équation différentielle). Un montage instable sature : dire qu'il est stable parce qu'il sature est un contresens — c'est précisément comme ça qu'on fabrique des oscillateurs à relaxation (chapitre suivant).

7. Pour aller plus loin

La rétroaction est un concept transversal : tu vas la retrouver partout dans l'année de MP et aux concours.

Oscillateurs électroniques — l'oscillateur quasi-sinusoïdal, c'est une boucle amenée à la limite d'instabilité ( $1 + \underline{A} \underline{β} = 0$ , critère de Barkhausen) ; l'oscillateur à relaxation combine un trigger de Schmitt et un intégrateur.
Filtrage et traitement du signal — les filtres actifs à ALI réutilisent la méthode d'analyse en régime linéaire ; le produit gain-bande fixe leurs limites fréquentielles.
Conversion analogique-numérique — le comparateur est la brique de base des CAN ; l'hystérésis y gère le bruit.
TP-cours et oraux — les montages de cette fiche (suiveur, non inverseur, trigger) sont au cœur des TP de MP et des questions d'oral expérimentales (Centrale, CCINP).

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu énoncer et démontrer le critère de stabilité « tous les coefficients de même signe » pour un système d'ordre 1 ou 2 ?
Sais-tu pourquoi ce critère ne se généralise pas au-delà de l'ordre 2 ?
Sais-tu redémontrer la fonction de transfert en boucle fermée $A / (1 + A β)$ en trois lignes ?
Sais-tu expliquer pourquoi $H_{B F} \approx 1/ β$ quand le gain de boucle est grand, et pourquoi c'est l'intérêt de la rétroaction négative ?
Connais-tu le modèle de l'ALI idéal (courants nuls, gain infini, saturations) et le modèle du premier ordre ( $A_{0} \sim 1 0^{5}$ , $f_{0} \sim 10$ Hz) ?
Sais-tu justifier proprement $v_{+} = v_{-}$ (rétroaction négative + régime linéaire + ALI idéal) ?
Sais-tu retrouver le gain du suiveur et de l'amplificateur non inverseur, et expliquer l'intérêt du suiveur ?
Sais-tu démontrer que le produit gain × bande passante est constant, et faire l'application numérique ?
Sais-tu distinguer saturation en tension et slew rate sur un oscillogramme ?
Sais-tu démontrer les deux seuils $\pm β V_{s a t}$ du comparateur à hystérésis et tracer son cycle avec les flèches ?
Sais-tu expliquer pourquoi l'hystérésis immunise contre le bruit ?
Sais-tu reconnaître en 10 secondes le régime d'un montage (retour sur $v_{-}$ , sur $v_{+}$ , ou pas de retour) ?

Démonstrations à savoir refaire

Critère de stabilité ordre 1 et 2 — racines de l'équation caractéristique et relations coefficients-racines
Fonction de transfert en boucle fermée — combinaison chaîne directe + comparateur
Produit gain-bande constant — boucle fermée sur le modèle d'ordre 1 de l'ALI
Seuils du comparateur à hystérésis — analyse des deux états saturés et de leurs basculements

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Stabilité des systèmes linéaires

2. Rétroaction et fonction de transfert en boucle fermée

3. L'ALI : modèles et régimes de fonctionnement

4. Montages en régime linéaire

5. Montages en régime saturé : comparateurs

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

7. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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